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Full text of "Lehrbuch der Algebra"

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LEHRBUCH 



DER 



A L G E B R A 



ERSTER BAND 



LEHRBUCH 



DER 



ALGEBRA 



VON 



HEINRICH WEBER 

PROKEäSOR DER MATHE^rATIK AX DER UNIVERSITÄT STRAS.SIit:R6 



ZWEITE AUFLAGE 



PEPARTV.ENT OF MATHEMATICS 
i^NiVERSITY Or TORONTO 
ERSTER BAND 



BRAUNSCHWEIG 

DRUCK UND VERLAG VON FRIEDRICH VIEWEG UND SOHN 

18 9 8 



,^ 






Alle Eechte, namentlich dasjenige der Uebersetzung in fremde Sprachen, 

vorbehalten. 



-^ß^^^^^\ 






JÜN 111958 




/./ 



VORWORT ZUR ERSTEN AUFLAGE. 



JDei der Entwickelung , welche die Algebra in den letzten 
Jahrzehnten genommen hat, dürfte eine zusammenlassende Dar- 
stellung und Verknüpfung der verschiedenen theoretischen Be- 
trachtungen und mannigfachen Anwendungen auch nach dem für 
seine Zeit treftlichen Lehrbuch von Serret nützlich sein. 

Seit Jahren hege ich den Plan eines solchen Unternehmens, 
das ja gross und weitaussehend erschien, und mancherlei Vor- 
arbeiten erforderte. Erst nachdem ich in Universitätsvorlesungen 
mehrmals das Gebiet im Ganzen durchwandert und einzelne 
Theile specieller behandelt hatte, entschloss ich mich, an die 
Ausführung des Werkes zu gehen, von dem jetzt der erste Band 
vollendet vorliegt. 

Es war meine Absicht, ein Lehrbuch zu geben, das, ohne 
viel Vorkenntnisse vorauszusetzen, den Leser in die moderne 
Algebra einführen und auch zu den höheren und schwierigeren 
Partien hinführen sollte, in denen da? Interesse an dem Gegen- 
stande erst recht lebendig wird. Dabei sollten die erforderlichen 
Hülfsmittel, die elementaren sowohl als die höheren, aus dem 
Gange der Entwickelung selbst abgeleitet werden, um die Dar- 
stellung von anderen Lehrbüchern möglichst unabhängig zumachen. 

Zwei Dinge sind es, die für die neueste Entwickelung der 
Algebra ganz besonders von Bedeutung geworden sind; das ist 
auf der einen Seite die immer mehr zur Herrschaft gelangende 
Gruppentheorie, deren ordnender und klärender Einfluss überall 
zu spüren ist, und sodann das Eingreifen der Zahlentheorie, 



VI Vorwort zur ersten Auflage. 

Wenn auch die Algebra zum Theil über die Zahlentheorie hin- 
ausgeht, und in andere Gebiete, z. B. die Functionentheorie, oder 
in ihren Amveiidungen auch in die Geometrie hinüber greift, so 
ist doch die Zahlenlehre immer das vorzüglichste Beispiel für 
alle algebraischen Betrachtungen, und die Fragen der Zahlen- 
theorie, die heute im Vordergrund des Interesses stehen, sind 
vorliegend algebraischer Natur. Hierdurch war der Weg be- 
zeichnet, den ich in meiner Arbeit zu gehen hatte. 

Der grosse Stoff ist in zwei Bände vertheilt. Der erste Band 
enthält den elementaren Theil der Algebra, den man mit einem 
hergebrachten Ausdruck als Buchstabenrechnung bezeichnen 
kann, sodann die Vorschriften über die numerische Berechnung 
der Gleichungswurzeln und die Anfänge der Galois'schen Theorie. 

Der zweite Band, der dem ersten hoffentlich in kurzer Zeit 
folgen wird, soll die allgemeine Theorie der endlichen Grupi^en, 
die Theorie der linearen Substitutionsgruppen und Anwendungen 
auf verschiedene einzelne Probleme bringen und soll abschliessen 
mit der Theorie der algebraischen Zahlen, wo der Versuch 
gemacht ist, die verschiedenen Gesichtspunkte, unter denen diese 
Theorie bisher betrachtet worden ist, zu vereinigen. 

Endlich soll der zweite Band ein alphabetisches Register 
über beide Bände bringen. 

Wie es bei einer Disciplin, die in rascher Eutwickelung 
begriffen ist. und an der von den verschiedensten Seiten gearbeitet 
wird, nicht anders sein kann, ist auch in der Algebra der Sprach- 
gebrauch und die Bezeichnungsweise sehr mannigfaltig und häufig 
nicht übereinstimmend. Dadurch wird eine einheitliche Dar- 
stellung und das Eindringen in die verschiedenen Arbeiten sehr 
erschwert. 

Ich habe mich daher bemüht, eine möglichst zweckmässige 
Ausdrucksweise einheitlich beizubehalten, und habe mich dabei 
vielfach mit Fachgenossen berathen. Ich darf die Hoffnung aus- 
sprechen, dadurch zur Befestigung einer einheitlichen Termino- 
logie beigetragen zu haben. 

Die Literaturnachweisungen und historischen Notizen , die 
in dem Buche gegeben sind, machen in keiner Weise den An- 
spruch auf Vollständigkeit, wenn ich auch bemüht gewesen bin. 



Vorwort zur ersten Auflage. VII 

nach Möglichkeit die wichtigsten Quellen und literarischen Hülfs- 
mittel an geeigneter Stelle zu erwähnen. 

Es ist mir eine angenehme Pflicht, so manchem Freunde und 
Collegen, der au dem Fortschreiten meiner Arbeit regen und 
thatkräftigen Antheil genommen hat, hier meinen Dank auszu- 
sprechen. Zuerst gilt dieser Dank meinem Freunde Dedekind 
für seine treue Hülfe bei der Correctur, und wenn er auch auf 
den Plan und die Ausführung meines Werkes keinen Einfluss 
ausgeübt hat, so möchte ich doch nicht unerwähnt lassen, dass 
ich schon vor vielen Jahren durch ein Heft einer Vorlesung, die 
er im Winter 1857/58 in Göttingen über höhere Algebra, ins- 
besondere über die Theorie von Galois gehalten hat, ein noch 
lebhafteres Interesse für diese Theorie gewonnen habe, die vordem 
auf unseren Hochschulen in solcher Vollständigkeit wohl noch 
nicht vorgetragen war. 

Auch der mannigfachen Anregung und Belehrung habe ich 
hier zu gedenken, die ich meinem Freunde und Collegen F. Klein 
verdanke, der das Fortschreiten der Arbeit mit regstem Interesse 
begleitet hat und dessen sachkundiger, stets bereitwilligst ge- 
gebener Rath in manchen Theilen des Buches von grossem Einfluss 
gewesen ist. 

Ich kann hier nicht alle Fachgenossen und Freunde namhaft 
machen, die mich durch ihren Rath unterstützt haben, wie der 
Leser an den betreffenden Stellen finden wird. Aber der Herren 
E. Hess in Marburg, Fr. Meyer in Clausthal, R. Fr icke in 
Brauuschweig, die durch kundige und sorgfältige Ausführung 
der mühevollen Correctur der Druckbogen Genauigkeit und 
Richtigkeit des Textes gefördert haben, muss ich hier noch 
gedenken. 

Endlich gilt mein Dank der Verlagsbuchhandlung, die durch 
bereitwilliges Eingehen auf meine Wünsche, durch Sorgfalt in 
Druck und Ausstattung wesentlich zum Gelingen des Ganzen 
beigetragen hat. 

Göttingen, im November 1894. 

Der Verfasser. 



VORWORT ZUR ZWEITEN AUFLAGE. 



J_yas Lehrbuch der Algebra geht hiermit zum zweiten Male 
in die Oeffentlichkeit. Plan und Gang der ersten Auflage sind 
durchweg beibehalten. Trotzdem ist das ganze Gebiet wiederholt 
durchgearbeitet, und manches Neue ist hinzugenommen, theils zur 
Berichtigung einzelner Irrthümer oder zur Erhöhung der Klarheit 
und Verständlichkeit, theils um durch Berücksichtigung neuer 
Arbeiten der Vollständigkeit näher zu kommen. Eine wesentliche 
Erweiterung hat die Theorie der Elimination im vierten Abschnitt 
gefunden. 

Es ist mir abermals eine erfreuliche Pflicht, den zahlreichen 
Freunden des Buches, die mich durch Mittheilungen in der Neu- 
bearbeitung unterstützt haben, meinen Dank zu sagen. Ausser 
den in der Vorrede der ersten Auflage Genannten gilt dieser 
Dank vorzugsweise den Herren Hensel, Frobenius, Netto, 
sowie einem unbekannten Freunde und sorgfältigen Leser des 
Buches. 

Strassburg, im Januar 1898. 

Der Verfasser. 



INHALT DES ERSTEN BANDES. 



Seite 

Einleitung 1 

Erstes Buch. 
Die Grundlagen. 

Erster Abschnitt. 
Rationale Functionen. 

§. 1. Ganze Functionen 25 

§. 2. Ein Satz von Gauss 27 

§. 3. Division 30 

§. 4. Theilung durch eine lineare Function 32 

§. 5. Gebrochene Functionen; Theilbarkeit 34 

§. 6. Grösster gemeinschaftlicher Theiler 37 

§. 7. Producte linearer Factoren 41 

§. 8. Der binomische Lehrsatz 45 

§. 9. Interpolation 47 

§. 10. Lösung des Interpolationsproblems durch die Differenzen ... 49 

§. IL Arithmetische Reihen höherer Ordnung 50 

§. 12. Der polynomische Lehrsatz 53 

i^. 13. Derivirte Functionen 54 

§. 14. Derivirte eines Productes 57 

§. 15. Partialbrüche 59 

§. 16. Entwickelung einer gebrochenen Function nach fallenden Potenzen 

der Variablen 62 

§. 17. Ganze Functionen mehrerer Veränderlichen: Formen 64 

§. 18. Die Derivirten von Functionen mehrerer Variablen 67 

{5. 19. Das Euler'sche Theorem über homogene Functionen 70 

§. 20. Zerlegbare und unzerlegbare Functionen 71 

Zweiter Abschnitt. 

Determinanten. 

§. 21. Permutationen von n Elementen 78 

§. 22. Perrautationen erster und zweiter Art 79 

§. 23. Determinanten 82 



§• 


25. 


§• 


26. 


§• 


27. 


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28. 


?j. 


29. 


§• 


30. 


>;. 


31. 


§• 


32. 



X Inhalt des ersten Bandes. 

Seite 

§. 24. Hauptsätze über Determinanten 84 

Unterdeterminanten 86 

Die Unterdeterminanten im weiteren Sinne 91 

Lineare homogene Gleichungen 96 

Elimination aus linearen Gleichungen 102 

Unhomogene lineare Gleichungen 104 

Multiplikation von Determinanten 108 

Determinanten der Unterdeterminanten 113 

Determinantensatz von Sylvester 115 

Dritter Abschnitt. 

Die Wurzeln algebraischer Gleichungen. 

§. 33. Begriff der Wurzeln. Mehrfache Wurzeln 117 

§. 34. Stetigkeit ganzer Functionen 119 

§. 35. Yorzeichenwechsel von f{x). Wurzeln von Gleichungen un- 
geraden Grades und von reinen Gleichungen 123 

§. .36. Lösung reiner Gleichungen durch trigonometrische Functionen 127 

§. 37. Befreiung einer Gleichung vom zweiten Gliede 130 

§. 38. Cubische Gleichungen. Gar dänische Formel 132 

§. 39. Der Gay ley' sehe Ausdruck der Car danischen I'ormel . . . 134 

§. 40. Die biquadratische Gleichung 135 

§. 41. Beweis des P'undamentalsatzes der Algebra 137 

§. 42. Algorithmus zur Berechnung der AVurzeln 143 

§. 43. Zahlenwerthe ganzer Functionen 147 

§. 44. Stetigkeit der Wurzeln 148 



Vierter Abschnitt. 
Symmetrische Functionen. 

§. 45. Begriff der symmetrischen Functionen. Symmetrische Grund- 

functionen 154 

' §. 46. Die Potenzsummen 156 

§. 47. Beweis des Hauptsatzes für zwei Variable 160 

§. 48. Allgemeiner Beweis des Hauptsatzes 161 

§. 49. Zweiter Beweis des Satzes von den symmetrischen Functionen 163 

§. 50. Discriminanten 167 

§. 51. Kennzeichen für die Anzahl der verschiedenen Wurzeln . . . 170 

§. 52. Discriminanten der Formen dritter und vierter Ordnung ... 172 

§. 53. Resultanten 175 

§. 54. Bestimmung der gemeinschaftlichen Factoren 179 

ij. 55. Elimination. Theorem von Bezout 185 

§. 56. Elimination aus drei Gleichungen 190 

§. 57. Grad und Gewicht der Resultanten. Das Theoi'em von Bezout 193 

§. 58. Tschirnhausen-Transformation 199 

vj. 59. Anwendung auf die cubischen uud biquadratischeu Gleichungen 202 

§. 60. Die Tschirnhausen -Transformation der Gleichung 5ten Grades 204 



Inhalt des ersten Bandes. XI 

Seite 

Fünfter Abschnitt. 
Lineare Transformation. Invarianten. 

§. 61. Einführung der linearen Transformation 207 

§. 62. Quadratische Formen 208 

§. 63. Transformation der quadratischen Formen iu eine Summe von 

Quadraten 210 

§. 64. Trägheitsgesetz der quadratischen Formen 212 

§. 65. Transformation von Formen «te" Grades 214 

§. 66. Invarianten und Covarianten 216 

§. 67. Lineare Transformation der binären Formen 219 

§. 68. Binäre cubische Formen 223 

§. 69. Das volle Formensystem der binären cubischen Form 226 

§. 70. Biquadratische Formen 229 

§. 71. Auflösung der biquadratischen Gleichung 231 

§. 72. Die Covarianten 233 

§. 73. Das volle Invariantensystem der binären biquadratischen Form 236 

Sechster Abschnitt. 

Tschirnhausen-Transformation. 

§. 74. Die Hermite'sche Form der Tschirnhausen -Transformation . 240 

§. 75. Invarianteneigenschaft der Tschirnhausen -Transformation . . . 242 

§. 76. Ausführungen über den Hermite'schen Satz 245 

^. 77. Transformation der culnschen Gleichung 248 

§. 78. Allgemeine Ausführung der Transformation 253 

^. 79. Die Bezoutiante 255 

§. 80. Transformation der Gleichung fünften Grades 260 

§. 81. Normalform der Gleichung fünften Grades 263 

Zweites Buch. 
Die Wurzeln, 

Siebenter Abschnitt. 

Realität der Wurzeln. 

§. 82. Allgemeines über Realität von Gleichungswurzeln und über 

Discriminanten 271 

§. 83. Discussion der quadratischen und cubischen Gleichung .... 273 

§. 84. Discussion der biquadratischen Gleichung 276 

§. 85. Die Bezoutiante und ihre Bedeutung für die Wurzelreahtät . . 281 

§. 86. Die Trägheit der Formen zweiten Grades 284 

55. 87. Quadratische Formen mit verschwindender Determinante . . . 287 

sj. 88. Quadratische Formen mit nicht verschwindender Determinante 290 

§, 89. Anzahl der positiven und negativen Quadrate 291 

{}. 90. Anwendung auf die Bezoutiante 296 



§• 


91. 


sj. 


92. 


?;. 


93. 


§• 


94. 


55- 


95. 


§. 


96. 


§• 


97. 


§. 


98. 


§• 


99. 


j;. 


100. 


S- 


101. 


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102. 


§■ 


103. 


§• 


104. 


§. 


105. 


§• 


lOG. 



XII Inhalt des ersten Bandes. 

Seite 

Achter Abschnitt. 
Der Sturm'sche Lehrsatz. 

Das Sturm'sche Problem 301 

Die Sturm'schen Ketten 302 

Erstes Beispiel: Kngelfunctionen 304 

Zweites Beispiel 307 

Die Sturm'schen Functionen 311 

Hermite's Lösung des Sturm'schen Problems 313 

Bestimmung der Hermite'schen Form H 314 

Die Determinante der Hermite'schen Form . 316 

Formulirung der Aufgabe durch Hurwitz 318 

Grundzüge der Charakteiistikentheorie 323 

Charakteristik eines Systems von drei Functionen 325 

Beziehung der Charakteristik zu den Schnittpunkten 327 

Anwendung der Charakteristiken auf die Eingrenzung der 

complexen Wurzeln einer Gleichung 329 

Bestimmung der Charakteristik 331 

Gauss' erster beweis des P'undamentalsatzes der Algebra . . 333 

Der Satz von Hurwitz 335 

Neunter Abschnitt. 
Absehätzung der Wurzeln. 

Das Budan-Fourier'sche Theorem 341 

Die Newton'sche Regel 345 

Der Cartesische Lehrsatz 350 

Das Jacobi'sche Kriterium 353 

Kleins geometrische Yergleichung der verschiedenen Kriterien 354 

Bestimmung einer oberen Grenze für die Wurzeln 358 

Abschätzung der imaginären Wurzeln 360 

Das Theorem von Rolle 361 

Die Sätze von Laguerre für Gleichungen mit nur reellen 

Wurzeln 364 

Zehnter Abschnitt. 

Genäherte Berechnung der Wurzeln. 

Interpolation. Regula falsi 372 

Die Newton'sche Näherungsmethode 376 

Die Näherungsmethode von Daniel Bernoulli und ver- 
wandte Methodea 383 

Die Näherungsmethode von Gräffe 386 

Trigonometrische Auflösung cuV)ischer Gleichungen 391 

Die Gauss' sehe Methode der Auflösung trinomischer Glei- 
chungen 393 

Berechnung der imaginären Wurzeln einer trinomischen 

Gleichung 397 



§• 


107. 


S- 


108. 


§. 


109. 


>;. 


110. 


^• 


111. 


§• 


112. 


i^- 


113. 


§. 


114. 


§• 


115. 



§• 


116. 


§• 


117. 


§. 


118. 


§. 


119. 


§• 


120. 


§• 


121. 


§• 


122. 



Inlialt des ersten Bandes. XIII 

Seite 

Elfter Abschnitt. 

Kettenbrüehe. 

§. 123. Verwandlung rationaler Brüche in Kettenbrüche 400 

§. 124. Kettenbruchentwickelung irrationaler Zahlen 403 

§. 125. Die Näherungsbrüche 404 

§. 126, Lösung unbestimmter Gleichungen mit zwei Unbekannten . . 407 

§. 127. Convergenz der Näherungsbrüche 411 

§. 128. Aequivalente Zahlen 413 

§. 129. Entwickelung äquivalenter Zahlen in Kettenbrüche 417 

§. 130. Quadratische Irrationalzahlen 419 

§. 131. Reducirte Zahlen mit negativer Discriminante 423 

§. 132. Reducirte Zahlen mit positiver Discriminante 427 

§. 133. Entwickelung reeller quadratischer Irrationalzahlen in Ketten- 
brüche 429 

§. 134. Beispiele 435 

§. 135. Die PelTsche Gleichung 438 

§. 136. Ableitung aller Lösungen der Pell 'sehen Gleichung aus der 

kleinsten positiven 442 

§. 137. Genäherte Berechnung der reellen Wurzeln einer numerischen 

Gleichung durch Kettenbrüche 445 

§. 138. Rationale Wurzeln ganzzahliger Gleichungen. Reducible 

Gleichungen 447 

Zwölfter Abschnitt. 
Theorie der Einlieitswurzeln. 

§. 139. Die Einheitswurzelu 452 

§. 140. Primitive Einheitswurzeln 455 

§. 141. Gleichungen für die primitiven Einheitswurzeln Ht<=i Grades . 458 

§. 142. * Die Discriminante der Kreistheiluugsgleichung 462 

§. 143. Primitive Congruenzwurzeln 466 

§. 144. Multiplikation und Theilung der trigonometrischen Functionen 474 

§. 145. Vorzeichenbestimmung. Quadratische Reste 480 



Drittes Buch. 
Algebraische Grössen. 

Dreizehnter Abschnitt. 
Die Galoissche Theorie. 

§. 146. Der Körperbegriff 491 

§. 147. Adjunction ^^^ 

§. 148. Functionen in einem Körper 494 

§. 149. Algebraische Körper 497 

§. 150. Gleichzeitige Adjunction mehrerer algebraischer Grössen ... 499 



XIV Inhalt des ersten Bandes. 

Seite 

§. 151. Primitive und imprimitive Körper 501 

§. 152. Normalkörper. Galois'sche Resolvente 505 

§. 153. Die Substitutionen eines Normalkörpers 508 

§. 154. Zusammensetzung der Substitutionen 511 

§. 155. Permutatiousgruppen 513 

§. 156. Galois'sche Gruppe 517 

§. 157. Transitive und intransitive (iruppen 523 

§. 158. Primitive und imprimitive Gruppen 524 

Vierzelmter Abschnitt. 

Anwendung der Permutationsgruppen auf 
Gleichungen. 

§. 159. Wirkung der Permutationsgruppen auf Functionen von un- 
abhängigen Veränderlichen 529 

§. 160. Zerlegung von Permutationen in Transposition und in Cyklen 533 

§. 161. Divisoren der Gruppen, Xebengruppeu und conjugirte Gruppen 542 
§. 162. Reduction der Galois'schen Resolvente durch Adjunction. 

Normaltheiler einer Gruppe 548 

§. 163. Die Gruppe der Resolventen 553 

§. 164. Reduction der Galois'schen Gruppe durch Adjunction belie- 
biger Irrationalitäten 555 

§. 1G5. Imprimitive Gruppen 558 

Fünfzehnter Abschnitt. 

Cyklisehe Gleichungen. 

§. 166. Cubische Gleichungen 564 

§. 167. Permutationsgruppen von vier Elementen 566 

§. 168. Auflösung der biquadratischen Gleichungen 570 

§. 169. Abel'sche Gleichungen . . .• 575 

§. 170. Reduction der Abel' sehen Gleichuugen auf cyklisehe .... 579 

§. 171. Resolventen von Lagrange 584 

§. 172. Auflösung der cvklischen Gleichungen 588 

§. 173. Theilung des Winkels 593 

Sechzehnter Abschnitt. 

Kreis theilung, 

§. 174. Irreducibilität der Kreistheilungsgleichung 596-, 

§. 175. Die Kreistheilungsperioden und die Periodengleichungen . . . 601 
§. 176. Gauss' sehe Methode zur Berechnung der Resolventen .... 606 
§. 177. Zurückführung der Kreistheilungsgleichung auf reine Glei- 
chungen 610 

§. 178. Eigenschaften der Zahlen »/< 617 

§. 179. Die Gauss' sehen Summen 621 

§. 180. Die Perioden von VsC» — 1) und \^(n — ]) Gliedern 628 

§. 181. Die complexen Zahlen von Gauss 635 

§. 182. Der Körper der dritten Eiuheitswurzeln 641 



Inhalt des ersten Bandes. XV 

Seite 

Siebzelinter Abschnitt. 

Algebraische Auflösung von Gleichlingen, 

§. 183. Reduction der Gruppe durch reine Gleichungen 644 

§. 184. Metacyklische Gleichungen 646 

§. 185. Einfachheit der alternirendcn Gruppe 649 

§. 186. Xichtmetacyklische Gleichungen im Körper der rationalen 

Zahlen 652 

§. 187. Auflösung durch reelle Eadicale 655 

§. 188. Metacyklische Gleichungen von Primzahlgrad 658 

§. 189. Anwendung auf die metacyklischen Gleichungen Sten Grades . 670 

§. 190. Die Gruppe der Resolvente 676 

Achtzehnter Abschnitt. 
Wurzeln metacyklischer Gleichungen. 

§. 191. Stellung der Aufgabe. Hülfssatz 680 

§. 192. Sätze über die Resolventen 683 

§. 193. Wurzeln metacyklischer Gleichungen 688 

§. 194. Befreiung von den beschränkenden Voraussetzungen 691 

§. 195. Realitätsverhältnisse 697 

§. 196. Metacyklische Gleichungen 5ten Grades 698 



EI^LEITU^^G. 



Wir setzen bei unseren Betrachtungen die natürlichen 
Zahlen 1, 2, 3 . . . und die Regeln, nach denen mit diesen 
Zahlen gerechnet wird, als bekannt und gegeben voraus. Die 
fundamentalen Rechenarten, die sogenannten vier Species, sind 
die Addition, die Multiplication, zu der als Wiederholung 
das Potenziren gehört, die Subtraction und die Division. 
Die beiden ersten heissen die directen Rechenoperationen; sie 
sind dadurch ausgezeichnet, dass sie im Reiche der natürlichen 
Zahlen unbegrenzt ausgeführt werden können. Die erste der 
indirecten oder inversen Operationen, die Subtraction, lässt sich 
nur dann ausführen, wenn der Minuend grösser ist als der Sub- 
trahend. 

Die Aufgabe der Division kann man auf zwei Arten auf- 
fassen. Bei der ersten elementaren Auffassung wird gefragt, wie 
oft der Divisor im Dividenden enthalten ist. Eine Zahl ist 
nicht in einer kleineren enthalten. Ist aber der Dividend gleich 
oder grösser als der Divisor, so giebt die Beantwortung der 
Frage einen Quotienten und in den meisten Fällen einen Rest, 
der kleiner als der Divisor ist. Wenn kein Rest bleibt, so sagt 
man, die Division geht auf, oder der Dividend ist durch 
den Divisor theilbar, oder der Divisor ist ein Factor oder 
Theiler der Zahl, die den Dividenden bildet. 

Diese Aufgabe, die sich schon auf den ersten Stufen der 
Rechenkunst einstellt, führt zu einer tiefer liegenden Unter- 
scheidung der Zahlen, die das Fundament aller Zahlentheorie ist. 

Da ein Factor nie grösser sein kann als die Zahl, deren 
Factor sie ist, so hat jede Zahl nur eine endliche Anzahl von 
Factoren. Jede Zahl ist durch 1 und durch sich selbst theilbar, 
und eine Zahl, die sonst keinen Theiler hat, heisst eine Prim- 
zahl. Die Zahl 1 selbst pflegt man aus Zweckmässigkeitsgründen 

Weber, Algebra. I. 1 



2 Einleitung. 

nicht als Primzahl zu bezeichnen. Sind zwei Zahlen durch eine 
dritte theilbar, so ist auch die Summe und die Differenz der 
beiden ersten durch die dritte theilbar; und ist eine Zahl durch 
eine zweite, diese durch eine dritte theilbar, so ist auch die erste 
durch die dritte theilbar. 

Zwei Zahlen haben immer den gemeinsamen Theiler 1. Wenn 
sie keinen anderen gemeinsamen Theiler haben, wie z. B. die 
Zahlenpaare 5 und 7 oder 21 und 38, so heissen die beiden Zahlen 
relative Primzahlen oder auch theilerfremde Zahlen. 

Unter den gemeinsamen Theilern von irgend zwei gegebenen 
Zahlen wird einer der grösste sein, und es ist eine sehr wichtige 
Aufgabe, diesen grössten gemeinschaftlichen Theiler zu finden. 
Dazu führt ein Verfahren, das unter dem Namen Algorithmus 
des grössten gemeinschaftlichen Theilers bekannt ist, 
und sich schon bei Euklid^) findet. 

Sind a, «i die beiden Zahlen, so nehme man die grössere 
von ihnen, die a sei, als Dividenden, die kleinere «j als Divisor, 
und bestimme den Quotienten gi ; und wenn die Division nicht 
aufgeht, den Rest a^^ also a = q^ ciy -|- «2? so dass a, <C «i ist. 
Jeder gemeinschaftliche Theiler von a und a^ ist dann auch ge- 
meinschaftlicher Theiler von a^ und «2 ^^nd umgekehrt. Verfälirt 
man mit aj, a^ ebenso wie mit a und a^ und setzt, wenn die Division 
nicht aufgeht, a^ = q-^ a.^ -\- %, so ist wieder a^ <; «21 ^i^d jeder 
gemeinschaftlicbe Theiler von a^ und a-i ist auch gemeinschaft- 
licher Theiler von a, und n. und umgekehrt. Fährt man auf 
diese Weise fort zu dividiren, so muss, da die Zahlen a^ax-a^^a^ ... 
immer abnehmen, nothwendiger Weise die Division nach einer 
endlichen Anzahl von Schritten aufgehen, und es muss also zuletzt 
ein Paar von Gleichungen a,-2 = ^v-i «v-i + a,., a^-\ = qvdv 
auftreten. Dann ist a» ein gemeinschaftlicher Theiler aller vor- 
ausgehenden rt, also auch von a und «i , und jeder gemein- 
schaftliche Theiler von a und «i ist Theiler von «>.. Also ist 
ttv der grösste gemeinschaftliche Theiler von a und cti, 
und wir sind zugleich zu dem Satze gelangt, dass jeder gemein- 
schaftliche Theiler zweier Zahlen in ihrem grössten gemein- 
schaftlichen Theiler aufgehen muss. 

Sind a und «i relative Primzahlen, so ist der letzte Divisor 
a» = 1. Multiplicirt man unter dieser Voraussetzung die vor- 



ij Elemente, Buch VIL'II, Bd. II der Heiberg'schen Ausgabe (Leipzig^ 
Teubner, 1883). 



Zerlegung in Primzahlen. 3 

stehenden Gleichungen mit irgend einer Zahl &, so folgt, dass 
h der grösste gemeinschaftliche Theiler von ah und a^h ist, und 
dass also jeder gemeinschaftliche Theiler von ah und «j oder 
von a und a^ h Theiler von h sein muss. Ist also a^ relativ 
prim zu a und zu h, so ist es auch relativ prim zu ah, und aus 
der speciellen Annahme, dass a^ eine Primzahl sei, ergiebt sich, 
dass ein Product nur dann durch eine Primzahl theilbar sein 
kann, wenn wenigstens einer der Factoren durch sie theilbar ist. 

Ist also das Product ah durch a^ theilbar und ist a^ relativ 
prim zu a, so muss h durch «^ theilbar sein. 

Sind a, h irgend zwei Zahlen mit dem grössten gemeinschaft- 
lichen Theiler d und ist a = d o', h ::= d h\ so sind a' und h' 
relativ prim zu einander. Jede Zahl m, die zugleich ein Viel- 
faches von a und von h ist, hat die Form m = am' = da' m' 
und darin muss a' m' ein Vielfaches von h' sein, also muss auch 
7n' ein Vielfaches von h' sein, d. h. jede Zahl, die zugleich ein 
Vielfaches von a und von h ist, ist durch a'h'd theilbar. Diese 
Zahl a'h'd, die selbst ein gemeinschaftliches Vielfaches von a 
und h ist, heisst daher das kleinste gemeinschaftliche Viel- 
fache von a und h. 

Wenn eine Zahl durch zwei relative Primzahlen theilbar ist, 
so ist sie auch durch ihr Product theilbar. und wenn also eine 
Zahl m durch mehrere Zahlen theilbar ist, von denen je zwei zu 
einander relativ prim sind, so ist sie auch durch das Product 
aller dieser Zahlen theilbar. 

Jede Zahl m, mit Ausnahme von 1, ist durch eine Primzahl 
theilbar. Denn ist m nicht selbst eine Primzahl, so hat m einen 
von 1 verschiedenen Theiler wi', der kleiner als m ist. Ist m' 
auch keine Primzahl, so hat es einen kleineren Theiler m", der 
grösser als 1 ist, und der auch Theiler von m ist, u. s. f., und 
so gelangt man auf einen Primzahltheiler von ni. 

Eine Potenz a" einer Primzahl a kann durch keine von a 
verschiedene Primzahl h theilbar sein, weil eben sonst a durch 
h theilbar sein müsste. Folglich kann a" keine anderen Theiler 
haben, als Potenzen von a, deren Exponent nicht grösser als « 
ist. Potenzen verschiedener Primzahlen, wie a", &.^, sind daher 
stets relativ prim. 

Hierauf gründet sich der Beweis des wichtigen Satzes, dass 
eine Zahl m immer und nur auf eine einzige Weise als ein 

1* 



4 Einleitung. 

Prodiict von Primzahlen dargestellt werden kann. Denn da der 
Theiler nicht grösser sein kann als der Dividend, so kann m 
sicher nur durch eine endliche Anzahl von Primzahlen theilbar 
sein. Ist a eine von diesen Primzahlen und a" die höchste Potenz 
von a, die in m aufgeht, so ist auch « eine bestimmte Zahl. Es 
seien nun ebenso 6^, c^ . . . die höchsten Potenzen der übrigen in 
m aufgehenden Primzahlen b. c . . ., durch die sich m theilen lässt, 
dann muss. da je zwei der Zahlen a", h\ C'' . . . relativ prim 
sind , m auch durch das Product a" h^ & . . . theilbar sein , und 
es muss m diesem Product e gleich sein, da sonst noch eine andere 
Primzahl oder eine höhere Potenz einer der Primzahlen o, &, c . . , 
in m aufgehen müsste. 

Wir geben nun einen Ueberblick über die in der Mathe- 
matik nothwendigen und allmählich eingeführten Erweiterungen 
des Zahlenbegriffes. 

Wir verstehen unter einer Mannigfaltigkeit oder Menge, 
oder dem abkürzenden Zeichen 50^ ein System von Objecten oder 
Elementen irgend welcher Art, das so in sich abgegrenzt und 
vollendet ist, dass von jedem beliebigen Object vollkommen be- 
stimmt ist, ob es zu dem System gehört oder nicht, gleichviel, 
ob wir im Stande sind, in jedem besonderen Falle die Ent- 
scheidung wirklich zu treffen oder nicht. 

Eine Menge heisst geordnet, wenn von irgend zwei unter- 
schiedenen ihrer Elemente immer ein in sich vollkommen be- 
stimmtes als das grössere gilt, und zwar so, dass aus a >> &, 
6 >. c stets « >> c folgt. Ist a >> 6 und & >> c oder rt >> & >> c, 
so sagen wir, dass & zwischen a und c liegt. 

Die natürlichen Zahlen bilden eine geordnete Menge; zwischen 
zwei auf einander folgenden ihrer Elemente liegt kein weiteres 
Element. Eine solche Mannigfaltigkeit heisst eine discrete. 
Eine geordnete ^lenge von der Eigenschaft, dass zwischen je 
zwei Elementen immer noch andere Elemente gefunden werden, 
heisst dicht. Eine dichte Menge kann man bilden, wenn man 
die natürlichen Zahlen in Paaren zusammenfasst, und diese Paare 
als Elemente einer Menge auffasst. Diese Paare sollen Brüche 

genannt und mit m : n oder — bezeichnet werden, und zwei solche 

Brüche m:ii und m' -.n' werden einander gleich gesetzt, wenn 
m n' = n m' ist. Fasst man alle unter einander gleichen Brüche 



Schnitte. 5 

ZU einem Element zusammen, so erhält man eine Mannigfaltig- 
keit, die geordnet ist, wenn man noch festsetzt, dass m : n grösser 
als m' : n' ist, wenn m n' >> n m' ist. Dass diese Mannigfaltigkeit 
dicht ist, sieht man so ein: sind |u. = w* : w, |u,' = m' : n' zwei 
Brüche und /x >> fi', so kann man, wenn h eine willkürliche 
Zahl ist, 

limn' , hm! n 

^ hnn'^ hnn' 

setzen, und darin ist hmn' >> hm' n. Man kann h immer so 
annehmen, dass zwischen hmn' und hm' n noch Zahlen liegen, 
und wenn ^j eine solche Zahl ist, so liegt p : hnn' zwischen ^ 
und fi'. 

Die Punkte einer geraden Linie kann man auch als eine 
geordnete Menge auffassen, wenn man unter grösser und kleiner 
irgend eine Ortsbeziehung, z. B. weiter rechts und weiter links 
oder höher und tiefer versteht. 



Eine Eintheilung einer geordneten Menge 5Ji in zwei Theile 
J., B der Art, dass jedes Element a von A kleiner ist als jedes 
Element h von 7?, wird ein Schnitt in ^]li genannt und wird 
passend durch (J., B) bezeichnet. Ein solcher Schnitt entsteht, 
wenn man irgend ein Element ft von '»Dt herausgreift, alle 
kleineren Elemente zu A^ alle grösseren zu B und fi selbst nach 
Belieben zu A oder zu B rechnet. Es entstehen, genau gesagt, 
je nachdem man das eine oder das andere thut, zwei Schnitte, 
die wir aber immer als gleich betrachten wollen. Wenn in einem 
Schnitt fJ., B) entweder A ein grösstes oder B ein kleinstes 
Element ju- enthält, so sagen wir, dass ^ den Schnitt (J., B) er- 
zeugt. Es kann aber auch der Fall vorkommen, dass weder A 
ein grösstes noch B ein kleinstes Element besitzt. 

Wenn jeder Schnitt in einer dichten Menge durch 
ein bestimmtes Element ft erzeugt wird, so heisst die 
Menge stetig. 

Stetigkeit sowohl als Dichtigkeit sind Eigenschaften, die der 
Natur der Sache nach unserer Sinneswahrnehmung unzugänglich 
sind; sie lassen sich daher auch an Dingen der Aussenwelt, an 
Raumgrössen, Zeiträumen, Massen, niemals mit Strenge nach- 
weisen, wie sehr sie uns auch im Wesen unserer Anschauung 
zu liegen scheinen. Es lassen sich aber sehr wohl reine Begriffs- 



6 Einleitung. 

Systeme construiren , denen die Dichtigkeit ohne die Stetigkeit 
oder auch Dichtigkeit und Stetigkeit zukommen i). 

Ein Beispiel einer dichten Menge bieten die rationalen 
Brüche. Diese Mannigfaltigkeit, die wir mit 9i bezeichnen wollen, 
ist keine stetige. Denn nehmen wir irgend einen rationalen 
Bruch ^ = m : n^ worin m und n keinen gemeinschaftlichen 
Theiler haben und nicht beide Quadratzahlen sind, so ist ^ nicht 
das Quadrat eines rationalen Bruches. Denn wäre [i = p- : q'^, 
so würde niq^ = np- folgen, und daraus, wenn auch p und q 
ohne gemeinschaftlichen Theiler angenommen werden , m = p"^, 
n ^= g^ was durch die Voraussetzung ausgeschlossen ist. Wenn 
wir also einen Schnitt (J., B) in der Mannigfaltigkeit 9i bilden, 
indem wir jedes Element a von 5R zu A rechnen, dessen Quadrat 
kleiner als ft ist, und jedes Element 6 zu jB, dessen Quadrat 
grösser als ^ ist, so ist weder in A ein grösstes noch in B ein 
kleinstes Element enthalten, und der Schnitt (J., B) wird nicht 
durch ein Element in 9t erzeugt. 

Denn angenommen, es sei a=p : q irgend ein Element in 
A^ also p- : q- <Z m : n oder np)- <C mq-\ dann nehmen wir 
eine natürliche Zahl y beliebig und wählen eine andere natür- 
liche Zahl X so, dass x '^ y und x (mq^ — np^) > ny (2 p + ^)i 
woraus folgt: 

x^ (mq-^ — np-) ^ nxy {2p + 1) > w (2p xy + y-), 

also auch 

mq^x^ >> n(px -\- y)^. 

Setzen wir also a' =: (p x -\- y) : q x^ so ist a' >> a und a' - •< ft, 
also a' auch in A enthalten; und ebenso kann man zeigen, dass 
es in B kein kleinstes Element giebt. 

Die Mannigfaltigkeit 9i kann uns aber als Ausgangspunkt 
dienen, um eine stetige Menge zu construiren. Die Gesammtheit 
aller Schnitte in 9i ist gewiss eine Mannigfaltigkeit, die mit S 
bezeichnet sein mag. Betrachten wir zwei verschiedene ihrer 
Elemente a = (A, B), u' — (A'. B'), so wird entweder A ein 
Theil von A! oder A ein Theil von A sein. Denn wenn irgend 



1) Dies ist von Dedekind nachgewiesen, dem wir überhaupt die 
oben gegebene Definition der Stetigkeit verdanken. Vgl. die Schriften von 
Dedekind, „Stetigkeit und irrationale Zahlen", Braunschweig 1872, 1892. 
„Was sind und was sollen die Zahlen?", Braunschweig 1888, 1893. Andere 
Mannigfaltigkeiten, denen die Stetigkeit zukommt, sind von Weierstrass 
und G. Cantor gebildet. 



Stetigkeit. 7 

ein Element a zm A gehört, so gehört auch jedes kleinere Ele- 
ment von IR zu A. Ist A ein Theil von A', so wollen wir a 
kleiner als a nennen, und dadurch ist die Menge © zu einer 
geordneten geworden. 

Sehen wir die durch die rationalen Brüche erzeugten Schnitte 
als gleichwerthig mit diesen rationalen Brüchen selbst an und 
nennen sie kurz rationale Schnitte, so enthält die Menge @ die 
Menge 9t, und 'B ist also jedenfalls eine dichte Menge. Die 
Menge <B ist aber auch stetig; denn bezeichnen wir die Theile 
von <B durch die grossen deutschen Buchstaben 5(, 23 . . . und be- 
trachten irgend einen Schnitt (% S) in der Mannigfaltigkeit der 
Schnitte, so können wir ein Element in <B bestimmen, oc = (A^ B), 
indem wir in A jeden rationalen Bruch aufnehmen, der einen der 
Schnitte von ^I erzeugt, und alle anderen rationalen Brüche, die 
also die rationalen Schnitte in S erzeugen, nach B werfen. 
Dieser Schnitt a in 9t erzeugt den Schnitt {% S) in ©. Dies 
wird nachgewiesen sein, wenn gezeigt ist, dass jedes Element a' 
in ©, was kleiner ist als «, zu ^ gehört, und jedes Element ß 
in <B, was grösser ist als oc, zu 58. 

Sei also «' = (A', B') und «'■<«, dann giebt es rationale 
Brüche in A, die nicht in A' enthalten sind; es giebt also ein 
rationales ft, so dass «' <; |u << a, und dieses ^ erzeugt einen 
Schnitt, der in % enthalten ist, gehört also selbst zu 51; da a' 
<C f* ist, so gehört auch «' zu %. Ganz ebenso zeigt man, dass 
jedes ß\ das grösser als a ist, zu 58 gehört, und damit ist die 
Stetigkeit von <B nachgewiesen. 

Diese sehr abstracte Betrachtungsweise giebt uns die Sicher- 
heit, dass die Annahme einer stetigen Menge keinen Widerspruch 
enthält, dass solche Mengen wenigstens im Reiche der Gedanken 
existiren. Die Geometrie wie die Analysis, die immer gern an 
die geometrische Anschauung anknüpft, hat lange stillschweigend 
die Existenz stetiger Mengen, z. B. bei den Punkten einer ge- 
raden Linie oder irgend eines anderen zusammenhängenden 
Linienzuges, als eine Art von Axiom angenommen. Auch der 
Unterschied zwischen dichter und stetiger Menge, der der Unter- 
scheidung commensurabler und incommensurabler Strecken zu 
Grunde liegt, ist den Alten nicht entgangen 1). 



1) Euklid, Elemente, Buch X. 



8 Einleitung. 

Auch wir wollen in der Folge nicht auf das Hülfsmittel der 
geometrischen Anschauung verzichten, und z. B. die Punkte einer 
geraden Linie unbedenklich als eine stetige Menge betrachten. 



Eine geordnete Menge üJi heisst messbar unter folgenden 
Voraussetzungen: Addition und Vervielfältigung sind in "OJi all- 
gemein ausführbar, ebenso Subtraction eines kleineren von einem 
grösseren Element, d. h. aus irgend zwei Elementen a, b (die 
auch identisch sein können) kann nach einer bestimmten Vor- 
schrift ein neues Element, a -\- b, von 9J^ abgeleitet werden, so 
dass a -\- b grösser als a und als b ist, und dass die bekannten, 
in den Formeln a -^ b ^= b -\- a, (a -\- b) -\- c = a -\- {b -\- c) 
ausgedrückten Regeln der Addition gelten ; und zu zwei Ele- 
menten a, c, von denen das zweite grösser ist. kann ein drittes 
Element b gefunden werden, so dass a -\- b = c ist, was auch 
durch das Zeichen der Subtraction b = c — a ausgedrückt wird. 
Zwei ungleiche Elemente von W haben also immer eine bestimmte 
Differenz. Aus diesen Voraussetzungen folgt, dass eine Summe 
grösser wird . wenn einer der Summanden sich vergrössert. Die 
\\-iederholte, etwa wi-malige Addition desselben Elementes a heisst 
Vervielfältigung und ihr Ergebniss wird mit nia bezeichnet. 

Es kommt endlich noch eine Voraussetzung hinzu, nämlich die, 
dass bei jedem gegebenen a ein hinlänglich hohes Vielfaches ma 
grösser ist, als ein beliebig gegebenes anderes Element b. Unter 
den Elementen einer messbaren Menge giebt es also kein grösstes. 

In einer dichten messbaren Menge giebt es auch kein 
kleinstes Element; denn wäre a das kleinste und b ein beliebiges 
Element, so könnten zwischen b und b -]- a keine Elemente 
liegen, weil, wenn b <^ c <Z b -^ a wäre, aus der Definition 
der Messbarkeit folgen würde, dass a' = c — b kleiner als a 
wäre. Es folgt auch umgekehrt, dass eine messbare Menge, in 
der kein kleinstes Element vorkommt, dicht ist. Denn sind a 
und a -f- & irgend zwei Elemente, so braucht man ja zu a nur 
ein Element zu addiren, was kleiner als b ist, um ein Element 
zwischen a und a -\- b zu erhalten. 

Ist eine Menge stetig, so lassen sich die Voraussetzungen 
für die Messbarkeit noch vereinfachen, weil dann die Subtraction 
eine Folge der Addition ist. Sind nämlich a und c zwei Ele- 
mente einer stetigen geordneten Menge ^)Jf, in der die Addition 



Messbare Mengen. 9 

besteht, und ist c >> a, so erhcält man einen Schnitt (Ä, B) in 
511, wenn man alle Elemente x, für die a -\- x ^ c ist, nach A, 
und für die a + a; > c ist, nach B verweist. Dieser Schnitt wird 
durch ein Element h erzeugt, für das a -\- h = c sein rauss. 

Die natürlichen Zahlen bilden nach unserer Definition eine 
messbare Menge, in der ein kleinstes Element, nämlich 1, vor- 
kommt. Die Mannigfaltigkeit der rationalen Brüche wird eben- 
falls messbar, wenn man Addition und Subtraction nach den 
bekannten Regeln der Bruchrechnung erklärt. Besonders wichtig 
und gleichsam typisch für die messbaren Mengen ist die Mannig- 
faltigkeit der geradlinigen Strecken oder Längen einer Linie, 
die einfach durch Aneinanderlegen addirt werden. Auch Stoff- 
mengen, durch die Wage verglichen, und Zeiträume, mit der Uhr 
gemessen , liefern Beispiele messbarer Mengen. Die Art des 
Messens liegt nicht in der Natur der Mannigfaltigkeit selbst, 
sondern wird durch den denkenden Beobachter hineingelegt; so 
würde es z. B. ebenso gut zulässig sein, unter der Summe a -^ b 
zweier Strecken a und h die Hypotenuse eines rechtwinkligen 
Dreiecks mit den Katheten a, h zu verstehen, statt, wie es ge- 
wöhnlich angenommen wird, die aus a und h durch Aneinander- 
legen zusammengesetzte Strecke. 

Um die stetige Menge © der Schnitte in der Mannigfaltig- 
keit der rationalen Brüche 9i zu einer messbaren zu machen, 
beachte man zunächst Folgendes. 

Ist a = {A^ B) ein Element in © und ft ein beliebig ge- 
gebener rationaler Bruch, so kann man immer ein Element a' in 
A so bestimmen, dass a' -\- [i = b' in B enthalten ist. Denn 
wählt man in J., B zwei beliebige Elemente a, h, so kann man 
die natürliche Zahl m so bestimmen, dass m^^ b — a ist, so 
dass a -}- m^ in B enthalten ist. Ist dann h die kleinste ganze 
Zahl, für die a -|- /ift in 53 enthalten ist, so ist a-\-{li — 1)^ = a' 
in A und also a' -\- ^ = h' in B enthalten. 

Wir verstehen nun unter der Summe {A^ B) -j- {A\ B') 
= (A'\ B") oder a -\- c/J := a" den Schnitt in 9t, den man erhält, 
wenn man einen rationalen Bruch a" nur dann nach A" verweist, 
wenn ein a in J. und ein a' in A' existirt von der Beschaffen- 
heit, dass a" ^ a -{- a' ist. In der That ist {A!\ B") ein Schnitt; 
denn ist a" in A" enthalten, so gilt dasselbe von jedem kleineren 
Bruch, und es giebt Brüche, die in A'\ und Brüche, die nicht in 
A" enthalten sind, nämlich die Brüche von der Form a -\- a' 



10 Einleitung. 

und h -[- h'. Es ist ferner a" grösser als a und a'. Denn A" 
enthält zunächst alle J., und wenn a' ein beliebiger Bruch in Ä 
ist, so kann man a in A so wählen, dass das Element a -\- a' 
von A" in B enthalten ist; also ist A!' umfassender als A. Die 
durch rationale Brüche fi, ft' erzeugten Schnitte ergeben durch 
Addition den durch (u- -}- ft' erzeugten Schnitt. 



Die Bedeutung dieser Definition erweist sich in folgendem Satze: 

Ist 53^ eine stetige messbare Mannigfaltigkeit, 

und 93li ein Theil von 93^, der gleichfalls stetig und 

nach der in 9Ji geltenden Ptegel messbar ist, so ist 53ii 

mit 93? identisch. 

Der Beweis ergiebt sich folgendermaassen : 

1. Ist 93li von 93i verschieden, so giebt es in Wl Elemente a, 
die kleiner sind als alle Elemente von !}3li. 

Denn sei a ein nicht in 'D3?i enthaltenes Element von W. 
Wenn es in 93?i Elemente giebt, die kleiner als a sind, so bringt 
a einen Schnitt (^i, JB-^) in 93?i hervor, den man erhält, wenn man 
alle Elemente von 93^1, die kleiner als a sind, in Ay aufnimmt, die 
anderen in B^. Dieser Schnitt muss aber wegen der voraus- 
gesetzten Stetigkeit von 93ti auch durch ein Element a^ in 93ti 
erzeugt werden, und weil 93?i ein Theil von 931 ist, so muss «i 
auch in 93? vorkommen. Wenn aber a nicht in 93?i vorkommt, 
so sind a und a^ von einander verschieden, und kein zwischen 
a und «i gelegenes Element von 93? kann zu 93?i gehören. Denn 
ist z. B. a <^ a^, und h^ ein Element von 93?i , was der Bedingung 
ci <^hi <i tti genügt, so müsste &i, weil es kleiner als a^ ist, zu 
Ai, und weil es grösser als a ist, zu B^ gehören. 

Folglich giebt es kein Element in 93?i , was kleiner ist als 
«1 — a (oder a — «J, w. z. b. w. 

2. Wir bestimmen nun einen Schnitt (J., B) in 93? so, dass 
in B alle Elemente von 93? aufgenommen werden, von denen ein 
Element in 93?i erreicht oder übertroäen wird, nach A also nur 
die Elemente «, die kleiner sind als alle Elemente von 93?i. 
Dieser Schnitt werde durch das Element a in 93? erzeugt. Ist 
dann a' irgend ein Element in 93?, und a' ^ u, so giebt es 
zwischen a und a' immer ein und folglich auch beliebig viele 
Elemente von 93?i, während es in 93?i kein Element giebt, was 
kleiner als a ist. Nimmt man nun 



Nicht messbare Mengen. H 

a' — a <C a, a <; «i << cio <; a\ 
worin a^, 02 zwei von einander verschiedene Elemente von ^Jti 
sind, so ist «3 — ai << a, und doch ist, wegen der Messbrakeit, 
die Differenz a^ — «i in 93^1 enthalten, worin ein Widerspruch liegt. 
Es giebt also in 93Z kein Element, was nicht auch in 9Jii 
enthalten wäre. 



Der zuletzt bewiesene Satz gilt nicht mehr für stetige Mengen, 
denen die Messbarkeit nicht zukommt. Um dies an einem Bei- 
spiel zu zeigen, nehmen wir die oben definirte Mannigfaltigkeit 
© der Schnitte «, und fügen noch ein mit zu bezeichnendes 
Element hinzu, welches kleiner sein soll als alle a. Diese Menge 
bezeichnen wir mit 5(i. Hierauf wird eine neue Menge ^2 con- 
struirt, die aus den Paaren f«, ß) besteht, worin a und ß je ein 
beliebiges Element aus ?Ii darstellen. Diese Elemente werden so 
geordnet, dass die kleineren a den grösseren « vorangehen, während 
bei gleichen a die Elemente mit kleineren ß vorangehen. Die 
Menge 5Io enthält hier, wenn wir u = f«, 0) annehmen, die Menge 
5(i, ohne mit ihr identisch zu sein. Die Stetigkeit kommt hier 
beiden Mengen zu, nicht aber die Messbarkeit. 

Ebenso kann man noch reichere Mengen ^^ bilden, die aus 
den Elementen (m, ß, y) bestehen, worin jedes der Zeichen a, ß, y 
die Elemente von XHj durchläuft, u. s. f. 

Ein anderes lehrreiches Beispiel einer stetigen, nicht mess- 
baren Menge erhält man, wenn man auf einer geraden Linie, 
etwa von links nach rechts auf einander folgend, drei feste Punkte 
a, b, c annimmt, und dann die Menge 53^ der Punkte dieser 
Geraden betrachtet, die links von a und rechts von c liegen, und 
den einen zwischenliegenden Punkt h hinzufügt. Hier ist sogar 
in unserer räumlichen Anschauung eine Lücke von endlicher 
Ausdehnung vorhanden i). Dass diese Menge trotzdem noch als 
eine stetige bezeichnet wird, rechtfertigt sich, wenn man die ent- 
sprechende ^Mannigfaltigkeit in der Zahlenreihe aufsucht. 

Wir greifen aus der Menge © eine Theilmenge ©1 heraus, 
indem wir alle Schnitte « < 1 und /3 > 3 und ausserdem die 
Zahl 2 in <Bi aufnehmen. 



1) Auf diese Art stetiger Mengen hat mich G. C a n t r aufmerksam 
gemacht. 



12 Einleitung. 

Die Elemente von Bi haben eine durch © bestimmte Ord- 
nung, und man kann die Elemente von (Si in völlig eindeutiger 
Weise auf die Elemente von © beziehen, so dass die Ordnung 
gewahrt bleibt. Man ordne nämlich die Elemente « << 1 in Si 
denselben Elementen in S zu, das Element 2 in <Bi dem Element 
1 in S, jedes Element /3 >> 3 in (2i dem Element ß — 2 in ©. 
Es haben dann, wenn man von © zu ©j übergeht, die Elemente 
gewissermaassen nur andere Namen erhalten. 



Wir gehen nun über zu der Definition der Verhältnisse, 
die von Alters her als Grundlage der Zahlenlehre betrachtet 
werden, und folgen dabei zunächst Euklid^). 

Wenn man die Elemente einer stetigen messbaren Menge 5Ji 
zu Paaren verbindet, und diese Paare an sich als Elemente be- 
trachtet, so entsteht eine neue Mannigfaltigkeit; wir bezeichnen 

ein solches Paar mit a : h, oder auch mit -r-, unterscheiden aber, 

wenn a und b verschiedene Elemente sind, a : b von ö : a, und 
nennen a den Zähler und b den Nenner von a : b. Diese Paare 
wollen wir Verhältnisse nennen und wollen diese neue Menge 
nun ordnen und messbar machen. 

Nehmen wir zunächst an, dass zwei ganze Zahlen >», oi exi- 
stiren, so dass na = mb wird, wie es z. B. immer der Fall ist, 
wenn «, b zwei natürliche Zahlen oder zwei commensurable 
Strecken sind; dann ist, wenn p, q zwei andere ganze Zahlen sind, 
dann und nur dann qa = pb, wenn mq = np ist. Denn aus 
na = mb folgt qua = qmb, und wenn also qa = pb ist, 
pnb =-- qmb, und folglich pn = qin. Das Zahlenpaar p^ q ist 
durch diese Forderung vollständig bestimmt, wenn noch die Be- 
dingung hinzukommt, dass p^ q relative Primzahlen sein sollen. 
Dann kann, wenn li eine beliebige ganze Zahl ist, m = hp, 
n = hq sein. In diesem Falle nennen wir das Verhältniss a : b 
ein rationales und setzen es gleich dem rationalen Bruch m : n 
oder p : q. Diese rationalen Brüche können hiemach als Ver- 
hältnisse ganzer Zahlen aufgefasst werden. 

Alle unter einander gleichen rationalen Verhältnisse bilden eine 
rationale Zahl, und die rationalen Zahlen bilden, wie die ratio- 
nalen Brüche, eine geordnete, dichte und messbare Mannigfaltigkeit. 



1) Elemente, Buch V. 



Verhältnisse. 13 

In die Mannigfaltigkeit der rationalen Zahlen ordnen sich 
die natürlichen Zahlen selbst mit ein, wenn man unter einer 
natürlichen Zahl m das Verhältniss m : 1 versteht. 

Wir kehren jetzt zu irgend einer messbaren Mannigfaltigkeit 
W zurück und nehmen aus ihr irgend zwei Elemente a und h. 
Wählt man, was immer möglich ist. zwei natürliche Zahlen m, w, 
so dass na ^ tnh, so heisst das Verhältniss a : h grösser als 
das rationale Verhältniss m : n oder 

a m 

und wenn m : n ^ p : q, so ist auch a : h ^ p : q. 
Ebenso folgt, wenn n' a <i m'h ist, 

a , m' 

Ist « : 6 >> 7W : »i, so kann man eine und folglich auch be- 
liebig viele rationale Zahlen tn^ : Wj fiaden, so dass 

ist, d. h. man kann zwischen a : b und m : n beliebig viele 

rationale Verhältnisse einschalten. Um dies zu zeigen, wähle 

man eine beliebige ganze Zahl Tc und bestimme die ganze Zahl h 

so, dass h {n a — mb) >. Je b wird, was immer möglich ist; 

dann ist 

a hin -^ Je m 

b Jm n 

Und ebenso folgt, wenn n' a <C ni' b, Ji' (m' b — w' a) > Je' a ist, 
a Ji' m' m' 

T ^ li' n' + Je' "^ »7* 

Wenn nun a : b und « : ß irgend zwei Verhältnisse sind, 
die wir der Kürze wegen auch mit e, £ bezeichnen wollen, deren 
Elemente derselben oder auch verschiedenen Mannigfaltigkeiten 
angehören, so sind zwei Fälle möglich: 1) Es liegt kein ratio- 
nales Verhältniss ^ zwischen e und £, oder 2) es liegt ein ratio- 
nales Verhältniss zwischen e und s. 

Im Falle 1) heissen die beiden Verhältnisse e und e ein- 
ander gleich, und man sieht, dass zwei Verhältnisse, die einem 
dritten gleich sind, auch unter einander gleich sind; denn ist 
e <; ft < £, so ist jedes andere Verhältniss e' entweder kleiner 
oder gleich oder grösser als ^. Ist e' gleich ^, so liegen so- 



14 Einleitung. 

wohl zwischen e und e' als zwischen e' und £ rationale Verhält- 
nisse. Ist aber e' kleiner als ft, so liegt \i zwischen e' und £, 
und ist e' grösser als ft, so liegt \i zwischen e und e'; also kann 
e' nicht zugleich gleich e und gleich a sein. 

Im Falle 2) heissen die Verhältnisse e, £ ungleich. Es 
kann also entweder «j e <; ft <; £ oder /3) e ^ /x.' >> £ sein, und 
diese beiden Fälle schliessen sich aus, weil aus e <; ^ <[■ £, 
£ << ^' folgt, dass fi << ft', und folglich e <i fi' ist. 

Die Grössenbeziehung 2 aj oder 2 ß) bleibt auch bestehen, 
wenn e oder £ durch ein ihm gleiches Element ersetzt wird. 
Denn ist a <: £ und ^ ^ s\ so liegt zwischen £ und e' ein 
rationales Verhältniss und £, a' sind nicht gleich. 

Im Falle 2 a) heisst e kleiner als £, im Falle 2 ß) heisst 
e grösser als £. 

Zwischen zwei ungleichen Verhältnissen kann man eine be- 
liebige Anzahl rationaler Verhältnisse einschieben. 

Wenn wir nun alle unter einander gleichen Verhältnisse zu- 
sammenfassen, so erhalten wir einen Gattungsbegriff, den wir als 
Zahl im allgemeinen Sinne des Wortes bezeichnen. Die Zahl ist 
also ein Name oder Zeichen für eine gewisse Mannigfaltigkeit, 
deren Elemente eben die mit einem unter ihnen gleichen Ver- 
hältnisse sind 1). Unter diesem Zahlbegriff sind die rationalen 
Verhältnisse und folglich auch die natürlichen Zahlen als die 
Verhältnisse m : 1 mit enthalten und bilden die rationalen 
Zahlen. 

Zahlen, die nicht aus rationalen Verhältnissen entspringen, 
heissen irrationale Zahlen. 

Nach dem, was bis jetzt ausgeführt ist, bilden die Zahlen 
eine geordnete Menge, und man kann ihre Ordnung fest- 
stellen, wenn für jede Zahl irgend eines der darunter enthal- 
tenen \'erhältnisse als Repräsentant gewählt wird. 



Von zwei Verhältnissen mit demselben Nenner und un- 
gleichen Zählern ist das das grössere, dessen Zähler grösser ist, 
und Yon zwei Verhältnissen mit demselben Zähler und ungleichen 
Nennern ist das das kleinere, dessen Nenner grösser ist. 



^) Auf den Gattungsbegriff lassen sich auch die natürlichen Zahlen in 
einfacher und folgerichtiger "Weise zurückführen. 



Zahlen. |5 

Sind nämlich a, a\ b beliebige Elemente einer messbaren 
Menge und a' ':> a, so wähle man zunächst eine ganze Zahl n 
so , dass na :> b und n {a' — a) > b. Hierauf nehme man 
die kleinste ganze Zahl m, die der Bedingung mb ":> na ge- 
nügt; dann ist na < mb, aber mb <Z na'. Denn wäre mb 
^ na' ^ na -\- n (a' — a), so wäre mb > na -\- b\ also 
wäre gegen die Voraussetzung schon (m — 1) 6 > na. Dann ist 

a m a' 
b n b 

also a:b <: a' -.b; und ganz ebenso kann man beweisen , dass, 
wenn b' > b ist, a : b ^ a : b' wird. 

Man drückt diesen Satz auch so aus, dass ein Verhältniss 
zugleich mit dem Zähler wächst und mit wachsendem Nenner 
abnimmt. 

Hieraus ergiebt sich auch leicht der folgende Satz: Sind 
a, 6, c, d Elemente derselben messbaren Menge und ist a : b 
= c : d, so ist auch a : c ::^ b : d. 

Denn angenommen, es wäre a : c <Z b : fZ, so müsste es zwei 
ganze Zahlen »t, n geben, so dass 

n a <Z ni c 
n b > m d. 

Dann aber wäre nach dem eben bewiesenen Satze na : nb <z. 
nie : md, also auch a : b <Z c : d, entgegen der Voraussetzung. 

Hieran schliesst sich nun folgender Hauptsatz. Wenn 
von den vier Grössen a, &, c, d irgend drei aus einer 
stetigen messbaren Menge beliebig gegeben sind, so 
lässt sich die vierte in derselben Menge so bestim- 
men, dass a : b = c : d ist. 

Der Satz ist eine unmittelbare Folge der vorausgesetzten 
Stetigkeit. Denn wenn man z. B. ein Element x von 53i in Ä 
oder in B aufnimmt, je nachdem x : b kleiner oder grösser als 
c : d ist, so erhält man einen Schnitt, der durch ein Element a 
erzeugt wird, das der Bedingung a : b ■= c : d genügt. Es gilt 
aber dieser Satz auch in gewissen nicht stetigen Mengen, z. B. 
für die rationalen Brüche. 

Hieraus folgt, dass man als Repräsentanten zweier Zahlen 
immer zwei Verhältnisse wählen kann, deren Elemente derselben 
Mannigfaltigkeit angehören, und die denselben beliebig zu wählen- 
den Nenner haben. Die Addition wird dann so erklärt, dass 



16 Einleitung. 

a , h a 4 



c c c 

ist. Diese Regel umfasst als speciellen Fall die Addition der 
rationalen Brüche, und um sie allgemein zu rechtfertigen, braucht 
dann nur noch gezeigt zu werden, dass, wenn a : c = a' : c' und 
h : c = h' : c\ auch (a -^ b) : c = (a' -\- b') : d sein muss. Wir 
beweisen dies, indem wir zeigen, dass, wenn a : c = a' : c' und 
(a -|- &) : c >> («' -|- h') : c' ist, auch h : c ^ h' : c' sein muss. Es 
sei also, wenn m und n zwei ganze Zahlen sind, 

a -\- b in a' -\- b' 
c~ ^n^ c' ' 

dann ist n (a -\- b) j> mc und m c' ^ n a' -I- b. Dann ist um 
so mehr m c' >> n a' und wegen a : c = a' : c' auch m c ^ na. 
Es ist also auch 

b mc — n a m c' — n a' V 

c nc ^ nc' c' 

Andererseits folgt aber leicht aus der Voraussetzung a : c 
= a' : c', dass auch 

ni c — na m c' — na' 

nc nc' 

ist, also b:c ^ b' -.c^ w. z. b. w. 

Hiermit ist also nachgewiesen, dass auch die Zahlen, wie wir 
sie detinirt haben, eine messbare Menge bilden. Sind a und c 
einer stetigen Mannigfaltigkeit entnommen, so bilden auch bei 
feststehendem c die Verhältnisse a : c eine stetige Menge und es 
folgt also, da es überhaupt stetige Mengen giebt, dass auch die 
Zahlen eine stetige Menge bilden. 

Sind a, ß, 7, Ö jetzt Zahlen, so kann man aus der Proportion 
a: ß = y.d eine beliebige der vier Zahlen durch die drei anderen 
gegebenen bestimmen. Setzt man ö = 1 und sucht a, so erhält 
man die Multiplication u^=ß'y, und die Vertauschbarkeit 
der Factoren ist eine Folge des Satzes, dass a:y = ß:d aus u : ß 
= y.d folgt. Sucht man y, so erhält man die Division; und aus 
der oben gegebenen Definition der Addition folgt die Grund- 
formel a(ß-{-y) = uß-\-uy. Die vier Grundrechnungsarten sind 
also in dem Gebiete der Zahlen ausführbar mit der einzigen 
Beschränkung, dass bei der Subtraction der Subtrahend kleiner 
sein muss als der Minuend. 



Zahlenreihen. 17 

Die Construction eines Schnittes in der Reilie der Zahlen 
liefert stets den Beweis für die Existenz einer Zahl, die hestimmten 
Anforderungen genügt. So erhält man einen Schnitt (J., B), 
wenn man alle und nur die Zahlen, deren Quadrat kleiner als 
eine bestimmte Zahl « ist, in Ä aufnimmt; diesem Schnitt ent- 
spricht eine bestimmte Zahl, deren Quadrat gleich a ist und die 

mit V« bezeichnet wird, und dadurch wird die Existenz der 
Quadratwurzeln nachgewiesen. 

Auf die Schnitte lassen sich auch die von G. Cantor zur 
Definition der Irrationalzahlen eingeführten Zahlenreihen 
zurückführen i). 

Nach Cantor ist unter einer Zahlenreihe irgend ein un- 
begrenztes, in bestimmter Weise geordnetes System von Zahlen 
zu verstehen: 

O *^li *^^^ *^3i *^A • • • 

von der Beschaffenheit, dass es eine bestimmte Zahl g giebt, 
unter die keine der Zahlen S heruntersinkt, und dass, wenn d 
eine beliebig gewählte Zahl ist, und Xn^ x,n verschiedene Ele- 
mente aus S sind, Xn — x,n oder x,,, — Xn immer kleiner bleibt 
als d, wenn tn und n eine hinlänglich grosse Zahl überschritten 
haben. 

Es giebt immer Zahlen, die von den Zahlen einer solchen 
Reihe nicht überschritten werden; denn hat man d gewählt und 
n passend bestimmt, so überschreitet x„i, welchen Werth auch 
m haben mag, niemals die grösste der Zahlen x^, x^ ... Xn, 
Xn -\- ö. Andererseits giebt es auch Zahlen, die von unendlich 
vielen Xn überschritten werden, z. B. jede Zahl, die kleiner ist 
als (/. Man erhält nun einen Schnitt (Ä, J5), wenn man die 
Zahlen nach B wirft, die, wenn n einen hinlänglich hohen 
Werth hat, von keinem Xn mehr überschritten werden (die also 
von keinem oder nur von einer endlichen Anzahl von Xn über- 
schritten werden), und alle anderen Zahlen (die also von unend- 
lich vielen rr„ überschritten werden) nach Ä. Wird dieser Schnitt 
durch die Zahl a erzeugt, so giebt es, wie klein auch s sei, 
immer unendlich viele Zahlen Xn zwischen « — s und a, und 
man kann sagen, dass diese durch S vollkommen bestimmte Zahl 



1) Cantor, Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der 
trigonometrischen Reihen. Mathematische Annalen, Bd. 5 (1872); vergl. 
auch Heine, Elemente der Functionenlehre. Journal für Mathematik, 
Bd. 74 (1872). 

Weber, Algebra. I. , 2 



18 Einleitung. 

« durch die Zahlenreihe S erzeugt wird. Nach Cantor ist die 
Zahlenreihe S geradezu die Definition der Zahl a. Selbstver- 
ständlich kann eine und dieselbe Zahl a durch sehr verschiedene 
Zahlenreihen erzeugt werden. Diese Zahlenreihen sind aber alle 
als unter einander gleich zu betrachten. Man kann unter Anderem 
die Zahlen von S alle als rationale Brüche annehmen. Es lässt 
sich auch umgekehrt leicht nachweisen, dass man zu jeder 
gegebenen Zahl a immer Zahlenreihen S angeben kann, durch 
die a erzeugt wird, so dass also die Gesammtheit der Zahlen- 
reihen S gleichfalls eine stetige Menge bildet. 



Bei der Erklärung der Grundrechnungsarten hat sich bei 
der Subtraction eine unbequeme Beschränkung ergeben, von der 
wir uns frei machen durch Einführung der Null und der nega- 
tiven Zahlen. 

Es möge X jedes Element des bisher definirten Zahlensystems 
bedeuten, das wir jetzt als das System der positiven Zahlen 
bezeichnen wollen. Wir nehmen dies Zahlensystem ein zweites 
Mal und bezeichnen zum Unterschied in diesem zweiten System, 
das als das System der negativen Zahlen bezeichnet werden 
soll, jedes Element mit — x. Das zweite System ordnen wir nun 
dem ersten gerade entgegengesetzt, so dass überall, wo in dem 
System x „grösser" steht, in dem System — x „kleiner" gesetzt 
wird, und umgekehrt. Addition und Subtraction werden in — x 
ebenso erklärt wie in x, so dass ( — x) -\- ( — y) =" — (^ ~{~ V)'^ 
( — x) — ( — y) = — (^ — y) sein soll. 

Wir wollen aber diese beiden Zahlensysteme in der Weise 
zusammenordnen, dass jedes — x kleiner sein soll als jedes x. 
Wir erhalten so eine geordnete Menge, in der kein grösstes und 
kein kleinstes Element vorhanden ist. Dieses System ist auch 
im Allgemeinen stetig, nur der einzige Schnitt ( — x, x) wird 
durch kein Element erzeugt, und hier, wo beide Systeme zu- 
sammenstossen, ist also noch eine Verletzung der Stetigkeit vor- 
handen. Um die Stetigkeit herzustellen, müssen wir also dem 
Schnitt ( — X, x) entsprechend noch eine Zahl Null oder 
hinzufügen, die eben durch diesen Schnitt definirt ist. Dann 
haben wir eine geordnete stetige, beiderseits unbegrenzte Menge, 
die vollständige Reihe der reellen Zahlen. 

In dem so erweiterten Zahlenbereiche erklären wir nun die 
Addition allgemein, indem wir detinitionsweise setzen: 



Negative Zahlen. 19 

X -j- {— x) = 0, X -{- = X, 

X -\- {— y) = X — y, wenn x :> y, = — (y — x), wenn y > x. 

Bei dieser Erklärung der Addition gelten, wenn ^j , z^_, z-^ 
irgend drei Zahlen des ganzen Zalilenbereiches sind, die Gesetze : 

^1 + ^2 = ^2 + ^1, (^I + ^2) + ^3 = ^1 + (^2 + ^3), 

die man das commutative und das associative Gesetz nennt. Man 
bildet die Summe aus einer beliebigen Anzahl von Summanden, 
indem man nach Belieben der Reihe nach je zwei Summanden 
zu einer Summe vereinigt. Die Subtraction braucht nicht mehr 
besonders berücksichtigt zu werden, wenn man z-^ — s^ durch 
^1 -j- ( — ^2) erklärt und — ( — z) =^ s setzt. 

Man stellt die Zahlenreihe anschaulich durch Punkte dar, 
indem man von einem festen mit bezeichneten Punkte einer 
geraden Linie die positiven Zahlen als Strecken nach der einen, 
etwa der rechten, die negativen Zahlen nach der anderen (linken) 
Seite aufträgt. Das Bild der Summe zweier Strecken z^ -j- s^ 
erhält man, wenn man von dem Punkte ^^ aus die Strecke von 
der Länge + z^ nach der rechten oder nach der linken Seite 
abträgt, je nachdem z^, positiv oder negativ ist. 

Die Multiplication und Division wird in dem erweiterten 
Zahlenbereich durch die Gleichungen 

^ i—y) = (— -») y = — xy 

(—x) i—y) = xy, Oa; = 

erklärt. Die Division als die Umkehrung der Multiplication ist 
immer möglich, ausser wenn der Divisor Null ist. 

. Für ein Product aus mehreren Factoren und für den Quo- 
tienten zweier solcher Producte gilt der Satz, dass sein Werth 
positiv oder negativ ist, je nachdem die Anzahl der überhaupt 
darin (im Zähler und Nenner) vorkommenden Factoren gerade 
oder ungerade ist. 



Eine fernere Erweiterung des Zahlbegriffes besteht in der 
Einführung der com plexen Grössen. Wir combiniren je zwei 
Zahlen der gesammten Zahlenreihe zu Paaren {x, y), und be- 
trachten zwei solche Paare {x, y) und (a, h) nur dann als gleich, 
wenn x = a, y =^ h ist. Diese Zahlenpaare bilden eine Mannig- 
faltigkeit, deren Elemente zwar nicht geordnet werden, mit 
denen aber die Rechenoperationen der Addition, Subtraction, 



20 Einleitung. 

Multiplication und Division vorgenommen werden sollen, nach 
folgenden Regeln. Es sei 

(^; y) + ^«1 ^) = (^ + «^ y + ^J- 

{x, ij) (a, h) = {xa — ijh, xh -[- ya). 

und wir setzen ausserdem fest, dass (x. 0) = x sei, was diesen 
Gleichungen nicht widerspricht. Es ist (x, y) nur dann = 0, 
wenn x und y beide gleich Null sind. Ferner bezeichnen ^dr 
zur Abkürzung (0, 1) mit i. Dann ergeben obige Gleichungen 
die Folgerungen: 

fr, 0) (0, l) = (0, X) oder = ir, 
(r, 0) -^ (0, y) = {x, y) = X -f 2/«. 

^ + 2/^' + ^ -^ ^^' = (^ + ^0 + (2/ + ^)' 
und die Umkehrung der Addition: 

X -\- yi — (a 4- bi) = (x — a) -^ i{y — h), 

ferner die Multiplication: 

{x -^.yi) (a -\- bf) = xa — yb -^ i(xb -\- ya). i- = — 1, 

{x + yi) {x — yi) = x'- + y'^. 



oder 



, • f , 1 •\ ((^ — bi) (x -^ yi) 
^ + 2" = (« + «") (a^ + b^ 



X -\- yi ax -^ by -\- i (ay — bx) 

a -{-bi ~ «2 _[_ ^,2 ' 

wodurch die Division erklärt ist, ausser wenn a -j- ü = ist. 
Zahlen von der Form ix heissen rein imaginäre Zahlen 
und / die imaginäre Einheit. Eine Zahl ix soll positiv oder 
negativ imaginär heissen, je nachdem x positiv oder negativ 
ist. Die Zahlen a -j- bi heissen imaginär oder complex. Das 
System der reellen und der rein imaginären Zahlen sind 
darunter als Specialfälle enthalten. 

Es sind also in dem Gebiete der complexen Zahlen 
X -\- yi die Grundrechnungsarten unbegrenzt auszuführen (mit 
Ausnahme der Division durch Null), und die Rechnung mit den 
reellen Zahlen ist ein Specialfall davon. 

Man stellt die complexen Zahlen z ^= x -\- yi nach Gauss 
geometrisch durch die Punkte einer Ebene dar, indem man ein 
rechtwinkliges Coordinatensystem zu Grunde legt und den Punkt 
mit den Coordinaten r, y als Bild des Zahlwerthes s betrachtet. 
Die Punkte der Ä;-Axe stellen in der oben besprochenen Weise 



Imaginäre Zahlen. 21 

die reellen Zahlen x dar. Die Punkte der ?/-Axe sind die Bilder 
der rein imaginären Zahlen yi. Der Coordinatenanfangspunkt 
ist das Bild der Zahl 0. Der Radius Yector vom Nullpunkte nach 
dem Punkte z hat den Zahlwerth q = V^^~4-^, und wird der 
absolute Werth oder der Betrag oder, nach älterer Ausdrucks- 
weise, der Modulus der complexen Zahl z genannt. 

Die einzige Zahl hat den absoluten Werth 0. Jede positive 
Zahl kommt bei unendlich vielen complexen Zahlen als absoluter 
Werth vor und die Bildpunkte aller Zahlen mit demselben abso- 
luten Werthe liegen auf einem Kreise, dessen Mittelpunkt im 
Coordinatenanfangspunkte liegt. 

Zwei imaginäre Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen 
von i unterscheiden, also x -\- yi und x — yi, heissen conjugirt 
imaginär. Ihr Product ist das Quadrat des absoluten Werthes 
von jeder von ihnen. 

Wenn von zwei conjugirt imaginären Zahlen die eine gleich 
Null ist, so ist auch die andere gleich Null, und man kann also 
in jeder richtigen Zahlengleichung i durch — i ersetzen, ohne 
dass die Richtigkeit gestört wird. 

Wir wollen noch den oft angewandten Satz anführen, dass 
der absolute Werth einer Summe zweier von Null verschiedener 
complexer Zahlen niemals grösser ist, als die Summe der abso- 
luten Werthe der Summanden, und nur dann gleich, wenn das 
Verhältniss (der Quotient) beider Summanden reell und positiv 
ist. Sei nämlicli 

z = X -\- yi, c = a -\- hi, Z = {x -^ a) -\- {y -\- h)i, 
q2 = x^ -j- %j\ r- = a^ + b^ R^ = {x + ay -f (y + ^)-, 
dann ist 
(r-\-Q — R){ri-Q-^R) = (r+Qy-R^ = 2irQ — ax — hyy, 

das ist sicher positiv, wenn ux -\- by ^ ist. Wenn aber 
ax -\- by ^ ist, so folgt aus 

r2^2 _ (^ax -\- byy = {ay — bxy, 
dass rQ ^ ax -\- by ist, und nur dann gleich, wenn ay — bx 
= 0. Daraus also ergiebt sich, dass r -j- (> >> i? ist und nur 
in dem besonderen Falle r -\- q = R, wenn ay — bx = 0, 
ax -\- by '^ 0, woraus das Gesagte folgt. 

Bei der geometrischen Darstellung ist dieser Satz ein Aus- 
druck dafür, dass in einem Dreieck eine Seite kleiner ist, als 
die Summe der beiden anderen. Der Satz hat noch die andere 



22 Einleitung. 

Folge, dass der absolute Werth einer Summe nicht kleiner sein 
kann, als die Differenz der absoluten Werthe der Summanden. 
Denn wenden wir den vorigen Satz auf die Summe c = Z — z 
an, so folgt r ^ it -}- 9 oder 

Fl ^ r — Q. 

Die Gleichheit findet hier nur dann statt, wenn der Quotient 
3 : c reell und negativ ist. 



'O^ 



Es ist noch ein Wort über das wichtigste Hülfsmittel der 
Algebra, die Buchstabenrechnung, zu sagen. Die Anwendung 
dieses Hülfsmittels ist so allgemein, dass man bisweilen das Wort 
Buchstabenrechnung geradezu synonym mit Algebra gebraucht. 
Die Regeln , wie mit solchen Buchstabenausdrücken gerechnet 
wird, setzen wir als bekannt voraus. Gleichungen zwischen 
Buchstabenausdrücken können von zweierlei Art sein ; entweder 
es sind sogenannte Identitäten, d. h. die zwei einander gleich 
gesetzten Ausdrücke können durch Anwendung der Rechenregeln 
so umgeformt werden, dass beide Ausdrücke genau überein- 
stimmen. Man erhält dann aus solchen Buchstabengleichungen 
richtige Zahlengleichungen, wenn die Buchstaben durch irgend 
welche, sei es reelle, sei es complexe Zahlen ersetzt werden, 
vorausgesetzt, dass dabei nicht die Forderung der Division durch 
Null auftritt. Die Buchstaben in solchen Gleichungen werden 
oft auch als Varial^le bezeichnet, weil man sich vorstellen kann, 
ohne je zu einem Widerspruch zu gelangen, dass für die Buch- 
staben nach und nach andere und andere Zahlwerthe gesetzt 
werden. 

Eine andere Art von Gleichungen zwischen Buchstabenaus- 
drücken haben nicht diesen Charakter der Identität. Sie enthalten 
vielmehr eine Forderung, die an solche Zahlen gestellt wird, die 
man, ohne die Gleichungen unwahr zu machen, für die Buch- 
staben einsetzen darf. Die Algebra hat die Aufgabe, Zahlwerthe 
zu ermitteln, die einer solchen Forderung genügen, die Gleichung 
zu lösen. In diesen Gleichungen werden die Buchstaben auch 
als „Unbekannte" bezeichnet. Es kommen sehr häufig in ein 
und derselben Gleichung Buchstaben von zwei Arten vor, solche, 
für die beliebige Zahlwerthe gesetzt werden sollen, und andere, 
deren Zahlwerth erst ermittelt werden soll. 



ERSTES BUCH. 



DIE GRÜNDLAGEN. 



Erster Abschnitt. 
Rationale Functionen. 



§. 1- 
Ganze Functionen, 

Nächster Gegenstand der Betrachtung sind ganze rationale 
oder auch kurz ganze Functionen einer Veränderlichen. 
Wir verstehen darunter Ausdrücke von folgender Form: 

(1) f{x) = aox'' + «lic»-! + a^x"-'- -\ \- cin-iX + «,,, 

worin n ein ganzzahliger Exponent, der Grad der Function f{x) 
ist. Der Grad ist eine natürliche Zahl. Bisweilen ist aber 
auch nützlich, von ganzen rationalen Functionen Oten Grades zu 
sprechen, worunter ein von x unabhängiger Ausdruck verstanden 
wird. X heisst die Veränderliche, «qi '-hi '^2 • • • «n— 1, «h che 
Co ef fielen ten. Sowohl x als %, a^ . . . an sind Symbole für 
unbestimmte Grössen, mit denen nach den Regeln der Buch- 
stabenrechnung verfahren wird, für die auch unter Umständen 
bestimmte Zahlwerthe gesetzt werden können (vgl. die Einleitung). 
Wenn die Function f{x) in der Weise wie in (1) geschrieben 
ist, so nennen wir sie nach absteigenden Potenzen von x 
geordnet. Die Summanden können in jeder beliebigen anderen 
Reihenfolge angeordnet, also z. B. auch nach aufsteigenden Po- 
tenzen von X geordnet sein : 

f{x) = an + an-ix + • • • + «1^""^ + «0^"- 
Durch Addition (Subtraction) und Multiplication ganzer 
rationaler Functionen entstehen wieder ganze rationale Func- 
tionen. Die Vorschriften der Buchstabenrechnung geben un- 
mittelbar die Bildungsgesetze dieser neuen Functionen. 

Bei der Addition ist der Coefficient irgend einer Potenz x" 
in der Summe gleich der Summe der Coefficienten von x'' in den 
einzelnen Summanden. Der Grad der entstandenen Function ist 



26 Erster Abschnitt. §. 1. 

gleich dem höchsten der Grade der Summanden und kann sich 
nur in dem besonderen Falle erniedrigen, wenn der höchste 
Grad in mehreren Summanden vorkommt und die Summe der 
Coefficieuten der höchsten Potenzen gleich Null ist. 

Bei der Multiplication zweier oder mehrerer ganzer rationaler 
Functionen entsteht eine Function, deren Grad gleich der Summe 
der Grade der Factoren ist. 

Um für das Product das Bildungsgesetz der Coefficieuten zu 
übersehen, setzen wir 

, A(x) = üoX'" -f ciiX"'-'^ -f- «2ä:'"-2 4- . . ., 

^^ B{x) = boOf' 4- ^1^"-' + ^2«"-' -h • • •. 

(3) Ä{x)B(x) = C{x) = c^x"' + " + Ci^'" + "-i 4- C2X"' + »-^ J 

und erhalten 

C() = ftfj Oq, 

Ci = cio hl -f- «1 ^01 

6-2 = «0^2 + «1^1 + «2^01 



oder in allgemeinen Zeichen, wenn v eine der Zahlen 0. 1, 2 . . . 

m -f- n bedeutet: 

(4) Cv = «o&v + «i&v-i + a^hv-i + • • • ay-i\ + a, &o- 
worin alle a, deren Index grösser als m^ und alle &, deren Index 
grösser als n ist, gleich Null zu setzen sind. Denn c,. ist der 
Coefficient von :r'" + "-', und es entsteht also c,.a;'" + "— *' durch 
Multiplication aller Glieder von der Form «uä;'"""" mit allen 
Gliedern der Form &»— .ua^"~'' + " und darauf folgende Addition. 
Sind «0 und &o = li so ist auch Co = 1. 

Hat in allen Factoren eines solchen Productes die 
höchste Potenz von x den Coefficienten 1, so ist auch 
im Product der Coefficient der höchsten Potenz = 1. 

Aus diesen Vorschriften für die Ptechnung mit ganzen Func- 
tionen folgt, dass die Regeln des Rechnens, die sich in Formeln 
wie ah = ha^ {ah)c = a(hc), (a -|- ö)c = ac -\- hc und ähn- 
lichen aussprechen, auch wenn a, &, c ganze Functionen von x 
sind, gelten, und zwar in dem Sinne, dass ganze Functionen nur 
dann als gleich gelten, wenn gleich hohe Potenzen gleiche Coeffi- 
cienten haben. 

Unter ganzen Functionen mehrerer Veränderlichen verstehen 
wir Summen von Producten von ganzen, positiven Potenzen der 
Veränderlichen x^ y^ z . . . mit irgend welchen Coefficienten, die 



§. 2. Rationale Functionen. 27 

als constaut gelten. Man kann sich diese Functionen entstanden 
denken aus den Functionen einer Veränderlichen x, wenn man 
darin die Coefficienten Oq, «i ... a„ selbst wieder als ganze 
rationale Functionen von anderen Verhältnissen ?/, z . . . auf- 
fasst. So entstehen Functionen von m Veränderlichen aus Func- 
tionen von m — 1 Veränderlichen. Alle Glieder einer solchen 
Function sind von der Form x''if z^ . . ., multiplicirt mit einem 
Coefficienten, und wenn die Function gehörig zusammengefasst 
ist, so kommt jede Combination der Exponenten r, s, ^ . . . nur 
einmal vor. Zwei so geordnete ganze Functionen gelten nur 
dann als einander gleich, wenn sie dieselben Producte x'^ if z* . . . 
mit denselben Coefficienten enthalten; und eine geordnete ganze 
Function ist nur dann gleich Null, wenn alle ihre Coefficienten 
verschwinden. 

§. 2. 
Ein Satz von Gauss. 

Wir wollen sogleich eine Anwendung der Multiplicationsregel 
zweier ganzer rationaler Functionen machen zum Beweise eines 
Satzes von Gauss, der uns später noch nützlich sein wird, 
hier aber zur Einführung in die Rechnungsweise und als Beispiel 
dienen soll ^). 

Wir betrachten hier den Fall, dass die Coefficienten in den 
Functionen Ä(x), B{x) ganze Zahlen sind, so dass nach (4) 
auch die Coefficienten von C{x) = A{x)B{x) ganze Zahlen sind. 

Wenn die sämmtlichen ganzzahligen Coefficienten «oi «n • • • «»i 
einer Function A{x) keinen gemeinschaftlichen Theiler haben, so 
heisst die Function A{x) eine ursprüngliche oder primitive 
Function, und der Satz, den wir beweisen wollen, lautet: 

Wenn A{x) und B {x) ursprüngliche Functionen 
sind, so ist auch ihr Product C{x) eine ursprüngliche 
Function. 

Der Beweis ergiebt sich fast unmittelbar aus dem Anblick 
der Formel (4), §. 1. 

Wenn nämlich die sämmtlichen Coefficienten Co, Cj, C2... Cm + n-, 
wie sie dort angegeben sind, einen gemeinschaftlichen Theiler 
haben, der grösser als 1 ist, so muss es auch wenigstens eine 



1) Gauss, Disquisitiones arithmeticae, Art. 42. 



28 Erster Abschnitt. §. 2. 

Primzahl geben, die in allen diesen Coefficienten aufgeht. Es 
sei i) eine solche Primzahl; diese kann nach der Voraussetzung, 
dass A (rr), B {x) ursprünglich seien, weder in allen ao, «i . . . «w, 
noch in allen 60, \ ... &„ aufgehen. 
Es möge nun p aufgehen in : 

«0? % • • • "r— 1, aber nicht in a^, 
in 

^0, hl . . . hs—i, aber nicht in &«, 

dann ist nach Voraussetzung r ^ m und kann auch gleich Null 
sein, wenn p schon in «o nicht aufgeht. Ebenso ist s <C n. 

Bilden wir nun nach (4) Cr + s und ordnen es in folgender 
Weise : 

-\- ar-\-\Os — x -\- ar + 20s — 2 "f" ' * * 

so sieht man unmittelbar, dass Cr + s nicht durch p theilbar sein 
kann, wie doch angenommen war; denn das erste Glied «,. &g ist 
durch 2^ nicht theilbar, während alle anderen Glieder, da sie mit 
einem der Coefficienten «o? «1 • • • ^r-i, ^o? ^1 • • • hg—i multiplicirt 
sind, durch ]) theilbar sind. Die Annahme also, dass C(x) nicht 
ursprünglich sei, während es Ä(x) und B(x) sind, führt zu einem 
Widerspruch. 

Dieser Satz lässt sich übertragen auf Functionen von meh- 
reren Veränderlichen. Wir nennen eine ganze rationale Function 
von m Veränderlichen mit ganzzahligen Coefficienten ursprüng- 
lich oder primitiv, wenn die Coefficienten keinen gemeinsamen 
Theiler haben, und wir sprechen den Satz aus, dass das Pro- 
duct von zwei ursprünglichen Functionen wieder 
eine ursprüngliche Function ist. 

Um seine Wahrheit einzusehen, brauchen wir nur in der 
oben durchgeführten Betrachtung die Coefficienten «o, «j, «2 • • • 
&o, &i, ^2 • • • nicht als ganze Zahlen, sondern als ganze rationale 
Functionen von ja — 1 Veränderlichen y^ z . . . anzunehmen und 
eine solche Function durch eine Primzahl p theilbar zu nennen, 
wenn alle ihre Coefficienten durch p theilbar sind. Setzen wir 
dann voraus, der zu beweisende Satz sei bereits für Functionen 
von /Lt — 1 Variablen be^viesen, dann ergiebt die Formel (1) 
seine Richtigkeit für Functionen von fi Variablen, also seine 
allgemeine Gültigkeit durch den Schluss der vollständigen In- 
duction oder den Schluss von /x — 1 auf ft. 



§. 2. Eationale Functionen. 29 

Durch dieselbe Betrachtungsweise schliesst man auch, dass 
ein Product von zwei oder mehreren ganzen Functionen nicht 
verschwinden kann, w^enn nicht einer seiner Factoren ver- 
schwindet. Denn eine verschwindende Function ist durch jede 
Primzahl jj theilbar. 

Eine imprimitive Function ist eine solche, deren ganzzahlige 
Coefficienten alle einen gemeinsamen Theiler haben. Den grössten 
dieser Theiler nennen wir den Theiler der Function. Dann 
können wir den bewiesenen Satz auch so aussprechen: 

Der Theiler eines Productes zweier ganzer Func- 
tionen ist gleich dem Product der Theiler beider 
Functionen. 

Denn sind PÄ und QB zwei ganze Functionen mit den 
Theilern P und Q^ so sind A und B ursprüngliche Functionen. 
Also ist auch AB = C eine ursprüngliche Function und PQ 
ist der Theiler der Function PA . QB = PQC. 

Wir können dem Satze, insofern er sich auf Functionen 
einer Veränderlichen bezieht, ohne seinen Inhalt wesentlich zu 
ändern, folgende Fassung geben, in der er besonders nützlich ist. 

Sind 

(jp {x) = a:'" -|- «1 iC'-i + a2:r'»-2 -\- '-'-{- k^ 

'^{X) = OC- -^ ß,X—^ + ß,X—^ H ^ ßn 

zwei ganze rationale Functionen, in denen die höchsten 
Potenzen von x den Coefficienten 1 haben, während die 
übrigen Coefficienten rationale Zahlen sind, so können 
in dem Product 
q>(x)ilf(x) = a:"» + » -I- yia;'» + «-i + y2;r'" + "-2 -f . . . -|- y,„ + „ 

die Coefficienten y nicht alle ganze Zahlen sein, wenn 
die Coefficienten a, ß in q}{x) und ip{x) nicht alle ganze 
Zahlen sind. 

Denn bezeichnen wir den kleinsten Hauptnenner der Coeffi- 
cienten a von q) mit «oi c^er Coefficienten ß von ^ mit öoi so 
sind ao(p{x) = A{x), 6o^(^") '= P{x) primitive Functionen von x. 
Ihr Product «q h^ cp (x) i^ (x) hätte, wenn die Coefficienten y ganze 
Zahlen wären , den Theiler a^ &o und wäre also , wenn üq und &o 
nicht beide gleich 1 wären, nicht primitiv; dies aber wäre ein 
Widerspruch mit dem oben bewiesenen Satze. 



30 Erster Abschnitt. §. 3. 

§. 3. 
Division. 

Es seien, wie bisher 

A =^ A{x) ^= a^x'" -\- a^x'"-'^ + • • • 
^ ^ B = B{x) = &o ^" + &i ^"-' + • • • 

zwei ganze rationale Functionen von x\, es soll jetzt vorausgesetzt 
werden, dass m ^ n sei und dass «o und h^ von Null verschieden 
sind. Dann ist die Differenz 

(2) A — ^ x"^—B 

auch eine ganze rationale Function von x^ deren Grad aber 
kleiner ist als w, da die höchste Potenz in beiden Gliedern 
der Differenz denselben Coefficienten hat und also herausfällt. 
Wir setzen diese Differenz: 

(3) A' = A'(x) = «U'"' + aU'"'-^ + • • ', »i' < m. 

Ist nun m' noch ^ w, so können wir in (2) A' an Stelle von 
A setzen und dieselbe Schlussweise wiederholen. 
So ergiebt sich eine Kette von Gleichungen: 

(4) ^ öo ' 

A"— p. :r'«"-"5 = A"\ 

Oft 



und diese Kette lässt sich so lange fortsetzen, bis der Grad der 
entstandenen Function kleiner als « geworden ist. Da nun in 
der Reihe der Functionen A, A\ A" . . . der Grad jeder folgenden 
mindestens um eine Einheit erniedrigt ist, so besteht die 
Kette der Gleichungen (4) höchstens aus m — n -\- 1 Gliedern ; 
sie kann aber auch weniger Glieder enthalten, wenn sich gleich- 
zeitig mehrere Potenzen herausheben. Addiren wir die sämmt- 
lichen Gleichungen (4), bezeichnen die letzte der Functionen 
A, A' . . . mit C und setzen zur Abkürzung 

(5) Q = t" ^'"~" + T- •^'"'"" H '■ 



§. 3. Division. gj 

SO dass auch Q eine ganze rationale Function von x ist, so 
folgt 

(6) A = QB -^ C. 

Die hier geschilderte Operation, durch die aus ^, B die 
Functionen Q, C gefunden werden, heisst Division. J. ist der 
Dividendus, B der Divisor, C der Rest und Q der Quo- 
tient. Der Grad des Restes ist immer niedriger als 
der Grad des Divisors. 

Die Coefficienten der Functionen Q und C sind aus den 
Coefficienten a und b durch Addition, Subtraction, ^lultiplication 
und Theilung zusammengesetzt. Im Nenner kommen aber nur 
Potenzen von 60 vor, und wenn also bo = 1 ist, so sind die 
Coefficienten von Q und C ganze Functionen der a und b. Die 
höchste Potenz von b,) , die im Nenner auftreten kann , ist die 
(m — n -\- 1)*% da in der Kette (4) in jeder folgenden Gleichung 
im Nenner einmal der Factor &o hinzukommt. Es kann aber in 
besonderen Fällen die höchste Potenz von b^ in allen Nennern 
niedriger sein. 

Nehmen wir z. B. für Ä eine Function dritten Grades 

(7) f{x) = (loX-^ -f aiX'^ -^ a^x -\- a-^ 

und für B die sogenannte erste Derivirte von f{x), die vom 
zweiten Grade ist 

(8) f'{x) = 'iüQX'^ -(- 2«!^; -|- «2, 
so erhält man: 

no) ^ __ eooOij^-^^ . 9 «0 «3 — «1 «2 

Wie man die in den Gleichungen (4) vorgeschriebene Rech- 
nung zweckmässig anordnet, darf hier aus den Elementen als 
bekannt vorausgesetzt werden. Wir machen auf die Analogie 
aufmerksam, die zwischen dieser Rechnung und der Division 
im dekadischen Zahlsystem besteht. Eine Function f{x) stellt 
eine dekadisch geschriebene Zahl dar, wenn die Coefficienten 
tto, «1 ... ganze Zahlen zwischen Null (einschliesslich) und 10 
(ausschliesslich) sind, und a; = 10 gesetzt wird. Lässt man in 
den Coefficienten auch Zahlen zu, die grösser als 10 sind, so 
kann man eine Zahl auf verschiedene Arten durch f{x) dar- 
stellen. Man wendet dies bei dem Divisionsverfahren an, um auf 



32 Erster Abschnitt. §. 4. 

die einfachste Weise in den Resultaten gebrochene und negative 
Coefticienten zu vermeiden. 

Ebenso wie man bei der Rechnung mit dekadischen Zahlen 
eine nicht aufgehende Division durch die Decimalbrüche fort- 
setzen kann, so kann man auch bei der Division von Functionen 
die Rechnung noch weiter führen. 

Ist nämlich jetzt 0(x') eine Function m*™ Grades nnäf(x) 
eine Function n^'^'' Grades, wobei über die Grössenbeziehung von 
m und n nichts festgesetzt werden soll, so nehme man einen 
beliebig hohen Exponenten v, und wende die Regel der Division 
durch /(ic) auf die Function x^''^(x) an. Bezeichnet man einen 
Rest von höchstens (n — l)*^"' Grade mit ^v(«), so ergiebt sich: 

(11) x'0(x) =f{x) {c„_,^_ia;'«-« + '' 4- c„_,„^'"-" + ^-i H 

+ Cv_i} + 0,{x). 

Die Coefficienten c„_„i_i, Cn—m-, Cn-m + i ■ • - sind rational 
aus den Coefticienten von f(x) und ^(x) gebildet. Der Coeffi- 
cient Cx ist von der Wahl von v unabhängig, sofern nur v >» x ist. 

Denn wenn man in (11) 

f(x) = «0^" + ttiiC^-l -\- ' ' • -\- ein 

<X>{x) = b^x'" + biX'"-'^ + • • • + Öm 
setzt, so erhält man zur successiven Berechnung der c„_„,_i, 

Cn-m, Cn-m + 1 • • • dic Glcicliungen 

^0 ^M — m — 1 "o 

fic)\ 0^0 ^n — m ~T~ Ö!'! ^n — m — 1 ^-^ ^^l 

Oq^« — w + l |~ ^1 Cn — m ~l Oj<iCn — m — 2 — ^ ^^2 



und diese Kette von Gleichungen kann beliebig weit fortgesetzt 
werden, wobei die a, deren Index grösser als n, und die 6, deren 
Index grösser als m ist, gleich Null zu setzen sind. 



Theilung durch eine lineare Function. 

Wir wollen die allgemeine Vorschrift für die Division noch 
auf einen besonderen Fall anwenden. Es sei der Dividend 

(1) f{x) = «0^" + aia;"-^ -f- a^x''-^ + • • * + «n 

beliebig, dagegen der Divisor vom ersten Grade oder, wie man 
auch sagt, linear. Wir wollen auch den Coefticienten der ersten 



§• 4- Division durch lineare Functionen. 33 

Potenz von x im Divisor = 1 voraussetzen und also den Divisor 
in der einfachen Form {x — oc) annehmen, worin « beliebig 
bleibt. Der Quotient Q ist in diesem Falle vom (n — l)ten Grade 
und der Rest C vom Oten Grade, d. h. von x unabhängig. Setzen 
wir also 

(2) /(^) = ix - a)Q -i- C, 

so enthält C die Variable x nicht mehr, und wenn wir 

(3) Q = q,x—^ + q,x—^ -\ ^ ^n-2^ + g„_i 

setzen, so folgt aus (2): 

(4) f(x) = q,x-^ q,x—-^-\ ^ ^»-2^^+ qn-iX + C 

—aqox"-'^ aq^^soc^ — «g„-2^ — w^„-i, 

und aus der Vergleichung mit (1): 

üo = «0 

Qi — a</o = «1 
I2 — «?i = «2 



(5) 



Qn — l Uq„_2 ttn — 1 

C — «(/„-i = «„. 
Daraus erhält man 



^0 


— Clo 
_ «0« 


+ «1 

— a^a -f- a2 




qn- 

c 


-1 — «0«" 


— ai«"-! -f- • • 


. a„_ia -f ein — /(a). 



(6) 



C entsteht aus f{x)^ wenn man a; = « setzt, und kann also 
auch mit /(«) bezeichnet werden. 

Demnach haben wir auch die Formel 

worin Q (x) eine ganze Function vom Grade n — 1 ist. 

Wenn wir in den Ausdrücken (6) an Stelle der unbestimmten 
Grösse « das Zeichen x setzen, so entsteht daraus eine Reihe 
von ganzen rationalen Functionen von x, die wir, wenn wir der 
Einfachheit halber «0 = 1 setzen, so schreiben: 



Weber, Algebra. I. 



34 Erster Abschnitt. §, 5. 

/o = 1, 
(8j /a r= a;2 + «iä; + «2, 

T)} — 1 X I tt-^^X I Cl^X ' • • — j— (Xn — !• 

Diese Functionen /o, /i . . . /„_i werden uns später noch 
gute Dienste leisten. Für jetzt fügen wir noch folgende Bemer- 
kungen bei. 

Man kann nach (8) die Potenzen 1, x^ x^ . . . a;"-^ von x 
linear ausdrücken durch die Functionen/,), /i . . . /„— i, und zwar 
so, dass in den Coefficienten nur ganze rationale Verbindungen 
der a vorkommen, z. B. 

1 =/o, 

^ =/i — «i/o, 

a;2 z=/2 — «i/i 4- (af — a^jfo, 



und daraus folgt, dass man jede ganze rationale Function von x, 
deren Grad nicht grösser als n — 1 ist, gleichfalls linear durch 
foi fit • • '1 fn—1 ausdrücken kann in der Form 

(9) yofo + ?/l/l H h 2/n-l/n-l, 

worin die Coeficienten ^o, Vi - • • Vn-i von x unabhängig sind. 

Ist also Fix) eine beliehige ganze rationale Function von x, 
so kann man nach §. 3, indem man f{x) als Divisor betrachtet, 

(10) Fix) = Qf(x) + y,fo + ^x/i H h yn-xfn-i 

setzen, worin auch Q eine ganze rationale Function von x ist. 

Zur recurrenten Berechnung der Functionen fv{x) ergiebt 
sich aus (8) die Relation: 

(11) fv(x) — xfr-x{x) = ay. 

§. 5. 
Gebrochene Functionen; Theilbarkeit. 

Wenn Fix) und/(a;) zwei ganze rationale Functionen von x 
sind, so heisst der Bruch 

eine gebrochene rationale oder auch kurz gebrochene 
oder rationale Function von x. 



§. 5, Theilbarkeit ganzer Functionen. 35 

Ist der Grad des Zählers niedriger als der Grad des 
Nenners, so heisst die Function echt gebrochen, im entgegen- 
gesetzten Falle unecht gebrochen. 

Nach §. 3 lassen sich die ganzen rationalen Functionen Q 
und cp(x) so bestimmen, dass 
(2) F{x) = Qf{x) + g>{xl 

und der Grad von cp(x) kleiner als der Grad von f{x) ist; dem- 
nach ist 

(o. Fix) _ ^ , ^P(^ 

^^ fix) - ^ -^ fix) ' 

und daraus der Satz: 

Jede gebrochene Function kann in die Summe aus 
einer ganzen und einer echt gebrochenen Function zer- 
legt werden. 

Ist n der Grad von fix)., so ist der Grad von (p ix) höchstens 
11 — 1 , er kann aber auch niedriger sein ; insbesondere kann 
auch der Fall eintreten, dass fpix) identisch verschwindet. 

Dann heisst die Function Fix) durch fix) theilbar. 
Die Function 

Fix) 

fix) 
ist in diesem Falle nur scheinbar gebrochen, in Wirklichkeit der 
ganzen Function Q gleich. 
Die Formel 

(4) ^ = ä;'«-i -f ä;«-2 -f a;'"-3 + • kl 

X — 1 

giebt hierfür ein einfaches Beispiel. Es ist dies die bekannte 

Formel für die Summe der geometrischen Progression 

\ -\- X -\- x''- -{-■•• -\- x"'-^. 

Für die Theilbarkeit von Functionen gelten dieselben Ge- 
setze, wie für die Theilbarkeit der Zahlen, insbesondere die 
folgenden : 

1. Wenn die Function Fix) durch die Function 
fix), fix) durch eine dritte Function (p ix) theilbar ist, 
so ist auch Fix) durch tpix) theilbar. 

Denn ist 

F= Qf f=acp, 

worin Q und q ganze, rationale Functionen sind, so ist 

F=Qqcp, 
und da Q q eine ganze rationale Function ist, F durch (p theilbar. 

3* 



36 Erster Abschnitt. §. 5. 

2. Ist F(x) durch f(x) tbeilbar und Q eine beliebige 
ganze rationale Function, so ist auch QF(x) durch /(a;) 
theilbar. 

3. Ist F(x) und f(x) durch cp (x) theilbar, so ist auch 
F(x) + /(a;) durch q)(x) theilbar, oder allgemeiner: 

4. Sind 2^1, is . , . durch /(a;) theilbar und ^j, Q-2 > • • 
beliebige ganze rationale Functionen, so ist auch 
QiFi -L- Q0F2 -\- • • • durch f(x) theilbar. 

Der letzte Satz umfasst die beiden vorhergehenden und wird 
einfach so bewiesen. 

Sind i^i, F2 . • . durch / theilbar, so kanu man die ganzen 
rationalen Functionen ^1, 0.2 •■ • so bestimmen, dass 

F, = OJ, F,^0J... 
und folglich 

Q.F, -\- Q,F,^ = {Q,0, + Q.2O, -\ )/ 

Da nun ^1 ^1 -|- ^2 ^2 + • • • ^ine ganze rationale Function 
ist, so ist der Satz bewiesen. 

5. Jede Function ist durch sich selbst theilbar. 

In Bezug auf die Theilbarkeit oder Untheilbarkeit von Func- 
tionen wird nichts geändert, wenn die Functionen mit beliebigen, 
von X unabhängigen Factoren multiplicirt werden. 

Eine von x unabhängige, von Null verschiedene Grösse kann 
als Function nullten Grades aufgefasst werden. Nennen wir eine 
solche Grösse eine Constante, so können wir sagen: 

6. Jede Function ist durch jede Constante theilbar. 
Wenn eine Function durch eine andere theilbar ist, so ist 

der Grad des Quotienten gleich der Differenz des Grades des 
Dividenden und des Grades des Divisors. Ersterer kann also 
nicht kleiner sein als letzterer. Sind die Grade gleich, so ist 
der Quotient eine Constante, und daraus folgt: 

7. Wenn von zwei ganzen rationalen Functionen 
gleichen Grades die eine durch die andere theilbar 
ist, so unterscheiden sie sich nur durch einen con- 
stanten Factor von einander, und es ist auch die 
zweite durch die erste theilbar. 

8. Nach §. 4 ist die nothwendige und hinreichende 
Bedingung dafür, dass die Function f{x) durch die 
lineare Function x — u theilbar ist, die, dass /(«j 
= sei. 



§• 6. Grösster gemeinschaftlicher Theiler. 37 

§• 6. 
Grösster gemeinschaftlicher Theiler. 

Es ist eine Aufgabe von fundamentaler Bedeutung, zu ent- 
scheiden, ob zwei ganze rationale Functionen ausser den Con- 
stanten noch einen anderen gemeinschaftlichen Theiler haben. 
Man tindet die Lösung durch den Algorithmus des grössten 
gemeinschaftlichen Theilers ganz in derselben Weise, wie 
die entsprechende Frage in Bezug auf die Theilbarkeit ganzer 
Zahlen beantwortet wird. (S. die Einleitung.) 

Es seien 

(1) f(x)=Ä, cp(x)=A' 

zwei gegebene Functionen ; der Grad von gj (x) möge niedriger 
oder wenigstens nicht höher als der von f(x) sein. 

Wir dividiren Ä durch A' und bezeichnen den Rest, dessen 
Grad niedriger ist als der Grad von Ä', mit Ä'\ also: 

A = Q'A' + A"; 
nun dividiren wir A' durch A" und bezeichnen den Eest mit A'\ 
und fahren so fort in der Bildung der Functionenreihe : 

(2) A A\ A'\ A'" . . ., 

deren Grade w, n', n", n'" . . . immer abnehmen und folglich nach 
einer endlichen Anzahl von Divisionen auf Null heruntergehen. 
Der letzte Rest vom Grade Null, der also eine Constante ist, sei 
A^'\ Dann haben wir die Kette der Gleichungen: 

A = Q'A' -f A" 

A' = Q"A" -I- A'" 

(3) 

worin J.^'^ eine Constante ist. 

Wenn nun A^ A' irgend einen gemeinsamen Theiler haben, 
so ist dieser nach den Sätzen des vorigen Paragraphen, wie der 
Anblick der Gleichungen (3) lehrt, auch Theiler von A", A'", 
A"" u. s. f. bis A'-''\ Ist A^"' eine von Null verschiedene Con- 
stante, so kann also kein von x abhängiger Theiler von f(x) 
und (p(x) existiren. Solche Functionen heissen theilerfremd 
oder relativ prim. Man sagt auch, indem man nur die von x 



38 Erster Abschnitt. §. 6. 

abhängigen Theiler berücksichtigt, die Functionen haben 
keinen gemeinsamen Theiler. 

Die Bedingung, dass die beiden Functionen einen gemein- 
samen Theiler haben, ist also: 

(4) A^'^ = 0. 

In diesem Falle ist J.^'^^^ Theiler von ä'-''~^\ wie die letzte 
Gleichung (3) zeigt, und nach der vorletzten dieser Gleichungen 

Theiler von J.^*'~^^ u. s. f., also auch Theiler von Ä und Ä\ d. h. 
von / und gp. Und da umgekehrt jeder gemeinsame Theiler von 
A, A' auch Theiler von J.^'~^^ ist, so heisst A^'^^^ der grösste 
gemeinsame Theiler von / und (p. Der Algorithmus (3) 
zeigt, dass man A''^ oder^''~^^ aus den Coefficienten von/ und cp 
durch die rationalen Rechenoperationen ableiten kann, 
und zwar so, dass immer nur durch die Coefficienten der höchsten 
Potenzen von x in den Functionen A, A\ A" . . ., die von Null 
verschieden sind, dividirt wird. 

Wir wollen diese Betrachtungen auf zwei Beispiele an- 
wenden. 

Es seien zunächst: 
.^x A = ttf^x^ -\- üiX -\- a2 

^°^ B = h^x"- 4- hoc \- &2 

zwei Functionen zweiten Grades, also ao, &,j von Null ver- 
schieden. 

Der erste Schritt ist die Bildung der Gleichung 

(6) A = ^ B ^C, 

worin 

(7j C = CoX -{- Ci, 

und 

/ßx ^ «1 h &1 «0 «2 ^n — &2 «0 

KP) Cy = T , Ci = j 

Co Of) 

Ist Co = 0, also C constant, so haben A, B nur dann einen 
gemeinsamen Factor, wenn auch Ci = ist, und dann ist A 
durch B theilbar, d. h. A und B unterscheiden sich nur durch 
einen constanten Factor. Ist aber Cq von Null verschieden, so 
setzen wir die Rechnung fort, indem wir 

B = QC ^ n 

setzen, worin (nach §. 4, wenn dort « = — c^ : Co gesetzt wird) 



§. 6. Quadratische und cubische Function. 39 

(9) D = &o Cf — h Co Ci -f h Cq . 

Ist D von Null verschieden, so sind J., i? ohne gemein- 
schaftlichen Theiler, Ist aber D = 0, so ist C der grösste ge- 
meinschaftliche Theiler von A und 2^. 

Setzt man die Werthe Cq, Cj aus (8) in (9) ein, so erhält 
man mit Weglassung des Nenners boC^ die Bedingung für die 
Existenz eines gemeinsamen Theilers C von A und B in der Form 

(10) a^-ftg- -|- a.ß^- — 2 ao«2^o&2 — aiCi^hoh^ — ao«i&i^2 
oder 

(11) («0^2 — ^0«2)'- + («0^1 — «l^o) («o&i — «iZ^ä) = 0. 

Diese Bedingung ist auch erfüllt, wenn Co und Ci gleich 
Null sind, und ist also die nothwendige und hinreichende Be- 
dingung dafür, dass A, B einen gemeinsamen Theiler haben. 

Die linke Seite von (10) oder (11) heisst die Resultante 
der Functionen A und B. 

Als zweites Beispiel nehmen wir das schon im §. 3 gewählte. 

Setzen wir 
..^. f(3o)= (lox^ -^ a^x^ -\- a^x -{- Us = A 

^ ^ f'{x) = SaoX'' + 2aiX -f ag = B, 

und setzen a^ von Null verschieden voraus, so haben wir nach §. 3 : 



(13) 




A — QB + C, 


(14) 




C • — C{)X 1 c^, 


worin 






(15j 


Co — 


Göotta — ^af 9aoa3 — «i«2 
9ao ' ^' 9ao 



Wenn Cq gleich Null ist, so ist hiermit der Algorithmus schon 
geschlossen; wenn Cj von Null verschieden ist, dann haben A und 
B keinen gemeinsamen Theiler; ist aber c^ auch gleich Null, so 
ist B selbst der grösste gemeinsame Theiler von A und B^ d. h, 
A ist durch B theilbar. Die Bedingungen hierfür sind also: 

(16) 3ao«2 — "f = 0, 9ao«3 — «i«2 = 0. 

Ist Co nicht gleich Null, so gehen wir einen Schritt weiter 
und setzen 

(17) B=PC-{-I), 

worin B constant wird und den Ausdruck erhält: 
^ ^ a,c:i — 2aiCoCi + Sffpcf 

^0 



40 Erster Abschnitt. §• 6. 

Ist dieser Ausdruck von Null verschieden, so sind A und B 
theilerfremd, ist er gleich Null, so haben Ä und B den grössten 
gemeinschaftlichen Theiler C. Setzen wir für Co, c^ die Werthe (15) 
ein, lassen den Nenner weg, heben noch den von Null verschie- 
denen Factor 9ao heraus und kehren das Vorzeichen um, so 
erhält diese Bedingung nach einfacher Rechnung die Gestalt: 

(19) af«! ~\~ 18 «0^1 «2 '^3 — 4:aoa.^ — 4afa3 — 21 a^a^ = 0. 
Sie ist, wie man leicht durch Rechnung oder auch aus (18) 
sieht, auch dann erfüllt, wenn die Bedingungen (16) bestehen, 
und ist also die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, 
dass f{x) und f (x) einen gemeinsamen Theiler haben. Die 
linke Seite von (19), die eine ganze rationale und homogene 
Function der Coefficienten von f{x) ist, heisst die Discrimi- 
nante der Function /(a;). 

Wir leiten noch einen Satz aus dem Algorithmus (3) her, 
der oft angewandt wird. 

Aus der ersten dieser Gleichungen folgt: 

(20) A" = A — Q'A\ 

und wenn man diesen Werth von A" in die folgende Gleichung 

einsetzt: 

A'" = (1 + Q'Q")A' — Q"A. 

also, wenn mit p, p' ganze rationale Functionen bezeichnet 
werden, 

(21) A'" =pA +p'A'. 

Setzt man die Ausdrücke (20), (21) in die dritte Gleichung (3) 
ein, so ergiebt sich für A'" wieder ein Ausdruck von der Form 

(21) und so kann man fortfahren, und erhält schliesslich: 

(22) A^'^ = FA-{- P'A\ 

worin P, F' ganze rationale Functionen sind, deren Coefficienten 
durch rationale Rechenoperationen aus den Coefficienten von A 
und A' zusammengesetzt sind. 

Die Gleichung (22) bleibt richtig, wenn man P durch P — QA' 
und P' durch P' -\- QA ersetzt, worin Q eine beliebige ganze 
Function von x ist. Sind nun n und n' die Grade von A und A\ 
so kann man Q nach §. 3 so bestimmen, dass der Grad von 
P — QA' nicht grösser als n' — 1 wird, und dann folgt, da in 
(22) die höchsten Potenzen von x sich wegheben müssen, dass 
der Grad von P' -|- QA nicht höher als n — 2 sein kann. 



§.6. Producte linearer Functionen. 41 

In der Formel (22) ist A^''^ eine Constante. Besonders 
wichtig ist dieser Satz in dem Falle, wo J.^"* von Null verschie- 
den, also A, A' relativ prim sind. Setzen wir in diesem Falle 

P = A^''^F{x), P' = A^''^ (x), 

so können wir nach Weglassung des Factors A^*'^ dem Satze fol- 
genden Ausdruck geben: 

I. Sind f(x) und (p{x) zwei ganze Functionen ohne 
gemeinsamen Theiler von den Graden n und m, 
so kann man zwei andere ganze Functionen 
F{x) und (x) bestimmen, deren Grade nicht 
höher als m — 1 und ti — 1 sind, die der Gleichung 
(23) F(x)f{x) -{- (I>{x)(p(x) = 1 

identisch genügen. 
Der Satz lässt sich noch verallgemeinern. Multipliciren wir 
die Gleichung (23) mit einer beliebigen ganzen J'unction x(^), 
so folgt: 

(24J F(x) X {x)f(x) -i-0(x)x (x) cpix)=x (x), 

und nach §. 3 können wir 

(25) ^{x)xix) = Q(x)f{x) + i^{x) 

setzen, so dass Q{x), t(x) ganze Functionen von x sind, und der 
Grad von ip{x) kleiner ist als der von f(x). Setzen wir dies 
in (24) ein und setzen an Stelle von F(x) x(^) ~\~ Q (^) 9 (^) 
wieder F(x)^ so erhalten wir: 

F(x)f{x) ^(p{x)^p(x) =x(x). 
Wir können daher den vorigen Satz so verallgemeinern: 
IL Sind/(a;), q){x), x(^) gegebene ganze rationale 
Functionen, und/(a;) und q) (x) ohne gemein- 
samen Theiler, so lassen sich die ganzen 
rationalen Functionen F(x), ip{x) und zwar ip{x) 
von niedrigerem Grade als f{x) so bestimmen, 
dass die Gleichung 

(26) F(x)fix) ^^(x)(p (X) = X {X) 
identisch befriedigt ist. 

§• 7. 
Producte linearer Factoren. 
Nach §. 1 erhalten wir durch Multiplication ganzer Func- 
tionen ebensolche Functionen von höherem Grade, und zwar be- 



42 Erster Abschnitt. §. 7. 

stimmt sich der Grad des Productes durch die Summe der Grade 
der einzelnen Factoren. 

Wenn wir also n lineare Factoren mit einander multi- 
pliciren, so entsteht eine Function wten Grades, deren ßildungs- 
weise wir etwas genauer untersuchen müssen. 

Wir wollen die linearen Factoren in der einfachen Form 
X — «1, a; — «2, . . ., X — «„ annehmen, und setzen, da der 
Coefficient der höchsten Potenz = 1 ist, 

(1) f{x) = (a; — «i) (x — «2) . . . (a; — «„) 

= a:" -|- aiic"-! + a^x'^-^ -\- • • - ün- 

Eine leichte Ueberlegung lässt folgendes Bildungsgesetz der 
Coefficienten «i, a^ . . • an erkennen: 

Es ist — cLi gleich der Summe «, «2 gleich der Summe 
der Producte von je zweien der a, — «3 die Summe der Pro- 
ducte von je dreien der «, allgemein ( — 1)' a,. die Summe der 
Producte von je v der Grössen a, oder in Formeln ausgedrückt: 

-|- «2 = -^ «1 ^-2 

^ ^ ( ly fl, = Z'«! «2 . . . «v 

( — l)"fl„ = «iWa ...«„. 

Um aber noch deutlicher die Piichtigkeit dieses Bildungs- 
gesetzes einzusehen, bedient man sich der vollständigen In- 
duction. 

Man bestätigt die Piichtigkeit zunächst in den ersten Fällen 
durch wirkliche Ausführung der Multiplication 

{x — «1) {x — a^) = X'- — («1 -|- «2) X -\- aia.2, 

{x — Kj {x — «2) {x — «3) = X-' — («1 -\- «2 4- W3) a-2 

-f {a^U^ + «i«3 + «2 «3) ^ — «1«2«3- 



W 



Nehmen wir die Piichtigkeit unseres Bildungsgesetzes bei 
— 1 Factoren als bewiesen an und setzen: 



{x — «1) (x — «2) ... {x — «n-i) = ^""^ + aix'"-^ -^ ••• fl».-i- 
so findet man durch Multiplication mit x — w„: 



§. 7. Producte linearer Factoren. 43 



a, 




tti 




ß„ 




«2 




a'o 




Cn 


a[ 


tto 




«3 




«n 


ttä 



(3) ........ 

a, = a[ — «„a'v_i 



^n ^« f« — li 

und daraus ist die Richtigkeit der Formeln (2) unmittelbar er- 
sichtlich. 

Es ist von Wichtigkeit, die Anzahl der Glieder zu bestim- 
men, die in jeder der Summen (2) vorkommen. Wir bezeichnen 
die Anzahl derTerme, die in der Summe ( — 1)'«, vorkommen, mit 
5l"^; es ist die Anzahl der Combinationen ohne Wiederholung 
von n Elementen zur v*^° Classe (d. h. von je v verschiedenen 
der n Elemente). Um sie zu bestimmen, denke man sich zu- 
nächst die B["l.i Combinationen zur (v — 1)*«" Classe gebildet. 
Aus jeder dieser Combinationen kann man durch Hinzufügung 
je eines der fehlenden n — v -{- l Elemente n — v -\^ l Combi- 
nationen zur v*'^^ Classe ableiten. Auf diese Art aber wird jede 
Combination vmal, nämlich durch Hinzufügung jedes ihrer Ele- 
mente gebildet, so dass man die Relation 

(4) B':' = B^U ''-" + ^ 

V 

erhält, während B^i^ oöenbar denWerth n hat. Wenn man also 
die aus (4) folgenden Gleichungen 

BT' = n 

ßin) __ ß(n) n 1 



5i"> - B':u '' 

multiplicirt, so folgt 


i' -f- 1 

V 

. {n — V -|- 1) 


^^^ -^' 1.2.3. 


. . V 



Wir werden in der Folge oft, wenn m eine beliebige positive 
ganze Zahl ist, das Zeichen 

(7j n(m) = 1 . 2 . 3 . . . m, r/(0) = 1 

benutzen, so dass 
(8) n(ni) = mn{m — 1). 



44 Erster Abschnitt. §.7. 

Mit Hülfe dieses Zeichens lässt sich der Ausdruck für 5l"^ 
übersichtlicher so darstellen: 

^^^ ^' —^''-' — n{v)n{n-vy 

der, wenn JBo*^ = 1 gesetzt wird, auch noch für i^ = und v = n 

gilt, und die Unveränderlichkeit von 5t"^ bei der Vertauschung 
von V mit n — v erkennen lässt. 

Das Product 77 (m) wird auch die Facultät von m genannt 

und mit 

1 . 2 . S . . . m = m\ 

bezeichnet. 

Die Ableitung der Formel (4), die wir soeben nach den 
Vorschriften der Combinationslehre gegeben haben, ist zwar 
vollkommen richtig und einleuchtend, erfordert aber zur ge- 
nauen Begründung einige Ueberlegung, die sich nicht gut in kurze 
Worte fassen lässt. Wir wollen daher nachträglich noch durch 
das Mittel der vollständigen Induction die Pdchtigkeit beweisen. 

Die Formeln (3) geben nämlich die folgenden Recursions- 
formeln : 



73(") T)(n — 1) 

X),i -Dn — 1 

Nun lässt sich die Formel (6) für die ersten Werthe von n 
sehr leicht durch Abzählen bestätigen. Nimmt man sie für 
n — 1 als richtig an, so ergiebt (lOj: 

T.(n) _ n{n-\) n{n - 1) 

' n(v) n{n — V — 1) ~^ n{v — i) 77 (w — vy 

woraus nach (8) 

_g(n) ^ 77 (w) 



n{v) n(n — V)' 

und hierdurch ist die Allgemeingültigkeit der Formel (9) bewiesen. 

Aus der Bedeutung von j5v'^ ergiebt sich, und wird auch 

aus den Formeln (10) durch vollständige Induction be'VNaesen, 

dass die ^1"^ positive ganze Zahlen sind. 



§• 8. Binomial-Coefficienten. 45 

§. 8. 
Der binomische Lehrsatz. 

Wenn wir in der Formel (1) des vorigen Paragraphen die 
bisher willkürlichen Grössen a^, «2 . , . a„ einander gleich setzen, 
so erhalten wir den binomischen Lehrsatz, der in nichts 
Anderem besteht, als in der Ordnung der wten Potenz eines 
Binomiums x -\- y nach Potenzen von x. Wenn wir nämlich 

«1 = «0 = • • • = cin = — y 

setzen, so ergiebt die Formel (2) 

tty = (— lyUa^a-i . . . «,. = 7/5t'*\ 

worin nach der Definition des vorigen Paragraj^hen J5t"^ die An- 
zahl der Terme der Summe bedeutet, die alle einander gleich 
und gleich ( — !)*■ y" werden. 
Demnach ergiebt sich 

(1) (X H- yy = x- -{- B^^^x^-'^y + Bi^^ x—^f -\ f- B^:\f\ 

oder entwickelt geschrieben: 

{x -j- yY = rr" + nx^'-Uj -] \ — —^ x»-^f- -{-... -j- tß 

die letzte Summe über alle nicht negativen ganzzahligen Werthe 
et, ß erstreckt, die der Bedingung a -\- ß = n genügen. 

Hiernach heissen die Coefficienten B["^ die Binomial- 
coefficienten. 

Wir setzen der Uebersicht wegen eine kleine Tabelle der 
ersten Werthe der Binomialcoefficienten hierher: 

n=l 1, 1, 

n = 2 1, 2, 1, 

n = 3 L 3, 3, 1, 

n = 4 1, 4, 6, 4, 1, 

M = 5 1, 5, 10, 10, 5, 1. 

n — 6 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, 

n= 1 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. 



46 Erster Abschnitt. §. 8. 

AYir wollen unter den verschiedenen Eigenschaften der Bino- 
mialcoefficienten zwei ableiten, von denen wir nachher eine 
interessante Anwendung machen werden. 

Aus (1) ergeben sich, wenn man x^ y durch 1, x ersetzt, und 
n = 0, 1, 2, 3 • . . nimmt, die Formeln 

1 = BT 
(2) (1 + xf = BT + BTx + Bfx^ 

(1 -f xr = B^"^ + B'fx -f Bf^x-^ H [- B'::^x\ 

Wir machen nun von der Summenformel der geometrischen 

Reihe Gebrauch: 

n -4- r^l^ + i 1 

l-f-(l+^) + (l + ^j2_^ ^ (1 _^ ^)n _ Ljll^L £ 

die man aus §. 5 (4) erhält, wenn man dort x durch \ -\- x er- 
setzt. Entwickelt man hier wieder (1 -|- a^)'» + i nach der Bino- 
mialformel, indem man in der letzten Formel (2) n in n -{- 1 
verwandelt und B'q~^' = 1 setzt, so erhält man für die rechte 
Seite : 

Vergleicht man dies mit der Summe der rechten Seiten von 
(2) und setzt den Vorschriften des §. 1 gemäss die Coefficienten 
entsprechender Potenzen von x einander gleich, so folgt: 

Bf + Bf -\-BT ^ h ^o" = B'^^'' 

^4) BV -^Bf -^.^•^BT=B',^^'^ 



T>fn) -p(n + 1) 

oder allgemein 

(5) 5<;> + 5t' +^^ H h B'^T = B^^^^. 

Wenn man aber die Gleichungen (2j der Fteihe nach mit 

Bt\ -B'i\ + 1?^"^ • • ± 5ir\ 

multiplicirt (wo das obere Zeichen bei geradem, das untere bei 
ungeradem n gilt), so ergiebt die Summe der linken Seiten nach (1) 

BT - BT (1 + X) -^ bT{i + xy ± bT(i + ^)" 

= [!-(]+ X)]- = (- xy, 



§. 9. Interpolation. 47 



S 



und die Gleichsetzimg der Coefficienten gleich hoher Potenzen 
auf der rechten und linken Seite liefert das Formelsystem 

^ BfB"-^ — B'VB^^ + BfB\^^ + B'^^B"^^ 

^^^ =- — bVb"^^ + bTb^:^'' + ^i">£l.") 

(6) 

+ 1 = ± 5^r^-Bi"^- 

Dies Formelsystem lässt sich in umgekehrter Reihenfolge 
mit Benutzung der Relation B^^ = B\"Lv auch so darstellen: 

1 = B^^^B'i'^ 

= M"^5^"^ - Bf-'^B["^ 

(7) = BfBl;'^ - B^;'-'^B["^ + b\;'-'^bP 

= B^:^Bir' - £L'-i^^M"^ + b^^ZoPb'.^^ — + bTb'-:\ 

oder auch in zusammenfassender Bezeichnung: 
(8) k (- l)'i^,lr-v''5l"^ =1 .ti = 

0,u 

= /Lt = 1, 2 . . . w. 

§• 9- 
Interpolation. 

Wir wollen von den zuletzt gewonnenen Formeln eine An- 
wendung machen auf eine Aufgabe aus der Theorie der Inter- 
polation. 

Es soll eine ganze rationale Function «ten Gra- 
des bestimmt werden, die für n -{- \ gegebene Werthe 
der Veränderlichen x vorgeschriebene Werthe hat. 

Es handelt sich also um die Bestimmung der n + 1 Coeffi- 
cienten «ov «1, . . . a,j in 

aus den n -\- \ Gleichungen 

(2) /(«) = A, /K) = A,... f{u,,) = An, 

wenn «o, «1 • • • «n die gegebenen Werthe von ic, und Aq, A^ ... A^i 
die entsprechenden Werthe von f(x) sind. Die Gleichungen (2) 
sind ein System von Gleichungen ersten Grades für die Unbe- 
kannten «0, «1, • . •, «tn die sich im Allgemeinen durch Deter- 
minanten auflösen lassen, wie wir im nächsten Abschnitt sehen 



48 Erster Abschnitt. §. 9. 

werden. Wir kommen später auf diese Aufgabe zurück, be- 
handeln sie aber jetzt unter der besonderen Voraussetzung, dass 
die gegebenen Werthe von x die n -\- \ ersten ganzen Zahlen 
0, 1, 2, ... M seien. 

Die Binomialcoefficienten 5t"\ wie sie durch §. 7 (6) definirt 
sind, behalten ihren guten Sinn, auch wenn n keine ganze Zahl 
ist, wie bisher vorausgesetzt war, sondern eine beliebige veränder- 
liche Grösse. Es ist dann 

(^^ ^' - 1 .2.3...T. 

eine ganze rationale Function vten Grades von x i). Der Coeffi- 
cient von x'^ ist von Null verschieden und daher kann auch x^ 

ausgedrückt werden durch B^f^ und durch niedrigere Potenzen 
von X. Es lässt sich also auch jede ganze Function wten Grades 

f{x) von X linear ausdrücken durch Bt\ -Bi"^^ • . . Bn^ in der 
Form : 

(4) fix) = M, Bt^ + M, B'^' -\ h ^nBt\ 

worin 3Io, M^ ... Ji"„ Constanten sind, und die Function /(ic) 
ist bestimmt, wenn diese Constanten bestimmt sind. 

Es sei nun nach unserer Voraussetzung /(0),/(l),/(2) . . ./(w) 

gegeben; da nach (3) J5t^^ immer verschwindet, wenn x einen der 
Werthe 0, 1, 2, ... v — 1 hat, so ergeben sich aus (4) die fol- 
genden linearen Gleichungen für die Unbekannten 31: 

f{Q) = M,BT 

/(l) = Jfo5?^ + m,bT 

(5) /(2) = 3I,B? + 3I,Bf' + M,Bf 

f{n) = 3I,B':' + 3I,B[^' -j- 31,Bf' -\ \- 3InB':\ 

Diese Gleichungen sind nun in Bezug auf Mo, 31^ . . . 3In 
aufzulösen, was sehr leicht mit Hülfe der Schlussgleichungen (8) 
des vorigen Paragraphen geschieht. Die erste Gleichung (5) er- 
giebt nämlich direct 

(6) Mo=f(0). 

1) Die Bedeutung dieser verallgemeinerten Binomialcoefficienten für 
die Entwickelung der Potenzen des Binoms gehört nicht hierher , sondern 
in die Analysis. 



§. 10. Interpolationsproblem. 49 

Multiplicirt man die erste Gleichung (5) mit Bo\ die zweite 
mit — B^i^ und addirt, so erhält man nach dem erwähnten 
Formelsjstem (auf n = l angewandt): 

- M, = Bi''f{0) - B[''f{l) 

und so allgemein, indem man die v ersten Gleichungen (.5) der 

Eeihe nach mit B^o\ — B^;\ -f B'i'^ • ■ - ± B['^ multiplicirt und 
addirt: 

(7) ±M. = 5^/(0) - B^'fil) + ^^■V(2) . . . ± B':'f(v), 

wodurch nach (4) die Function F(x) bestimmt und die Aufgabe 
gelöst ist. Es ist klar, dass, so lange wir über die Werthe /(O), 
/(l), . . . f(n) keine besondere Voraussetzung machen, in dieser 
Form jede beliebige ganze rationale Function von x dargestellt 
werden kann. 



§• 10. 

Lösung des Interpolationsproblems durch die 

Differenzen. 

Die Definition der ganzen rationalen Function B^^^ 

/n 7?(^) _ ^ (^ — l) ■ ■ ' (x — V -\- l) 

^^^ ^' - 1.2. '6 ...V 

giebt die früher schon für den speciellen Fall eines ganzen 
positiven x bewiesene Relation: 

(2) J5t" + '^ = J5t"^ + 5lli, :B|,"+" = Bi^^ = 1. 

Daraus erhalten wir für die Coefficienten Jio, M^ . . . Mn eine 
Bestimmungsweise, die für die praktische Rechnung viel be- 
quemer ist, als die Anwendung der Formeln des vorigen Para- 
graphen. 

Es ist nämlich nach den Formeln (4) und (6), §. 9, 

(3) fix) =/(0) + 3f,Bt' -f Jf^^B^^ H h -^"^ir^ 

und wenn wir darin x durch x -|- 1 ersetzen und die Differenz 

(4) Zl^=f(x-i-l)-f{x) 
bilden, mit Rücksicht auf (2) 

(.5) z/, = M, -f M,B'r' + M,B^^^ -\ h MnB^:U 

woraus sich ergiebt [da (5) eine Gleichung von derselben Art 
wie (3) ist, nur dass w — 1 an Stelle von n getreten ist]: 

Weber, Algebra. I. 4 



50 



Erster Abschnitt. 

M, = ^0 =/(l)-/(0). 



§. 11. 



Setzen wir 



'x + l 



— /I, 



= ^; 



(6) 



^' 



x-\-\ 



^; = ^i 



^x + 1 ^x ^x ? 



SO wird also hiernach 

Mo = /(O), 31, == z^o, M, = ^o ... Mn = ^^T 
und die Formel (3) ergiebt 

und ebenso kann man die Functionen z/^;, z/^, z/^ . . . ausdrücken: 

^, = z^o + ^;^i'^ H h ^[.""'^^L^^i 



f(n-l) 



(8) 



^/: 



(n-l) War) 



z/o + z/o^r^H [-^'r^s'nL 



Die z/^, z/' z/" . 



f(n-l) 



a:) 



sind ganze rationale Functionen 
der Grade n — 1, w — 2, ... 0, die letzte von ihnen also con- 
stant. Um sie alle darzustellen, braucht man nur die Werthe 

/(O), z/q, z^oi ^Ö'? • • • ^o^~^\ die man am leichtesten berechnet, 
wenn man eine Tabelle anlegt, die für den Fall n = S z. B. 
folgende Form haben würde: 



/(O) 


A 


-^;, 


/(l) 


^1 


^1 


/(2) 


^2 




/(3) 







und, wenn die /(O), /(l), . 
tractionen berechnet wird. 



gegeben sind, durch einfache Sub- 



§. 11. 
Arithmetische Reihen höherer Ordnung. 

Das Vorhergehende ist die Grundlage für die Theorie der 
arithmetischen Reihen höherer Ordnung. 
Wir bezeichnen mit 

(1) Wo, Ml, II2, «31 • . . 

irgend eine unendliche Reihe von Grössen und mit 



§• n. Aritlimetisclie Reihen. 5X 

(2) z/q = Ml — Mo, ^1 = «2 — Ml, ^2 = % — ^2 • . . 
die Reihe ihrer Diiferenzen, mit 

(3) z/i = ^1 — z/o, z/1 =r z/2 — ^1 . . . 

die Reihe ihrer zweiten Differenzen u. s. f. 

Es ist klar, dass die Reihe (1) vollständig bestimmt 
ist, wenn ihr erstes Glied und die Reihe ihrer ersten Differenzen 
gegeben ist; denn es ist 

Ml = Mo 4- ^0, ^2 = Mo -^ z/o + z/i . . ., 
Wm = Mo + z/o + z/i + . . • + z/,„_i. 

Ebenso ist die Reihe (1) völlig bestimmt, wenn die beiden 
ersten Glieder und die Reihe ihrer zweiten Differenzen gegeben 
ist u. s. f. Die Reihe (1) wird eine arithmetische Reihe 
wter Ordnung genannt, wenn die Reihe ihrer wten Diffe- 
renzen constant ist, also die Reihe der (n -\- l)ten Differenzen 
aus lauter Nullen besteht. 

Man erhält eine arithmetische Reihe wter Ordnung, wenn 
man in einer ganzen Function wten Grades f (x) für x die 
Zahlen 0, 1, 2, 3 . . . einsetzt. 

Denn setzt man 

z/, =f(xJri)-f(x) 



^x '^(x + l) ^x » 



SO ist z/a; vom (n — l)ten, z/^ vom {n — 2)ten Grade in Bezug 

auf X, und also z/^""^^ constant. 
Ist nun 

eine arithmetische Reihe wter Ordnung, so ist die ganze Reihe 
vollständig bestimmt, wenn die n Werthe Mq, Mi, % . . . Wn-i und 
ausserdem die constante wte Differenz gegeben sind. Diese 
letztere ist aber bestimmt, wenn auch noch das (n -\- l)te Glied 
Un gegeben ist. Wir können also den Satz aussprechen: 

Eine arithmetische Reihe wter Ordnung ist voll- 
ständig bestimmt, wenn ihre n -\- 1 ersten Glieder 
gegeben sind. 

Da nun eine Function f{x) vom nten Grade gleichfalls durch 
die willkürlich gegebenen Werthe 

/(0),/(i),/(2), .../(n) 

4* 



52 Erster Abschnitt, §• H. 

völlig bestimmt ist, so folgt, dass aus den ganzen ratio- 
nalen Functionen nten Grades f{x) alle arithmeti- 
schen Reihen wter Ordnung erzeugt werden, wenn 
man darin für x die Reihe der natürlichen Zahlen 
setzt. 

Der Ausdruck des allgemeinen Gliedes ist dann durch die 
Formel (7) des vorigen Paragraphen gegeben. 

Die Summen der 7n -{- 1 ersten Glieder einer arithmetischen 
Reihe niev Ordnung 

Sm = ■l<0 + Wi + • • • + ^m 

bilden eine arithmetische Reihe (n -f- l)ter Ordnung, da ihre 
ersten Differenzen 

Sm -|- 1 S,n iim + 1 

eine arithmetische Reihe wter Ordnung bilden. 

Es lässt sich also mit Hülfe der Formel (7) des §. 10 die 
Summe s,n allgemein bestimmen, wenn man So-, Si . . . Sn + i als 
bekannt annimmt. 

Um die erzeugende Function F(x) von s^ zu finden, wenn 
f(x) die erzeugende Function von u^, ist, setzt man 

F{0) = /(O) 

F(l) = /(O) -f /(l) 

J'X2)=/(0j+/(lJ+/(2) 



und hat dann in der Formel (7), §.10: 

F{x) = F{0) -f- Do-Bi"^ + D'oJB'^^ -^ 

zu setzen: 

Do = F{1) - F(()j =/(l), i>'o =/(2) -/(l) = z/„ 
A = F{2) - Fil) =/(2), D; =/(3) -/(2) = ^„ 
D, = F{3)-F{2)=f{S), Dl = zi, -^, =A, 

So erhält man: 

F{x) =/(o) +/(ij^i^^ 4- ^1^2^^ + ^1^3"^ H 

Nehmen wir z. B. f{x) = a;-', so giebt uns F{iin) die Summe 
der m ersten Quadratzahlen. Es ist 



§• 12. Der polynomische Lehrsatz. 53 

also F(..) -. .. + .q^-=i) , ^ ^(^ - 1) (^ - 2) 
^ 1.2 1 1.2.3 

_ a;(a; 4- 1) (2^ -f 1) 
"~ 6 

Für fix) = x^ ergiebt dieselbe Rechnung: 



i.(.)=p±i)y. 



Die Summe der m ersten Guben ist also gleich dem Quadrat 
der mten Trigonalzahl. 

Der polynomische Lehrsatz. 

Im §. 8 ist für den binomischen Lehrsatz die Form ab- 
geleitet: 

(1) {x-]-yy = n (n) V jjj^— ^ 

.^^ n(cc) n(ß) 

in der sich die Summe auf alle Combinationen zweier Zahlen 
a, ß erstreckt, deren keine negativ ist und die der Bedingung 

(2) a ^ ß =n 

genügen. 

Diese Form gestattet, zunächst durch Induction, eine Ver- 
allgemeinerung auf die wte Potenz eines Polynoms: 

(3) (. + , + . + ...)» = n('0°'Sn(^ '^w'zf(;)... ' 

mit der Bestimmung, dass a, /3, y . . , alle positiven oder ver- 
schwindenden ganzzahligen Werthe durchlaufen, die der Be- 
dingung 

(4) ci -\- ß -\- y -\- ' • • = n 

genügen. Um aber die Richtigkeit dieser Formel allgemein zu 
beweisen, nehmen wir an, sie sei bewiesen, wenn das Polynom 
ein Glied weniger enthält, wie sie es in der That ist, wenn das 
Polynom nur zwei Glieder enthält. 
"Wir setzen dann 

(5) ti = y -{- -\ 

und wenden auf (x -\- u) die Formel (1) an, aus der sich er- 
giebt : 



54 Erster Abschnitt. §. 1.3. 

a, V y.a ^v 

(6) ra; + 2/ -f- ^ + • . -J" = n(n) 2; n{a) n(y) 
mit der Beschränkung 

(7) u -j- V = n. 

Nun ist aber nach der Annahme schon bewiesen: 

(8) «• = ^(-) S /zrgf,;... 

(9) ^ 4- y H = ", 

und wenn dies in (6) eingesetzt wird, so ergiebt sich unmittel- 
bar die Formel (3), und (7) geht in (4) über. 
Die Coefficienten 

neu P(") — ^<^^) 

^^^^ ^"„'?.-/-.. — j7(«^ niß) n{y) . . .' 

die ihrer Bedeutung nach ganze Zahlen sind, heissen die Poly- 
nomialcoefficienten. 

Beispielsweise erhält man für die dritte Potenz des Trinoms: 
(11) {x -^ ij -{- gy = x^ ^ iß + ^3 j^^x^y -\- Sxtß 

4- 3x^2 -}- 3x3^ -\- Sy^2 -{- 3yz^ -{- 6xy0. 

Wenn n eine Primzahl ist, so hat in (10) der Zähler den 
Factor »?, während der Nenner n{a)n{ß)n{y) . . . den Factor n 
nur dann enthält, w^enn eine der Zahlen oc, /3, y . . . gleich n, 
die übrigen gleich Null sind. Es folgt hieraus, dass die Poly- 

nomialcoefficienten P'u,\^,y • • • alle durch n theilbar sind, mit 
Ausnahme der Coefficienten von x'^, if\ ^", . , . die gleich 1 sind. 
Von diesem wichtigen Satze werden wir später häufig Ge- 
brauch machen. 

§. 13. 
Derivirte Functionen. 

Es sei 
(Ij f(x) = Ooä;" J- aiic«-i -f a^x""-^ -f • • • + «n 

eine ganze rationale Function «ter Ordnung. 

Wenn wir darin x durch ein Binom x -\- y ersetzen, so 
können wir auf jedes einzelne Glied den binomischen Lehrsatz 
anwenden, und können das Ergebniss nach fallenden oder nach 
steigenden Potenzen von x oder von y ordnen. Wir wollen die 
Ordnung nach steigenden Potenzen von y ausführen. Die höchste 



§• 13. Derivirte Functionen. 55 

Potenz von y, die vorkommt, ist die wte, und der Coefficient der 
nullten Potenz von y ist dieFunction/(:c) selbst, wie man erkennt, 
wenn man ^ = setzt. Wir setzen also, indem wir die anderen 
Coefficienten mit 

f(x\ ^'^^> /"(^) 

•^ ^ ^' n{2y J7(3) *•• 

bezeichnen, 

(2) /(x + y) =f(x) + yf'{x) + J^ /"(x) + • . • 

0, r» '^ '' 

Die Functionen /(x), /"(^), /'"(a;) . . . heissen die erste, 
zweite, dritte, . . . Derivirte oder Abgeleitete von fix). 
Es sind ganze Functionen von x und ß'\x) kann den Grad 
71 — V nicht übersteigen, da die Summe der Exponenten von x 
und y in keinem Gliede den Grad n übersteigt. 

Die erste Derivirte, die also der Coefficient der ersten 
Potenz von y in der Entwickelung von f(x -\- y) nach 
steigenden Potenzen von y ist, erhält man durch Anwen- 
dung des binomischen Lehrsatzes auf (1): 

(3) f'{x) = waoo:"-! + {n — \)a^x''-^ + {n — 2)a.2X»-^ +... 
Der Hauptsatz über die derivirten Functionen ergiebt sich 

aus (2), wenn wir x in x -^^ z oder y m y -\~ s verwandeln: 

y V 

(4) /(^ + 2/ + ^) = S Tlfe /^n^ + ^) = 2: %7#/^K^). 

Bezeichnen wir mit /^'''■") (x) die fite Derivirte von /t''> (a;), 
so ist nach (2) 

(5) FK^^-^) = ^j^^F^^Kx), 

0, « — V ^^^ 

und nach dem binomischen Satze: 

^^ 77(1/) 2j n(ß) n(yy ^^^ ^' 

Setzen wir dies in (4) ein, so folgt: 

Die letzte Summe ist über alle nicht negativen Zahlen ß, y 
zu erstrecken, deren Summe den Grad n von f{x) nicht über- 



56 Erster Abschnitt. §. 13. 

steigt. Dieselben Zahlencombinationen durchlaufen aber auch die 
Exponenten v, fi auf der linken Seite, und die Vergleichung der 
Coefficienten gleicher Potenzen und Producte ergiebt (nach §. 1): 

(8) /^.")(:r)=/'' + ^)(^), 
also den Satz: 

Die fite Derivirte von der vten Derivirten ist die 
(v -)- fi)te Derivirte der ursprünglichen Function. 

Man erhält also die sämmtlichen höheren Derivirten , indem 
man nach der Regel (3) aus jeder vorangehenden die erste Deri- 
virte bildet: 

/ (x) = «oo;" + aia;"-^ + «a^'""" + «sic"-^ -j- • . . 

(9) / (x) = na^x''-^ + (n — 1) a^x"-^ -\- (n — 2) a^a^-^ -f • • 
/" (x) = n (n — 1) aoa;«-2 -{- (n — 1) (n — 2) a^x"-^ + • • • 

Eine etwas einfachere Form nehmen diese Derivirten an, 
wenn man sich einer anderen Bezeichnungsweise bedient, die 
häufig im Gebrauch und für gewisse Zwecke fast unentbehrlich 
ist, die wir im Anschluss hieran besprechen wollen. 

Es liegt wegen der Unbestimmtheit der Coefficienten 
tto, tti . . . ün ofi'enbar keine Beschränkung darin, wenn wir eine 
ganze rationale Function wten Grades so darstellen: 

(10) f{x) = «0^" + J5i"^aia;»-i + B^^ a^x^-^ -\ ^ a„, 

oder ausführlich: 

(11) fix) = «0«" + Ma^a;"-! -\ \. — ^ a^x*"-^ + • • • 

Wenn eine Function f(x) so dargestellt ist, werden wir sagen, 
sie sei „mit den Binomialcoefficienten geschrieben". 

Grössere Uebereinstimmung zeigen hierdurch bereits die 
Formeln (9), die dann so lauten: 

f{x) = «0^" + «a,a;"-i -\ ^ — ^-^ a^x''-^ + • • • 

^12) = a,x-^-\-{n-\)a,x-' + (n-|)_(n-2) ^^^^_^ _^ _ _ 



n{n — Ij 



l'« 9) (^i 3") 

= ao^""- + (»i — 2)fliX"-2 + ^^ Y^ ^ a^x»-^ -\- 



§• 14. Derivirte eines Productes. 57 

worin die rechten Seiten alle auch mit den Binomialcoefficienten 
geschrieben erscheinen. \Yir werden später den Nutzen dieser 
Bezeichnungsweise noch weiter kennen lernen, müssen aber schon 
hier hervorheben, dass die Wahl der einen oder anderen Dar- 
stellungsweise doch nicht ganz gleichgültig ist. die erste oft 
auch den Vorzug verdient. Besonders in den Fällen, wo die 
Coefficienten Zahlen sind und es auf das zahlentheoretische Ver- 
halten dieser Coefficienten ankommt, darf man nicht ausser Acht 
lassen, dass durch die Binomialcoefficienten ein der Sache 
fremdes numerisches Element eingeführt wird. Dass Gauss in 
der Theorie der quadratischen Formen (in den Disq. ar.) die 
Schreibweise mit den Binomialcoefficienten anwendet, wenn er 
die quadratischen Formen durch ax"^ -j- 21 xy -(- ciß darstellt, 
und dass diese Bezeichnung allgemein Eingang gefunden hat, 
hat in der Zahlentheorie zu einer unnöthigen und sehr bedauer- 
lichen Complication geführt. 

§. 14. 
Derivirte eines Productes. 

Die derivirten Functionen, die wir hier betrachtet haben, 
sind keine anderen als die aus der Differentialrechnung bekannten 
Differential quotienten ; wir haben den Begriff aber hier, wo es 
sich um ganze rationale Functionen handelt, ohne Anwendung 
der Infinitesimalrechnung gewonnen aus den Entwickelungscoeffi- 
cienten der Potenzen von y in der Function /(a; -|- y). Bezeichnen 
wir die vte Ableitung von /(a:) mit -D,/, so ist nach (2), §. 13 

und daraus ergeben sich sofort die beiden Grundsätze, die sich 
in den Formeln 

(2) I).{Cf)=CD.f, 

(3) D,(/+g,) = z;,/+D.9 

ausdrücken, worin C eine Constante, qo eine zweite ganze ratio- 
nale Function von x ist. 

Eine Verallgemeinerung der Formel (2) giebt die Darstellung 
der Derivirten des Productes f(p. Setzt man nämlich nach (1) 
abkürzend 



58 Erster Abschnitt. §• 1^- 



fix + y) = Wo + y^<i + y"-u-2 + • • • 2/"« 
9(a; -|- 2/) = n + 2/^1 + y^^'2 + • • • 2/^"^' 



tnt 



(4) 
also 

so ergiebt die Ausführung der Multiplication der beiden Formeln 
^dj, wenn man in dem Product den Coefficienten von y^ auf- 
sucht : 

(6) ' y Y = ^^'^0 + Uy-lVi -\- lly-2V2 + • • • WoVv, 

oder 

(7) D.ifcp) = cpDyf^S'pDy^,f.D,cp-^BPDy^2f-D,(p-^---, 

worin I^i'-*, ^o'^ , . . die ßinomialcoefficienten sind. In ähnlicher 
^yeise kann man unter Anwendung der Polynomialcoefficienten 
die Derivirten eines Productes von mehr als zwei Factoren 
bilden. 

Wir wollen die erste Derivirte, die wir jetzt mit D statt 
mit Dl bezeichnen, für ein Product von »iFactoren danach bilden. 

Für zwei Factoren erhalten wir nach (7): 

I)(fcp) = cpDf-^fDcp 

= <pf'ix)^fcp'{x) 

und allgemein, wenn wir die Factoren mit ti^, U2 . . . Un-, die 
Derivirten mit i(l, U2 . . . u'n bezeichnen: 

(8) JDiliiU^ . . . Un) 

= tl'ili2 . • • Un -j- U^lh . . . Un -\- • ' • -\- U1U2 , . . lln, 

oder kürzer: 

D(UiU2 . . . Un) -sr^ Duv 

U1U2 . . . Un -^ Um 

Wenn wir also ein Product aus linearen Factoren 

(9) f{x) ■= {x — «1) {x — «o) . . . {x — «„) 

betrachten, so erhalten wir, da die ersten Derivirten von x — k^, 
X — a2i . . . x — Un sämmtlich gleich 1 sind, 

/' {x) =z (x — U2) {x — a,~) . . . {x — «„) 
+ (^' — «1) {X — a-i) . . .{x — Un) 

-\- (x — «i) ix — U2) . . . {X — a„_i), 
wofür man auch setzen kann: 



§• 15. Partialbrüche. 59 

(u) /(.)=/'£!, + /W^ + ...+ /(-) 



X — Ui ' X — «2 X — a„ 

Ein sehr wichtiges Resultat ergiebt sich hieraus, wenn x 
gleich einem der Werthe cc^, «3 • . . «n gesetzt wird, nämlich 

/ («1) = («1 — «2) («1 — «3) . • • («1 — ein) 
(12) -^'^""^^ ~ ^"2 — «1) («2 — Ci-i) . . . («2 — «„) 

/'(«„) = (a„ — «J (a„ — w,) . . . («« — a,_i). 

§. 15. 
Partialbrüche. 

Die zuletzt abgeleiteten Formeln können dazu dienen, die in 
den Paragraphen 9 und 10 behandelte Interpolationsaufgabe in 
einer neuen Form zu lösen. Es habe/(a;) dieselbe Bedeutung wie 
oben, nämlich 

(1) /(^) = (^ — «0 (x — «2) . ..{x — w„), 

und «1, «2 . . . «M seien beliebige, jedoch von einander verschie- 
dene Grössen. Wir setzen zur Abkürzung 

/i (^) = /— r, = (^ — «2) {x — cc,) . . . (X — a„) 



(2) 



^2 (^) = :/-^ = (a; — «0 {x — CC3) . . .(x — an) 

X 1*2 

fn{x) = -^^ = (a:; — «i) (a; — «2) . . . (a; — o{„_i), 



so dass nach den Formeln (12) des vorigen Paragraphen /] (a^) 
= /'(ai), /i («2) = 0, ebenso allgemein, wenn ^ und v ver- 
schiedene der Indices 1, 2 ... m sind: 

(3) /,(«,)=/'(«.), /.(«„) :=0. 

Wenn nun A-^, A^^ . . . An ein System gegebener Grössen ist, 
so hat die ganze Function (n — l)ten Grades 

(4) g> (X) - A, j,j~^ + ^-2 j,j^-^ + • • • + ^„ ^,^ , 

wegen (3) die Eigenschaft, für a; = a^ in Av überzugehen, und 
es ist also eine ganze Function (n — l)ten Grades (p(x) dar- 
gestellt, die für n Werthe von x gegebene Werthe annimmt, wie 



60 Erster Abschnitt. §. 15. 

in §. 9. Für besondere Werthe der Ä^ und a, kann der Grad 
von q) (x) auch noch niedriger werden. Die Formel (4) ist die 
Interpolationsformel von Lagrange. Sie lässt sich nach (2) 
auch so darstellen: 



f{x) ix-a,)f\u,)^ (x — a,)f'(a,) ' ' (^_«„)/'(«„)' 

und hierin kann cp{x) jede beliebige ganze Function (n — Ijten 
oder auch niedrigeren Grades bedeuten. Ist 0(x) eine Function 
von höherem als (n — l)ten Grade, so kann man nach §. 3: 

(6) 0{x) = Qf(x)-^<p{x) 

setzen, worin Q eine ganze Function und (p (x) höchstens vom 
{n — l)ten Grade ist. Zugleich ist aber wegen (1) 

(7) 0(u,) = (p{ail 
und folglich 

(8) '^^Q^ ^^^M I ^(-^) 



f{x) ^ f'M{x — a,) ' /' («2) (a: — W2) 



-f ••• + 



/' (a„) {x — a„) 

Durch diese Formel ist der Bruch 0{x):f{x) in eine Summe 
aus einer ganzen Function Q und aus Brüchen mit constantem 
Zähler und linearem Nenner zerlegt. Diese Brüche heissen 
die Partialbrüche der gebrochenen Function 0{x) '. f{x). Sie 
spielen bekanntlich eine wichtige Piolle in der Integralrechnung. 

Wir leiten aus diesen Piesultaten noch einige Folgerungen 
ab: Setzen wir (p{x) = a;'" + ^ so bleibt die Formel (5) anwend- 
bar, wenn m<in — 1 ist. Setzen wir voraus, dass von den Grössen 
«1, «2: • • -1 ^'n keine verschwindet, so wird die linke Seite von (5) 
gleich Null für a; = 0, und wir erhalten den Satz: 

m m m 

w = 0, 1 , 2, . . . M — 2. 

Für O {x) = a;" kann die Formel (8) angewandt werden, in 
der sich ^ = 1 ergiebt, und es folgt: 

n — 1 n — 2 n — 1 

Die Formeln (9) und (10) gelten auch dann noch, wenn 



§. 15. Partialbrüche. 61 

eine der Grössen a verschwindet. Dies ist ohne Weiteres klar, 
wenn m ;> ist. Aber auch für m = ergiebt sich (9) in 
diesem Falle aus der Formel (5), die für (p{x) = x, «j = 
so lautet: 

-T ' ■ • -r 



was für X = wieder die Formel (9) ergiebt. 

Wir haben bei diesen Betrachtungen ausdrücklich ange- 
nommen, dass die Grössen «i, Wj, . . ., a„ von einander ver- 
schieden sind ; anderenfalls würden einige der Grössen /' (wi), 
/'(«,), • . ., /'(o'n) verschwinden. Verstehen wir aber allge- 
meiner unter f(x) ein Product aus Potenzen von einander ver- 
schiedener Linearfactoren der Form x — w, und unter 0(x) eine 
beliebige ganze Function, so lässt sich auch jetzt noch die ge- 
brochene Function C>(x) '. f(x) in eine ganze Function und 
eine Summe von Partialbrüchen zerlegen, wenn wir allge- 
meiner unter Partialbrüchen Brüche verstehen, die einen 
Constanten Zähler und eine Potenz des Binoms {x — u) 
im Nenner enthalten. 

Um dies durch vollständige Induction nachzuweisen, setzen wir 

(11) /(^) = (^-«)Vi(^) 

und verstehen unter /j {x) ein Product aus Potenzen von Linear- 
factoren, unter denen x — a nicht mehr vorkommt. 

Nun lässt sich nach §. .5 die Constante A so bestimmen, dass 

(12) Q {x) — Af, {x) = (X - a) 0, (x) 
durch (x — cc) theilbar wird. Es ist nur 

ZU setzen, und dann ergiebt sich aus (11) und (12): 

^ ^ f{x) (:c-«)Vi(«)'^(^-«)"-Vi(^) 

Auf den zweiten Bruch auf der rechten Seite dieser Formel, 
der den Factor {x — «) einmal weniger im Nenner enthält, als 
der ursprünglich gegebene Bruch ^{x) :f{x), lässt sich dasselbe 
Verfahren wieder anwenden, und damit kann man so lange 
fortfahren, bis die gewünschte Darstellung durch Partialbrüche 
erreicht ist. 



62 Erster Abschnitt. §. 16. 



§• 16- 

Entwickelung einer gebrochenen Function nach 
fallenden Potenzen der Variablen. 

Wir haben im §. 3 für einen beliebigen positiven Expo- 
nenten V die Formel abgeleitet: 

(1) x'0{x) =f(x) {c„_,„_ia;'«-« + ^' + Cn-,nX-'-^ + '-^ 

worin /, 0, 0i ganze Functionen von x der Grade n, w, n — 1 
waren, und worin die c und ebenso die Coefficienten von Qi 
rational aus denen von / und von abgeleitet sind. Dividirt 
man diese Formel durch x^f(x), so folgt: 
0(x) 

fO^ /^ 'T"' — n I /o /)^jn — n — 1 

yaj j, On — »n — X '^ ^^ <-^n — m -^ 

Der ins Unbestimmte fortgesetzte Theil dieses Ausdrucks 

heisst die Entwickelung des Bruches 0{x):f{x) nach fal- 
lenden Potenzen von x und die Cj die Entwickelungscoeffi- 
cienten. Das weggelassene Glied x—'Oy{x):f{x) heisst der 
Rest. Mit welchem Piechte man unter Umständen die Entwicke- 
lung für die Function selbst setzen kann, ist eine Frage, die in 
die Analysis gehört, auf die wir hier nicht einzugehen brauchen. 
Wenn Q(x):f{x) eine echt gebrochene Function ist, so 
enthält die Entwickelung nach fallenden Potenzen nur negative 
Exponenten von x. Ist aber : f unecht gebrochen, so scheidet 
sich noch eine ganze Function oder eine Constante ab. Der 
Theil mit negativen Potenzen 

^4-£i I £i I 

X ' X' ' X'^ 

ist der wichtigste: Er ist für alle Functionen derselbe, die 
bei der Theilung durch / denselben Ptest geben. 

Die Entwickelung (2) ist in dem Sinne eindeutig bestimmt, 
dasSj wenn wir einen Ausdruck von der Form annehmen: 



§. 16. Entwickelung einer gebrochenen Function etc. G3 

(4) J^J = c'n-m-lX^-^ ^ Cn_„,X-'-n-l 

und nur voraussetzen , dass in der gebrochenen Function Si 
der Grad des Nenners höher sei als der Grad des Zählers, dann 
nothwendig 

(5) d = d, Sl = — ^ 

sein muss. Es folgt nämlich zunächst aus der Annahme (4) 
durch Multiplication mit x*f{x), dass Sif{x) eine ganze Function 
von X ist, deren Grad also nach unserer Annahme höchstens 
= n — 1 ist, und dann werden die c'i durch Vergleichung mit 
der Formel (1) den d gleich gefunden, was dann für' Sl den Aus- 
druck (5) nach sich zieht. 

Daraus folgt weiter, dass man die Entwickelungscoefficienten 
für die Summe von zwei oder mehr gebrochenen Functionen er- 
hält, wenn man die entsprechenden Coefficienten der einzelnen 
Summanden addirt, und dass man die Entwickelung eines Pro- 
ductes zweier Functionen dadurch bilden kann, dass man hin- 
länglich weit fortgesetzte Stücke der Entwickelungen der ein- 
zelnen Factoren mit einander multiplicirt, und das Ergebniss 
wieder nach absteigenden Potenzen der Variablen ordnet. Hier- 
bei kann man einfach die Ptegel der Multiplication (§. 1) auf 
ganze Functionen von 1 : x anwenden. 

Für den einfachen Bruch 

1 

X — « 
ergiebt sich die Entwickelung 

— — — ~~j — — I — — ] — • o • 

**/ **/ *A/ «A/ 

wie man leicht aus §. 3, (12) findet, und daraus, wenn man einen 
nach §. 15, (8) in Partialbrüche zerlegten Bruch hat: 

^(^^ _ n i *^^«i) I ^ K) 

7777 — Vi- .//„ u^ ^ -r 



Ji^) /'(«lj(^— «l) /'(«2)(^ — «2) 

"^ r f(^a„)(x — a„y 

für die Coefficienten Cq, Cj, Cg . . . die folgenden Ausdrücke: 

worin sich das Summenzeichen auf a^, «25 • • •? ^^n erstreckt. 



C4 Erster Abschnitt. §. 17, 

Nehmen wir insbesondere (x) = f (x) an , so werden 
die Grössen Co, c^, C2 • • • identisch mit den Summen der Potenz 
der a: . . 

(6) Co = n, Cy = Zai, c.2 = 2^«,?, . . - 

§• 17. 
Ganze Functionen mehrerer Veränderlichen: Formen. 

Wir haben bisher vorzugsweise die ganzen rationalen Func- 
tionen von einer Veränderlichen betrachtet; wir können uns 
aber nicht immer darauf beschränken und haben ja auch schon 
oben Functionen mehrerer Veränderlichen benutzt. Unter einer 
ganzen rationalen Function nten Grades mehrerer Veränderlichen 
F{x^ y, z, . . .) verstehen wir eine Summe von Gliedern: 

2;j.„,^,j,... X" if zy . . ., 

worin «, /3, y , . . ganzzahlige, nicht negative Exponenten sind, 
deren Summe a -j- /3 -{- y -}- • • • den Werth n nicht übersteigt, 
und wenigstens in einem Gliede auch wirklich erreicht. Der 
Grad wird also bestimmt durch den grössten Werth, den die 
Summe « -j- /3 -j- y -f- • • • annimmt. Die Au,^,-,... können be- 
liebisce Grössen darstellen und heissen die Coefficienten. 

Wenn die Summe der Exponenten a -{- /3 -|- y -j- • • • in 
allen Gliedern denselben Werth hat, so heisst die Function 
homogen. 

Eine fundamentale Eigenschaft der homogenen Func- 
tionen »zten Grades ist die, dass, wenn alle Va- 
riablen mit demselben Factor vervielfältigt wer- 
den, der Erfolg derselbe ist, wie wenn die Function 
mit der 7iten Potenz vervielfältigt wird; in Zeichen, 
wenn t eine beliebige Veränderliche bedeutet: 
(1) F{tx, ty, tz . . .) = t"F(x, y,z.. .); 

denn ersetzt man in dem Product x" y^ z'' . . . die Variablen 
durch tx, ty, tz, . . ., so erhält es den Factor 

hat nun a -{- ß -\- y -\- • - • in allen Gliedern denselben Werth 
n, so kann der Factor i" vor die Summe F herausgenommen 
werden. Hat aber die Summe a -\- ß -\- y -i- - • - in den ein- 
zelnen Gliedern verschiedene Werthe, so kann ein solcher ge- 
meinschaftlicher Factor nicht herausgenommen werden, wenig- 



§. 17. Formen. ß5 

stens nicht, ohne dass noch verschiedene Potenzen von t in 
den einzelnen Gliedern bleiben. 

Durch Vermehrung der Veränderlichen kann man jede 
nicht homogene Function in eine homogene von gleichem Grade 
verwandeln. Ist nämlich m — 1 die Anzahl der Variablen in 
einer nicht homogenen Function w*^'^ Grades, so setzen wir 

.z;, X.2 x^ 

X = — 1 ^= — , 2 = ^- • • -. 



und erhalten in 

X. 



n TP ( "^l '^2 •^;'. \ 

»i J^ \ ? 1 • • • I 

\Xffi X,fi Xfn / 



eine ganze homogene Function wten Grades der Variablen 
Xi, x^ . . . a?„„ die wir mit 

^ (^n x=i . . . x„i) 
bezeichnen. 

Es empfiehlt sich bisweilen, die homogenen Functionen meh- 
rerer Variablen mit den Polynomialcoefficienten zu 
schreiben. 

Wir setzen daher 

(2) O (x^, X2 . . . Xr,^) 

— 2u j7(«ij ii(«2) . • • ^K) ^"'' "-••"- ^' ^' • • ■ ^- 

wo sich die Summe auf alle nicht negativen, der Bedingung 

(3) «1 + «2 + • • • + '^'« "= ''^ 

genügenden Zahlen erstreckt. Diese Bezeichnungsweise, ohne die 
Beschränkung (3), ist auch auf nicht homogene Functionen an- 
wendbar. 

Man kann aber die homogene Function auch so darstellen: 

worin jeder der Indices Vj, v^ . . . Vn von den übrigen unabhängig 
die Werthreihe 1 , 2 . . . »w zu durchlaufen hat. Die Summe (4) 
besteht also aus m" Gliedern, die aber nicht alle von einander 
verschieden sind. Das Product Xy^ Xy^. . , Xy^ bleibt nämlich un- 
geändert, wenn die Indices v^, v^ . . • v« beliebig unter einander 
permutirt werden. Die Anzahl der Permutationen von n Ele- 
menten beträgt aber 71 (wj. Sind unter diesen Elementen je 

Weber, Algebra. L 5 



66 Erster Abschnitt. §. 17. 

Kj. «2 . . . einander gleich, so reducirt sich die Zahl der Permu- 
tationen auf 



n 



in) 



J7(a,)77(a,j . . .' 
woraus sich ergieht. dass in (4) irgend ein Product x"^xl^ . . . genau 

n(n) 

mal vorkommt. Setzt man also noch fest, dass Äy^^ v.2 . . . r„ sich 
nicht ändern soll, wenn die Indices beliebig permutirt werden, 
so erweisen sich die Bezeichnungsweisen (2j und (4) als iden- 
tisch, wenn durch Zusammenfassen gleicher Factoren 






rp /v^ /y nr^\ 0^^2 ^ 

'i ''2 ■ ■ ■ n 1 2 • • • "' 

und 

-4,1, ip . . . r„ = -^«1, Cj . . . a„j 

gesetzt wird. 

Bezeichnen wir die Anzahl der Glieder, die in der Function 
CD [nach (2)] auftreten, mit (w, >?), so findet man, indem man zu- 
nächst die Glieder zählt, die den Praetor x-^ haben und dann 
die übrigen, die eine homogene Function «ter Ordnung von den 
übrigen m — 1 Variablen bilden, die Recursionsformel: 

(5) (w, n) = (m, n — 1) -f- {m — 1, n), 

mit deren Hülfe man durch vollständige Induction den Ausdruck: 

(a, A„ ,,^ _ ^» 0^^ -r 1) • • • 0'^ -r » — 1) _ -^ i^^ + ^? — 1) 
^bj Kin.n)— 1.2...W "" 77(«) i7(m — Ij' 

der sowohl für n = \ als für m = 1 richtig ist, als allgemein 
gültig erkennt. 

Die ganzen homogenen Functionen werden auch Formen 
genannt. Man unterscheidet nach der Anzahl der Variablen 
unäre (einfache Potenzen), binäre, ternäre, quaternäre 
Formen. Die binären Formen sind es, die uns hier besonders 
interessiren , deren Theorie im Wesentlichen identisch ist mit 
der Theorie der ganzen rationalen Functionen einer Veränder- 
lichen. Man gelangt von den binären Formen zu diesen Func- 
tionen zurück, wenn man eine der homogenen Variablen als con- 
stant ansieht, z. B. ihr den Werth 1 giebt. 



§• 18. Kationale Functionen. 



67 



§• 18. 
Die Derivirten von Functionen mehrerer Variablen. 

Wir haben im §. 13 die derivirten Functionen einer ganzen 
rationalen Function einer Veränderlichen definirt. Der Begriff 
lässt sich unmittelbar übertragen auf Functionen mehrerer 
Variablen, indem man die Ableitungen in Bezug auf jede Variable 
für sich, als ob sie die einzige wäre, bildet. So erhält man, 
wenn man etwa wie in §. 17 

(1) F(x, y,z...) = 2JÄa, ß,y... x"yi^sY . . . 
setzt, die erste Derivirte nach x: 

(2) F' (x) = EaA,, ^, , . . . x"~^ ifzr . . .. 
oder nach y: 

(3) F'iy) = UßA., ,,, y . . . x">/^-^zy . . . 

u. s. f. Aus diesen Functionen kann man nach denselben Regeln 
wieder die Ableitungen nach den verschiedenen Variablen bilden 
und erhält so die höheren Ableitungen. 

Um die Resultate übersichtlicher darzustellen, sei 0(;ri, x^... x^) 
eine ganze rationale Function wter Ordnung der m Veränderlichen 
Xi, x^ ... Xm- Wir ersetzen diese Veränderlichen durch Binome: 

•^l 1 feil ^2 ~T~ =25 • • -5 ^in ~\~ fem 

und entwickeln in jedem Gliede der Function 

^ (^1 + fei, ^2 + ^2, • . ., ^m + Im) = ^ (« + |) 

durch Ausführung der Multiijlication 

{Xi 4- I,)"' {x, + la)«^ ...{Xm-{- U"«. 
nach Potenzen von |i , I2 • • • Im- Fassen wir gleiche Potenzen 
und Producte der Variablen | je in ein Glied zusammen, so 
ergiebt sich in der Bezeichnung (2) §. 17 für 1>{x -j- |) eine 
Darstellung, die in der Differentialrechnung die Taylor 'sehe 
Entwickelung heisst: 

Die Coefficienten, die wir mit 

bezeichnen, sind Functionen der Variablen x und heissen, wenn 

5* 



ßg Erster Abschnitt. §• 18. 

«^ _|_ c/,2 -|- • • • -|- u,n = V ist, die Derivirten vier Ordnung 
der Function ^. 

Man stellt sie auch nach der in der Differentialrechnung 
gebräuchlichen Bezeichnungsweise so dar: 

(5) I)u„a^...a^^ = -cXi"^dXl^...dxy 

Das Bildungsgesetz der Derivirten lässt sich in folgende 
Sätze zusammenfassen, wobei wir der Kürze wegen die Indices 
bei dem Zeichen D weglassen. 

L Ist C eine Constante, so ist 
I){C<^) = GBO. 
II. Sind ^ und 'F irgend zwei Functionen, so ist 
2)(0 _j- w) = DO -\- LW. 

Beides folgt unmittelbar aus (4). 

Wir können also leicht die derivirten Functionen allgemein 
bilden, wenn wir sie für den speci eilen Fall kennen, in dem ^ 
ein Product von Potenzen ist, also wenn wir 

-L^a^. c... .a^ \^l -^2 • • ' • m J 

kennen, worin die ^ beliebige, nicht negative Exponenten sind. 
Nun ist aber 

(X. + ; )"■ = S Ji(..jfli.". - %) «''^''"°' 

und folglich: 

(6) (^1 + ll)"^ • • • (^m + lm)"m 

vT^ ^' bl • • • 6>n } 

^ 2^ n (ui — «!_).. . J7(fim — «„,) 77 («i) ... 77 («„,) 
und es ergiebt also die Vergleichung mit (4) und (6): 

V. -Lfui . . . a„i V'^l • • • '^m ) 

77(f^i) . ■ . 77 (.»„.) _ /n.-«m 

77 (uj — «j) . . . 77(iLi„, — K,„) 1 

so lange «i ^ i^i . . • «,„ ^ ji„,. Dagegen ist 

(8) D«! . . . a,„ fe'' • . . ^m") = ^' 

sobald einer der Indices « grösser ist als der entsprechende 
Exponent fi. 



§• 18. Rationale Functionen. 69 

Bezeichnen wir nun mit ßi, ßz . . . ß,» ein zweites System 
von Indices, und bilden von der Function (7) die Ableitung 

•^^1' ßi- ■ • ßmi so ergiebt sich durch nochmalige Anwendung der- 
selben Formeln (7) und (8): 

(9) ^ß. . . . (^m ^"i . • • «„. fc'^ . . ^^) = i^s + «I . . . ^. + "^ fev . . ^rr), 

und daraus folgt nach II. die allgemeine Gültigkeit des Satzes: 

was eine Verallgemeinerung des Satzes (8), §. 13 ist, und man 
kann also die höheren Derivirten durch fortgesetzte Ableitung 
der niederen bilden. 

Für die ersten Derivirten einer Function <& 

A, . . . ^, Do, 1 . . . ^, . . . i>o, . . 1 ^ 

brauchen wir auch die kürzeren Zeichen 
ebenso für die zweiten 

i^2, ... 0, -Dl, 1 ... 0, . . 

die Zeichen 

^"{x„ Xi), ^"(^1, X2) = <^"{X2, x,l . . . 

Auch diese Bezeichnung lässt sich verallgemeinem und 
würde zu einem der Formel (4), §.17 entsprechenden Ausdruck 
führen. Alles dies behält seine Gültigkeit, mag die Function 
homogen sein oder nicht. 

Wir erwähnen des häufigen Gebrauches wegen die Formeln 
für die quadratischen Formen besonders. Setzen wir 

(10) 0{X) = Züi^T^Xi Xk, 

worin i, Tc von einander unabhängig die Reihe der Zahlen 
1, 2 . . . m durchlaufen und a,-, k = ciu, » ist, so ist 

(11) V2 ^' (^2) = «2, X a^i + a2, 2 3^2 + • • • + a2,mOC„ 

72^ (Xm) ^= ttm, 1^1 ~I Cfm, 2^2 "T" ' ' ' l ^m,mXmf 

und wir setzen noch 

(12) 0{x, Ij = 0(|, a) = 2:^i0'(Xi] = Zxi0'ili). 
Dann ist 

(13) 0{x + ^j = 0(x) + 0iX., ^) + 0(1). 






70 Erster Abschnitt. §• 19. 

Die Function 0{x, 'S,} wird die Polare von genannt. Sie 
ist linear und homogen sowohl in Beziehung auf die x^ wie in 
Beziehung auf die |. 

Sie kann ausgedrückt werden durch 

(14) ^{x,^) = 2Zai^^iX^ 
und genügt der Bedingung 

(15) ^{x,x) = 10{x). 

§. 19. 
Das Euler'sche Theorem über homogene Functionen. 

Aus den vorstehenden Entwickelungen lässt sich mit Leich- 
tigkeit ein Fundamentalsatz über homogene Functionen her- 
leiten, der von Euler entdeckt und nach ihm benannt ist. 

Wir erhalten ihn am einfachsten aus der Formel (4) des 
vorigen Paragraphen, wenn wir darin als homogene Function 
annehmen. Ist dann t eine beliebige Veränderliche und 

so ergiebt die Fundamentalformel §.17 (1) für die homogenen 
Functionen 

(2) a + tY^(x^ - V ^rA^2):i^^(^^>«)-'>^ j) ^ 

Wendet man auf der linken Seite von (2) den binomischen 
Satz an, und setzt dann die Coefficienten gleich hoher Potenzen 
von t beiderseits einander gleich, so ergiebt sich für jedes 

n(n) . 

(3) jj, ^^ ^(■^i, X2 . . . Xm) 

^^ 77(aJ 77(«.j...77(cc,„) ^ 2 ,„ 

worin sich die Summe auf alle der Bedingung 

(4) «1 + «2 + • • • + «m = '^ 
genügenden Werthsysteme der a erstreckt. 

In dieser Form ist das zu erweisende Theorem in seiner 
Allgemeinheit enthalten. Für den besonderen Fall v = l 
erhalten wir die Formel 
(.5) n0{Xi, a^a . . . ^,«) = oc^ CD' (x^) -j- x^ 0' (^2) + • • • ^m ^'{x,n). 



§. 20. Zerlegbare und unzerlegbare Functionen. 71 

wovon die Formel (15) des vorigen Paragraphen ein specieller 
Fall ist, und für v = 2: 

(6) n(n — 1) <X>(Xi, x^ . . . x,n) = 2J Xi Xk ^"(Xi,Xu), 

worin die Summe von i = l bis i = m und von Je = 1 bis 
Je = m zu erstrecken ist, so dass jedes Glied mit ungleichen ^■, Je 
zweimal in der Summe auftritt. 

Setzen wir, wenn die a der Bedingung (4) unterworfen sind 

(7) ^.(1, x) = ^ l^ J^ ■'■\ D«.,.,...«^ ^, 

li(ai) n{a.2) . . . n(ci,n) 

so ist nach (4) des §. 18: 

(8) 0{x + I) = <^(x) + 0, (;r,|) + ^,(a:,|) H h ^n(^,|), 

und da die linke Seite ungeändert bleibt, wenn x mit | ver- 
tauscht wird, so ergiebt sich die Relation: 

(9) ^„-v (X, I) = 0», (I, X), 
also insbesondere 

(10) On{x.^) = Oa). 

Die Function Qv (x, |) wird, als Function von x betrachtet, 
die vte Polare der Function ^ für das Werthsystem ^ 
genannt. 

Wir wollen die Formel (3) noch für den Fall einer binären 
Form (m = 2) specialisiren. 

Wir bezeichnen die Variablen mit a;, y und setzen zur 
Abkürzung 

O (x, y) = u, JDh, y-h = Uh 

und erhalten aus (4) 

ni>> n[n - v) ff n{ji)n{v - ji) ^'"^ ^ ' 

worin v jeden beliebigen Werth, der nicht grösser als n ist, 
annehmen kann. 

§• 20. 
Zerlegbare und unzerlegbare Functionen. 

Das Product von ganzen Functionen ist wieder eine ganze 
Function, die, wenn die Factoren von Null verschieden sind, 
selbst von Null verschieden ist (§. 2), und deren Grad gleich 



72 Erster Abschnitt. §. 20. 

der Summe der Grade der Factoren ist. Dies ist zunächst evi- 
dent, wenn die Factoren, und folglich auch das Product, homo- 
gene Functionen sind, und es folgt dann allgemein aus der 
Bemerkung, dass sich jede nicht homogene ganze Function in 
eine Summe von homogenen Functionen verschiedener Grade zer- 
legen lässt, deren höchster den Grad der Function bestimmt. 

Wir haben nun unter den ganzen Functionen solche zu 
unterscheiden, die als Producte von zwei oder mehr ganzen 
Functionen, deren keine vom nullten Grade (also constant) ist, 
dargestellt werden können, und solche, bei denen dies nicht mög- 
lich ist. Die ersten heissen zerlegbar, die anderen unzer- 
legbar. 

Wenn eine ganze Function zerlegbar ist, so ist der Grad 
jedes der Factoren niedriger als der Grad der Function selbst. 
Eine lineare Function ist also immer unzerlegbar, und jede 
ganze Function lässt sich in eine endliche Zahl unzer- 
legbarer Factoren zerlegen. 

Wir nennen eine ganze Function W durch eine andere tv 
theilbar, wenn eine dritte ganze Function (oder auch eine Con- 
stante) w' existirt, so dass 

W = ww' 

ist. Daraus folgt dann, dass, wenn ü eine durch w theilbare und 
V eine beliebige ganze Function ist, auch das Product UV 
durch IV theilbar ist, und dass, wenn U, TJ\ U" . . . durch lo 
theilbare, F, F', V" . . . beliebige ganze rationale Functionen sind, 
auch UV + U'V -\- Ü"V" ^ durch w theilbar ist. 

Ist W durch w theilbar, so sagt man auch, w geht in 
TFauf. 

Zwei ganze rationale Functionen ?7, F, die nicht durch eine 
und dieselbe ganze rationale Function theilbar sind, heissen 
relativ prim oder theilerfremd. 

Wir beweisen den Satz: 

I. Sind C/, F, v ganze Functionen irgend welcher 
Veränderlichen, sind U und v relativ prim und 
U^F durch V theilbar, so ist F durch v theilbar. 

Dieser Satz entspricht genau einem bekannten Fundamental- 
satz aus der Lehre von den ganzen Zahlen, dass nämlich, wenn 
ein Product von zwei ganzen Zahlen durch eine dritte ganze 



§.20. Zerlegbare und unzerlegbare Fuuctionen. 73 

Zahl theilbar ist, die zu dem einen Factor theilerfremd ist, der 
andere Factor durch diese Zahl theilbar sein muss. 

Wir beweisen ihn durch vollständige Induction. Sind U^V v 

nur von einer Veränderlichen x abhängig, so ist der Satz 

richtig; denn nach §. 6 (Satz I) kann man in diesem Falle, wenn 

U und V relativ prim sind, zwei andere ganze Functionen P und 

P von X so bestimmen, dass 

PU^ pv =1, 
woraus durch Multiplication mit V 

pur-^pVv = V 

folgt, und daraus ersieht man, dass, wenn IJV durch v theilbar 
ist, auch V durch v theilbar sein muss. 

Wir nehmen also an, der Satz, den wir beweisen wollen, sei 
für Functionen von w und weniger Veränderlichen bewiesen, und 
wir leiten daraus seine Richtigkeit für Functionen von w -j- 1 
Veränderlichen ab. 

Dazu ist erforderlich, dass wir aus dem als richtig voraus- 
gesetzten Theorem I. einige Folgerungen ziehen, als deren Schluss 
sich dann die Gültigkeit des Theorems für die nächst höhere 
Variablenzahl ergiebt. 

Ist V eine unzerlegbare Function, so ist eine andere Func- 
tion ü derselben Veränderlichen entweder relativ prim zu v oder 
durch V theilbar. Daraus folgt nach I. , dass ein Product von 
zwei Functionen U V nur dann durch v theilbar sein kann, wenn 
einer der beiden Factoren durch v theilbar ist. Dasselbe gilt 
für ein Product von mehreren Functionen, und so folgt aus I. 
das Theorem: 

IL Ein Product aus mehreren ganzen Functionen ist 
nur dann durch eine unzerlegbare Function v 
theilbar, wenn wenigstens einer der Factoren 
des Productes durch v theilbar ist. 

Wenn eine ganze rationale Function U auf zwei Arten in 
unzerlegbare Factoren zerlegt ist, 

U = vv' v" ' ' ■ = w iv' iv" . . .^ 
so muss nach II. wenigstens einer der Factoren v, v\ v" . . . 
durch w theilbar sein, also etwa v. Dann aber kann, da auch 
V unzerlegbar ist, v von iv nur durch einen constanten Factor 
verschieden sein. 



74 Erster Abschnitt. §. 20. 

Demnach ist, wenn c dieser constante Factor ist, 
cv'v" • . 4 = iv' ic" . . ., 
woraus folgt, dass eine der Functionen v\ v" . . ., etwa v'. durch 
tv' theilbar ist, und sich also von tu' nur durch einen constanten 
Factor unterscheidet u. s. f. 

Wir erhalten also als zweite Folgerung aus dem Theorem I: 

III. Eine ganze Function kann, von constanten Fac- 
toren abgesehen, nur auf eine Art in unzerleg- 
bare Factoren zerlegt werden. 

Hieraus ergiebt sich der Begriff des grössten gemein- 
schaftlichen Theilers von zwei oder mehr ganzen rationalen 
Functionen Z7, F. . . Man versteht darunter das Product aller 
unzerlegbaren Factoren, die in den Zerlegungen jeder der Func- 
tionen f/, F. . . vorkommen, oder die Function möglichst hohen 
Grades, die in allen Functionen U, V. . . aufgeht. Nach III. ist 
diese Function, von einem constanten Factor abgesehen, für jedes 
Functionen System ü, V. . . vollständig bestimmt. 

Mehrere Functionen C/, F, W . . . heissen relativ prim, wenn 
keine zwei von ihnen einen gemeinsamen Theiler haben. 

■ Alle diese Definitionen und Sätze sind genau analog mit 
sehr bekannten Sätzen der elementaren Zahlenlehre, die dort 
als Folgerungen des Algorithmus des grössten gemeinschaftlichen 
Theilers auftreten, nur dass hier die unzerlegbaren Functionen 
die Ptolle der Primzahlen übernehmen. 

Wir führen noch einen solchen Satz an: 

IV. Sind M, V relativ prim und Uu, üv durch iv theil- 
bar, so ist ü durch w theilbar. 

Denn zerlegt man die ganzen rationalen Functionen C/, m, v,w 
in ihre unzerlegbaren Factoren, so muss irgend ein Factor von 
w, da er nicht in u und v zugleich vorkommen kann, in U auf- 
gehen. Hebt man ihn aus ü und iv weg, so kann man ebenso 
für einen nächsten Factor von tv schliessen u. s. f. 

Wir betrachten nun ganze rationale Functionen einer Ver- 
änderlichen t 

fit) = Uj"^ + Ml f^-i -I \- U,n-i t + M,„, 

deren Coefficienten ganze rationale Functionen von n Veränder- 
lichen X sind, von denen t unabhängig ist. 

Sind die Coefficienten tfo, "i • • . Um ohne gemeinsamen 



§. 20. Zerlegbare und unzerlegbare Functionen. 75 

Theiler, so heisst f{t) primitiv, im anderen Falle wird der 
grösste gemeinschaftliche Theiler der Coefficienten «to, Wi . . . Um 
der Theiler der Function /(^) genannt (vergl. §. 2). 

Wir schliessen, immer unter Voraussetzung der Gültigkeit 
von I: 

V. Das Product von zwei primitiven Functionen f{t) 
und (p{t) ist wieder eine primitive Function und 
der Theiler eines Productes zweier imprimitiver 
Functionen ist gleich dem Product der Theiler 
beider Factoren. 

Der Beweis ist ganz so wie für den entsprechenden Satz 
in §. 2. 

Es seien 

zwei primitive Functionen und 

(2) F{t) = ü,t'-+^ + c/,<»^+."-i H \- r„^^, 

ihr Product. Es ist dann, wenn r und s irgend zwei Ziffern aus 
den Reihen 0, 1 . . . m, und 0, 1, 2 ... /u- bedeuten (§. 2) 

(3) Ur + a = llrVs + ^r-l l's + 1 + • • • 

Wenn nun tv irgend eine unzerlegbare Function ist, die 
weder in allen Ur noch in allen Vg aufgeht, so wählen wir in (3) 
r und s so, dass Ur das erste nicht durch w theilbare u ist, also 
Ur-i, Ur-2 . . • durch IV theilbar sind, und dass ebenso Vs das 
erste, nicht durch ic theilbare v wird. Dann kann auch Lv + s 
nicht durch iv theilbar sein, weil alle Glieder, mit Ausnahme 
des ersten, durch iv theilbar sind, d. h. F{t) ist primitiv. 

Daraus folgt unmittelbar, wenn p und q irgend welche ganze 
rationale Functionen der x sind, dass j)q der Theiler des Pro- 
ductes der beiden im primitiven Functionen pf{t), ? "JP (0 i^^j ^l^o 
der zweite Theil des Satzes V. Daraus folgt weiter: 

VI. Wenn eine ganze rationale Function F (t) der 
n -\- 1 Variablen x und t in zwei Factoren zer- 
legbar ist, die in Bezug auf t ganz, in Bezug auf 
die X wenigstens rational sind, so ist sie auch in 
zwei Functionen zerlegbar, die in x und t ganz 
und rational sind. 



76 Erster Abschnitt. §. 20. 

Denn nach der Voraussetzung giebt es eine ganze rationale 
Function to der x allein und zwei ganze rationale Functionen 
der X und t, f^ (t), (p^ (i), so dass 

•^^(0--/i(09'i(0, 

und nach V. muss w in dem Product der Theiler von /^ {t) und 
9)1 {t) aufgehen, so dass wir auch 

F{t)=f{t)cp(t) 
erhalten, worin f{t), cp {t) gleichfalls ganze rationale Functionen 
von X und f, und zwar in Bezug auf t von demselben Grade wie 
/i (t) und (pi (t) sind, w. z. b. w. — Hieraus schliessen wir weiter, 
dass zwei Functionen i^(^), /(^), die als ganze rationale Functionen 
der n -\- 1 Veränderlichen x und t betrachtet, in dem oben defi- 
nirten Sinne relativ prim sind, sich auch, als Functionen von t 
allein betrachtet, und nach dem Algorithmus des grössten gemein- 
schaftlichen Theilers behandelt (§. 6), als relativ prim erweisen 
müssen. Denn wenn sie einen gemeinsamen Theiler hätten, der 
in Bezug auf t ganz, in Bezug auf die x gebrochen wäre, so 
liesse sich eine ganze Function T von x und t und eine ganze 
Function P der x allein so bestimmen, dass 

FF{f) = TF,{t\ Pfit) = Tf,(t) 

wäre, worin i^i, fi ganze Functionen ohne gemeinsamen Theiler 
sind. Wenn also Pj, pi, 31 die Theiler der Functionen Pi (^), 
/i (f), T sind, so sind P^ und p-^ relativ prim, und P^ 31 und p^ 31 
sind durch P theilbar, also ist nach IV. auch 31 durch P theilbar; 
mithin sind F{t) und f(t) durch die ganze Function T: P theilbar, 
also nicht relativ prim, wie doch vorausgesetzt war. 

Es ergiebt sich also nach §. 6, dass sich zwei ganze Func- 
tionen Q, q von x und t und eine ganze Function X von den 
X allein so bestimmen lässt, dass die Identität 

(4) QF{t)-{-qf{t)=X 

besteht. 

Ist nun 0(t) eine weitere ganze Function von x und t, so 
folgt aus (4) durch Multiplication mit ^{t) 

Q0it) F{t) + qO{t)f{t) = XO{t). 

und wenn also 0(t) F(t) durch f{t) theilbar ist, so ist auch 
XQ(t) durch /(fj theilbar. 

Demnach können wir, wenn (p(t) und il){t) wieder zwei 
ganze Functionen von x und t bedeuten, setzen: 



§. 20. Zerlegbare und unzerlegbare Functionen. 77 

... XO{t) = cp{t)f{t) 

Multiplicirt man die zweite dieser Gleichungen mit X und 
setzt aus der ersten für XO{t) den Ausdruck (p{t)f{t) ein, so 
lässt sich f(t) wegheben und es folgt 

(p(t)F(t) = X^(0. 
Es muss also X sowohl im Theiler von (p(t)f(t) als in dem 
von (p{t)F(t) aufgehen, und da f(t) und F{t) und mithin auch 
ihre Theiler relativ prim sind, so muss X im Theiler von (p(f) 
aufgehen (nach IV). Setzen wir demnach 

9 (0 = X <p, (0, 

so lolgt aus (5) 

d. h. 0(t) ist durch /(<) theilbar; also: 

VII. Sind F(t) und f{t) relativ piim und 0(t)F(t) durch 
f(t) theilbar, so ist 0(t) durch /(f) theilbar. 
Dies aber ist nichts Anderes als das Theorem I. für Func- 
tionen von n -\- 1 Variablen, und I. somit allgemein bewiesen. 
Zugleich sind damit auch die aus I. gezogenen Folgerungen 
bewiesen, insbesondere die, dass eine Function von einer belie- 
bigen Anzahl von Variablen, abgesehen von constanten Factoren, 
nur auf eine Art in unzerlegbare Factoren zerlegt werden kann. 



Zweiter Abschnitt. 
Determinanten. 



§• 21. 
Permutationen von n Elementen. 

Wir betrachten ein System von n unterschiedenen Elementen 
irgend welcher Art, z. B. die n ZiiEfern 

1, 2, 3 ... w, 

deren Complex in dieser bestimmten Anordnung wir mit 51 be- 
zeichnen wollen. Die Elemente von % lassen sich auf verschie- 
dene Art anordnen, z. B.: 

2, 1, 3 ... w. 

Der Uebergang von einer Anordnung zu einer anderen heisst 
eine Permutation. 

Bezeichnen wir die Anzahl der verschiedenen Anordnungen, 
die nur von der Anzahl n der Elemente abhängen kann, mit 
n.(n), so ergiebt sich zunächst iT(l) = 1, 77(2) = 2, und um 
die Zahl allgemein zu bestimmen, denken wir uns zu w — 1 
Elementen ein nies hinzugefügt. In jeder Anordnung der n — 1 
Elemente kann nun das wte Element an n verschiedene Stellen 
gesetzt werden, nämlich vor das erste, zwischen das erste und 
zweite, zwischen das zweite und dritte u. s. f., endlich nach dem 
(n — l)ten, und alle die so entstandenen Anordnungen sind von 
einander verschieden. Daraus folgt: 

(Ij n{n) = nn{n — 1), 

woraus sich durch vollständige Induction 

(2) 77 (w) = 1.2.3 ... w 

ergiebt. so dass das Zeichen 11 (n) hier dieselbe Bedeutung hat, 
wie im ersten Abschnitt (§. 7). 



§. 22. Permutationen erster und zweiter Art. 79 

Irgend eine Anordnung des Systems ^ bezeichnen wir mit 
%', oder ausführlicher, wenn «j, «3 . . . k„ die Ziffern l, 2 . . . n 
in irgend einer Reihenfolge bedeuten, mit 
(3) 5t' = «1, «2 . . . a„. 

Man kann auf sehr verschiedene Arten aus einer Anordnung 
eine beliebige andere ableiten, d. h. eine Permutation ausführen. 
Unter den verschiedenen Möglichkeiten sind für uns die durch 
sogenannte Transpositionen, d. h. durch successive Ver- 
tauschung von nur zwei Elementen ausgeführten, von besonderem 
Interesse. Durch mehrere, nach einander ausgeführte Transposi- 
tionen lässt sich aus jeder Anordnung, z. B. aus % jede andere 
51' herleiten. Man kann zu diesem Zwecke etwa so verfahren, dass 
man in 51 zunächst das Element 1 mit dem, was in W an erster 
Stelle steht, also mit «j, vertauscht (falls nicht a^ = l ist), dann, 
wenn «o nicht schon = 2 ist, 2 mit «2 u. s. f. 

Um z. B. von (1, 2, 3, 4) zu (4, 3, 2, 1) zu gelangen, bildet 
man die Anordnungen 

(1, 2, 3, 4), (4, 2, 3, 1), (4, 3, 2, 1). 

Bezeichnen wir eine Transposition kurz durch die beiden 
vertauschten Ziffern, also die Vertauschung von 1 mit 2 durch 
(1 , 2), so haben wir hier nach einander die Transpositionen 
(1, 4), (2, 3) ausgeführt. 

Es ist zu bemerken, dass der Uebergang von einer Anord- 
nung zu einer bestimmten anderen auf unendlich viele verschie- 
dene Arten durch auf einander folgende Transpositionen erreicht 
werden kann. So geht die Anordnung (1, 2, 3, 4) auch durch die 
Transpositionen (1, 2j, (1, 3), (2, 4), (1, 2) in (4, 3, 2, 1) über. 

Man kann auch etwa zunächst beliebig oft blindlings trans- 
poniren, und dann erst anfangen, die Transpositionen in der 
angegebenen Weise planmässig einzurichten. 

Permutationen erster und zweiter Art. 

Die n{n) Anordnungen von n Elementen lassen sich nach 
folgendem Gesichtspunkte in zwei Arten zerlegen. 

Aus den n Elementen unseres Systems lassen sich 

und nicht mehr Paare bilden. ^Yir wollen nun den n Elementen 



80 Zweiter Abschnitt. §. 22. 

1, 2, . . . « in bestimmter Weise w reelle Zahlwerthe «i, «2, . . . a„ 

zuordnen, und aus diesen Zahhverthen die — - Differenzen 

«1 — 0^2 1 «1 — % • • • bilden , wobei der niedrigere Index dem 
Minuenden angehören soll. Das Differenzenproduct 

(1) P = {eil — «2) («1 — %) • • • («1 — ««) 

(a-a — ttg) . . . («2 — a„) 



wird, wenn die a^ , «2 • • • «n von einander verschiedene Zahl- 
werthe sind, einen von Null verschiedenen ^Yerth haben, z. B. 
einen positiven, wenn ai >> a2 >> «3 . . . >> a„ angenommen war. 
Wenn wir nun die Indices 1, 2, 3 ... w irgendwie unter ein- 
ander vertauschen, also etwa von 51 zu 51' übergehen, so geht 
P in 

(2) F' = (Cla^ üaj (a«i «a,) • • • (ciu^ ««„) 

(a„., — ««3) . . . (««, — ««„) 



über, und dies Product besteht, abgesehen vom Vorzeichen, aus 
denselben Factoren wie P, d. h. es ist P' entweder gleich P 
oder entgegengesetzt zu P. 

I. Wir rechnen nun die Anordnung W^ und also 
auch die Permutation, die 5t in 51' verwandelt, 
zur ersten oder zur zweiten Art, je nachdem 
P mit P' gleich oder entgegengesetzt ist, so 
dass 51 selbst zur ersten Art gehört. 

II. Durch eine einfache Transposition (/i, /■;), worin 
/i, Ji irgend zwei der Ziffern 1, 2 ... w bezeich- 
nen, ändert sowohl P als P' sein Vorzeichen. 

Denn die Factoren, die h und k gar nicht enthalten, werden 
durch diese Transposition nicht berührt; dann haben wir in 
P und P' den Factor + (cih — öa) und die Factorenpaare 
ib («Ä — «») (cijc — a»), wo V die Reihe der Zahlen 1, 2 . . . w, 
mit Ausnahme von A, h durchläuft. Der erstere Factor ändert 
aber sein Zeichen, während das Factorenpaar ungeändert bleibt 
bei der Transposition (Ä, k). Daraus folgt: 



§. 22. Permutation erster und zweiter Art, 3I 

ni. Die Permutationen der ersten Art sind aus 
einer geraden Anzahl von Transpositionen 
zusammengesetzt, und die der zweiten Art 
aus einer ungeraden Anzahl. 

Zu der ersten Art ist dann auch die sogenannte identische 
Permutation zu rechnen, die 51 ungeändert lässt. 

Daraus ergiebt sich noch die Folgerung: Auf wie verschie- 
denen Wegen man auch 51' aus 51 durch Transpositionen ab- 
leiten mag, die Anzahl dieser Transpositionen ist bei allen diesen 
Arten übereinstimmend gerade oder ungerade (je nachdem 51' 
zur ersten oder zur zweiten Art gehört). 

Wenn wir in den sämmtlichen Anordnungen 

51, 51', 51" . . . 
der n Elemente eine Transposition, etwa (1, 2), vornehmen, so 
geht jede dieser Anordnungen in eine bestimmte andere über, 
etwa 51 in 5Ö, 51' in 53', 51" in S" . . ., und wenn wir dieselbe 
Transposition noch einmal wiederholen, so geht 33 wieder in 51, 
S' wieder in 51' . . . über. Daraus folgt, dass die Anordnungen 
Sß, 25', 53" . . . alle von einander verschieden sind und folglich 
in ihrer Gesammtheit mit der Gesammtheit der 51 überein- 
stimmen. Da nun, wie wir oben gesehen haben, die sämmtlichen 

Diflferenzenproducte 

P P' P' 

die aus P mit den verschiedenen Anordnungen 5t, 51', 51" . . . 
gebildet sind, durch eine Transposition das Zeichen ändern, so 
folgt, dass jedem 51 der ersten Art ein 33 der zweiten Art ent- 
spricht und jedem 51 der zweiten Art ein 53 der ersten Art. 

IV. Hiernach ist die Anzahl der Anordnungen der 
ersten Art ebenso gross, wie die Anzahl der 

Anordnungen der zweiten Art, nämlich — TKji)^). 

Für w = 3 haben wir die folgenden sechs Anordnungen, 
von denen die erste Horizontalreihe die erste Art bildet: 

.gx (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) 

(3, 2, 1), (2, 1, 3J, (1, 3, 2) 

1) Diese Sätze sind hier aus der Betrachtung des Productes P, also 
einer Zahlgrösse, gewonnen. Wie man ohne Benutzung einer solchen 
Function zu denselben Ergebnissen gelangen kann, werden wir im XIV. Ab- 
schnitt sehen. 

Weber, Algebra. L ß 



82 



Zweiter Abschnitt. 



§. 23. 



§• 23. 
Determinanten. 

"Wir betrachten jetzt ein System von n^ beliebigen Grössen, 
mit denen die rationalen Rechenoperationen ausgeführt werden 
können. Zu einer einfachen Bezeichnung dieser Grössen wählen 
wir einen Buchstaben mit einem doppelten Index af\ worin 
i sowohl als Tc die Reihe der Ziffern 1, 2, 3 ... w durchlaufen soll. 
Zur besseren Uebersicht ordnen wir diese Grössen in ein Quadrat, 
so dass alle a mit demselben oberen Index in einer Horizontal- 
reihe, alle a mit demselben unteren Index in einer Verticalreihe 
stehen, und bezeichnen dies Quadrat mit ^, also: 

a^), ai'\ <) . . . a(i) 

af), ce\ af . . . af 



(1) 



^ = 



af\ 



im 



a(3) 

n 



er"' (v"> er 



a 



in) 



Der Kürze halber nennt man die Horizontalreihen Zeilen, 

die Verticalreihen Colonnen oder Spalten. Die Grössen üi'^ 
heissen die Elemente des Systems z/. 

"Wir wollen aber unter dem zwischen verticalen Strichen 
eingeschlossenen Quadrat nicht nur den Complex der Grössen a 
verstehen, sondern eine bestimmte arithmetische Verbindung 
dieser Grössen, die sich ausrechnen lässt, sobald die a numerisch 
gegeben sind, und die wir jetzt beschreiben wollen. 

Man bilde das Product aller Elemente a, die in der von 
links oben nach rechts unten gehenden Diagonale stehen: 

(2) 31 = «(1)42)43) . . . «w, 

leite daraus 77 (w) Producte Jf, Jf, M" . . . her, indem man 
die unteren Indices permutirt, und gebe jedem so entstandenen 
Product das positive oder negative Zeichen, je nach- 
dem die angewandte Permutation zur ersten oder 
zur zweiten Art gehört, also nach der Bezeichnung des 
vorigen Paragraphen: 

(3) I Jf ' = 4- a(i) a(2) . . . a("\ • 

Die Summe aus diesen Producten 

Jf + ilf' + i¥" -|- • • • = U3I 



§. 23. 



Determinanten. 



83 



soll ^ sein. ^ wird die Determinante der n"^ Elemente a<^.'') 
genannt, und zwar, wenn die Unterscheidung nothwendig ist, 
eine w- reih ige Determinante (auch Determinante wten 
Grades oder wter Ordnung). Das Glied M dieser Summe, 
d. h. also das Product aller in der Diagonale des Quadrates 
stehenden Elemente, wird das Hauptglied genannt. 

Nehmen wir z. B. n = 2, so erhalten wir 
(4) A = ap) a^p — a^i) a(2), 

und für w = 3 [nach (3) des vorigen Paragraphen]: 
J = aWaf af + a^^"» a<-p a^^^ -f a'^^) af^ af^ 

JZi £• ». o 182' 

oder in anderer Bezeichnung: 



(5) 



(6) 



(7) 



a, h 

c, ä 



= ad 



hc. 



a, 
a' 
a' 



b, c 
b\ c' 
h", c" 



ah'c" + bc'a" + ca'b" 
— ac'b" — ba'c" — cb' a". 



Es ist dem Leser zu empfehlen , die Berechnung solcher 
Determinanten an Zahlenbeispielen einzuüben. 

Die Bezeichnung (1) ist in vielen Fällen zu umständlich; es 
sind daher noch andere, kürzere Zeichen im Gebrauch. So setzt 
Jacobi, indem er nur das Hauptglied der entwickelten Deter- 
minante ausführlich schreibt: 

(8) ^ = 2J ± a[i) af . . . «(«), 
und Kronecker noch kürzer: 

(9) z/ = I af^ |. 

Beide Bezeichnungen sind aber nur dann ganz deutlich, 
wenn die Elemente in der hier vorausgesetzten Weise durch 
zwei Indices bezeichnet sind, und durchaus unanwendbar, wenn 
die Elemente z. B. numerisch gegeben sind. 

Es kommen bisweilen Determinanten vor, bei denen 

t k 

ist, bei denen also in (1) die symmetrisch zur Diagonale des 
Quadrates stehenden Elemente einander gleich sind. Wir werden 
in diesen Fällen gewöhnlich beide Indices (um ihre Gleichwerthig- 
keit anzudeuten) unten hinsetzen, also 

tti, fc die, i 

setzen. Solche Determinanten heissen symmetrisch. 

G* 



64 Zweiter Abschnitt. §. 24. 

§. 24. 
Hauptsätze über Determinanten. 

Aus dem Begriff der Determinante ergeben sich leicht die 
ersten Sätze, die für die Anwendung geeignet sind. 
^Yenn wir in dem Product [§. 23, (3)] 

\^J — "1 «2 "n 

die Factoren umstellen, so ändert sich sein Werth nicht. Wir 
können also die Factoren auch so anordnen, dass die unteren 
Indices in ihrer natürlichen Reihenfolge 1 , 2 . . . « erscheinen. 
Dabei werden dann die oberen Indices in einer gewissen Weise 
permutirt erscheinen, also 31' die Form erhalten: 

(2) ± api)a(.^«) ... ai'H 

worin 

(/3„ ß, ... ßn) = SS, 

ebenso wie 

(«1, «2 ... «n) = ^ 
eine Anordnung der Ziffern 1 , 2 . . . n bedeutet. Man kann 
die Anordnung S dadurch erbalten, dass man in den Factoren 
von 31' die Transpositionen, die zu 51 gefüln't haben, von der 
letzten anfangend, rückgängig macht, um in der Pieihe der 
unteren Indices wieder die ursprüngliche Anordnung zu erhalten. 
Die dabei sich ergebende Reihenfolge der oberen Indices ist dann 
die Anordnung S. Es folgt daraus, dass SB zur ersten oder zur 
zweiten Art gehört, je nachdem % zur ersten oder zur zweiten 
Art gehört, da beide durch die gleiche Anzahl von Transposi- 
tionen entstehen. Die Gesammtheit der 5Ö stellt ebenso wie die 
Gesammtheit der ^ alle Permutationen der n Elemente dar, da 
zwei verschiedene % niemals zu demselben S führen können. 
Damit ist bewiesen: 

I. Die Determinante ^ kann auch dadurch gebildet 
werden, dass man in dem Hauptgliede a'-^^a^^^ ... u'^> 
die oberen Indices auf alle möglichen Arten per- 
mutirt, jedem der so gebildeten Producte das 
positive oder negative Zeichen giebt, je nachdem 
die angewandte Permutation zur ersten oder 
zweiten Art gehört, und dann die Summe aller 
dieser Producte nimmt. 



§. 24. Determinanten. 85 

In der Darstellung §. 23, (1) von /l werden durch die oberen 
Indices die Zeilen , durch die unteren Indices die Colonnen 
gekennzeichnet, und demnach können wir diesem Satze auch den 
folgenden Ausdruck geben: 

IL Eine Determinante ändert sich nicht, wenn die 
Zeilen zu Colonnen und die Colonnen zu Zeilen 
gemacht werden. 

Wenn wir in den sämmtlichen Anordnungen 51, 91', 91" . . . 
der w Elemente irgend zwei Elemente mit einander vertauschen, 
so bleibt die Gesammtheit dieser Anordnungen ungeändert, aber 
es geht jede Anordnung erster Art in eine Anordnung zweiter 
Art über und umgekehrt. Wenn wir also in den Gliedern 
Ji, 3/', M." . . ., aus denen /i zusammengesetzt ist, irgend zwei 
untere Indices vertauschen, so geht jedes Glied mit positivem 
Zeichen in ein anderes über, das in A mit dem negativen Zeichen 
behaftet war und umgekehrt, also es ändert z/ sein Vorzeichen. 
Daraus folgt mit Hülfe von II. der Satz: 

III. Wenn man in z/ zwei untere oder zwei obere In- 
dices mit einander vertauscht, so ändert die 
Determinante nur ihr Vorzeichen. 

Etwas anders ausgedrückt: 

Wenn man zwei Zeilen oder zwei Colonnen mit 
einander vertauscht, so ändert die Determinante 
nur ihr Vorzeichen, 

und daraus allgemeiner: 

IV. Wenn in einer Determinante die Zeilen oder die 
Colonnen permutirt werden, so ändert sich der 
absolute Werth nicht, und das Vorzeichen ändert 
sich nicht oder geht in das entgegengesetzte 
über, je nachdem die angewandte Permutation 
zur ersten oder zweiten Art gehört. 

Aus III. erhält man den folgenden Fundamentalsatz: 
V. Wenn in zwei Zeilen oder in zwei Colonnen die 
an gleicher Stelle stehenden Glieder einander 
gleich sind (kürzer ausgedrückt: wenn zwei Rei- 
hen einander gleich sind), so hat die Deter- 
minante den Werth Null. 
Denn die Vertauschung der zwei Reihen ändert nach III. 
das Zeichen, kann aber andererseits, da beide Reihen identisch 



86 Zweiter Abschnitt. §. 25. 

sind, nichts ändern, so dass für ^ nur der Werth Null übrig 
bleibt. 

Man drückt den Satz V nur anders aus, wenn man sagt: 

VI. Man erhält eine verschwindende Determinante, 
wenn man die Elemente einer Reihe durch die 
entsprechenden Elemente einer anderen Reihe, 
oder, kurz gesagt, wenn man einen unteren oder 
oberen Index durch einen anderen ersetzt. 



§. 25. 
ü n t e r d e t e r m i n a n t e n. 

In jedem Gliede der entwickelten Determinante 

deren Werth wir jetzt mit A bezeichnen wollen, kommt jede 
der Zahlen 1, 2 ... n ein und nur einmal als unterer Index 
vor. Es wird also ein gewisser Complex von Gliedern den Factor 
oS^^ enthalten, ein anderer Complex den Factor af^ u. s. f., end- 
lich ein Complex den Factor a^"); jedes Glied der Determinante 
kommt in einem und nur in einem dieser Complexe vor. 

Bezeichnen wir also den ersten dieser Complexe mit a^^^^^l^^), 
den zweiten mit af^ A^^^ den letzten mit a(")^["\ so können wir 
die Determinante folgendermaassen darstellen: 

(1) A = a(i)^(i) -f ap)^p) -\ [- a["^A^«\ 

An Stelle des unteren Index 1 hätten wir ebenso gut jeden 
anderen, v, herausgreifen und daher 

(2) A = a'^^ A^^' + a?^ A'^' -] h «t"^ ^t"^ 

setzen können. Darin bedeutet das Product al"^^»"^ den 
Complex aller Glieder der Determinante, die den Factor 

a^^ enthalten. 

Da dieselben Regeln wie für die unteren so auch für die 
oberen Indices gelten, so kann man die Determinante auch noch 
in der folgenden "Weise schreiben: 

(3) A = af Af' + ar A^ -\ \- a^' A':\ 

worin fi gleichfalls jeden der Indices 1, 2 . . . n bedeuten kann. 



§. 25. 



Unterdeterminanten. 



87 



Die hierdurch vollständig definirten Grössen ^t"^ heissen die 
Unterdeterminanten der Determinante A. Um ihre Bildungs- 
weise genau kennen zu lernen, betrachten wir zunächst den 
Complex a^i^Ai\ Man erhält ihn, wenn man in dem Product 



a'^' ai'' 






den unteren Index 1 ungeändert lässt und nur die übrigen In- 
dices 2, 3 ... w auf alle Arten permutirt und die Summe der 
entstandenen Glieder mit Rücksicht auf die Zeichenregel bildet, 
d. h. es ist Ai^ die {n — 1) reihige Determinante: 



(4) 



^(1) = 



«2 5 «3 



(3) 
(I 



«2 5 "3 



(.0 



oder die Determinante, die man aus A erhält, wenn man in dem 
A darstellenden Quadrat [§. 23, (1)] die erste Zeile und die erste 
Colon ne weglässt. 

Daraus ergiebt sich leicht die Bedeutung von Af^; man 
kann, indem man v— 1 Zeilenvertauschungen vornimmt, die 
rte Zeile zur ersten machen, und wenn man noch ^ — 1 Ver- 
tauschungen der Colonnen hinzunimmt, die fite Colonne zur 
ersten; im Uebrigen bleiben die Reihen in ihrer Aufeinanderfolge 
ungeändert. Die Determinante selbst hat den Factor ( — 1)" + '' 
angenommen und ist dem absoluten Werthe nach ungeändert 
geblieben (§. 24, IV). In der so umgeänderten Reihenfolge ist aber 
das Element aV an die Stelle des Elementes a^i^ getreten, und 
daraus schliesst man auf folgendes Bildungsgesetz: 

Man erhält die Unterdeterminante Af^ dadurch, 
dass man in dem die Determinante darstellenden Qua- 
drat die beiden Reihen weglässt, die sich in af^ kreuzen, 
und den Factor ( — 1)" + " hinzufügt. 

So erhält man z. B. für die dreireihige Determinante die 
folgende Darstellung: 



(5) 



a, 6, c 
a', h\ d 

a", &", c" 


a 


b\ c' 
b'\ c" 


— 


— a{h'd' 


c'b 


")-f & 


{c'a" 



a\ c 



a 



H Jl 



a'\ b" 



a'c") + eia'b" — b'a"). 



88 Zweiter Abschnitt. §. 25. 

Da der untere Index v in ä[^^ gar nicht vorkommt, so 
ändert sich ^1"^ nicht, wenn der untere Index v durch einen 
anderen ersetzt wird. Dann aber verschwindet nach §. 24, VI. 
die Determinante. Wir erhalten demnach aus (2) die folgende 
wichtige Relation, in der /x, v irgend zwei von einander ver- 
schiedene Ziffern 1,2 ... n sein können: 

(6) = a^^ Ä'^^ + af ^(2) + . . . _!- a?> Ai"\ 
und ebenso bekommt man aus (3): 

(7) = af' AT + öL") A^ H h o!:' ^i'^ 

Beispielsweise ergiebt sich aus (5), wenn a, i, c durch 

a', h\ c' ersetzt werden: 

(8) a' (b' c" — c' b") + b' (c'a" — a' c") -f c' (a' b" — b' a") = 0, 
eine Formel, von deren Piichtigkeit man sich durch die einfachste 
Rechnung überzeugt. 

Wenn wir die Relation (6) mit einem beliebigen Factor X 
multipliciren und zu (2) addiren, so erhalten wir die Formel: 

(ü) A = (ai'' + A «L^O A'^^ + (a?' + X «^ A^^' + 

die uns den folgenden Satz ausdrückt: 

VII. Die Determinante ändert ihren Werth nicht, 

wenn man zu den Elementen einer Zeile die 

mit einem beliebigen gemeinschaftlichen Factor 

multiplicirten entsprechenden Elemente einer 

anderen Zeile addirt. 

Derselbe Satz gilt auch von den Colonnen. Er wird zur 

Vereinfachung und numerischen Berechnung von Determinanten 

oft mit Nutzen verwendet. Wir fügen noch folgende Sätze bei, 

die sich aus den Darstellungen (2), (3) sofort ablesen lassen. 

VIII. Wenn alle Elemente einer Zeile oder einer Co- 
lonne einen gemeinschaftlichen Factor haben, so 
kann dieser weggelassen und als Factor vor die 
Determinante gesetzt werden. 

Denn es ist nach (2): 

p at'> A^^^ + p ai'^ A'P -\ ^ pai""^ ^1"^ = p A. 

IX. Wenn in einer Zeile oder in einer Colonne alle 
Elemente bis auf eines verschwinden, so reducirt 



§. 25. 



Unterdeterminanten. 



89 



sich die Determinante auf das Product dieses 
einen Elementes mit der entsprechenden Unter- 
determinante. 

Denn wenn a'y\ a^ . . . at"^ mit Ausnahme von al;"^ 
schwinden, so ist nach (2): 



ver- 



A = a^"^^(">- 



V j 



der Werth von A ist dann von den af\ af"> . . . a«"^ (mit Aus- 
nahme von ttv"'') ganz unabhängig. 

Um von diesen Sätzen eine Anwendung zu machen, wollen 
wir den Werth der Determinante 

1, a, a2 
1, 6, h^ 

1, C, C2 

bestimmen, worin a, &, c beliebige Grössen seien. 

Multipliciren wir die zweite Colonne mit a und subtrahiren 
sie von der dritten, darauf die erste mit a und subtrahiren sie 
von der zweiten, so folgt nach VII: 

1, 0, 

1, h — a, h{h — a) 
1 , c — a, c{c — a) 



und nach IX: 

J = 

und endlich nach VIII: 
(10) z/ = (h — a) (c — a) 



h — «, b{b — a) 
c — a, c (c — a) 



1, & 

1, c 



= (b — a) (c — a) (c — b). 



Auf die gleiche Weise kann man auch die n- reihige Deter- 
minante 



1, Ol, a^ . 
1, tta, ttj- . 



a 



a 



n — \ 

1 

n — 1 



1 

1, Cf,j, (In 



a„ 



behandeln und findet ihren Werth gleich 
(aa — ai) {a^ — a^) . . . (a,, 
(ttg — 0.2) . . . (a„ 



(11) 



«2) 



(a„ — a„_i). 



90 Zweiter Abschnitt. §.25. 

Ordnet man die Colonnen in umgekehrter Reihenfolge, so 

sind dazu, je nachdem n gerade oder ungerade ist, 

n , n — 1 
_ oder -2— 

Vertauschungen erforderlich, so dass sich die so geordnete 
Determinante von z/ durch den Factor 

n(n — \) 

unterscheidet. Es kommt auf dasselbe hinaus, wenn man den 

■ Factoren des Productes (11) das entgegengesetzte 

Vorzeichen gieht. 

Es besteht also zugleich mit (11) die Gleichung: 

(«1 — aa) («1 — 03) ... (ai — a„) 

(aj — tta) ... (tta — ein) 



(12) 





• «1, 
. «2, 


1 
1 




• ^ni 


1 



(ttn — 1 ttn)- 

Wir wollen hier noch eine Bezeichnungsweise der Unter- 
determinanten erwähnen, die der Differentialrechnung entnommen 
ist und oft mit Nutzen verwendet wird, besonders wenn es sich 
um die Bildung von Derivirten handelt. 

Wenn die Grössen af^ als unabhängige Variable betrachtet 

werden, so ist die Determinante A in Bezug auf jede von ihnen 

nur vom ersten Grade. Die nach af^ genommene Ableitung oder 

der Differentialquotient ist also gleich dem Goefficienten von 

af\ also: 

dA 



dar 



^''l 



Wenn demnach z. B. die af^ Functionen einer Variablen t 
sind, so ist auch A eine Function von i, und man erhält nach 
den ersten Regeln der Differentialrechnung die Ableitung von A 
in Bezug auf t in der Form 



(fc) 



daf^ 

JL [l) z= ^Ji.i' 



dt 



7) a- 
wenn ■ ^^ die Ableitung von a^ nach t bedeutet. 
et 

Wenn wir die Uh' als von einander unabhängige Variable 

betrachten, so ist die Determinante 

A = i: ±a(^^ai^^ . . . öL"^ 



§. 26. Höhere Unterdeterminanten. 91 

eine homogene Function nten Grades von n Variablen, jedoch 
von der besonderen Eigenschaft, dass jede einzelne Variable nur 
linear darin vorkommt. Aus der Darstellung durch die Unter- 
determinanten (2), (3) lässt sich leicht schliessen, dass diese 
Function unzerlegbar ist. Denn ist F der unzerlegbare 
Factor von Ä, der die Variable ai;"^ enthält, so muss dieser 
Factor F wegen (2) eine lineare homogene Function der Variablen 
a^y\ af^ . . . at"^ sein, und wegen (3) eine lineare Function der 
Variablen af\ af^ . . . a^Jt^ (§. 20). Es enthält daher F alle 
Variablen üh^ und ist folglich mit A identisch. Wir sprechen 
also noch den Satz aus: 

X. Die Determinante ist eine unzerlegbare Function 
ihrer «2-Elemente. 

§. 26. 
Die Unterdeterminanten im weiteren Sinne. 

Wir können nun die Betrachtungen des vorigen Paragraphen 
in folgender Weise verallgemeinern. 

Wie wir vorhin von der Aufgabe ausgegangen sind, alle 
Glieder in der entwickelten Determinante Ä aufzusuchen, die 
den Factor ap enthalten, so wollen wir jetzt alle die Glieder 
aufsuchen, die den Factor 

«r^ «^/^ . . . a':^ 

enthalten, worin v eine beliebige Zahl unter n sein kann. 
Diese Glieder erhalten wir aus dem Hauptgliede 

1 2 . • . Cty v + 1 • • • Un , 

wenn wir bei der Permutation der unteren Indices 1 , 2 . . . v 
ungeändert lassen und nur v -\- l, . . . n auf alle Arten permu- 
tiren unter Berücksichtigung der Vorzeichenregel. 
Demnach ist der Inbegriff der gesuchten Glieder 



(1) a(')af ... <") 



<v^-.-<^^^ 



"r + 1 • • • "n 



I. Die hier als Factor auftretende Determi 
nante von n — v Reihen, die wir mit ä\\2 



1, 2 ... V 



92 Zweiter Abschnitt. §. 2G. 

bezeichnen, entsteht aus Ä durch Weglassen 
der V ersten Zeilen und Colonnen. 
Dieses Resultat wollen wir nun auf folgende Art verall- 
gemeinern : 

Wir wählen irgend v Elemente 

a<^^\ a(.^*) . . . a(''^) 

aus, jedoch so, dass nicht zwei Elemente in derselben Zeile oder 
in derselben Colonne vorkommen, d. h. so, dass nicht zweimal 
derselbe untere oder derselbe obere Index vorkommt, und be- 
zeichnen den Inbegriff der Glieder der Determinante, die das 
Product dieser Elemente als Factor enthalten, mit 

(2) aW a'^^ . . . a^'*») jißuß^---ßv^ 

Man kann durch Umstellen von Zeilen und Colonnen, wo- 
durch höchstens das Zeichen der Determinante geändert wird^ 
immer erreichen, dass die Elemente 

(3) a^ß^\ a'ß^) . . . a('^') 

an die Stelle der Elemente 

aW, af . . . aW 
gelangen; dann aber lässt sich die Regel I. auf die Bestimmung 

RR R 

von Äalul.'..'u\ anwenden und es ergiebt sich: 

IL Man erhält (vom Vorzeichen abgesehen) J.a|', aj.Üa" 
als {n — v)-reihige Determinante, wenn man in 
A alle Zeilen und Colonnen weglässt, die 
sich in einem der Elemente (3) schneiden, und 
die übrig bleibenden Zeilen und Colonnen in 
ihrer Reihenfolge stehen lässt. 
Für die Zeichenbestimmung aber ergiebt sich folgende Vor- 
schrift. 

Man ordne die unteren und die oberen Indices 1 , 2 . . , w- 
in der Weise: 

(4) «1, «2 ... «V, «>• + ! • • • *n 

(5) /3i, ß, .. . ßr, /3v + i . . . /3«, 

indem man a, + i ... «„ und ebenso ßy^x ... ßn der Grösse 

nach auf einander folgend annimmt. 

III. Die in IL beschriebene (w — v)-reihige Deter- 
minante erhält das positive oder negative 
Zeichen, je nachdem die beiden Anordnungen 



§. 26, Unterdeterminanten rter Ordnung. 93 

(4) und (5) der Ziffern 1, 2 ... n beide zu der- 
selben oder zu verschiedenen Arten gehören. 

Denn die Determinante ändert ihr Zeichen durch jede Ver- 
tauschung zweier unterer oder zweier oberer Indices. Um den 
allgemeinen Fall (2) auf den besonderen Fall (1) zurückzuführen, 
hat man so viele Transpositionen oberer und unterer Indices 
vorzunehmen, dass die Permutationen (4) und (.5) beide in die 
ursprüngliche Anordnung 1, 2, 3 . . . n übergehen, und ebenso 
viele Zeichenwechsel haben stattgefunden. 

Die so definirten Grössen 

■a-ui, «2 . . . uy 

heissen die vten Unterdeterminanten oder Unter- 
determinanten vter Ordnung. Sie sind dargestellt durch 
{n — vj- reihige Determinanten. 

Aus III. folgt in Bezug auf diese Unterdeterminanten 
der Satz: 

RR R 

IV. Die Unterdeterminante Ä^l ul'.. . ix\. ändert nur 
ihr Vorzeichen, wenn zwei ihrer unteren oder 
zwei ihrer oberen Indices vertauscht werden, 
oder allgemeiner: sie bleibt dem absoluten 
Werthe nach ungeändert, wenn die Anord- 
nung der Indices «i, «2 • • • «v durch irgend eine 
andere Anordnung ersetzt wird und ändert 
das Zeichen oder nicht, je nachdem diese 
Permutation zur zweiten oder zur ersten Art 
gehört. 

Bezeichnen wir aber mit «i, «2 ... «'„ irgend eine Anord- 
nung der «1, «2 . . . «„ so enthält die Determinante A auch den 
Complex der Glieder 



4- fl^t') «fit«^ j'"^ .ßl.ß2...|*V 

j= *«; "«2 * ■ ' "" ^«i.«2---«v' 



und wenn wir also alle diese Glieder sammeln, so erhalten wir 
den Complex: 

(6) AX':.% 2:±a!^^ a^!f ...cÜjl 

Die hier auftretende o^- reihige Determinante 



94 



Zweiter Abschnitt. 



§. 26. 






"■«1 5 "'«2 






(ft) 



a 









wollen wir die zw Äul%\\'.u\. complementäre Unterdeter- 



min ante nennen und mit JB«/, '«' 



1) .'"^ä • • • i^v 



bezeichnen. Sie enthält 



genau die Zeilen und Colonnen, die in Äul'u.,'.'.'.ttl fehlen und 
stimmt, abgesehen vom Vorzeichen, mit der Unterdeterminante 
{n — v)\.Q,r Ordnung 

. /?v 4- 1 . . . /9„ 
-Äa,, + 1 . . . "„ 

Überein. Der Complex der Glieder (6) wird also bezeichnet mit 



(7J 



.hl ßi • • • ßv -pßl^ ^2 • ■ ■ ßv 

-a.„j^ U.2. . . Uy -tJui, «2 . . . ab- 



wählen wir nun für «i, «2 • • • <^v i^^^ Combination von v 
der Ziffern 1,2...«, deren Anzahl (nach §. 7) Bi"^ ist, so 
erhalten wir, indem wir ß^, ß.T . . . ßv festhalten, ebenso viele 
Complexe der Form (7), und jedes Glied der Determinante A 
kommt in einem und nur in einem dieser Complexe vor. 

V. Demnach erhalten wir, wenn wir alle Ausdrücke 
(7) Summiren, die Determinante Ä: 



(8) 



-o- ^ -o-u^, U.2. . . Uy -D Ol, a.2 ... Uy' 



Selbstverständlich kann man auch die Combination der ot 
festhalten und in Bezug auf die ß summiren. 

Dies ist der Satz von Laplace. 

Als häufig vorkommender specieller Fall mag der erwähnt 
werden , wo ß^, ß2 . . . ßy = l , 2 . . . v und wo a^f^ = ist, 
wenn r einen der Werthe 1, 2 . . . v und gleichzeitig s einen 
der Werthe v -\- 1, . . . n hat. Dann werden alle Al[^ l^'.Wly = 0» 
mit Ausnahme von Äl]l'.\'.l., und man erhält 



)1, 2 



Ä = A\:l.::i b\ 

Der Satz wird durch folgendes Diagramm veranschaulicht, 
in dem das ganze Quadrat die Determinante A vorstellt, und 
wo in dem schraffirten Rechteck lauter Nullen stehen. Sind 



g. 26. 



Unterdeterminanten rter Ordnung. 



95 



B 




v///////////////////. 


C 



dann 5 und C die in den beiden kleinen Quadraten stehenden 
Determinanten von v und n — v Reihen, so ist 

(9) A = B C. 

Noch eine andere Darstellung der Determinante Ä durch 

die ersten und zweiten Unterdeter- 
minanten erhält man auf folgende 
Weise. 

Man wähle in A irgend zwei 
Reihen aus , die sich in einem Ele- 
mente, etwa in a[;"), schneiden. In jedem 
Gliede von A kommt ein Element mit 
dem unteren Index v und ein Element 
mit dem oberen Index ^ vor. Wir 
haben also zunächst in A den Com- 
plex al"^ A'y'-' und ferner die verschie- 
denen Complexe al*^ a^"^ -4',.',^, worin i jeden von ^ verschiedenen 
und k jeden von v verschiedenen Index bedeuten kann. 

VI. Wirkönnendahersetzen: 

oder nach IV. 

(lOj ■ A = at"^ ^^"^ — 1' at') a^f A^^i 

Wir bemerken zu diesem Satze noch, dass .4" ^ die dem Ele- 
mente a'jj> entsprechende erste Unterdeterminante der 
{n — Ij reihigen Determinante A^'^ ist; denn Av'u ist der Coefficient 
von ai"^ ttk^ in der Entwickelung von J. und A[^^ der Coefficient von 

ai^\ folglich -4v,'fc der Coefficient von Uk^ in der Determinante Af\ 
Man kann nach diesem Satze die sogenannte geränderte 
Determinante 

aW, a[i) . . . a(^i\ u. 



(11) 



U 



a("), a^"> 



•'D 



Vo 



/(2). 



M., 



al»), w„ 



v„ 



nach den Elementen der letzten Zeile und Colonne entwickeln 
und erhält 



(12j 



U = qA — 2: 2J Ui Vk A): 



(i). 



96 



Zweiter Abschnitt. 



§. 27. 



Man erhält diese Gleichung aus (10), wenn man n in n -\- 1 
verwandelt, und die Elemente der letzten Zeile und Colonne 
durch eine andere Bezeichnung auszeichnet. 

Ersetzt man q durch q — w, worin u wieder eine beliebige 
Grösse ist, so ergiebt sich die oft angewandte Formel: 



(13) 





n ' ^ 


u 




. -i^n, q 



= U — J.W, 



worin U die Bedeutung (12) hat. 

Auch bei den höheren Unterdeterminanten ist bisweilen 
die Bezeichnung durch Differentialquotienten zweckmässig, so 
dass z. B, 

(14) A'S = -f^a^i) y^ 

gesetzt wird. 



§. 27. 
Lineare homogene Gleichungen. 

Die hauptsächlichste Anwendung der Determinanten, der 
die ganze Theorie ihren Ursprung verdankt, ist die Auflösung 
linearer Gleichungen. 

Wir wollen hier die Aufgabe gleich in allgemeinster Weise 
in Angriff nehmen, da die specielle Form kaum eine Verein- 
fachung ist und sich nachher leicht aus dem allgemeinen Eesul- 
tate ableiten lässt. 

W^ir betrachten ein System von m Gleichungen ersten Grades, 
in denen n Unbekannte iTi, X2 . . . Xn homogen vorkommen: 

a<^^ X, 4- a^p x,-\ h «L^^ ^„ = 

a("Oxi 4- a^a^a -\ \- a'^^x^ = 0, 

worin die Coefficienten aO") als gegebene Grössen betrachtet 
werden. Ueber die Zahlen m, n wollen wir vorläufig noch gar 
keioe Voraussetzung machen, sondern uns allgemein die Aufgabe 



§. 27. Lineare homogene Gleichungen. 97 

stellen, alle Werthsysteme der x-^, x^ . . . Xy, zu ermitteln, die 
den Gleichungen (1) genügen. 

Eine Lösung der Gleichungen (1) können wir sofort angeben: 
sie sind nämlich, was auch die Coefficienten a^^) sein mögen, 
erfüllt, wenn 

(2) a^i = 0, a:^2 = 0, . . . x^ = 0. 

Einen anderen extremen Fall können wir noch erwähnen- 
wenn nämlich die Coefficienten af^ sämmtlich den Werth Null 
haben, dann sind die Gleichungen (1) für beliebige Werthe 
von a^i, x^ . . . Xn befriedigt. 

Der allgemeinen Beantwortung der Frage schicken wir fol- 
gende Bemerkungen voraus. 

Wir schreiben das System der Coefficienten von (1) in Form 
eines Rechtecks 

1 ' 2 n 

Ein solches Schema, das für sich noch keine numerische 
Bedeutung hat, heisst eine Matrix, insofern es als Quelle einer 
grösseren Anzahl von Determinanten betrachtet wird. 

Die der Matrix entstammenden Determinanten er- 
hält man, wenn man beliebige Zeilen und Colonnen weg- 
lässt, in beliebiger, nur insoweit bestimmter Anzahl, 
dass die übrig bleibenden Elemente ein Quadrat bilden, 
und dieses Quadrat als Determinante auffasst. 

So erhält man aus der Matrix einreihige, zweireihige u. s. f. 
Determinanten. Die höchsten Determinanten sind n- oder 
m-reihig, je nachdem n oder m die kleinere Zahl ist (oder w-reihig, 
wenn n = m ist). 

Wir machen nun die Annahme, dass unter den v- reihigen 
Determinanten der Matrix wenigstens eine von Null ver- 
schieden sei, während die (v -j- 1) reihigen und folglich auch 
die höheren Determinanten, falls solche vorhanden sind, alle 
verschwinden sollen, v kann jede Zahl sein, die nicht grösser 
als die kleinere der beiden Zahlen n oder m ist (oder falls 
n = m ist, diesen gemeinschaftlichen Werth nicht übertrifft). 

Eine solche Zahl v wird sich immer finden lassen, wenn wir 

Weber, Algebra. L 7 



98 



Zweiter Abschnitt. 



§. 27, 



den schon erledigten, ganz interesselosen Fall ausschliessen, dass 
alle Coefticienten a^!'^ verschwinden. 

Wir können, ohne die Allgemeinheit zu beschränken, zur 
Vereinfachung der Bezeichnung annehmen, die nicht verschwin- 
dende f-reihige Determinante sei 



(4) 



Ä = 



an\ «(1) . . . «(1) 






aO\ c/^') 



«(;) 



Denn offenbar steht es uns frei, das Gleichungssystem (1) in 
beliebiger Weise anzuordnen, und ferner können wir die Bezeich- 
nung der Unbekannten x so wählen, dass irgend v von ihnen 
die V ersten sind. 

Die Unterdeterminanten von Ä bezeichnen wir wie früher 
mit A(^\ worin i. Je von 1 bis v gehen, 

"Wenn nun zunächst v = n ist, was voraussetzt, dass m 
nicht kleiner als n ist, so haben die Gleichungen (1) keine 
andere Lösung, als die in den Gleichungen (2) enthaltene. 

Denn greifen wir die n ersten der Gleichungen (1) heraus: 

«(» X, + a(iJ 0^2 H h ail^ Xn = 



(5) 



multipliciren diese der Reihe nach mit Au\ Ä^^ . . . äI'!*\ worin 
^ jeder der Indices 1, 2 . . . n sein kann, und addiren sie, so 
folgt, weil nach §. 25 (2) und (6) 






(«V „(0 



= oder = Ä 



ist, je nachdem /l von ^ verschieden ist oder nicht, 

und da nach unserer Voraussetzung Ä von Null verschieden ist, 

Xu = 0. 
Damit ist bewiesen: 

I. Wenn ein System von m linearen homogenen 
Gleichungen mit n Unbekannten eine Lösung hat, 
bei der nicht alle Unbekannte verschwinden, so 



• 



§. 27, Lineare homogene Gleichungen. 99 

müssen, wenn ni ^ n ist, sämmtliche w -reihige 
Unterdeterminanten der Matrix der Coefficienten, 
(3), verschwinden. 

Wir heben den am meisten angewendeten besonderen Fall 
m = n hervor und geben dem Satze für diesen Fall den folgen- 
den Ausdruck : 

II. Wenn ein System von w linearen homogenen 
Gleichungen mit n Unbekannten eine von Null 
verschiedene Determinante hat, so haben sämmt- 
liche Unbekannte den Werth Null, oder: 

Wenn ein System von n linearen Gleichungen 
mit ebenso vielen homogen vorkommenden Un- 
bekannten eine Lösung hat, bei der nicht alle 
Unbekannten verschwinden, so verschwindet die 
Determinante des Systems. 

Unter der Determinante eines Systems von n linearen 
homogenen Gleichungen mit n Unbekannten ist hier die 
Determinante aus den n^ Coefficienten dieser Gleichungen ver- 
standen. 

Wir betrachten ferner den Fall, dass v kleiner als n ist. 
Da m gleich oder grösser als v sein muss, so wählen wir die v 
ersten Gleichungen des Systems (1), und schreiben sie so: 

a^^^x, -f a(^^x^ H h a(^>x,. = — a'/^^^v + i a[l^ x^ 

(6) «f^^i + <'^2 H h «l^'^v = — <^ii^.+i af a:„ 

«("'a^i + a^'^x, H h <^^^' = — <Vi^^ + ' «n^^«- 

Wir bezeichnen wieder mit (i einen der Indices 1, 2 . . . v, 

multipliciren die Gleichungen (6) der Reihe nach mit Au\ 

-4jf^ . . . ä'-^^ und addiren sie. Daraus folgt, wie vorhin, mit 
Benutzung von §. 25, (2), (6): 

(') -AXu = Cv + l,H^V + l • • • C„, ^X„, 

wenn zur Abkürzung gesetzt ist: 

(8j C,,u = i aV A'^, A = V --^ 1, t; 4- 2, . . . 7^. 

1,»' 

Nach §. 25, (2) ist C;.,u die Detenninante, die aus der durch 

(4) definirten Determinante dadurch hervorgeht, dass man die 

7* 



100 



Zweiter Abschnitt. 



§. 27. 



Elemente der fiten Colonne a« a[f) ... aj;) durch a^\ af ... a^p 

ersetzt. 

Durch (7) sind nun, da A von Null verschieden ist, die 
aTi, X.2 . . . Xv linear ausgedrückt durch a^v + i, • • . ^n und durch 
die bekannten Grössen. 

Es ist nun noch zu zeigen, dass durch die Ausdrücke (7) 
die Gleichungen (1) befriedigt sind, welche Werthe auch 
Ä-,. + i, . . . Xn haben mögen, dass also n — v von den Unbe- 
kannten willkürlich bleiben, von denen die übrigen v nach (7) 
abhängig sind. 

Um die Wahrheit dieses Satzes einzusehen, haben wir nur 
die Ausdrücke (7) in die Gleichungen (1) einzusetzen. Man ver- 
einfacht die Rechnung sehr durch Anwendung eines Summen- 
zeichens Z", bei dem wir, wie schon oben, die Summationsbuch- 
staben oben, die Grenzen unten anhängen. Zunächst können wir 
dann die Gleichungen (7) so schreiben: 



((0 



(9j Ax^ = - E E a\V A'l' Xn, 



([1 = 1, 2 



V. 



1,11 l,y 



Wir multipliciren, wenn k irgend eine der Ziffern 1, 2 
bedeutet, mit a'^'> und summiren in Bezug auf ^: 

10) AEa'^^Xu = -Exh h Z a\t> «L'^ Af, 

1, V r + l,n 1, V l.v 

Dazu addiren wir beiderseits die Summe 



/^ = 1, 2 



m 



m. 



und erhalten 



s- ..(''•) 



(11) AEa'u' Xa 



AE (jtn^ Xn 

»■ + l,n 



.CO .,(t) aH) 



--Ex,AA av -EE «r «r ^' • 

r + l, n \ l,*- l,v / 

Der Factor von Xu in der Summe auf der rechten Seite ist 
nach §. 26, (12) die Determinante 

a^^-\ af . . . af , af 



(12) 



V ' h 



af, afi . . . af , «jf^ 

und verschwindet daher, wenn Je ^ v ist, nach §, 24, V., weil 
zwei Zeilen übereinstimmen, wenn aber 7»; >» v ist, nach der 



DEPARTMtKf Of MATHÜMATICS" 
IINIVFRSITY OF TORONTO 



§. 27. Lineare homogene Gleichungen. 101 

Voraussetzung, weil dann (12) eine v -\- 1 reihige Determinante 
der Matrix (3) ist. Wir bekommen also aus (11), da A von 
Null verschieden ist, 

(13) Ua^^Xf, =0, Jc=l,2...m, 

l,n 

d. h. das System der Gleichungen (1) ist durch (7) befriedigt. 
Damit ist bewiesen: 

III. Wenn in einem System von m linearen homogenen 
Gleichungen mit n Unbekannten alle v -|- Ireihi- 
gen Unterdeterminanten der Matrix der Coeffi- 
cienten verschwinden, so hat das System eine 
Lösung, in der mindestens n — v von der Unbe- 
kannten willkürlich bleiben. Ist m << 7^, so giebt 
es immer eine Lösung, in der mindestens n — m 
der Unbekannten willkürlich bleiben; 

und hiervon ist ein häufig vorkommender specieller Fall: 

IV. Wenn die Determinante eines Systems von n line- 
aren homogenen Gleichungen mit ebenso viel 
Unbekannten verschwindet, so können die 
Gleichungen so befriedigt werden, dass nicht 
alle Unbekannte verschwinden. 

Wir wollen von dem so bewiesenen Satze noch den anderen 
Fall hervorheben, dass m = n — 1 und v = n — 1 ist. In 
diesem Falle bleibt nur eine der Unbekannten beliebig und die 
Verhältnisse der Unbekannten sind völlig bestimmt. Wir 
können diesem Resultate folgenden Ausdruck geben: 

Bezeichnen wir die (n — 1) reihigen Determinanten der Matrix 

(14) «^ «f •••«^n^ 

1 ' 2 n ' 

mit abwechselndem Vorzeichen genommen durch 

und nehmen an, dass wenigstens eine von diesen Grössen von 
Null verschieden sei, so ist die Lösung des Systems: 



102 Zweiter Abschnitt. §. 28. 



a^^'^x. 


+ a'^^x. 


__ . 




— 


afx^ 


4- afx. 




n " 


— 

• ■ • 



(15) 

gegeben durch die Verhältnisse 

(16) Xx '• X.2 : • • • : Xn ^= A^ : A-i : ' ' ' : An- 

So erhalten wir für n =: 3 die Lösung des in der Geometrie oft 

vorkommenden Gleichungssystems 

. ax -Jr hy ^ CS = 

^^ a'x-{-h'y+ c'2 = 

in der Form 

(18) X : y : s ^ hc' — cb'. : Ca' — ac' : ah' — ba'. 



§. 28. 
Elimination aus linearen Gleichungen. 

Es kommt bisweilen vor, dass es sich bei einem gegebenen 
System linearer Gleichungen nicht sowohl um die wirkliche Er- 
mittelung der Unbekannten handelt, als um die Beurtheilung der 
Möglichkeit ihrer Lösung, also um die Aufstellung der Bedingungs- 
gleichuugen, die zwischen den Coefficienten bestehen müssen, 
wenn Lösungen oder Lösungen von bestimmter Art überhaupt 
vorhanden sein sollen. Die Aufstellung dieser Bedingungs- 
gleichungen heisst Elimination. Implicite ist die Lösung 
dieser Aufgabe schon im Vorhergehenden enthalten; wir wollen 
aber noch ausdrücklich auf einige hierher gehörige Fragen 
zurückkommen. 

Wir betrachten, wie im vorigen Paragraphen, ein System 
von m linearen Gleichungen mit n homogen vorkommenden 
Unbekannten, und fragen: wann hat dies System eine Lösung, 
bei der nicht alle Unbekannten verschwinden? Wir haben schon 
gesehen, dass dies immer der Fall ist, wenn w >. m ist. 

Ist aber n ^ m, so ist die nothwendige und hin- 
reichende Bedingung für eine solche Lösung die, dass alle 
»^-reihigen Determinanten der Matrix verschwinden. Denn wenn 
eine. von diesen nicht verschwindet, so sind nach §. 27, IL die 
Werthe der Unbekannten nothwendig Null, während, wenn sie 



§. 28. 



Elimination. 



103 



alle verschwinden, eine Zahl v <^ n gefunden werden kann, so 
dass alle (v-|- 1) reihigen Determinanten der Matrix Null sind, 
während von den z'-reihigen wenigstens eine nicht verschwindet, 
so dass also nach §. 27, III eine Lösung von der verlangten Art 
vorhanden ist. 

Die Anzahl der aus einer Matrix von m Zeilen und n Colon- 
nen zu bildenden 7i-reihigen Determinanten ist, wenn n ^ m ist, 
gleich der Anzahl der Combinationen von m Elementen zur 
wten Classe ohne Wiederholung, also (nach §. 7) gleich: 

m (m — 1) . . . (m — n -\- 1) 



1 . 2 



n 



und so gross wäre also die Anzahl der Bedingungen. Ist n = m, 
so ist diese Zahl = I und wir erhalten den Fall §. 27, II. und 
wie zu erwarten war, eine Bedingung. Im Allgemeinen ist aber 
diese Anzahl der Bedingungen, obwohl sie alle erfüllt sein 
müssen, grösser als nöthig ist, weil einige von ihnen nothwendige 
Folgen der übrigen sind. 

Um ein System von nothwendigen, hinreichenden und von 
einander unabhängigen Bedingungen zu erhalten, fassen wir die 
Fragestellung etwas präciser und fragen nach den Bedingungen: 

dass aus einem System von 7n linearen, homogenen 
Gleichungen mit n Unbekannten v von den Un- 
bekannten durch n — v willkürlich bleibende 
vollkommen bestimmt werden können. 

Auch diese Frage ist in §. 27 eigentlich schon beantwortet. 
Es muss unter den v-reihigen Determinanten eine von Null ver- 
schieden sein, während die (r -|- 1) reihigen alle verschwinden. 
Es genügt aber schon, wenn es von einer kleineren Anzahl der 
(v -|- 1) reihigen Determinanten feststeht, dass sie verschwinden. 

Nehmen wir an, die Unbekannten x, + i, ä;v + 2 • • • ^n sollen 
willkürlich bleiben , x^ , x.^ . . . Xv durch sie bestimmt sein , und 
nehmen die Determinante: 



(1) Ä 

als von Null verschieden an. 









a") 



104 



Zweiter Abschnitt. 



§• 23. 



"Wir berechnen die Unbekannten x^, X2 . ■ . Xy nach §, 27, (9) 
und bilden die Summen §. 27 (11), deren Verschwinden besagt, 
dass das gegebene Gleichungssystem wirklich befriedigt ist. Die 
Bedingungen werden also : 



(2) 



af, 



"2 






»■ ' h 



oder anders geschrieben: 



(3) 



f ' h 






ß) ^(fe) jW 



= 0, 



A af -E E al> a^ A'^' = 0, 

1,»' ],V 

und diese Bedingungen genügen auch. Die Gleichung (2) oder 
(3) ist aber identisch befriedigt, wenn ä = 1, 2 . . . v oder 
](, T= \^ 2 ... V ist , und giebt also für diese Werthe keine 
Bedingung für die Coefficienten. Solche Bedingungen ergeben 
sich nur für 

. h = V -^ \, V -{- 1 . . . n 

^ ' Ä;=r'i'-f-l, v-|-2...m, 

also 

(5) (w — v) (m — v), 

der Zahl nach. 

Diese Bedingungen sind aber wirklich von einander unab- 
hängig, d. h. es folgt keine aus den übrigen; denn die linken 
Seiten von (3) können durch geeignete Annahmen über die Coef- 
ficienten a für jede Indexcombination aus der Reihe (4) einen 
ganz beliebigen Werth erhalten, wie man erkennt, wenn man 
sämmtliche ai'^, ajL''^ mit Ausnahme von an^ gleich Null setzt. 



§. 29. 
Unhomogene lineare Gleichungen. 

Wir haben die Aufgabe der Auflösung linearer Gleichungen 
in den bisherigen Betrachtungen dadurch nicht unwesentlich 
vereinfacht und auf allgemeinere Gesetze zurückgeführt, dass 
wir die Gleichungen in Bezug auf die Unbekannten homogen 



§. 29, Unhomogene Gleichungen. 105 

vorausgesetzt haben. In den Anwendungen kommen aber häufig 
die Unbekannten nicht homogen vor, und wenn auch principiell 
der eine Fall von dem anderen nicht wesentlich verschieden ist, 
so wollen wir doch den Fall der nicht homogenen Gleichungen 
noch besonders betrachten. Wir können ihn aus dem Fall der 
homogenen Gleichungen dadurch ableiten, dass wir die Forderung 
hinzufügen, eine bestimmte der Unbekannten soll den Werth 1 
haben. Wenn diese Unbekannte unter denen vorkommt, die das 
Problem willkürlich lässt, so entspringt daraus gar keine 
Schwierigkeit, weil wir sie ja nur = 1 zu setzen brauchen. 
Gehört sie aber zu denen, die durch die übrigen bestimmt sind, 
so müssen noch- gewisse Bedingungen erfüllt sein, die besagen, 
dass der Werth 1 für diese Unbekannte zulässig ist. 

Wir wollen hier die Frage selbständig und in etwas geän- 
derter Bezeichnung behandeln, beschränken uns aber der Ein- 
fachheit halber auf den wichtigsten Fall, wo die Anzahl der 
Unbekannten mit der Anzahl der Gleichungen übereinstimmt. 

Es sei folgendes System von Gleichungen in Bezug auf die 
Unbekannten iCj, x^ . . . Xn aufzulösen : 

(]) «f -^1 -f «f ^2 H h «L^^^n = Vi 

a^-^x, -f- a<-^x, H h <^[:^Xn = Vn. 

worin die Coefficienten a(*^ und die unabhängigen Glieder ^/j, y^-'-Vn 
als gegeben betrachtet werden. Wir bezeichnen mit 

(2) ^ == 2: ± a<i) af . . . a^;») 

die Determinante des Systems und wie früher mit Af^ die 
ersten Unterdeterminanten von A. Ist li einer der Indices 
1, 2 . . . n und multipliciren wir die Gleichungen (1) der Reihe 
nach mit Ah\ A^^ . . . Ak^^ und addiren sie dann, so erhalten wir 

(3) X, E al'^ A"^' ^x.E a^' At^ H \- x^k al;^ A'i' = h yi A^K 

Nach §. 25, (2) und (6) verschwinden hier die Coefficienten 

der iCi, X2 . . . Xn mit Ausnahme des einen Coefficienten von Xu, 
der den Werth A erhält, und sonach ergiebt sich: 

(4) Axu = hyiAf, 

und für den Fall, dass A von Null verschieden ist, 
können hieraus die Werthe der Unbekannten eindeutig 



106 



Zweiter Abschnitt. 



§.29. 



SO berechnet werden, dass dadurch die Gleichungen (1) 
wirklich befriedigt sind [§. 25, (3), (7)]. 

Setzen wir A^? = Auj^?, so können wir die Lösung in der 
Form schreiben: 



(5) 



deren Analogie mit dem System (1) in die Augen fällt. 

Wenn aber Ä = ist, so lehren die Gleichungen (4) nichts 
über die Werthe der x, sondern sie geben nur ein System von 
Bedingungen an, denen die y sicher genügen müssen, wenn die 
Gleichungen (1) überhaupt lösbar sein sollen. Um zu einem 
allgemein gültigen Resultat zu kommen, verfahren wir ganz 
ähnlich wie bei den homogenen Gleichungen. Wir nehmen an, 
dass ausser der Determinante A auch noch alle Unterdeter- 
minanten bis zu einer gewissen Ordnung Null sind. Wir be- 
zeichnen eine nicht verschwindende v-reihige Unterdeterminante mit 



(6) 



B = 



af), 


<^- 


. . a;.i) 


af. 


a^P . 


. . «(2) 


ai"). 


a^') . 


. . <> 



ihre Unterdeterminanten mit Bk'\ worin /t, Je nur die Werthe 
von 1 bis V durchlaufen, und setzen nun voraus, alle (v -j- 1)- 
reihigen Unterdeterminanten von A verschwinden. 

Wenn •s\^r die ersten v Gleichungen des Systems (1) mit 

Bu\ Bk\..Bk^ multipliciren und addiren, so folgt [§.25, (2), (6)]: 
(7) Bx, = i B\f^7j, -Ex, EB^^a^. 

!,»■ v + 1, V 1,» 

Hierdurch sind v der Unbekannten x durch die übrigen 
bestimmt, und wir setzen, um zu sehen, inwieweit hierdurch die 
Gleichungen (1) befriedigt sind, die Ausdrücke in (1; ein. Wir 
multipliciren hierzu (7) mit a^^\ wo k die Werthe 1, 2 . . . w 
durchläuft, und summiren in Bezug auf Ji. So folgt: 



(8) 



B i a'i^xj, = E B^a^^Vi — E x/e B'^> a 

l,v l,v y + l,n 1, V 



s ttk j 



§. 29. Unhomogene Gleichuugen. 107 

und wenn wir beiderseits 

addiren : 

(9) B 1 4') x^ = Z Bf af Vi + f Xs (b c^ - '^ ^1*^ a'J" ai'^Y 

l,n l,v »+],n \ l,v / 

Nun ist nach §, 26, (12) der Coefficient von Xg auf der 
rechten Seite eine (v -|- 1) reihige ünterdeterminante von Ä und 
also nach der Voraussetzung gleich Null, Nach (1) soll 

fc 
U a(j!-^Xk = yi 

sein, und folglich genügen die Ausdrücke (7) dann und nur 
dann den Gleichungen (1), wenn 

(10) By, = ZB^a^^yi 

ist. Diese Gleichung ist, wenn P. < v ist, wegen §. 25, (2), (6) 
immer befriedigt. Ist aber A = r -f- 1, v -\- 2 . . . n^ so sind 
n — V Bedingungen für die y in (10) enthalten, die, da jede 
Bedingung eine neue der Grössen y enthält, von einander unab- 
hängig sind. Ist eine dieser Bedingungen nicht erfüllt, 
so hat das gegebene Gleichungssystem keine Lösung. 

Wenn wir in dem Gleichungssystem (1) die x nicht als 
Unbekannte, sondern als Veränderliche betrachten, so werden 
auch die y veränderliche Grössen sein. Bei dieser Auffassung 
nennen wir das System (l) eine lineare Substitution, inso- 
fern dadurch der Uebergang von einem System von Variablen, 
zum anderen vermittelt wird. Nur wenn die Determinante J., 
die wir jetzt die Substitutions-Determinante nennen, von 
Null verschieden ist, werden die y als unabhängige Variable an- 
gesehen werden können. Ist dies der Fall, so ergiebt das System 
(5) die Darstellung der Variablen x durch die y oder die zu (1) 
inverse Substitution. 

Das bisher Bewiesene wollen wir schliesslich noch in einen 
allgemeinen Satz zusammenfassen. 

Ein System von m linearen Functionen i/^, y^ • • • ym der 
n-Veränderlichen x^, X2 . . . Xn, das durch die Ausdrücke: 

(11) yi = af Xi ^ a'^^^ x^ ->r a(;i^ Xn, i = 1, 2 . . , w 
bestimmt ist, heisst linear unabhängig, wenn eine Gleichung 



108 Zweiter Abschnitt. §. 30. 

(12) ^1 ?/l + ^2 ^2 -f • • • + ^m Vm = 

mit Constanten Coefficienten A^, l^ • • • ^m identisch (d. h. für alle 
a^i . . . Xn) nur dann bestehen kann, wenn die A alle verschwinden. 
Im entgegengesetzten Fall heisst das System yi linear ab- 
hängig. Dann gilt der Satz: 

V. Wenn die Functionen t/j, 1)2 . - . Vm linear unab- 
hängig sind, so lassen sich die ir^ , x.^ . . . x^ 
immer so bestimmen, dass die y^^ ^2 • • • Vm beliebig 
gegebene Werthe erhalten. 

Die Richtigkeit dieses Satzes ergiebt sich aus der Erwägung, 
dass nach §. 27, I und III die yi nur dann, und immer dann 
linear unabhängig sind, wenn w < n ist, und wenn aus der 
Matrix der Coefficienten a[*) wenigstens eine nicht verschwindende 
»n-reihige Determinante gebildet werden kann. 



§. 30. 
Multiplication von Determinanten. 

Der Satz, den wir jetzt noch beweisen wollen, lehrt, wie 
man das Product zweier Determinanten von gleich viel Reihen 
durch eine einzige Determinante von ebenso viel Reihen dar. 
stellen kann. Man wird am einfachsten darauf geführt, wenn 
man die Auflösung von zwei Systemen linearer Gleichungen 
betrachtet. 

Es seien jetzt die Coefficienten af\ h^l'\ wenn ?', Jt die Reihe 
der Zahlen 1, 2 . . . w durchlaufen, beliebige veränderliche 
Grössen, ebenso die Grössen a;», i/,-, ^i, die nur an die Relationen 
gebunden sind: 

(1) i af^Xi = i/fc, 

(2) 2J h^^ yu = 2h. 

Wenn nun die Aufgabe gestellt wird, die "Variablen x durch 
die Variablen z zu bestimmen, so kann diese Aufgabe auf dop- 
pelte Art gelöst werden. Man kann nach §. 29, (4) die 
Gleichungen (1) in Bezug auf x, die Gleichungen (2) in Bezug 
auf y auflösen, und die letzteren Ausdrücke in die ersteren ein- 
setzen. Bezeichnen wir mit J., B die Determinanten der beiden 
Gleichungssysteme, also: 



§. 30. 



Multiplication von Determinanten. 



109 



A = 



<'), a(^) . 

1 z 




, S- 




n 

. . 6(2) 
n 


6("), 5(n) . 


. . 6(«) 

n 



und mit J.^^'^ ^i''-' die ersten Unterdeterminanten, so erhält man 

(3) Ax, = EÄi^tji, 

(4) Bij, = IJA'jPzh, 
und durch Substitution von (4) in (3): 

(5) ÄBxu = i^ni^AfB^. 

Man kann aber auch so verfahren, dass man aus (1) die 
Ausdrücke für y in (2) einsetzt, wodurch man, wenn 

gesetzt wird, erhält: 

0) 

Wenn man nun 



„e») 



(8) 



C = 



c^\ cf > . . . c(.i) 

C(2), c^2) . . . c(„2) 



c-(»>, c(") . . . c("> 

1 ' 2 n 

I i 

setzt, und mit C,-''^ die Unterdeterminanten von C bezeichnet, so 
ergiebt die Auflösung von (1): 

(9) Cxu=2zhC[^\ 
und die Vergleichung von (5) mit (9) ergiebt 

(10) AB = C, 
und für die Unterdeterminanten 

(11) C^'^EA'^b!^. 

In dieser Schlussweise ist aber noch eine Lücke, bedingt 
durch den Zweifel ob sich (5) von (9) nicht durch einen beiden 
Seiten gemeinschaftlichen Factor unterscheiden könnte. Diesen 
Zweifel kann man durch eine sehr einfache Ueberlegung begegnen, 
die sich auf die Unzerlegbarkeit der Determinante (§. 25, X) und 
auf die Betrachtungen des §. 20 stützt. Es ergiebt sich nämlich 



110 Zweiter Abschnitt. §. 30. 

zunächst durch die Vergleichung von (5) und (9), wenn alle 
^h^-> ^h^-> ^h ^^^ unabhängige Variable betrachtet werden: 

Ch Zu i A^^ B'^ = AB2: Zu Cf\ 
und daraus 

CZA'^^'B'i^ =: ABC^^\ 

Nach §. 20 muss der unzerlegbare Factor A in einem der 
Factoren der linken Seite aufgehen, und da die A^^ von nie- 
drigerem Grade sind als A. so kann dies nur C sein. Aus dem 
gleichen Grunde muss ^ in C aufgehen und die Vergleichung 
der Grade und des ersten Gliedes giebt C = AB. 

Man kann aber auch auf einem mehr rechnenden Wege zum 
Ziele gelangen. 

Wir wollen das Hauptglied der Determinante C nach (6) 
bilden, indem wir mit s^, S2 . . . s„ von einander unabhängige 
Summationsbucbstaben bezeichnen, die von 1 bis n laufen: 



^ a['^> a['^\ . . a';:"hi'^^ I/^^ . . . hl'"^' 



(1 2) 6{^^ ff . . . c^' = 2: a['^' 6^^ i «r^ bi'^ ... 2: ai'"^ bl'"^ 

Die Permutation der unteren Indices der c entspricht der 
Permutation der unteren Indices der a, und wenn man also mit 
Piücksicht auf die Vorzeichenregel die Determinante C bildet, so 
erhält man 

(13) Z ± 0^1)4-) . . . c^^) 

= 2 " b['^' J^> . . . &!;"^ ^ ± a^^ ai'^' . . . a^^- 
Nun ist 

2; ± a{«.) af**) . . . a[^*«) 

nach §. 24, VI. immer dann gleich Null, wenn unter den Sj, s^.-.Sn 
zweimal dieselbe Ziffer vorkommt; es behalten also nur die 
Glieder in QS) einen von Null verschiedenen Werth, in denen 
Sj , §2 . . . Sn eine Anordnung der Indices 1, 2 . . . w ist, und 
zwar ist dieser Werth -\- A oder — A^ je nachdem diese Anord- 
nung zur ersten oder zur zweiten Art gehört (§. 24, IVj. 
Demnach wird die rechte Seite von (13): 



§. 30. Multiplication von Determinanten. m 

die Summe erstreckt über alle Permutationen s-^, s^ . . . .§„. Diese 
Summe ist aber gerade die Determinante B und daher die 
Formel 

C = AB 
bewiesen. 

Das in der Formel (6) enthaltene Bildungsgesetz der Ele- 
mente cf^^ können wir in Worten so ausdrücken: 

Um die Elemente der Determinante C, die das 
Product der beiden Determinanten Ä, B ist, zu 
erhalten, multiplicirt man die Elemente je einer 
Colonne vonJ. mit den entsprechenden Elementen 
einer Colonne von B und addirt die Producte. 

Nach den Sätzen über die Determinanten kann man die 
Form von C in mannigfacher Weise abändern. Wir wollen 
darüber Folgendes bemerken. 

Wenn man zwei Colonnen in Ä oder in B vertauscht, so 
ändern sich die Elemente c^!'^ nicht, sondern vertauschen sich 
nur unter einander. 

Wenn man aber zwei Zeilen in Ä oder in B vertauscht, so 
ändern sich die c^.'*\ indem die Factoren in den einzelnen Pro- 
ducten der Summe anders zusammengefasst werden; wenn man 
aber entsprechende Vertauschungen in den Zeilen von A und 
von B gleichzeitig vornimmt, so bleiben die cf'> ungeändert, 
weil dadurch nur die einzelnen Glieder der Summe vertauscht 
werden. 

Indem man in A oder in B oder in beiden zugleich die 
Zeilen zu Colonnen macht, erhält man noch drei verschiedene 
Arten für die Bildung des Products zweier Determinanten in 
Determinantenform. Letzteres kann man auch so ausdrücken: 

Um das Product zweier Determinanten zu bilden, 
kann man die Elemente der einzelnen Zeilen 
oder Colonnen des einen Factors mit den ent- 
sprechenden Elementen der Zeilen oder der Co- 
lonnen des anderen Factors multipliciren und die 
Producte addiren, und diese Productsummen als 
Elemente einer neuen Determinante auffassen. 

Auf ein Product zweier Determinanten mit verschiedener 
Elementenzahl lässt sich die Multiplicationsregel dadurch an- 



112 Zweiter Abschnitt. §. 30. 

wenden, dass man die Determinante mit geringerer Reihenzahl 
durch den Satz §. 25, IX. in eine andere mit mehr Reihen ver- 
wandelt. 

Das Multiplicationstheorem gestattet noch eine Verall- 
gemeinerung, die sich mit denselben Mitteln ableiten lässt. 

Wir erweitern die Formel (G) dahin, dass wir setzen 

(14) cf^ = h a"^' h':\ 

l,m 

worin wir aber jetzt die Anzahl m der Summanden auf der 
rechten Seite grösser als n annehmen wollen, während i und h 
nach wie vor von 1 bis n laufen sollen. 

Wir bilden nun das Product wie in (12), und bilden die 
Determinante (13) ganz wie oben, nur mit dem Unterschiede, 
dass die Summationsbuchstaben s^, S2 • . ■ s„ jetzt von 1 bis m 
laufen. 

W^ählen wir unter den Ziffern 1, 2 . . . m irgend eine Com- 
bination von n verschiedenen Zifiern a^, a^ . . . a^ aus, so enthält 
die jetzt erweiterte Summe (13) alle Producte von der Form 

Z ± a^"'^ f4"^ . . . a^y , E ± hp^ If^ . . . ly, 

aber keine anderen Glieder, und die Determinante der cf'^ ist 
also gleich der Summe aller dieser Producte. Wir haben also 
den folgenden Satz: 

W^enn die Elemente der Determinante 

O ^ + Cj 6*2 ... Cfi 

die Form (14) haben, worin m >>« ist, so wähle man 
unter den Ziffern 1,2 . . . m auf alle möglichen Arten 
n verschiedene aus, die in einer beliebigen, aber festen 
Reihenfolge mit «1,(7.2 . . «« bezeichnet werden. Ist 
dann 

(15) « _ 1 2 n 

so ist 

(16) C^EAaBa. 

wenn sich die Summe auf alle möglichen Combinationen 
der « erstreckt. 

Die Anzahl der Glieder dieser Summe ist gleich der Anzahl 



§• 31. 



Determinanten der Uuterdeterminanten. 



113 



der Combinationen ohne Wiederholung von m Elementen zur 
ri>^^ Classe, also (§. 7): 

m {m — 1) (m — 2) . . . (m — w -j- 1) 
1.2.3...« 



§. 31. 
Determinanten der Unterdeterminanten. 

Wir machen hier gleich eine Anwendung von dem Multi- 
plicationsgesetz der Determinanten. 
Es sei wie bisher: 



a 



fi) 



(1) 



und 



(2) 



a 



(2) 






A'^\ aV 
Äf\ ÄP 



a 



i(u 



f«) 






(2) 



f(n) 



4"\ A^'' . . 

das System der Unterdeterminanten. Bilden wir aus (2) die 
Determinante, die wir mit ^ bezeichnen wollen, so können wir 
auf das Product A^ die Multiplicationsregel anwenden. Dies 
giebt aber nach §. 2.5, (3) und (7j: 



A^ = 



A, . . 
0, A . . 


. 
. 


0, . . 


. A 



A\ 



und daraus durch Division mit A: 



in— 1 



(3) z/ = Ä' 

Es ist also z/ die (w — l)te Potenz von A. Bei dieser 
Ableitung ist allerdings zunächst vorausgesetzt, dass A von Null 
verschieden sei. Da aber (3) in Bezug auf die Elemente a[.''^ 
eine Identität ist, d. h. auch dann gilt, wenn diese Grössen 
unabhängige Variable sind, so folgt, dass auch noch in diesem 
Ausnahmefall die Formel (3) gilt, d. h. dass, wenn A ver- 
schwindet, auch ^ verschwindet. 

Weber Algebra. L g 



114 



Zweiter Abschnitt. 



§.31. 



Dies Ergebniss ist ein specieller Fall eines allgemeineren 
Satzes, nach dem jede beliebige Determinante der Matrix (2) 
gebildet werden kann. 



Betrachten wir die v-reihige Unterdeter- 



minante 



(4) 



/iy = 



AT, A 







A^? 



jr\ A^P . . • A':^ 

aus der man durch Permutation der oberen und unteren Indices 
alle anderen v- reihigen Unterdeterminanten ableiten kann, so 
kann man die Multiplicationsregel anwenden, indem man ^/, 
nach der Bemerkung des letzten Paragraphen in eine n-reihige 
Determinante verwandelt: 



(5) 



^. = 



A['\ A^l' . 




Ad) 


AiV) 


Ai , A2 . 
0, . 


.. 0, 


-o-v + l 

1 


A(r) 
. . . M-n 

. . . 


0, . 


.. 0, 





. . . 1 



wobei n — v Zeilen und Colonnen beigefügt sind, von denen die 
ersteren ausser in den Diagonalgliedern lauter Nullen haben. 
Bildet man jetzt das Product AzJy^ so folgt 



(6) 



AJy = 



(1) 



A,0... 0, aV+i 



a^J^ 



0, 
0, 



A n^'^ 






0, al"^ 



0, . . . V, U-,^-1 

und dies ist nach dem Satz IX., §. 25 






= Ä' 



«v + 1 



«r^^ 



An) 



a':' 



Dividirt man hier durch A und wendet die Bezeichnung des 
§.26 an, so folgt 

(7j A = A*"'^l;l::::. 



§• 32. 



Determinantensatz von Sylvester. 



115 



Für V = 2 ergiebt sich das specielle Resultat 
(8) ÄPÄ'i'-Äf^Är = AAl:l 

Die Formel (8) werden wir später öfter benutzen. In der 
Bezeichnung durch die Differentialquotienten lässt sie sich so 
darstellen 

Besonders wichtig ist sie in dem Falle, wo A eine sym- 
metrische Determinante ist, wo also af^ = a^ ist; dann 
ist auch 

dA _ dA 

worin bei der Differentiation nicht Rücksicht genommen ist auf 
die Abhängigkeit af^ = aj^'^; dann wird die Formel (9) 

(^0\ A ^'^ — ^^ ^^ fdAy 



Determinante nsatz von Sylvester. 

Die zuletzt erhaltenen Resultate lassen sich noch in einer 
anderen Weise verallgemeinern nach einem Satze von Sylvester, 
den wir hier noch nach dem Vorgange von Frobenius beweisen 
wollen. 

Es sei 

(1) A = 2:±a['\(^r ...a':^ 
eine Determinante, r irgend eine Zahl < n und 

(2) Ar = U ± a^^^ afK . . a";'^ 

von Null verschieden. Mit Ah^ bezeichnen wir jetzt die Unter- 
determinanten von Ar (nicht von A), und bilden das Product 
der beiden Determinanten 



(3; 



a'l' . 


. . ar 


a^r'^ . 


. . ai"> 


ai^^ . 


. . a^'> 


a^'• + ^^ 


. . al"^ 


a%r. 


..a^;i. 


Clr + i . 


. . Clr + 1 


all' . 


. . cC' 


(r + 1) 






116 



Zweiter Abschnitt. 



§. 32. 



dessen "Werth, was aucli die Y sein mögen, nach §. 31 (3) und 

§. 25, IX. den Werth 

(4) Ä A\ 

hat. Bestimmen wir die Y und eine w^eitere Reihe von Grössen 

J5«^^ aus den Gleichungen 



i;!-' 



a\ 



(1) 



Yf-^.-.^(^^'Yf^afAr = ^ 



(5) 



a<^> Yf-\-.---\- aV Yf + af A^ = 

ai^> yc^) _f . . . + aL'-^ Yf + af ^. = Bf 

u =^ r -\- \, . . .. n 
. . .. n. 



/5 =r+ 1, 

so folgt durch Elimination von Y'P . . . Y^ nach §. 29, IL und 
§. 36, (13J 



(6) 



^f = 



a^i) . 



r 



1 ' 1 



r ' r 

a ' u 

und die Multiplication der beiden Determinanten (3) ergiebt 



■^n 



., 0, 



0, 



., 




yx.,, , • • -1 -^r + li -'-^n 1 • • •■) -Ojj 

worin die X gewisse r- reihige Determinanten sind, auf deren 
Kenntniss es nicht ankommt. Der Werth dieser Determinante 
ist aber nach §. 25, IX. 

Ai2:±B^:^^^ ...Bi:^ 

und hieraus und aus (4) ergiebt sich die Relation von Syl- 
vester: 



(7) 

wo die Bf die Bedeutung f6) haben, und die für r = w — 2 

in die Relation §.31, (9) übergeht i). 

1) Sylvester, PhilosopMcal Magazine 1851. Frobenius, Crelle's 
Journal, Bd. 86, S. 53. Sitzungsberichte d. Berliner Akademie l&9i, XII, XXIII, 



Dritter Abschnitt. 
Die Wurzeln algebraischer Gleichungen. 



§. 33. 
Begriff der Wurzeln. Mehrfache Wurzeln. 

Nachdem in den beiden ersten Abschnitten die algebraischen 
Grössen mehr von der formalen Seite betrachtet waren, wobei 
es sich um identische Umformungen von Buchstabenausdriicken 
handelte, in denen die Buchstaben durchweg als Symbole für 
variable Grössen aufgefasst werden konnten, treten nun die 
Zahlen grossen mehr in den Vordergrund. 

Wir verstehen hier unter Zahlen, gemäss dem in der Ein- 
leitung Festgesetzten , reelle oder imaginäre Grössen von der 
Form a -\- bi, und stellen die reellen Grössen zur Veranschau- 
lichung durch die Punkte einer geraden Linie, die imaginären 
durch die Punkte einer Ebene dar. Unter dem absoluten 
Werth einer imaginären Grösse a -\- bi verstehen wir ]/a--|-&'2 
und bezeichnen ihn nach Weierstrass mit 

\ a -{- bi \. 
Es sei nun 

eine ganze Function von x, worin die Coefficienten irgend welche 
reelle oder imaginäre Zahlen sind, und der erste, ao, von Null 
verschieden vorausgesetzt wird. Wenn a eine Zahl ist, die für x 
gesetzt die Function f{x) zu Null macht, die also der Bedingung 
/(«) =: genügt, so heisst a eine Wurzel der Gleichung 

f(x) = 0. 



118 Dritter Abschnitt. §. 33. 

Wir sagen auch kurz, a ist eine Wurzel von f{x). Nach 
§. 4 lässt sich dann f(x) durch x — a ohne Rest theilen, so 
dass man 

(2) f{x) = {x- a:)f, {X) 

setzen kann, worin /^ {x) nur vom (n — l)ten Grade ist, und den- 
selben ersten Coefficienten a^ hat, wie f{x\ also 
/i (x) = tto rc"-i -f- a; a;»'-^ -[- . . . 
Die Coefficienten von fi (x) sind in §. 4 (6) angegeben. 

Jede Wurzel von fi{x) ist also zugleich Wurzel Yon f(x) 
und umgekehrt ist jede Wurzel von f(x) entweder = « oder 
eine Wurzel von /^ (x). Wenn eine Wurzel a von f(x) bekannt 
ist, so ist die Aufgabe, die übrigen zu finden, auf die Lösung 
einer Gleichung (n — l)ten Grades zurückgeführt. 

Das Ziel der Betrachtungen dieses Abschnittes besteht in dem 
Nachweis, dass jede Function f{x) vom wten Grade wenigstens 
eine Wurzel hat. Dieser Satz heisst der Fundamental satz der 
Algebra. Zunächst ziehen wir aus (2) die wichtige Folgerung: 

I. Eine Gleichung wten Grades kann nicht mehr als 
n Wurzeln haben. 

Denn hätte f (x) mehr als n Wurzeln, so hätte fy (x)^ was 
nur vom (n — l)ten Grade ist, mehr als n — 1 Wurzeln. Eine 
Gleichung ersten Grades hat aber nicht mehr als eine Wurzel, 
woraus die Pdchtigkeit unseres Satzes durch vollständige Induction 
folgt. Man giebt ihm bisweilen auch den Ausdruck 

n. Wenn eine Function nten Grades f {x) mehr als 
n Wurzeln hat, so müssen alle ihre Coefficienten 
Null sein. 

Ist ß eine Wurzel von /^ (ic), so lässt sich ebenso setzen 
f, (x) = {x-ß) f, {x), f(x) = {x — «) (X - ß)f, (x), 

worin /^{x) = «o ^""^ + ' • • nur vom (w — 2)ten Grade ist. 
Nimmt man also an, dass jede der Functionen, die man durch 
diese Division erhält, fi(x), fiix) . . . wenigstens eine Wurzel 
habe, so erhält man schliesslich 

(3) f{x) = «0 (x — «) {x — ß) . . . (x — 1/), 

und wir können also den Satz, den wir vorhin als das Ziel 
unserer Betrachtungen bezeichnet haben, auch so aussprechen: 
Es soll bewiesen werden: 



§. 34. Stetigkeit. 119 

Eine Function wten Grades lässt sich in n lineare 
Factoren zerlegen. 

Die Grössen «, ß . . . v sind dann alle Wurzeln von f{x) 
und ihre Zahl ist also n. Es ist aber nicht ausgeschlossen, dass 
unter den a, /3 . . . v dieselbe Zahl mehrmals vorkommt. Dann 
würde / (x) weniger als n Wurzeln haben , während doch der 
Satz bestehen bleibt, dass f(x) in n lineare Factoren zerlegbar 
ist. Um die Uebereinstimmung herzustellen, ist man überein- 
gekommen, wenn x — a mehrmals in / (x) aufgeht, a unter den 
Wurzeln mehrfach zu zählen und also von einfachen, zweifachen, 
dreifachen etc. Wurzeln zu sprechen. 

Führen wir die derivirten Functionen ein, indem wir in §. 13, 
(2) a und x — «an Stelle von x und y setzen, so folgt: 

(4) fix) =/(„) + {x- «) /'(«) + (^j=^^ /" («) 

+ ^^ /"(„) + ... 

Wird also nun wieder angenommen, dass /(«) verschwindet, 
so ergiebt sich 

also 

/i («)=/'(«)• 
Es ist also a eine Doppelwurzel von /(x), wenn mit /(a) 
gleichzeitig /' (a) verschwindet. Auch die Formel (4) zeigt, dass 
nur unter dieser Voraussetzung f (x) durch (x — a)^ theilbar 
ist. Diese Schlussweise lässt sich weiter ausdehnen und führt 
zu dem Satze: 

III. Die nothwendige und hinreichende Bedingung 
dafür, dass a eine w-fache Wurzel von f{x) ist, 
ist die, dass /(«), /'(«), /"(«), . . . /("—'H«) ver- 
schwinden, /("•)(«) nicht verschwindet. 

§• 34. 
Stetigkeit ganzer Functionen. 

Wenn, wie bisher 

(1) f(x) = ao ic» + ai a;«-^ H h «n 

eine ganze Function von x ist, so beweisen wir zunächst fol- 
genden Satz: 



120 



Dritter Abschnitt. 



§. 34. 



IV. fipc) wird zugleich mit x unendlicli gross. 

Das will sagen, wenn C eine beliebig gegebene positive 
Zahl ist, so kann man die positive Zahl H so wählen, dass 

\f{^)\>C 
wird, sobald der absolute Werth von x grösser als R wird; oder 
geometrisch ausgedrückt: man kann in der a;-Ebene einen Kreis 
um den Nullpunkt so beschreiben, dass ausserhalb dieses Kreises 
der absolute Werth von f {x) nicht mehr unter C herabsinkt, 
wie gross auch C angenommen ist. Der Satz ist einleuchtend 
für den Fall einer einfachen Potenz a;"; denn ist r der absolute 
Werth von x^ so ist r" der absolute Werth von ic", und r" ist, 
sobald r grösser als 1 geworden ist, grösser als r und wächst 
also mit r ins Unendliche. 

Um den Satz allgemein zu beweisen, bezeichnen wir die 
absoluten Werthe von x^ Uq, ai, a2 . . . an mit r, Cq, c^, c^ . . . Cn. 
Dann ist 

^C*1 , ein , dyi 
: h • • • 



(2) 



/(^) 



und, weil nach den in der Einleitung bewiesenen Sätzen der 
absolute Werth einer Summe nicht kleiner als die Differenz und 
nicht grösser als die Summe der absoluten Werthe der Sum- 
manden sein kann, 

a 



a^ 



a. 



«0 + — + ^ + 



4- 



X^' 



^ Co — 



X ~ ^-' ~ 



«2_ 

x'^ 



an 
x"* 






/yn 



Da die Cq, Ci . . . c„ fest gegebene Constanten sind, so kann 
man H so gross wählen, dass, sobald r > R ist. 



Ci 



3- + 5 + 



beliebig klein, z. B. kleiner als V2 ^o wird; dann ist 



an 



1 ^ I ^ 1 . . . _L 



X' 



> V2 Co, 



und also nach (2) 
also, wenn man 

annimmt, 



f{x)\>^!,c,B\ 
2 C 



§. 34. Stetigkeit. 121 

(3) I f{x) I > a 

Hieran schliesst sich der Satz 

V. fix) ist eine stetige Function von x. 

Damit soll Folgendes gesagt sein: Ist der absolute Werth 
von X kleiner als eine beliebige endliche Grösse iv, so kann 
man, wie klein auch die positive Grösse a angenommen wird, 
eine positive Grösse s derart finden, dass 

(4) |/(;r + /0-/(:r)|<a, 

wird, so lange der absolute Werth q von li kleiner als s bleibt, 
und zwar so, dass £ nur von der Wahl von et», nicht aber von x 
abhängig ist (gleichmässige Stetigkeit). 
Nach §. 13, (2) ist 

(5) f{x + h) -fix) ^ hf'{x) 4- ^/"(^) 4- . . . jl^f^Hx) 

Nehmen wir nun den absoluten Werth von h kleiner als 1 
an, so ist der absolute Werth der in der Klammer stehenden 
Grösse 

(6) /'(^)-f-A/"(^)4 ^aoM-^ 

kleiner als eine bestimmte von Null verschiedene Zahl Tc, die 
man erhält, wenn man in (6) h durch 1, die Coefficienten 
flo, «1 . . . a„_i durch ihre absoluten Werthe und x durch R 
ersetzt, weil dadurch jedes einzelne Glied der Summe (6) durch 
seinen absoluten Werth oder durch eine grössere Zahl ersetzt 
wird. Wählt man e so klein, dass 

ek <. a 
ist, so ist wegen (5) die Forderung (4) erfüllt, so lange 

Q < £ 

bleibt. 

Wir können dem Satze von der Stetigkeit der Function 
f(x) noch einen etwas anderen Ausdruck geben, der uns für die 
Folge wichtig ist. Nach dem Satze, dass der absolute Werth 
einer Summe von zwei Gliedern der Grösse nach zwischen der 
Summe und der Differenz der absoluten Werthe der Glieder 
liegt (vergl. Einleitung, S. 21, 22), erhalten wir aus (5), wenn wir 



122 Dritter Abschnitt. §. 34. 

9(70 = hf{x) + j^/"(^) H h /^"«o 

setzen, 

\f{x) I - I gp(/o ! < \f{x + /O 1 < l/(^) 1 + I tC/O h 

oder 

-\cp(h)\< \f{x + /O I - l/(^) I < I ^(/O |. 

Nun ist, wenn () < £ ist, \ (p (h) \ < co, und wir können also 
auch sagen 

VI. Der absolute Werth der Differenz 

!/(^- 4-^0 1-1/(^)1 

ist kleiner als eine beliebig gegebene Grösse ca, 
sobald der absolute Werth von h kleiner als ein 
genügend kleines a ist. 

Daraus können wir noch schliessen, wenn wir x =^ y -\- i 2 
setzen, und h entweder reell oder rein imaginär annehmen, dass 
\f(y-\-^i)\ bei feststehendem eine stetige Function von y 
und bei feststehendem y eine stetige Function von g ist. 

VII. Sind die Coefficienten Oq, üi . . . ün und die Va- 
riable X reell, so kann man x dem absoluten 
Werthe nach so gross wählen, dass das Vor- 
zeichen von f(x) mit dem Vorzeichen des ersten 
Gliedes aoX'^ übereinstimmt, also bei positivem üq 
und geradem n positiv, bei ungeradem n für 
negative x negativ und für positive x positiv 
wird. 

Denn man kann in 

/(x) = ^»(a. + ^ + ||- + ...^) 

X dem absoluten Werthe nach so gross wählen, dass der absolute 
Werth von 

unter den von üq heruntersinkt und also der Klamraerausdruck 

'*° + ~ + ^^ ^^ 

das Vorzeichen von üq hat, was es dann für jedes absolut 
grössere x beibehält. 



§• 35. VorzeichenwechseL ]23 

§. 35. 

Vorzeichenweclisel von f{x). Wurzeln von Gleichungen 
ungeraden Grades und von reinen Gleichungen. 

Auf Grund der Sätze des vorigen Paragraphen können wir 
das folgende wichtige Theorem beweisen: 

Vin. Sind die Coefficienten von f {x) reell und exi- 
stiren zwei reelle Werthe a, h v.on x, so dass f{a) 
und f (h) entgegengesetzte Vorzeichen haben, so 
giebt es zwischen a und h wenigstens eine Wurzel 
I der Gleichung /(a;) = 0. 

W^ir wollen annehmen, es sei a < & und f{a) negativ, f(b) 
positiv. Wir theilen die Zahlen zwischen a und h so in zwei 
Theile 51 und S, dass eine Zahl a zu 51 gehört, wenn zwischen 
a und a, die Grenzen eingerechnet, kein x liegt, wofür /(a) 
positiv wird, und eine Zahl /3 zu 33, wenn zwischen ß und a 
wenigstens ein Werth von x liegt, für den/(a;) positiv 
wird. Ein Drittes ist offenbar nicht möglich und jede Zahl 
zwischen a und h ist also in 51 oder in S untergebracht. Wir 
rechnen noch die Zahlen, die kleiner als a sind, zu 5t, und die 
grösser als h sind, zu 33. 

Gehört « zu 51, so gehört auch jedes x, was kleiner ist als 
«, zu 51, und gehört ß zu S, so gehört jedes grössere x zu 23. 

Es ist also jedes ß grösser als jedes a und die beiden 
Zahlengebiete 5t, 23 bilden einen Schnitt (Einleitung, S. 5) der 
durch eine Zahl | erzeugt wird, so dass jede Zahl a, die 
kleiner als | ist, zu 5t gehört, jede Zahl /3, die grösser als | 
ist, zu 23. 

Ist nun für irgend eine Zahl x^ der Werth von /{xq) negativ 
oder positiv, so lässt sich nach V. des vorigen Paragraphen eine 
positive Grösse a so bestimmen, dass für jedes x zwischen X(j — £ 
und iCo -f- £ die Werthe von f {x) immer negativ oder immer 
positiv sind. Daraus ergiebt sich, dass /(|) weder negativ noch 
positiv sein kann und also Null sein muss. Denn wäre /(|) negativ, 
so wäre auch /(x) zwischen | und ^ -|- ^ negativ; diese Werthe 
würden also zu 5t gehören, während sie doch grösser als | sind; 
und wäre /(|) positiv, so wäre f{x) positiv, so lange x zwischen 
I — £ und I liegt; diese Werthe würden also, obwohl sie kleiner 
als I sind, zu S gehören, und beides ist nach der Definition von 



124 Dritter Abschnitt. §.35. 

I unmöglich. Ganz ähnlich kann geschlossen werden, wenn /(«) 
positiv und f(b) negativ ist und unser Satz ist also erwiesen. 

Hieraus ziehen wir zwei wichtige Folgerungen: Wenn /(|) 
verschwindet, so lässt sich ein Intervall 

^ — £ <x <.^-\- B 
so bestimmen, dass f{x) ausser für x = ^ m diesem Intervall 
nicht verschwindet. Es sind dann vier Fälle in Bezug auf die 
Vorzeichen von / {x) in den beiden Intervallen | — s <. x <. ^ 
und I < a; < ^ -)- f möglich, die im folgenden Schema zusammen- 
gestellt sind: 

1. /(^) + - 

2. /(^) - + 

3. f{x) + + 

4. f{x) - — . 

Ist /('^(a;) die erste unter den Derivirten von f{x\ die für 
X = ^ von Null verschieden ist, so zeigt die Formel [§. 13, (2)] 

m + V) = J^ß'Hi) + --: 

dass diese vier Fälle durch folgende Kennzeichen unterschieden 
sind: 

1. V ungerade /^''^ (|) < 

2. V ungerade /('> (|) > 

3. V gerade /O (|) > 

4. V gerade /o (|) < 0. 

Wir sagen, dass im ersten Falle f (x) abnehmend, im 
zweiten wachsend durch Null geht. Im Falle 3. ist /(|) = 
ein Minimum, im Falle 4. ein Maximum. 

Wenn insbesondere /'(^) von Null verschieden, | also eine 
einfache Wurzel ist, so ist das positive oder negative Vorzeichen 
von /'(l) das Kennzeichen für das Wachsen oder Abnehmen der 
Function /(a;) beim Durchgang von x durch ^. 

Wir beweisen mit diesen Hülfsmitteln noch zwei weitere 
wichtige Sätze. 



IX. Die Gleichung 



x" — a = U 



hat, wenn a eine positive Zahl ist, eine und nur 
eine positive Wurzel. 



§. 35. Wurzeln reiner Gleichungen. 125 

Denn setzen wir 

(1) fix) = x- -a, 

so ist f{x) nach §.34, VII. für ein hinlänglich grosses positives x 
positiv, und für a; = negativ; also giebt es einen positiven 
Werth von x, den man mit ]/a bezeichnet, für den f{x) ver- 
schwindet. 

Dass es aber nur einen solchen Werth geben kann, folgt 
daraus, dass a;", so lange x positiv bleibt, mit x fortwährend 
wächst. 

Ist n ungerade, so existirt auch für negative a eine und 
nur eine negative Wurzel von (1), was ebenso bewiesen wird. 

X. Eine Gleichung ungeraden Grades mit reellen 
Coefficienten hat immer wenigstens eine reelle 
Wurzel. 

Denn nach §. 34, Satz VII. kann f{x\ wenn der Grad un- 
gerade ist, sowohl positiv als negativ werden und f{x) = hat 
also nach VIII. eine Wurzel. Wir beweisen endlich noch 

XL Eine reine Gleichung hat immer eine Wurzeh 

Unter einer reinen Gleichung verstehen wir eine Gleichung 
von der Form 

(2) a;" — a = 0, 

wo a eine beliebige reelle oder complexe Grösse ist, 

Dass diese Gleichung für ein reelles positives a immer eine 

Wurzel hat, ist oben schon bewiesen, und für a = Q wird sie 

offenbar durch aj = befriedigt. 

Der allgemeine Beweis kann in zwei Theile zerlegt werden; 

es genügt nämlich, wenn wir zunächst n = 2, dann n ungerade 

voraussetzen. Denn existirt die Grösse p^a undy« oder Va für 

jedes tt, so ist auch die Existenz von 

2"_ -12/ — ZI *"_ iV^"— 

also von p^a für jedes beliebige w_ sichergestellt. Es würde 
sogar genügen, die Existenz von |/a für den Fall zu beweisen, 
dass n eine Primzahl ist. Daraus ist aber zunächst kein beson- 
derer Vortheil zu ziehen. 

Wir bezeichnen die complexe Grösse a mit h -\- ci und 
setzen, da x im Allgemeinen auch complex sein wird, 

X z= 'ij -\- i z. 



126 Dritter Abschnitt. §.35. 

Dann haben wir zunächst zu zeigen, dass 

(3) (y _^,.)2 = j^^c, 

welche reellen Werthe auch h^ c haben mögen, durch reelle ^, z 
befriedigt werden kann. Die Gleichung (3) ist aber erfüllt, wenn 

(4) y^ — z^z=h, 2yz = c, 
also 

und folglicli 

(5) y2 ^ s^ = yb- 4- C2. 



Nach IX. existirt immer eine positive Quadratwurzel Vb^ -[- c^. 
Aus (4j und (5) folgt nun 

b 4- yb-2 4- c2 , — & 4- Vb-^ 4- c2 



und die beiden Grössen + & -L- V&2 _j- ^2 sind offenbar positiv, 
da &2 _|- c2 > J2^ also auch Vb'^ -f- c2 > VP! Wir erhalten 
daraus 



2 



-6-1-V&2 + C2 
^ = ± V^ 2 ' 

worin aber das eine Vorzeichen durch das andere bestimmt ist 
durch die Bedingung 

2y0 = c 
eines der beiden Vorzeichen aber bleibt willkürlich, so dass wir 
nicht nur eine, sondern zwei (entgegengesetzte) Lösungen von 
(3) erhalten. 

Es sei ferner w ungerade; wir nehmen die zu lösende 
Gleichung in der Form an 

(6) (y -\- i ^y ^= b -\- c i. 

Ist c = 0, also a reell, so können wir ^ = setzen und 
erhalten nach IX. einen reellen Werth von x. Nehmen wir aber 
c von Null verschieden an, so folgt aus (6j (Einleitung, S. 21) 

(7) (y - izY = b - ci. 

Multipliciren wir die beiden Gleichungen (6), (7) mit ein- 
ander, so folgt 

{y'2 -f zry. = b^J^ C\ 

und daraus (nach IX.) 



§. 36. Eeine Gleichungen. 127 



(8) 2,2 ^ ^2 = ]/62 + c2, 

wodurch der absolute Werth von x bestimmt ist. Es ergiebt 
sich ferner aus (6) und (7) 

(9) ^ ^y^ ^) ^ 0/ — ^'^)"(^ + ^'c) — (!/ + izY{h-ic) ^ ^ 

Nun ist (p(y,2) eine ganze homogene Function wten Grades 
der beiden Veränderlichen y, z, und zwar mit reellen Coeffi- 
cienten (da die Vertauschung von i mit — i in (p (y, s) nichts 
ändert), und wenn wir nach absteigenden Potenzen von y ordnen, 
so ist das erste Glied c?/", also nach Voraussetzung von Null 
verschieden. Setzen wir nun 

y = ^^, 
so erhalten wir aus (9) 

(10) g)(A, 1) = 0, 

also eine Gleichung wten Grades für A, die nach X. gewiss eine 
"Wurzel hat. Ist A bestimmt, so folgt aus (8) 

Hierdurch sind die Gleichungen (8), (9) thatsächlich befrie- 
digt; aus (9) aber folgt 

iy + i^Y _ {y — i^Y 

b -\- ic h — « c ' 

und aus (8), dass der gemeinsame Werth dieser beiden Brüche 
+ 1 ist. Wir haben daher 

{y 4- i zY = ± (6 -f- ci\ (y — isY = ± (& — ci), 

und es kann also das Vorzeichen der Quadratwurzel in (11) so 
bestimmt werden, dass die Gleichungen (6) und (7) erfüllt sind 



§. 3G. 

Lösung reiner Gleichungen durch trigonometrische 

Functionen. 

Weit vollständiger und einfacher kann die Auflösbarkeit 
einer reinen Gleichung dargethan werden, wenn man die trigono- 
metrischen Functionen und ihre einfachsten Eigenschaften als 
bekannt voraussetzt. Freilich sind diese Functionen der eigent- 



128 Dritter Abschnitt. §. 36. 

liehen Algebra fremd imcl darum ist es befriedigender die 
principiellen Fragen, so wie es im Vorhergebenden geschehen 
ist, und auch noch später geschehen soll, ohne ihre Hülfe zu 
beantworten. Für die Anwendung und eine bequemere An- 
schauung wollen wir aber dieses Hülfsmittel doch nicht ent- 
behren. 

Setzen wir, wenn h, c reelle Zahlen sind, 

(1) Ij = r cos 9, c = r sin g?, 

so ist, wenn wir r positiv annehmen, der Winkel cp hierdurch 
bis auf ein Vielfaches von 2 tc bestimmt. Er wird völlig be- 
stimmt sein , wenn wir ein Intervall von der Grösse 2 7t fest- 
setzen, in dem er liegen soll, z. B.: 

— jr <C 9? ^ JT. 

In geometrischer Auffassung sind r, cp die Polarcoordinaten 
des Punktes, dessen rechtwinklige Coordinaten &, c sind. 

r ist der absolute Werth der complexen Grösse a = h -\- ci 
und (p wollen wir die Phase dieser complexen Grösse nennen. 

Das Product zweier complexen Grössen 
a = r (cos (p -\- i sin 95) 
^^ a' = r' (cos (p' -\- i sin 95'), 

ergiebt sich in der Form 

(3) aa' = rr'[cos(9) -f rp') -\- isinfg? -|- (p% 

und daraus erhält man, wenn n eine beliebige ganze positive 
(oder selbst negative) Zahl ist, den nach Moivre benannten 
Lehrsatz : 

(4) (cos fp -\- i sin gj)" = cos ntp -\- i sin n g?, 

der dazu geführt hat, die Grösse cos cp -\- i sin qp als Exponential- 
function mit imaginärem Exponenten zu betrachten, und demnach 

cos cp -\- i sin cp = e* '■-'' 
zu setzen. Dadurch erhalten die Formeln (3j und (4) die 
Gestalt 
(-5) e»'/' gi '/■'' = e' ('/' + '/''), (e«>)" = ß»«v. 

Wenn wir demnach 
(6) a = r{co'S,cp -\- i^mcp), 

setzen und unter pV den nach §. So, IX. existirenden und völlig 
bestimmten positiven Werth verstehen, dessen nte Potenz = r 
ist, so ist 



§. 36. 



Reine Gleichungen. 



129 



(7) 



Vr{ 



cos ^- + « sm 
n 



n / 



eine Grösse, deren nie Potenz = a ist, also eine Wurzel der 

Gleichung 

(8) X» = a, 

wenn unter n eine beliebige positive ganze Zahl verstanden wird. 
Derselben Forderung genügt aber auch jeder der Werthe 



(9) 



Xk 



= ]/V cos ( 



cp -\- 2'k7t\ ... ZOP 

* -|- « sm ' ^ 



n 



n 



wenn Je eine beliebige ganze Zahl ist. In (9) sind aber n und 
nicht mehr verschiedene Werthe enthalten, die man erhält, 
wenn man 

(lOj Je = 0, l, 2, ... 11 — 1- 

setzt; denn vermehrt man h um ein Vielfaches von n, so ändert 
(9) seinen Werth nicht, während die n Werthe (10) lauter ver- 
schiedene W^erthe von x ergeben, weil sie verschiedene Phasen 
haben. 

Die Gleichung (8) hat demnach nicht nur eine, 
sondern n verschiedene Wurzeln. 



Fig. 1. 



Die geometrischen Bilder der 
W^erthe x^ liegen alle auf 
einem Kreise mit dem Radius 
]/r, und zwar um den Winkel 
2 7C : n von einander entfernt, 
^lan erhält den ersten dieser 
Punkte dadurch , dass man den 
gegebenen Winkel (p in n gleiche 
Theile theilt. Der Radius ^r ist 
grösser oder kleiner als r, je 
nachdem r kleiner oder grösser 
als 1 ist. Die beistehende Fig. 1 

zeigt diese Verhältnisse für n = 3 unter der Voraussetzung, dass 

r > 1 ist. 

Man kann die verschiedenen Werthe von x^ dadurch erhalten, 

dass man den ersten von ihnen 




^ 



fP 



Xo = V r { cos— -\- i sin 

^ \ n ^ n 

mit den verschiedenen Werthen von 

Weber, Algebra. I. 



130 Dritter Abschnitt. §. 37. 

,,,, Ihn . . . 2h7l 

(11) Bj; = COS h i sm 

multiplicirt. Die Grössen f^ sind Wurzeln der Gleichung 

(12) x'' = 1, 

und heissen die nten Einheitswurzeln. Es sind n und nur n 
verschiedene Werthe. von denen bei ungeradem n nur einer (für 

k = 0), bei geradem n zwei (für Je = und /j = — j reell sind. 

Die geometrischen Bilder der nten Einheitswurzeln sind die 
Eckpunkte eines dem Kreise mit dem Radius 1 einbeschriebenen 
regelmässigen 7t-Ecks. Ihre algebraische Bestimmung ist Gegen- 
stand der Kreistheilungslehre. Bezeichnen wir den Wertli 
von £fe für Ic =± l mit £, setzen also 

27t , . . 27C 

s = cos — + i sm — , 
n n 

so ist nach dem Mo i vre' scheu Satze 

Sic = £^ 

so dass alle nten Einheitswurzeln als Potenzen von einer unter 
ihnen dargestellt sind. 



§. 37. 
Befreiung einer Gleichung vom zweiten Gliede. 

Die Gewissheit der Existenz der Wurzeln reiner Gleichungen 
setzt uns in den Stand, die Wurzelexistenz bei den Gleichungen 
zweiten, dritten und vierten Grades oder, wie man auch sagt, bei 
den (juadratischen, cubischen und biquadratischen Gleichungen 
nachzuweisen, indem wir die Bestimmung ihrer Wurzeln auf die 
Lösung reiner Gleichungen zurückführen. Wir werden auf 
diese Frage später von verschiedenen allgemeineren Standpunkten 
zurückkommen, besprechen aber hier in der Kürze die älteren 
Methoden der Auflösung, die, wenn sie auch wenig Einblick in 
den allgemeinen Zusammenhang dieser Fragen gewähren, doch 
in der Anwendung sehr einfach sind. Sie erwecken den Schein, 
als ob es sich um eine der Verallgemeinerung auf höhere 
Gleichungen fähige Methode handle, was aber nicht der Fall ist. 
Zunächst folgende allgemeine Bemerkung. Nehmen wir der Ein- 
fachheit halber in der Function 



§. 37. Die Wurzeln algebraischer Gleichungen. 131 

(1) /(^) = '^" + «1 ^"~' + «2 -^"-^ H h «n 

den Coefficienten von x" gleich 1 an, was man im Allgemeinen 
durch Division mit dem Coefficienten von a;" erreicht, so können 
wir durch eine einfache Substitution 

(2) ^ = !'-T' 

f{x) in eine andere Function wten Grades (p{y) transformiren, 
in der das zweite Glied i/"~^ nicht vorkommt; denn es ist nach 
dem binomischen Lehrsatz 

^H = yn _ a, yn-1 J^ !i^_ af 2/"-' H 

^7, 1 

^n-l _ yu-l ai^»-2 -{-■•■ 



also 



^„-2 _ yn-2 _ . . ., 



Wenn wir die Transformation für die Fälle w = 2 , 3 , 4 
wirklich ausführen, so erhalten wir 

n--= 2 (p(y) = y- + « 
(8) n = 3 <jD (2/) = ?/3 -^ ay -^ & 

n = 4 9 (2/) = ^* + « 2/- + ^ y + c, 

wenn wir setzen 



(4) 



für n 2 : 


« — ^ + «2, 


für « — 3: 


« — 3 + «2 




, 2 af a, rt.- 
^ 27 3 


für n 4: 


3af , 



- + «3, 



Ä=i^_:il^ + „, 



C = 



3 aj* af cii tti ag 



+ -T6~ ^ + «*' 



2.56 

und die Lösung der Gleichung f(x) = ist durch (2) auf die 
Lösung von (p{y) = zurückgeführt. Diese ergieht zunächst 

- für n = 2 

" 9* 



132 Dritter Abschnitt. §.'38. 

und folglich 



o' 



rr = - - ± \/ rii. _ r,.. = -«1 + V^f - ±ck 



Wir haben also zwei Wurzeln 



«1 + Vöf 


— 4^2 


2 


fl'i V«i- 


— 4 «2 



/3 



§. 38. 
Cubische Gleichungen. Cardanische FormeL 

Die Gleichung dritten Grades nehmen wir in der 
reducirten Form an 

(1) y3 4_rt^_^J = 

und führen zwei neue Unbekannte u^ v ein, indem wir 

(2) 1/ = M -f V 
setzen. Dies in (Ij eingesetzt, ergiebt 

(3j u^ ^ v'^ -^ {;?>uv ^ ü) (tt ^ ?;) -^ 6 = 0. 

Wir bestimmen eine der beiden Grössen m, v durch die 
andere nach der Gleichung 
(4) 3 w w = — a, 

und erhalten aus (3) 

Aus (4j und (5j aber lassen sich %"•> und v^ durch eine 
Quadratwurzel bestimmen. Man erhält nämlich 

(6) (W3 _ r^Zyi — (h3 _i- -y3)2 _ 4^3y3 

Setzen wir zur Abkürzung 
so findet sich 

u^ — V'' = 1 yn. 



§. 38. Die Wurzeln algebraischer Gleichungen. 133 

Wir geben der VR eines der beiden Zeichen und erhalten 
nach (5) 

u^^ = -^JrVR. ^-^ = - i - VI, 



(9) 



und also 

Die Multiplication der beiden Ausdrücke (8) ergiebt 

W3 ^3 = _ _- 

und zeigt , dass , wenn für u ein bestimmter unter den drei 
Werthen der Cubikwurzel genommen wird, 

(10) V = 



Su 



ay^ + VR 



-13/377 3 

jedenfalls einer der drei Werthe von w 1- Vi2 ist. Aus (4) 

folgt aber, dass, nur wenn wir diesen Werth für v nehmen, 
die Gleichung (1) durch y =z u -\- v befriedigt ist. Wir erhalten 
so, den drei Werthen von ti entsprechend, drei Wurzeln der 
Gleichung (1). Aus der Existenz einer Wurzel der cubischen 
Gleichung ergiebt sich aber auch dadurch schon die Existenz 
von dreien, dass bereits nachgewiesen ist, dass die quadratische 
Gleichung zwei Wurzeln hat. 

Um aus der einen Wurzel (9) die beiden anderen abzuleiten, 

setzen wir 

a = u -\- V, 

und dividiren y'' -\- a y -\- h durch y — a. Der Quotient, dessen 
Wurzeln die beiden anderen Wurzeln /3, y der cubischen 
Gleichung (1) sind, ist 

iß -\- ay ^ a^ -^ a = 0, 
woraus man nach (4) des vorigen Paragraphen 

_ —a±V— Sc/ß — 4:C, 
J 2 

findet. Setzt man hierin u = u -{- v^ und nach (4) a = — ^u v, 
so folgt: 



134 Dritter Abschnitt. §. 39. 



_ — (n + f) ± V — 3 (i^ -f vy -^ I2uv 



_ ^ (u-\^v) ±V— S(u — V) 



Setzen wir also 



woraus 

f3 = 1 

£2 + £ + 1 = 



2 
folgt, so erhält man die drei Wurzeln der cubischen Gleichung (6) 

a = u -\- V 
(13) ß = 8U ^ e^v 

y = s'^U-\- SV. 

Darin ist £ eine von 1 verschiedene dritte Einheitswurzel, 
die hier ohne die trigonometrischen Functionen algebraisch aus- 
gedrückt ist. Setzt man eu oder a'^u für w, also s^^, sv für v, 
so vertauschen sich die drei Grössen a, /3, y unter einander. 

Der Ausdruck (9) für die Wurzel einer cubischen Gleichung 
wird die Cardanische Formel genannt. 



§• 39. 

Der Cayley"sche Ausdruck der Cardanischen 

Formel. 

Jede Cubikwurzel hat, wie wir gesehen haben, drei ver- 
schiedene Werthe, die man aus einem von ihnen erhält durch 
Multiplication mit 1 , £ , f^ go hat also auch jede der beiden 
Grössen w, v, wie sie durch (8), §. 38 definirt sind, drei Werthe 
und die Summe u-\-v hat also, wenn man nur die Bedingungen 
(8) berücksichtigt, neun verschiedene Werthe; von diesen 
geben aber nur drei Lösungen der cubischen Gleichung, und 
erst durch Zuziehung der Relation (4), §. 38 

(1) ^uv = — a 

werden unter den neun Werthen die brauchbaren ausgesondert. 



§. 40. Biquadratische Gleichungen. 135 

Dies ist ein Mangel der Cardanischen Formel, die hiernach 

für sich noch nicht genügt, um die Wurzeln der cubischen 

Gleichung eindeutig zu geben. Diesem Mangel hat Cayley 

durch die folgende Darstellung abgeholfen. Man definire zwei 

neue Grössen |, rj durch die Gleichungen 

(2) u = ^'-t], v = ^7j2, 

woraus sich durch Multiplication mit Benutzung von (1) 

(3) i n =17^ 

ergiebt; folglich ist, wenn dieser Werth in (2) eingesetzt und für 
t(, V ibre Ausdrücke §. 38, (8) substituirt werden, 

^^) ^= V'2^ + V4^ + ^' ^ = ^27^-i^T^+3' 
und wenn man also jetzt die Wurzel y der cubischen Gleichung 
in die Form 

(5) y = iri{^-\-n) 

setzt, so erhält man einen Ausdruck, der, wenn man, von ein- 
ander unabhängig, | durch |, £|, £2|^ und if] durch r], «r;, a'^ri 
ersetzt, nicht neun, sondern nur die drei Werthe 

(6) £|2^ + £2|^2 

annimmt. Giebt man ausserdem der in (4) vorkommenden 
Quadratwurzel das entgegengesetze Zeichen, so werden |, iq mit 
einander vertauscht, und die drei Wurzeln (6) nur unter einander 
permutirt i). 

§. 40. 

Die biquadratische Gleichung. 

Ein äbnlicher Weg, wie bei der Lösung der cubischen Glei- 
chung durch die Cardaniscbe Formel, lässt sich zur Lösung 
der Gleichung vierten Grades 
(1) y^-^aif-^hy -^ c = i) 

einschlagen. 



') Cayley, Phil. Mag., vol. XXI, 1861. Collected mathematical papers, 
vol. V, Nr. 310. 



136 Dritter Abschnitt. §. 40. 

Wir setzen 

2y = u -\- V -\- IV, 

und erhalten, wenn wdr zur Abkürzung 

(2) s = «2 _j_ v2 -|- iv% t = v^ iv^ + w^u^ -\- u^v^ 

setzen, 

Ay^ = s -\- 2(vw -\- wti -\- uv) 

IQ yi ^= S^ -\- 4: S (v IV -\- w u -{- u v) -\- 4 t 

-\- 8 ti V lü (u -\~ V -{- iv). 

Wenn man dies in (1) einsetzt, so findet sich 
s2 -f 4 ^ + 4 a s + 16 c + 8 (M V ^ü + &) (w + V -f tu) 
-|- 4 (s -^ 2 a) (y iv -^ tvu ^ u v) = 0. 
Diese Gleichung wird aber durch die Annahme befriedigt 
s -f 2 a = 0, uviü ^ b = 0, s^ + 4 ^ -|- 4 a s + 16 c = 0. 
Mit Hülfe der ersten dieser drei Gleichungen wird die dritte 

^ = a2 — 4 c, 
und, wenn man für s, t die W^erthe (2) zurücksetzt, 

u^ -\- v^ -{- w^ = — 2a 

(3) v^ iv^ -\- ic^ u^ -^ u-^ v2 = a^ — 4: c 

UV 10 ^ — b. 
Nacli §. 7 sind diese Gleichungen dann und nur dann 
befriedigt, wenn u^, v^, lo- die Wurzeln der cubischen Gleichung 

(4) ^3 -^ 2 a ^2 ^ ((^2 _ 4 c^ ^ _ ^2 _ 

sind, und wenn die Vorzeichen von u, v, iv so bestimmt werden, 
dass die letzte der Gleichungen (3) befriedigt ist. Diese letztere 
Bedingung lässt noch vier verschiedene Vorzeichenbestimmungen 
zu, so dass man die vier Wurzeln der biquadratischen Gleichung 
in folgender \Veise erhält: 

2 « = u -\- V -{- IV 

2 /3 = u — V — IV 



(5) 



2>' 



— U -\- V — w 



2Ö = — u — V -\- IV. 

Die Lösung der biijuadratischen Gleichung ist damit auf 
die der cubischen Gleichung (4) zurückgeführt. 

Diese Gleichung heisst eine cubische Resolvente der 
biquadratischen Gleichung. 



I 



§. 41. Fundamentalsatz. ^37 

§. 41. 
Beweis des Fundamentalsatzes. 

Wir gehen nun an den Beweis des Fundamentalsatzes 
der Algebra, dass jede Gleichung f{x) = wenigstens eine 
Wurzel hat. Wir schicken einige allgemeine Sätze voraus: 

1. Wenn S ein beliebiges System reeller Zahlen be- 
deutet, die alle grösser sind als eine bestimmte 
positive oder negative Zahl C (d. h. ein System, 
das keine unendlichen negativen Zahlen enthält), 
so existirt eine untere Grenze für die Zahlen S. 

Unter einer unteren Grenze g ist eine solche Zahl zu 
verstehen, die von keiner Zahl des Systems S unterschritten 
wird, aber so beschaffen, dass, wenn d eine beliebig gegebene 
positive Grösse ist, zwischen g und g ^ 8 (mit Einschluss der 
Grenzen) immer noch wenigstens eine Zahl des Systems S liegt, 
wie klein auch 8 sein mag. 

Der Beweis ergiebt sich unmittelbar aus der Möglichkeit 
eines Schnittes (5(, ^ß), den man so construirt, dass man eine 
Zahl a nach 51 wirft, wenn sie von keiner Zahl des Systems S 
unterschritten wird, und eine Zahl ß nach 33, wenn sie 
wenigstens von einer Zahl in S unterschritten wird. Die durch 
diesen Schnitt bestimmte Zahl g wird von keiner Zahl in S 
unterschritten, denn sonst gäbe es auch Zahlen, die kleiner als 
g sind, und also zu 51 gehören, und die doch von Zahlen in S 
unterschritten werden, während andererseits jede noch so wenig 
über g liegende Zahl /3 zu ^ gehört und also von einer Zahl 
in S unterschritten wird. Das sind aber die charakteristischen 
Merkmale der unteren Grenze. 

2. Ist S' ein Theil von 5', so haben auch die Zahlen 
S' eine untere Grenze g\ und diese ist entweder 
gleich g oder grösser als g. 

Denn kleiner als g kann sie nicht sein, da sonst Zahlen in 
S' und folglich auch in S vorkämen, die unter g liegen. 

Es sei xiMXi f{x) eine reelle Function von x, die in dem 
Intervall 
(1) a"^ x^h 



138 Dritter Abschnitt. §. 41. 

nur endliche TVerthe hat, und die ausserdem in diesem Intervall 
stetig ist; das will, in Uebereinstimmung mit §. 34, V und VI, 
besagen, dass 

(2) f{x±h)-f{x) 

dem absoluten Werthe nach in dem ganzen Intervall unter einer 
beliebig gegebenen Zahl 7] liegt, wenn das positive h kleiner als 
eine gewisse Zahl a ist. (Für x = a nehmen wir in (2) nur 
das obere , für x = h nur das untere Zeichen , um mit x -j^li 
nicht aus dem Intervall herauszukommen.) 

Für die Werthe einer solchen Function in dem Intervall 
giebt es nach 1. eine untere Grenze g, und wir beweisen nun 
den Satz : 

3. dass die Function f{o:) den Werth g für irgend 
einen Werth | des Intervalles annimmt, wonach 
die untere Grenze zu einem Minimum der Func- 
tion /(x) in dem Intervall wird. 

Der Beweis ist folgender. Die untere Grenze der Functions- 
werthe in einem Theil des Intervalles fl) ist nach 2. entweder 
gleich oder grösser als g. 

Wenn nun /(a) = ^ ist, so ist das zu Beweisende richtig; 
ist aber f{a)'>g^ so kann man wegen der Stetigkeit von f(x) 
ein Intervall a -^ x -^ a -[- h angeben, in dem f{x) > g bleibt 
und also die untere Grenze von fix) grösser als g ist. 

Wir construiren nun in dem Intervall (Ij einen Schnitt 
(31, 33) der Art, dass wir einen Werth « des Intervalles (1) zu 
5( rechnen, wenn die untere Grenze von fix) in dem Intervall 
a ^ X ^ « grösser als g ist, und einen Werth ß zu S, wenn 
die untere Grenze im Intervall a ^ :/■ ^ ß gleich g ist. 

33 kann möglicherweise aus dem einzigen Werthe h bestehen; 
dann aber muss fih) =g sein, und unsere Behauptung ist für 
X ^ h erfüllt; denn wäre fih)>g, so könnte man eine Grösse 
g' zwischen f{h) und g und wegen der Stetigkeit ein Intervall 
h — h ^ X ^b so annehmen, dass in diesem Intervall alle 
Functionswerthe fix) grösser als </', ihre untere Grenze also 
gleich oder grösser als g' und daher sicher grösser als g wäre. 
Da aber b — h zu 31 gehört, so ist auch in dem Intervall 
a ^ X ^b — ]i und folglich in dem ganzen Intervall (Ij die 
untere Grenze grösser als g^ gegen die Annahme. 



§. 41. Fundamentalsatz. ^39 

Ist also f{h) > g, so definirt der Schnitt (51, 23) eine Zahl | 
im Inneren des Intervalles (1), von der wir nun zeigen können, dass 

(3) fm = g 

sein muss. 

Ist /(l) > g und /(£) > g' > g, so können wir wegen der 
Stetigkeit von f{pc) ein Intervall 

I — /i ^ ,^ ^ ^ -f- /i 

bestimmen, in dem alle Functionswerthe f{x) grösser als g' und 
also ihre untere Grenze grösser als g ist. Da aber ^ — /^ zu ^ 
gehört, so ist auch in dem ganzen Intervall 

g <C a: < I -|- 7^ 

die untere Grenze von f {x) grösser als ^, während doch | -(- ^* 
zu 23 gehört, worin der Widerspruch liegt. 

Es sei jetzt /(a:) eine ganze rationale Function mit beliebigen 
complexen oder reellen Coefficienten , und die Variable x soll 
gleichfalls complexe Werthe haben können. 

Nach §. 34, IV kann, wenn C ein beliebiger positiver Werth 
ist, die positive Grösse i? so angenommen werden, dass 

(4) I fix) I > C 
ist, sobald 

(5) I ^ I ^ -R 

wird. Zur Veranschaulichung stellen wir das durch die Un- 
gleichung 

I .r I < P. 

begrenzte Gebiet (jR) für die Variable x durch eine Kreisfläche 
vom Radius JR in der Ebene der Variablen x ■=^ %j A^ iz dar. 

Wenn wir C grösser annehmen, als irgend einen Werth 
von \f{po) I im Inneren des Gebietes {R)-> zum Beispiel grösser 
als 1/(0)1, so wird \f{x)\ gewiss im Inneren des Gebietes 
(i?) kleiner werden als an der Begrenzung. Da nun im ganzen 
Inneren von {Ti) die Function | f{x) \ , die wir zur Abkürzung 
jetzt mit X bezeichnen wollen, nicht negativ wird, so giebt es 
für die Werthe von X eine untere Grenze g und wir haben den 
Satz zu beweisen; 

4. Es existirt ein Werth ^ von x im Inneren des 
Gebietes (i2), so dass 

(6) \f{l)\=9 



140 



Dritter Abschnitt. 



§• 41. 



wird, dass also die untere Grenze auch hier 
ein Minimum ist. 

Die untere Grenze von X in irgend einem Theile des Be- 
reiches ist entweder gleich g oder grösser als g. 

Ein Grössengebiet, das durch die Ungleichheitsbedingungen 

(7) \x\^B, — R^y ^K 

bestimmt ist, wird in unserer Fig. 2 durch das Segment (P Qu Q'), 

das wir das Segment (P, c.) nennen wollen, dargestellt. Wir 

bestimmen nun zunächst 
FiR. 2. . ,,7- ., 

einen vVerth r] von y 

durch einen Schnitt (5t, 33) 

folgen dermaassen : 

Eine Zahl a zwischen 

— Fi, und -\- R wird in 

5t aufgenommen, w^enn 

die untere Grenze von 

X in dem Segment (P, a) 

grösser als g ist, und 

ein Werth ß wird in 33 

aufgenommen, wenn die 

untere Grenze von X in 

dem Segment (P, ß) 

gleich g ist. Dieser Schnitt 

(% 33j delinirt eine Zahl 

Y] von der Eigenschaft, dass die untere Grenze von X in dem 

Bereich (P. ?/), wenn y <. rj ist, grösser als (/, und wenn y > rj 

ist, gleich g ist. 




Nun ist nach §. 34, VI 



eine stetige Function von 



f(r] + i^) I 

2 in dem Intervall 



(8) — VR^ — 1^2 ^s ^ VR^ — 1^2, 

was in der Fig. 2 durch Jf, M' bezeichnet ist. 

Diese Function erhält also nach 3. für irgend einen Werth ^ 
von in diesem Intervall einen Minimumwerth y, so dass, wenn 

gesetzt wird, 

(9) \m)\ = r 

wird. 



§. 41. Fundamentalsatz. \^i 

Es ist nun ferner leicht einzusehen , dass y = g sein muss, 
denn da g die untere Grenze aller Werthe von X innerhalb {R) 
ist, so kann y zunächst nicht kleiner als g sein. 

Es kann aber y auch nicht grösser als g sein; denn alle 
Werthe, die X auf der Strecke 31 M' annimmt, sind ^ y; ist 
aber y > g., so kann man eine Grösse g' so annehmen, dass 
y > g' > g ist, und wegen der in §. 34, VI bewiesenen Stetigkeit 
Ton X lassen sich die Zahlen a, ß so bestimmen, dass 

a<:v <ß 

und dass in dem ganzen Bereich (P, ß) — (P, a) = («, /3) 
{QNN' Q' in der Fig. 2) X grösser als g' bleibt. Folglich ist 
die untere Grenze von X in («, ß) grösser als g. Da nun die 
untere Grenze von X in (P, a) grösser als g ist, so ist sie auch 
in (P, /3), was aus (P, «) und (a, /3) zusammengesetzt ist, grösser 
als g\ ß gehört aber zu 33, woraus ein Widerspruch mit der 
Definition von 23 folgen würde. 

Es bleibt also nur übrig, dass y = g ist, und der Satz 4. 
ist damit nachgewiesen, nämlich, dass es einen Werth | im In- 
neren von (R) giebt, für den 

1/(1)1=^ 
ist, dass also \f(x) | einen Minimumwerth erjeicht. Wir be- 
weisen nun: 

5. Wenn « irgend ein Werth von x ist, für den 
/(«) von Null verschieden ist, so lässt sich h 
so annehmen, dass 

(10) l/(« + ^OI<l/(«)l 

ausfällt. 

Daraus folgt dann, dass, wenn /(|) von Null verschieden 
Aväre, g nicht das ^linimum der Function \f(x) \ sein könnte; 
da dies aber bewiesen ist, so muss 

(11) fa) = 

sein, und ^ ist eine Wurzel der Gleichung f(x) = 0. Der 
Fundamentalsatz wird also dann bewiesen sein. 

Beim Beweise von 5. machen wir Gebrauch von dem schon 
bewiesenen Satz (§. 35), dass eine reine Gleichung immer eine 
Wurzel hat. 

Von den derivirten Functionen/' («),/" («) • • • können einige 
verschwinden; die letzte /(">(«) , die gleich II(n)ao ist, ist aber 



142 



Dritter Abschnitt. 



§. 41. 



von Null verscliieden ; es mögen also /' (a) , /" (a) . . . /(»"-D («) 
verschwinden, /('">(«) nicht verschwinden. Wir haben dann 
nach §.13 

lfm 7i)n + l 

(12) /(« + h) =m + nj^) /<■"' («) + üi^^) /'""" («)+••■ 

Wir wählen, was nach §. 34, V stets möglich ist, eine posi- 
tive Zahl s so, dass 



(13) 



h /('"+i)(a) 



+ 



7^2 



y(m+2) (o«) 



m+ 1 /»">(«) ' ()» + 1) (in -{- 2) /("»)(«) 
ist, sobald 

(14) \h\< s, 

und einen postitiven echten Bruch ö so, dass 

£'" /('") (a) 



< 1 



(15) 



ö !/(«)!< 



77 (m) 



was, wenn /(«) nicht verschwindet, gleichfalls möglich ist. Dann 
bestimmen wir (auf Grund von §. 35) h aus der Gleichung 

7i'» /('«) (a) 



(16) 

woraus nach (l-Ö) 



n{m) 



-ö/(«), 



7i I < £ 



folgt. Aus (12) ergiebt sich jetzt, wenn man für h'" den Werth 

aus (16) setzt, 

/(« + 70 = (1 -ö)/(«) 



- ¥(«) (- 

also 


/i /('"+!)(«) /i2 /('»+2)(«) 

»i -f 1 ß'") («) (^» -f 1) {m -|- 2) /('") (w) 


(17) /f« + /^ < /(«) (1-^) 


+ d 


/(«) 


(„j J|_ !)/('")(«) (m -1- 1) (m — 2) /(™>(a) 



) 



und wegen (13) 

(18) I /(« + /O I < I /(«) I w. z. b. w. 

Damit ist also der Beweis des Fundamentalsatzes beendigt. 



§. 42. Die Wurzeln algebraischer Gleichungen. 143 

§. 42. 
Algorithmus zur Berechnung der ^Yurzeln. 

Der im vorigen Paragraphen gegebene Beweis für die Exi- 
stenz einer Wurzel einer algebraischen Gleichung lässt zwar an 
Bündigkeit nichts zu wünschen übrig, er hat aber noch den 
Mangel, dass er nicht die Schritte erkennen lässt, wie man eine 
Wurzel durch ein convergentes Rechnungsverfahren berechnen 
kann. Wir fügen also noch die folgenden Betrachtungen hinzu, 
die diesem Mangel, wenn auch nur theoretisch, abzuhelfen be- 
stimmt sind. Sie geben noch einen zweiten Beweis des Funda- 
mentalsatzes, der in der Hauptsache von Lipschitz stammt 
(Lehrbuch der Analysis, Bd. I, §.61 ff.; Vereinfachungen sind 
dem Verfasser von Dedekind und Frobenius mitgetheilt). 

Wenn die beiden ganzen rationalen Functionen f{x) und 
f {x) einen gemeinsamen Theiler haben, so kann dieser nach 
^. 6 durch rationale Operationen gefunden und beseitigt werden. 
Wir dürfen also voraussetzen, dass/(a:) und /'(*') keinen gemein- 
samen Theiler haben, dass sie also für keinen Werth von x beide 
zugleich verschwinden. 

Wir setzen nun voraus, dass die W'urzelberechnung für eine 
Function (n — 1/®° Grades schon gelungen sei, und nehmen 
demnach /' (x) in lineare Factoren zerlegt an. Demnach sei, wenn 

(1) f{x) = a;" 4- a^a;"-! + «2^""^ + • • •' 
ist, 

(2) f'{x) = nx"-' + (u — l)ai^"-2 • • • 

= n (x — /3i) (x — ß.2) . . . {x — ßn-i), 

worin die /Sj, ß^ . . . ßn-i f^ls bekannte Zahlen angesehen werden, 
die auch theilweise identisch sein können. Nach unserer Voraus- 
setzung werden die absoluten Werthe 

(3) 1/(^1) I, |/(/3.)|, ...|/(/3„-i)|, 
die wir mit 

(4) &i, &2 • • • ^«-1 

bezeichnen, alle von Null verschieden sein; wir wollen die Be- 
zeichnung so gewählt annehmen, dass bi der kleinste unter ihnen 



144 



Dritter Abschnitt. 



§. 42. 



sei, oder wenigstens keinen der anderen an Grösse übertrifft. 

Nach dem Satz 5, §. 41 lässt sich dann ein Wertli a von x so 

bestimmen, dass der absolute Werth « von /(«) kleiner als \ 
wird, also: 

(5) a < &i ^ &2 ^ &3 • • • ^ ^n-l- 

Wir begrenzen nun ein Gebiet G für die Variable x derart, 
dass ausserhalb dieses Gebietes der absolute Werth von f{x) 
immer grösser als « ist, so dass 6r alle Punkte x enthält, in 
denen | f{x) | < a ist (aber auch noch andere Punkte). Dies ist 
nach §. 34, IV dadurch möglich, dass wir vom Nullpunkte als 
Mittelpunkt einen die Punkte a, /S^, i^=) . . . ßn-i einschliessenden 
Kreis (R) von hinlänglich grossem Ptadius B legen und die Punkte 
/3i, ßi • • • ßn--ii in denen |/(a;) | ja grösser als a ist, durch 
kreisförmige Hüllen von so kleinen, aber nicht verschwindenden 
Radien p^ , Q2 • ■ ■ Qn—\ von diesem Kreise ausscheiden, dass im 
Inneren aller dieser Kreise (pi), (p,) ••• (P«— ij der absolute Werth 
\f{x) I grösser als a bleibt (§. 34, V). Dann umschliesst keiner 
jp- 3 dieser Kreise den Punkt 

«, in dem | f{x) \ = a 
ist. Das von den Kreisen 
{R), (pO . . . (p„_i) be- 
grenzte zusammenhän- 
gende Flächenstück ist 
das Gebiet G. 

Wir bestimmen nun 
eine Zahlenreihe 




a, a 



a!\ «'" 



derart, dass die absoluten 

Wertlie von /(«), /(«')? 



/(«") 



die wir mit 



a, a , a , a 



bezeichnen, immer ab- 
nehmen. Die so bestimmten Punkte «, w', «" bleiben alle im 
Inneren des Gebietes G^ weil ja in ihnen \f{x) \ < a ist. 

Wir bedienen uns dazu eines Verfahrens, ganz ähnlich dem 
zum Beweis des Satzes 5, §. 41 angewandten, nur dadurch verein- 
faclit, dass /'(«) schon von Null verschieden ist. Wir setzen, 
indem wir unter ö einen noch näher zu bestimmenden, positiven, 
echten Bruch verstehen, in der Entwickelung 



§. 42. Die Wurzeln algebraischer Gleichungen. 145 

(6) f(a + h)=f(a) + kf (a) + ^ /"(„) + .. . 

und erhalten 

(8) /(« + /0 = (1 -ö)/(«) 

+ 2-^("U rw "3- /'(«j3 +---J 

Nun ist nach (2) 

/'(«) = ^^(« - /30 (« _ ^,) . . . (« _ ^„_,), 

also, wenn wir die absoluten Wertlie von (a — /JJ, (« — ^.^ . . . 
(« — ßn-i) durch Ti, f-i . . . r„_i bezeichnen, 

I /' («) I = n Vi ra . . . Tn-i. 

Da nun « ausserhalb des um ß^ beschriebenen Kreises q^ 
liegt, so ist )\ > pi, und ebenso n > ^2 • • -i und folglich 

I f (a) \ > n Qi Q2 . . . Qn-i , 
also I /' (a) I grösser als eine von der Lage von cc innerhalb G 
unabhängige positive Zabl l\ Daraus ergiebt sich, dass man eine 
hinlänglich grosse positive Zahl Q^ die gleichfalls von der Lage 
von « und von dem echten Bruch d unabhängig ist, so wählen 
kann, dass 

/(«)/"(«) ö f{ayf"'(u) 



(9) 



H <Q. 



f'{ay 3 /'(«)3 

und dass zugleich 

Q> 1 

ist. Man kann Q erhalten, wenn man auf der linken Seite 
von (9) in den Nennern /'(«) durch /.-, 8 durch 1, sonst alle 
Glieder durch ihre absoluten Werthe, endlich den absoluten 
Werth von u durch den grössten Werth R ersetzt, und die so 
gewonnene Zahl, wenn nöthig, noch bis über 1 und sonst noch 
beliebig vergrössert. Dann ergiebt sich aber aus (8), wenn 

(10) a -|- 7i = «1, \f{a)\ = a, \f{a{)\ = a^ 

gesetzt wird, 

«1 < « (1 - ö + I q). 

Setzt man hierin und in (7), was gestattet ist, b = l : Q^ 
so folgt 

Weber, Algebra. I. JQ 



146 Dritter Abschnitt. §. 42. 

(12) tti < a ( 1 — 7^7^), a — «1 > 



2QJ' '''- 2Q 

Wir leiten nun durch dasselbe Verfahren aus a^ , a^ ein 
zweites Grössensystem «2, «2 ab, dann aus «2, a.2 ein drittes, 
«3, «3, u. s. f. und erhalten so für die Reihe abnehmender posi- 
tiver Zahlen a, a^, a2, «g . . . die Umgleichungen 

(13) «1 < a 0, ttg < «1 . . . «v < «,— 1 &, 
worin 

= 1 — 

ein positiver echter Bruch ist. Aus (13) folgt aber durch Multi- 
plication 

a, < « 0' 
und daraus 

(14) Lim a, = 0. 
Nun ergiebt sich aus (llj und (12j 

, , a 2(a — a-i) 

woraus für jeden Index v 

(15) i«.,_«,^j<i(^^L:^i^. 

Nun ist, da der absolute Werth einer Summe kleiner ist, als 
die Summe der absoluten Werthe, für irgend zwei Indices ^, v, 
deren erster der kleinere ist, nach (1.5) 

I CCu — Uy I < I CCa «u+i 1 + I «u + i au+2 | H h | «.-1 — «.• | 

2 2 2 

und daraus 

(16) I a^ - «,. I < —1^ ^ 

und mit Hülfe von (14) 

Lim I «„ — Uy 1 = 0, 

wenn ft und v unbegrenzt wachsen. 

Damit ist ausgedrückt (nach dem in der Einleitung erklärten 
Begriff" der Zahlenreihe, S. 17), dass sich die Zahlen w, «j, «2 ... 
einer bestimmten Grenze nähern, die wir mit | bezeichnen wollen. 



§. 43. Zahlenwerthe ganzer Functionen. I47 

Aus der Stetigkeit der Function f (x) folgt aber dann leicht, 
dass /(l) = sein muss; denn wäre : /f|) > 0, so könnten, 
da die «(') dem Wertlie ^ beliebig nahe kommen, die absoluten 
Werthe «(*'> von /(«(»)) nicht unter jeden positiven Werth herunter- 
sinken, was wir doch von ihnen nachgewiesen haben. 



§. 43. 
Zahlenwerthe ganzer Functionen. 

Aus dem Fundamentalsatz von der Wurzelexistenz ergeben 
sich einige Sätze über die numerischen Werthe ganzer Functionen, 
die, so einfach sie sind, doch besonders hervorgehoben werden 
müssen : 

1. Sind 01 (x, y, z . . .), O^ (x, ij, z . . .), ^3 {x, y, z ...),. . 

ganze Functionen der Veränderlichen x, y, z . . . 

mit numerischen Coefficienten, die in keiner der 

Functionen alle zugleich verschwinden, so kann 

man für die Veränderlichen auf unendlich viele 

Arten solche Zahlenwerthe setzen, dass keine 

der Functionen (Dj, 0,^ ^3 • • • verschwindet. 

Der Satz ist zunächst evident, wenn die Functionen 0^, 02, 

03 . . . nur von einer Variablen abhängen; denn dann giebt es 

überhaupt nur eine endliche Anzahl von Zahlwerthen für diese 

Veränderliche, die eine dieser Functionen zum Verschwinden 

bringen. 

Dann aber können wir die Richtigkeit des Satzes für 
Functionen von n -j- 1 Veränderlichen leicht einsehen, falls wir 
ihn für Functionen von n Veränderlichen als erwiesen betrachten. 
Denn ordnen wir die Functionen nach der (n -\- 1)*'=" Veränder- 
lichen ^, so können wir für die übrigen «Veränderlichen nach 
Voraussetzung solche Werthe setzen, dass in keiner der Func- 
tionen die Coefticienten aller Potenzen von t verschwinden; dann 
haben wir Functionen der einen Veränderlichen t und können 
für diese einen solchen Werth setzen, dass keine der Functionen 
verschwindet. Damit ist der Satz bewiesen, und man sieht, dass 
er auch noch richtig bleibt, wenn für die absoluten Werthe der 
Zahlen, die für die Variablen zu setzen sind, beliebige obere 
Grenzen festgesetzt sind, oder wenn gefordert wird, dass nur 
rationale Zahlen für die Varial)len zu setzen seien. 

10* 



148 Dritter Abschnitt. §. 44. 

2. Haben keine zwei der Functionen ^i, ^2, ^3 • • • 
einen gemeinschaftlichen Factor (§. 20), so kann 
man für die Variablen solche Werthe setzen, dass 
eine dieser Functionen, die nicht eine Constante 
ist, verschwindet, während die übrigen von Null 
verschiedene Werthe erhalten. 
Um diesen Satz zu beweisen, nehme man an, es sei t eine 
der Variablen, die in 0^ wirklich vorkommt. Dann kann man 
für jede Function 0» aus der Reihe ^2; ^3 • • • nach dem Algo- 
rithmus des grössten gemeinschaftlichen Theilers die ganzen 
Functionen 0,, qi, Xj, deren keine identisch Null ist, so be- 
stimmen, dass 

(1) fi ^i + (li ^1 = X, 

wird [§. 20, (4)], dass Xi von t unabhcängig und nur von den 
übrigen Variablen x, y . . . abhängig ist. Nun setze man für die 
letzteren Variablen x, y . . . solche Werthe (nach dem Satze 1.), 
dass alle Functionen Xi von Null verschieden sind, und dass 0^ 
nicht von t frei wird, sondern in eine Function f(t) übergeht. 
Endlich setze man für t eine Wurzel der Gleichung f{t) = 0. 
Dann verschwindet ^1 , während nach (1) keine der Functionen 
Qi verschwinden kann. Dies aber fordert der Satz 2. 

§• 44. 
Stetigkeit der Wurzeln. 

Wir beschliessen diesen Abschnitt mit dem Beweis des Satzes : 
Die Wurzeln einer algebraischen Gleichung 
sind stetige Functionen der Coefficienten. 

Wir haben zunächst die Bedeutung dieses Satzes zu erklären. 

Es sei 

(1) fix) = a;" + «^1 ^"~^ + «2 «""^ + • • • 

eine ganze rationale Function von x vom n'^^'^ Grade. Nach dem, 
was in den vorangegangenen Paragraphen bewiesen ist, lässt sich 
f{x) in n lineare Factoren zerlegen, die zum Theil einander 
gleich sein können. Wir setzen, indem wir gleiche Factoren zu- 
sammenfassen und die Wurzeln mit «, /3, 7 . . . bezeichnen, 

(2) fix) = ix — af ix — ßf' ix — ry . • ., 

worin a, &, c . . . ganze positive Zahlen sind, deren Summe 
gleich n ist. 



§. 44. 



Stetigkeit der Wurzeln. 



149 



Die Wurzeln a, /3, y . . . werden sich mit den Coefficienten 
ai, «21 «3 • . . ändern, auch der Grad ihrer Vielfachheit kann ein 
anderer werden. 

Wir bezeichnen die Aenderungen von a-i, «g • • • rnit «i, s-2 - • ■ 
und setzen 

(3) cp (x) = £i a;»-i + f., A"-2 + • . . 

(4) /(^) + 9'(^)=/i(^). 

Wir umgeben die Punkte a, ß, y . . . mit Gebieten von 
beliebiger Kleinheit, jedoch so, dass diese Gebiete sich gegen- 
seitig ausschliessen, etwa dadurch, dass wir die Punkte a, /3, y ... 
durch Kreisperipherien mit den Radien p, q\ q" . . . einschliessen, 
und bezeichnen diese Gebiete durch (9), (^'), {q") . . . 

Wenn die absoluten Werthe von t^, fg • • • unter hinläng- 
lich kleinen Werthen liegen, so können wir von der Function 
/i (x) zunächst beweisen, 

dass sie keine Wurzeln ausserhalb der Gebiete 
(p), (q'\ {q") . . . hat, 
und zweitens, 

dass die Anzahl der Wurzeln von fi{x) inner- 
halb (q) genau «, innerhalb (q') genau 6, inner- 
halb (q") genau c u. s. f. beträgt. 

Bei dem letzten Theil des Satzes ist aber zu beachten, 
dass, wenn fi{x) mehrfache Wurzeln hat, diese nach ihrer 
Vielfachheit gezählt werden müssen. 

Fg. 4. Wir construiren nach §. 34, IV 

in der Ebene x einen Kreis mit 
dem Radius R und dem Null- 
punkt als Mittelpunkt, der die 
Gebiete (q), (q'), (q") . . . ein- 
schliesst, so dass ausserhalb dieses 
Kreises keine Wurzeln von /j (x) 
mehr liegen, und bezeichnen das 
innerhalb dieses Kreises, aber 
ausserhalb (()), (p'j, (q") . . . 
liegende Gebiet mit G. Es ist 
dazu noch zu bemerken, dass R 
von den s-^, £., . . . unabhängig 
angenommen werden kann, so lange für die absoluten Werthe 
dieser Grössen eine bestimmte obere Grenze festgesetzt wird. 




150 Dritter Abschnitt. §..44. 

Ist mm X ein Punkt des Gebietes (r, so ist der absolute 
Werth von x — o: grösser als (), der von x — /3 grösser als 
q\ u. s, f., und mithin nach (2) 

(5) I fix.) I > r q" q'" ■ ■ ■ 

Ist nun «1 eine Wurzel von f\ (x), so folgt aus (4) 

(6) f(ay) = — <p («i), 

und «1 kann daher nicht in dem Gebiete G liegen, wenn man 
dafür sorgt, dass innerhalb G überall 

(7) I <3P (^) I < Q" q" q"' ■ . •, 

was durch genügende Verkleinerung der oberen Grenze von Sj, fg • • • 
immer möglich ist. Hiermit ist der erste Theil unserer Behauptung 
erwiesen, dass, wenn die Ungleichung (7) befriedigt ist, keine 
Wurzeln von /^ (x) ausserhalb der Gebiete (()), (q'), (p") . . . liegen. 
Um den zweiten Theil zu beweisen, setzen wir 

(8) f{x) = 'il^{x)(x -af, 

(9) Jp (x) = (x — (if {x — yy . . . 

Wir wählen nun eine positive Zahl Ä, die aber von q un- 
abhängig sein soll, so dass, so lange x im Inneren oder an der 
Peripherie des Gebietes (q) liegt, 

(10) \tl^(,v)\>Ä, {mr\x — a\^Q) 

bleibt. Eine solche Zahl erhalten wir z. B., wenn wir 1 gleich 
der Hälfte des kleinsten unter den Abständen (oc, /3), (cc, y) . . . 
annehmen und 

A = V> + '^+--- 

setzen; dann ist die in (10) ausgedrückte Forderung wenigstens 
so lange erfüllt, als q kleiner als l ist. Ist nur ein einziger 
Punkt a vorhanden, so ist ip(x) = 1 zu setzen, und für Ä kann 
jeder beliebige echte Bruch gesetzt werden. 

Es seien nun «^ , a^ . . . die Wurzeln von /^ (,r) innerhalb 
(9), und eil, 0,-2 '• • flie Grade ihrer Vielfachheit , und ß-^, ß^ . . ., 
Z>i, b-i . . ., ^1, y.2 . . ., Cj, C2 . . . sollen dieselbe Bedeutung für die 
Gebiete ((>'), (q") . . . haben; es ist dann 

(11) w = «^ -^ a2 -f . • • + ?*i + &.2 + • • • + Ci + Ca + • • •, 

da die Gesammtzahl aller Wurzeln gleich n sein muss. Die 
Function /i (x) lässt sich dann so darstellen : 

(12) /i (x) = ti (.r) (x — «i)"! (x — aoY^ . . ., 



§• 44. Stetigkeit der Wurzeln. 151 

worin 

(13) 1^1 (x) = (x — ßj'^ (X - ß,)h ... 

(x — f.y^ {x — y^y^ . . . 

Nun können wir eine von q, q' , q" unabhängige positive 
Zahl B bestimmen, so dass, so lange x innerhalb oder an der 
Grenze von (q) bleibt 

(14) \ri^,(x)\<B (für I rr - « I ^ q). 

Wir können z. B. eine Grösse L wählen, die grösser ist als 
die doppelte Entfernung des Punktes a von einem der Punkte 
/3, 7 . . . und jedenfalls grösser als 1 und dann 

B > L" 

annehmen. 

Nun folgt aus (4) 

(15) l/(^)l<l/i(^OI + 19^(^)1, 
also nach (8) und (12) 

(1 6) I ^ (a;) 1 . j a; — a I" < 1 1^1 (ic) I . I ä; — «1 1 «1 . 1 a; — «2 1''^ • • • + 1 (p (a:) I , 

und wenn wir nun a; auf der Peripherie von (q) annehmen, also 

\ X — a \ = Q 
setzen, so ist 

\ X — ai|<2(), \ X — a^ \ < 2q . . . 
folglich nach (10) und (16) 

(17) Q''A<{2Qyi + "^+-- B ^ \ (p(x)\. 

Wir wollen nun die oberen Grenzen für die Coefficienten 
£[, ^2 • • • "^on (p so klein annehmen, dass 

\ (p{x)\ < Q-Ä' 

wird, worin A' eine Zahl bedeutet, die kleiner als Ä ist; dann 
folgt aus (17) 

(18) Ä — A' < 2«i + «2 + --- Q-<^ + -<i + a^+--- B. 

Dies aber würde für ein hinreichend kleines q nicht mehr 
möglich sein, wenn a grösser als die Summe «^ -f- ^2 H" • • • 
wäre. Es folgt also 

(19) a ^ ttj -|- «2 + • • • 
Ebenso lässt sich beweisen, dass 

& ^ &, + &2 H 

(20) c^c,-i-c,-\ 



sein muss. Da aber die Summen der linken Seiten sowohl als 



152 Dritter Abschnitt. §. 44, 

der rechten in den Ungleichungen (20), (21) gleich n sein 
müssen, so können nur die Gleichheitszeichen bestehen, also : 

h = b,-{-bo-] 

C = Ci -f- Cä -|- • • • 



wodurch auch der zweite Theil unseres Satzes bewiesen ist. 

Wir wollen dem bewiesenen Satze noch folgende, auf den 
Fall mehrfacher Wurzeln bezügliche Bemerkung beifügen. 

Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass 
f{x) = überhaupt mehrfache Wurzeln habe, ist die, dass f(x) 
und /' (x) einen gemeinsamen Factor haben. Wenn man also 
nach den im ersten Abschnitt entwickelten Principien den Algo- 
rithmus des grössten gemeinsamen Theilers auf diese beiden 
Functionen anwendet, so erhält man die Bedingung gemeinsamer 
Factoren daraus, dass man den letzten constanten Rest gleich 
Null setzt, in Gestalt einer Gleichung zwischen den Coefficienten : 

F{ai, tto . . . ein) = 0, 

worin F eine ganze rationale Function der Argumente a^, «3 • • • «n 
ist, die die Discriminante von/heisst, deren Eigenschaften 
und Bildungsweise im nächsten Abschnitt noch eingehender 
behandelt werden soll; jedenfalls kann, da es überhaupt Glei- 
chungen n^^'^ Grades ohne mehrfache Wurzeln giebt. F nicht 
identisch verschwinden. 

Betrachten wir also jetzt 

F(ai + £1, «2 + «2 • • • «n + f»), 
so wird auch diese Function , wenn die cij ,«,••• f<» bestimmte, 
die £1 , £2 • • • ^n aber unbestimmte Zahlen sind , nicht identisch 
verschwinden, und man kann über die e so verfügen, dass ihr 
Werth von Null verschieden ausfällt, auch dann noch, wenn 
für die absoluten Werthe der e eine beliebige obere Grenze 
festgesetzt ist (§. 43). 

Man sieht also aus diesen Betrachtungen, wie eine «-fache 
Wurzel « von f(x) bei stetiger Veränderung der Coefficienten in 
a einfache Wurzeln aus einander strahlt, so dass man auch von 
diesem Gesichtspunkte berechtigt ist, die «-fache Wurzel als 
durch das Zusammenfallen von a einfachen Wurzeln entstanden 
zu betrachten. 



§. 44. Stetigkeit der Wurzeln. 153 

Nehmen wir den Coefücienten der höchsten Potenz von x 
nicht gleich 1 an, untersuchen also die Gleichung in der Form 

(21) öo X» -f a, x^-^ + Cto ^"~^ + • • • + «n-l X -f ein = 0, 

so sind, wenn a„ = ist, eine oder mehrere der Wurzeln gleich 
Null, und die Gleichung (21) lässt sich durch x oder eine höhere 
Potenz von x dividiren, wodurch eine Gleichung von entsprechend 
niedrigerem Grade entsteht, in der das letzte Glied von Null ver- 
schieden ist. Wir wollen also von vornherein «„ von Null ver- 
schieden annehmen und nun in (21) 

(22) ' x = - 

setzen. Durch Multiplication mit ?/" und Division mit a„ geht 
dann (21) üher in 

(23) r + ^ r- + • ■ • + ^ 2/ + f = 0, 

tln ''n '-hl 

und wir können auf die Wurzeln dieser Gleichung den vorliin 
ausgesprochenen Satz anwenden , indem wir a^ = annehmen, 
so dass eine der Wurzeln von (23) verschwindet. Wir erlangen 
so den Satz: 

Man kann in der Gleichung (21) «o so klein annehmen, dass 
eine ihrer Wurzeln üher alle Grenzen gross wird, während die 
anderen sich beliehig wenig von den Wurzeln der Gleichung 
(n — l)*«'^ Grades 

eil ^""^ + (h -^""^ + • • • + «n-l X -\- ün = 
unterscheiden. 

Man drückt das auch so aus, dass mit verschwinden- 
dem a„ eine der W^urzeln von (21) unendlich wird. 

Wenn auch noch ((^ oder aj und «2 verschwinden, so werden 
zwei oder drei Wurzeln unendlich u. s. f. 

Es rechtfertigt sich hierdurch der bisweilen gebrauchte 
Ausdruck, dass eine Gleichung n*®"^ Grades durch Unendlichwerden 
einer Wurzel in eine Gleichung (n — l)*^'' Grades übergehe. 



Vierter Abschnitt, 
Symmetrisclie Functionen. 



§• 45. 

Begriff der symmetrischen Functionen. 
Symmetrische Grundfunctionen. 

Wir betrachten in diesem Abschnitt ganze Functionen 
beliebigen Grades von einer beliebigen Anzahl, n, von Veränder- 
lichen 

Eine solche Function heisst symmetrisch, wenn sie 
unge ändert bleibt, wenn die Variablen a^,«2...a„ 
einer beliebigen Permutation unterworfen werden, 
und solche symmetrische Functionen sind es, deren Eigenschaften 
und Bildungsgesetze wir jetzt genauer kennen lernen müssen. 

Damit eine Function ^(«i, a^ . . . «„) symmetrisch sei, ist es 
genügend, dass sie sich bei der Vertauschung von je zweien der 
Argumente «^ , «, • • • «n nicht ändere, weil nach §.21 alle 
Permutationen durch eine Reihe von Transpositionen gebildet 
werden können. 

Die Function wird im Allgemeinen nicht homogen sein, 
sondern Glieder verschiedener Dimension enthalten; wenn man 
aber alle Glieder gleicher Dimension zusammenfasst, so lässt 
sich jedes durch eine Summe homogener Functionen ver- 
schiedener Grade darstellen, und wenn O symmetrisch sein soll, 
so muss jeder homogene Bestandtheil eines bestimmten Grades 
für sich symmetrisch sein, da durch die Permutationen der 
Variablen die Dimensionen der Glieder nicht geändert werden. 



§. 45. Symmetrische Grundfunction. 155 

Wir können uns hiernach auf die Betrachtung homogener, 
symmetrischer Functionen beschränken, aus denen alle 
anderen sich zusammensetzen lassen. 

Hiernach ist es leicht, die allgemeine Form einer symme- 
trischen Function anzugeben. Wir erhalten sie. wenn wir in 
einem Gliede einer solchen Function 

«•"i «'2 . . . «'" 

l 2 H 

(ähnlich wie bei der Bildung der Determinanten) die unteren 
Indices auf alle mögliche Art permutiren und die Summe aller so 
gebildeten Glieder nehmen. Eine solche Function können wir einen 
Elementarbestandtheil einer symmetrischen Function nennen. 
Nehmen wir mehrere solche Elementarbestandtheile. multipliciren 
sie mit beliebigen, von den « unabhängigen Factoren und 
addiren sie, so erhalten wir die allgemeinste symmetrische Func- 
tion. Die Anzahl der Glieder eines dieser Elementarbestand- 
theile ist, wenn die Exponenten v^, V2 . . . Vn alle von einander 
verschieden sind, n(n)\ wenn aber ein und derselbe Exponent v 
mehrmals vorkommt, so hat man die Permutationen, die keine 
verschiedenen Glieder geben, wegzulassen. Es ist z. B. bei drei 
Veränderlichen, wenn Vj, i'g, 1^3 verschieden sind, ein Elementar- 
bestandtheil : 

a'i «''2 «''3 -(- a' 1 «''2 «'■» -4- a'i «'2 ul^ -\- a'i «'2 a]i 
-|- a*i«;2a^'3 -j- «»iwjäal's, 

wenn aber 1/3 =: v^ ist 

a^ «''2 «''2 A- al^ «''2 «''2 4- cc'i u]^ a'2. 

Das einfachste Beispiel einer symmetrischen Function ist die 
Summe der Variablen 

«1 + «2 + «:5 + • • • + ««• 

Ebenso gehört das Product «i, «^ ... «„ dazu. 

Diese beiden sind die extremen Fälle einer Reihe von sym- 
metrischen Functionen, die wir die symmetrischen Grund- 
function en nennen und folgendermaassen erhalten. 

Das Product 
(1) fix) =^ {x — «,) (iC — «.,) . . . {x — «„) 

ist, was auch x sein mag, wenn nur x von den « unabhängig 
ist, eine symmetrische Function von «1, a, • • • f'n- Wenn wir 
also die Multiplication der einzelnen Factoren ausführen und 



156 Vierter Abschnitt. §• 46, 

nach Potenzen von x ordnen, so sind die Coefficienten der ein- 
zelnen Potenzen von x gleichfalls symmetrische Functionen, Denn 
sie ändern sich bei der Vertauschung der « ebenso wenig wie 
die Function f{x\ Wir setzen 

(2) fix) = X"" ^ Uy a;"-l + «2-^'""^ + • • • + «n-1^ + «n- 

Die Functionen «i, (t.2 . . . «„ sind die Coefficienten der alge- 
braischen Gleichung , deren Wurzeln a^ .«,•■• ^'n sind. Sie 
werden die symmetrischen Grundfunctionen genannt. 
Diese symmetrischen Grundfunctionen haben wir schon im §. 7 
gebildet; es ist, wie wir uns erinnern, a^ die mit negativem 
Zeichen genommene Summe der a, «2 tlie Summe der Producta 
zu zweien, a, die mit negativem Zeichen genommene Summe der 
Producte zu dreien u. s. f., endlich «„ das Product sämmtlicher 
a, mit positivem oder negativem Zeichen, je nachdem n gerade 
oder ungerade ist. W^ir setzen abkürzend 



"4 ^^ — ^ "-1 



rtl = — s «I 



(3) C(3 = — }l «j^ «2 «3 



Das Ziel unserer Betrachtungen ist der Beweis des Haupt- 
satzes, dass sich alle symmetrischen Functionen der « 
rational durch die Grundfunctionen ausdrücken lassen. 

§. 46. 
Die P o t e n z s u m m e n. 

Wir beschäftigen uns zunächst mit einer anderen speciellen 
Art symmetrischer Functionen, den Potenzsummen. Bedeutet 
nämlich v irgend einen ganzzahligen positiven Exponenten, so gehört 

(l) s.. = < +«; + ...+ < 

offenbar zu den symmetrischen Functionen, und Sv wird die 
v^^ Potenzsumme genannt. Wir wollen Formeln ableiten, nach 
denen die Potenzsummen durch die Grundfunctionen ausdrück- 
bar sind. 

Wir bezeichnen in der Folge immer, wenn cp {x) irgend eine 

Function von x ist, mit 

S\_<p{a)-\ 



§. 46. Poteuzsummen. 257 

die Summe, die wir erhalten, wenn x in <jp (a;) durch jede der 
Variablen «i, «2 . . • «n ersetzt und die so gebildeten Functionen 
addirt werden, also 

S\^ («)] = (f («i) + (jp («2) + • ■ • -f 9 («„). 
Hiernach ist z. B. 

die v^^ Potenzsumme. 

Wir dividiren nun/fa;j nach §. 4 durch eine beliebige lineare 
Function x — a und erhalten 

<2) /3I;. = ^"-^ + /l («) ^"~' + /2 («) ^""' H h /h-1 («) 



worin [§.4, (8)]: 

/i («) = « + «1 

(3) /s («j = «^ + «1 «^ + «2 « + «3 



/„_! («) = K"-i 4- ai «»-2 + «,, «»»-^ -^ . . . + o„_j. 

Wir setzen in (2) für a jede der Grössen «j, «2 . . . «„, wo- 
durch /(«) = wird und bilden die Summe Ä 
Die linke Seite ergiebt dann nach §. 14. (11) 

= n a;"-i + {n — 1) a^ x""-^ -{- {n — 2) «3 .r"-^ -]-... + «„_!, 
während die rechte Seite 

(5) n x-^ + ;r"-=^ S [/, («)] + ^—^ S [f, («)] H ^S [/„_i f «)] 

wird, und die Vergleichung der Coefficienten gleicher Potenzen 
von X in (4) und (5j ergiebt 

-SL/iC«)] = (« - i)^'i 

-SL/sC«)] = (n - 2)^2 



(6) 



Es ist aber nach (1) und (3) 
'S [/2 («)] = s, + «1 Si + n rto 



Ä[/„_i («)] = Sn-x + "1 .5„-2 + «2 Sn-3 + * " " + « «n-1, 



158 Vierter Abschnitt. §. 46. 

und demnach erhält man aus (6j das folgende von Newton 
herrührende Formelsystem J): 

= Si -f a^ 
= So -L- ('i Si — 2 a, 
(7) = s,, -j- «1 s, 4- «2 Si -{- 3 cii 

= Sn-l — «1 S„_o -L- «2 S„_3 + ■ • • -r- ('^ — 1) «n-l. 

Dies Formelsystem lässt sich aber noch weiter fortsetzen ; 
denn da 

S [/(«)] = 0, S[af(a)] = 0, 5[«2/(c4j] = . . . 

ist. so folgt 

= s,i + «1 s„_i + «2 s„_2 4- • • • + ;i a„ 

,g. = s„^i -f «1 s„ -L a, s„_i + ••• + «» Si 

= S„4-2 -|- «1 S„+i — CUSn ~1r ' ' ' ~\~ ^*" ^2 

Durch die Formeln (7J, (8) ist nun die Aufgabe gelöst, der 
Reihe nach die Functionen s^. s.j. s^ . . . bis zu beliebiger Höhe 
als ganze rationale Functionen der symmetrischen Gruud- 
functionen darzustellen, z. B.: 

s, = — o, 



(9) 



So — a{ 


2«, 




S-i — — o{ 


-j- 3 «1 «2 - 


- 3 «3 


s, - ^ at 


— ia^Gz - 


L- 4 «1 «3 



2ö| — 4a4 



und die Bildungsweise dieser Ausdrücke zeigt, dass die Coeffi- 
•cienten in diesen Darstellungen ganze Zahlen sind. 

Man kann auch umgekehrt mittelst der Formeln (7) und (8) 
die symmetrischen Grundfunctionen «i. «g- % • • • rational durch 
die Potenzsummen s^ , Sg i ^s • • • ausdrücken. Diese Darstellung 
ist aber insofern weit weniger einfach, als die Coefficienten nicht 
ganze, sondern gebrochene Zahlen sind, z. B. 



«1 = — Si 



( lOj 2 «0 — -|- S{ So 

G «3 = — sf -j- 3 Si So — 2 Sc, 



^) XewtoD, Arithmetica universalis, edit. s'Gravesande, p. 592. 



§. 46. Potenzsummen. I59 

Man kann das Formelsystem (8) auch nach der entgegen- 
gesetzten Richtung fortsetzen, wenn man die Gleichungen 

S [«-1 /(«)] = 0, S [«-2 /(«)] == . . . 
bildet. Man erhält dadurch ein Mittel, um die Potenzsummen 
Sv auch für negative Exponenten v durch die Grundfunctionen 
auszudrücken. Diese Summen der negativen Potenzen gehören 
gleichfalls zu den symmetrischen Functionen, wenn auch nicht 
mehr zu den ganzen, sondern zu den gebrochenen. Sie 
gehen erst durch Multiplication mit Potenzen des Productes 
«1 «2 • • • ^n hl ganze Functionen über. Der Vollständigkeit wegen 
setzen wir die zwei ersten dieser Formeln hierher: 

, . — Sn-l + «1 S„_2 + «2 S„-3 + • • • + nC(n-l + «n S_i 

= Sn-2 + UiSn~3 + «2 ^n-i + * ' * + dn-l^-l + «h S_2, 

die sich nach (7) auch so darstellen lassen: 

a„_l + ein S_i =: 0, 2 rt„_2 -|- lln—l S_i -|- «„ S_o = 0. 

Die in §. 15 abgeleiteten Formeln (9) und (10) ergeben für 
die Functionen /, die später anzuwendenden Relationen 



(12) 



S ^7^ = i' = 0, 1, 2 . . . n - 1 



Im §. 4 haben wir für die Functionen fy (x) bereits die 
Relation kennen gelernt: 

/v (X) — Xfr-l (X) = Cly. 

Daraus ergiebt sich 

a;"-yv (x) = x"/v_i (x) -\- ttv a>"-\ 

und daraus nach §.15 (9), so lange [i < n ist, 

a,—\fAa) _ o «"/v-i(«) 
f'ia) -'^ /'(«) • 

Dies führt aber mit Hülfe von (12) zu dem Satze 

= 1 ^ -]- V r= n — 1, 

der für jedes v gültig ist, so lange }i < n ist. 

Diese Formeln bleil)en auch dann noch richtig, wenn der 
Coefficient der höchsten Potenz von x in f(x) nicht gleich 1 ist, 
wenn also 



IQQ Vierter Abschnitt. §. 47. 

f(x) = «0 a:" + fti x"-^ + ••• + «„ 
und 

(14) fr (X) = «0 X" + ^1 ^"~' H h «- 

gesetzt ist. 

§. 47. 
Beweis des Hauptsatzes für zwei Variable. 

Wir gehen nunmehr zum Beweis des Fundamentalsatzes der 
Theorie der symmetrischen Functionen über, dass sie alle rational 
durch die symmetrischen Grundfunctionen ausdrückbar sind. Da 
wir die vollständige Induction als Beweismittel anwenden, so 
leiten wir den Satz zunächst unter der Voraussetzung ab, dass 
nur zwei unabhängige Veränderliche «, ß gegeben seien, aber auf 
einem Wege, der zugleich für den allgemeinen Beweis den leiten- 
den Gedanken hervortreten lassen wird. 

Wir bezeichnen die symmetrischen Grundfunctionen mit 

(1) « = -(« + /3), h = aß 
und setzen demgemäss 

(2) f(x) = (x — u) {x — ß) = x^ -{- ax -j-h. 

Es sei nun S{a, ß) irgend eine ganze rationale und sym- 
metrische P'unction von « und ß. Wir können für ß aus (1) den 
Werth — (« -^ ci) einsetzen und erhalten, wenn wir nach Po- 
tenzen von « ordnen, 

(3) S{u, ß) = S(a, — a — a) = A, «'" + A^ «'»-^ 

-\- • • • -\-- A-in^x « -j- Arai 

worin die Coefficienten Aq, A^^ . . . Am nur von a und von den 
in S etwa noch vorkommenden Coefficienten abhängen. Wir 
bemerken aber ausdrücklich, dass, wenn in S{a, ß) keine ge- 
brochenen Zahlencoefficienten vorkommen, auch in den Coeffi- 
cienten J-o, Ai . . . Am keine Brüche auftreten. 
Wir setzen nun 

(4) (x) = A^ ic'» + A^ a;'"-i + • • • + ^m-l x-{- Am, 
dividiren ^(x) durch /fa;) (nach §. 3) und erhalten einen Quo- 
tienten Q und einen Rest, der in Bezug auf x höclistens vom 
ersten Grade ist, also: 

(5) 0{x)= Qf{x)^A-\-Bx; 



§. 48. Allgemeiner Beweis des Hauptsatzes. IGl 

hierin sind nun A und B ganze Functionen von a und &, und 
auch sie enthalten keinerlei gebrochene Zahlencoefficienten, 
wenn in S keine solche vorkommen. Wenn wir nun x = k 
setzen, so ergiebt sich aus (5) und (3), da /(«) verschwindet, 

(6) S(cc, ß) = A^ JBu. 

Da aber Ä(a, ß) und ebenso A, B symmetrisch sind, so folgt 
durch Vertauschung von a und ß 

(7) S{a,ß) = A-^Bß. 

Hieraus schliesst man, da a und ß von einander unab- 
hängige Variable sind, dass B = und folglich 

(8) S{u,ß) = A 

sein muss, womit der Fundamentalsatz für diesen Fall bewiesen ist. 



§. 48. 
Allgemeiner Beweis des Hauptsatzes. 

Wir setzen nun voraus, der Fundamentalsatz sei bewiesen 
für symmetrische Functionen von n — 1 Veränderlichen und 
leiten ihn durch ein Verfahren, was dem in §. 47 angewandten 
ganz analog ist, für n Variable her. 

Es sei wieder 

(1) S = ^'(«1, «2 . . . «„) 

eine ganze symmetrische Function der n Veränderlichen w^, «2 . . . «„. 
Wenn wir sie nach Potenzen von a^ ordnen und demgemäss 
setzen 

(2) 5f = iSo< 4- Äi^r' H h -S^u-i«! + Su, 

so sind die Coefficienten Äq, Äi . . . /S|u ganze symmetrische 
Functionen der n — 1 Veränderlichen «gi • • • '^-n- 

Bezeichnen wir die symmetrischen Grundfunctionen dieser 
letzteren Variablen mit ai, a'2 . . . a'n-i, so können wir die Coeffi- 
cienten S01 Si . . . Sfj. nach unserer Voraussetzung rational durch 
diese ausdrücken. Es ist aber nach §, 46, (2) und (3) 

«1 =/i(«i) = «1 + (h 

«2 =/2 («1) = < + «1 «1 -[- «2 

«3 = fi («1) = ci'i + «i «2 -|- tta «1 -\- «3 

1 

Weber, Algebra. I. ii 



162 ' Vierter Abschnitt. §• 48. 

d. h. die Coefficienten 5o , >Si . . . 5^ können ganz und rational 
durch «1 , tti , 02 . . . «n ausgedriickt werden. Wenn wir also, 
nachdem diese Ausdrücke eingeführt sind, in {2) aufs Neue nach 
Potenzen von «i ordnen, so erhalten wir 

(3) S = A^ a^ -f Ji U^-^ H h ^m-l «1 + Am, 

worin im Allgemeinen m ein von ft verschiedener Exponent sein 
wird, und die Coefficienten A^, A-i_ . . . A^ ganz und rational von 
ai, a, . . . «n abhängen. Wir setzen wieder 

(4j rx) = ^0 ^"* + ^1 ^'"~^ H • + ^"»-i * + ^« 

und dividiren ^(x) durch 

f{x) = a;" + «1 a;"-^ -f Oj ic"-^ -f- • • • -f a„ 

= (ä; — «ij Tä; — a^) . . . {x — a„). 

Es ergieht sich ein Quotient und ein Rest, der in Bezug 
auf X höchstens vom Grade w — 1 ist. Wir setzen also 

(5) {x) = Qf{x) 4- t (x) 

(6j XP (X) = Co X^-' + C, X^-^ H H C'n-2 ^ + Cn-l, 

und hierin sind C'o, Ci . . . C'„_i ganze rationale Functionen von 
«1, «2 • • • öni in denen, wenn S in seiner ursprünglichen Form 
keine gebrochenen Coefficienten enthält, auch keine Brüche vor- 
kommen. 

Nun ist aber, da /(«i) verschwindet, und S=0(ai) ist, 
nach (b) 

(7) S=ip{a,) 

und hierin kann, da S symmetrisch ist, «i durch «g, «3 . . , «„ 
ersetzt werden. Hieraus ergeben sich die folgenden n Glei- 
chungen : 

C'o«r' + <^i «r' H h C'«-2«i + (C'n-i - >S') = 

Co «r' + Gl Urr' H h Cn-2 «2 + (<^'n-l - Sj = 



(8j 



Betrachten wir dies System als ein System homogener 
linearer Gleichungen mit den n Unbekannten 

Cq, Gl . . . Cn_2j C„_i — o, 

so ist seine Determir^ante 



§- 49. 



Zweiter Beweis des Hauptsatzes. 



163 



ß 



n — l 
1 ■ 

n — l 



« 



«r% «. 



n— 2 
1 

n— 2 



. . «i, 1 
. . «2, 1 



n—l «-2 



««, 1 



die nach §. 25, Formel (12) gleich dem Product aller Differenzen 
c«i — «2i c^i — «3 • • . ist, von Null verschieden, und folglich ist 



nach dem Satz II. in §. 27: 

Co = 0, Ci = . . . C„_2 = 
und 

(9) S= Cn-r, 

worin der zu beweisende Fundamentalsatz enthalten ist. 

Zu demselben Resultat gelangt man auch durch den Satz II, 
§. 33; denn da die Function (n — 1)*^" Grades von x 

für X = «1, «2 . . . «„, also für mehr als n — 1 Werthe ver- 
schwindet, so müssen ihre Coefficienten alle Null sein. 

Der Beweis, den wir hier für das Fundamentaltheorem im 
Anschluss an Cauchyi) gegeben haben, bietet zugleich ein 
Mittel, in besonderen Fällen den Ausdruck einer symmetrischen 
Function durch die Grundfunctionen wirklich zu berechnen. 
Dieselbe Möglichkeit bieten auch die anderen Beweise, die für 
das Theorem bekannt sind. Wir wollen noch einen zweiten 
Beweis hier mittheilen, der zu einer oft einfacheren Berechuungs- 
art führt 2). 



I 



§. 49. • 

Zweiter Beweis des Satzes von den symmetrischen 

Functionen. 

Es sei S eine ganze symmetrische Function der Variablen 
«1 , «2 . • • «w Die einzelnen Glieder dieser Function sind alle 
von der Form 



') Cauchy, Exercices de mathematiques, 4^nie annee. 

*) Waring, Meditationes algebraicae. Gauss, Demonstratio nova 
altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram 
unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. 
Werke, Bd. III, S. 36. 

11* 



164 Vierter Abschnitt. §. 49. 

Jf a}i al^ . . . <//", 

worin M ein von den « unabhängiger Coefficient ist. Diese 
Glieder sollen nun in bestimmter Weise angeordnet werden. Es 
soll, nachdem die Reihenfolge der Variablen «i , «3 . . . w» fest- 
gesetzt ist, von zwei Gliedern 

A = Mu':^ «r^ . . . «'", A' = M' a^'^al'i . . . «'" 

1 i n ' 12 ,1 

A das höhere genannt werden, wenn die erste der Differenzen 

Vj — Vi, V2 — Vo • • • Vn — 1'ni 

die von Null verschieden ist, einen positiven Werth hat, wenn 
also entweder v-^ > rl oder v^ = v'i, v.j > r'2 oder v^ = v\^ v^ = v'2, 
V3 > v's etc. 

Da wir alle Glieder, in denen sämmtliche Exponenten 
Vi, V2 , . . Vn übereinstimmen, in ein Glied vereinigt voraussetzen, 
so ist hiernach von je zwei Gliedern entschieden, welches das 
höhere ist, und wenn A höher als A' , A! höher als A!' ist, so 
ist auch A höher als A!'. 

Ist nun nach dieser Anordnung 

A = Ma\^ al^ ...«"" 

12 n 

das höchste Glied unserer Function S, so folgt, dass 



V, 



2 



sein muss; denn wäre Vi < Vo, so würde das Glied 

das wegen der Symmetrie gleichfalls in S vorkommen muss, in der 
Ordnung höher stehen als J., gegen die Voraussetzung. Ebenso 
folgt, dass V2 ^ V3 sein muss, denn wäre v^ < V3, so würde 

höher stehen als A u. s. f. Wir schliessen also, dass die Expo- 
nenten in A 

Vi, v^, v-i . . . Vn 

eine abnehmende oder wenigstens niemals wachsende 
Zahlenreihe bilden, oder dass die Differenzen 

alle positiv oder wenigstens nicht negativ sind. 

Wir schliessen zweitens, dass in keinem Gliede der Function 
S ein höherer Exponent als Vi vorkommen kann; denn sonst 



I 



§. 49. Zweiter Beweis des Hauptsatzes. 165 

würde auch ein Glied vorkommen, in dem «^ diesen höheren 
Exponenten hätte, und dies wäre gegen die Voraussetzung von 
höherer Ordnung als A. Es sind also die Glieder, die in einer 
symmetrischen Function überhaupt vorkommen können, von den 
Coefficienten abgesehen , durch das höchste Glied vollkommen 
bestimmt, und die Anzahl der möglichen Glieder ist bei gegebenem 
höchsten Gliede nur eine endliche. 

Wir ordnen die symmetrischen Functionen nach der Expo- 
nentenreihe ihres höchsten Gliedes 

in der Weise an, dass von zwei solchen Functionen S, S' mit 
den Exponentenreihen (vi, v^ . . . v„) und {v'i, v'2 . . . v'n) S als 
die höhere gilt, wenn die erste nicht verschwindende unter den 
Differenzen v^ — 1^1,^2 — V2 . . . Vn — v'n positiv ist. 

Die niedrigste Ordnung ist hiernach die, in der alle diese 
Exponenten = sind, und die symmetrische Function also eine 
Constante wird. Die nächst niedrige Ordnung ist 

(1, 0, . . . 0), 
der die einzige symmetrische Function 

M(cCi -}- ci2 -\- ' ' ' -\- a„) = — Müi 
entspricht. Die nächstfolgende Ordnung ist 

(1, 1, . . . 0), 
der die symmetrische Function 

Mtti + M' tta 
entspricht, und so erhalten wir in den n ersten Ordnungen die 
Grundfunctionen selbst und ihre linearen Verbindungen, und 
keine anderen. 

Die nächstfolgende Ordnung ist charakterisirt durch 

(2, 0, . . . 0) 

und enthält die linearen Verbindungen der Grundfunctionen mit 
der Summe der Quadrate. 

In allen diesen Fällen ist die Darstellbarkeit der symmetri- 
schen Functionen bereits bewiesen, und wir werden also jetzt 
den allgemeinen Beweis dadurch führen, dass wir die Darstellung 
der Function S von der Ordnung (i^i, ^2 • • • '^n) fhirch die 
Grundfunctionen unter der Voraussetzung ableiten, dass sie für 
die Functionen niedrigerer Ordnung schon bekannt sei, also durch 
das Schlussverfahren der vollständigen Induction, 



166 Vierter Abschnitt. §. 49. 

Wir bemerken hierzu, dass durch die Multiplication zweier 
symmetrischer Functionen S und S\ deren höchste Glieder 

A = Ma\^ a'2 . . . e//«. A' = il/'«l'i a]'-^ . . . a> 

sind, eine symmetrische Function entsteht, deren höchstes Glied 
das Product 

AA' = 3II4'al^ + ''^a'/ + ''^ . . . c/>^''" 
ist. Denn nehmen wir an, es gebe in SS' ein höheres Glied 
als AA\ das aus der Multiplication der beiden Glieder 

B = Na'^ia'^^ . . . c/>, B' = iV'«;''i<''2 . . . (/> 

entsteht, also 

BB' = NN' <i + "i w^« + ."; ... «;;»» + •"'", 

und es sei nicht gleichzeitig B ^ A und B' = J.', so wäre die 
erste der Differenzen 

^ll — Vi -\- ^[ r[, ^2 ^'2 -j- l»2 V'2, . . . Hn Vn -\- [l'a — v'^, 

die von Null verschieden ist, positiv, was unmöglich ist, da die 
erste nicht verschwindende unter den Differenzen 

^1 — 1^1, ^2 — 1^2 • • • f^n — Vn 

und unter den Differenzen 

^'l l'i, i^'2 — v'2 . . . ^'n — V'n 

nach der Voraussetzung negativ ist. Durch Wiederholung dieses 
Schlusses ergiebt sich der allgemeinere Satz, dass man das 
höchste Glied eines Productes aus mehreren Factoren erhält, 
wenn man die höchsten Glieder der einzelnen Factoren multi- 
plicirt. 

Die höchsten Glieder der symmetrischen Grundfunctionen 

sind nun, abgesehen vom Vorzeichen, 

und wenn wir also das Product bilden 

— i 2 n— 1 n ' 

so erhalten wir eine symmetrische Function, deren höchstes 
Glied gleichfalls A ist, wie in S. 
Die Differenz 

S — P= S' 

ist also wieder eine symmetrische Function, deren höchstes Glied 
niedriger ist als das von /S, und die wir nach der Voraus- 



§. 50. Discriminanten. 167 

Setzung rational durch die Grundfunctionen darstellen können. 
Da F ebenso dargestellt ist, so ist das Ziel erreicht. Es erhellt 
auch hier wieder, dass durch die Darstellung mittelst der Grund- 
functionen keine Brüche eingeführt werden, wenn ursprünglich 
in S keine enthalten sind. 

Diese Methode der Berechnung symmetrischer Functionen 
giebt uns zugleich Aufschluss über den Grad der ganzen ratio- 
nalen Function von «i, a^ . . ■ ein-, durch die eine bestimmte 
symmetrische Function der «j , «2 . . . «„ ausgedrückt wird. 
Wenn nämlich (v-^^, v^ . . . v„) die Ordnung der symmetrischen 
Function ist, so ist v-^ der Grad von P in Bezug auf säramtliche 
«1, «2 • • • «n» und in dem' entwickelten Ausdruck für S kann kein 
Glied höheren Grades vorkommen; auch kann das Glied P durch 
keines der folgenden Glieder zerstört werden, da P durch die 
Ordnung von S völlig bestimmt ist, und die Ordnung von S' 
und aller folgenden symmetrischen Functionen niedriger ist, als 
die Ordnung von S. 

Setzen wir an Stelle von a^, «2 . . . «n* 

so ist aj[i S eine ganze homogene Function i/j*«" Grades 
von «0, ttj . . . a„, und man kann S nicht durch Multiplication 
mit einer niedrigeren Potenz von a^ in eine ganze Function der 
a verwandeln. Der Exponent Vi ist also bestimmt durch 
die höchste Potenz, in der irgend eine der Wurzeln a 
inÄvorkommt. 

§. 50. 
Discriminanten, 

Die im Vorhergehenden gewonnenen Sätze lehren, sym- 
metrische Functionen der Wurzeln einer Gleichung rational durch 
die Coefficienten der Gleichung auszudrücken; die Resultate sind 
zunächst abgeleitet unter der Voraussetzung, dass die Wurzeln, 
oder, was nach dem dritten Abschnitt damit gleichbedeutend ist, 
die Coefficienten unabhängige Variable waren; sie können aber 
nicht falsch werden, wenn dafür bestimmte numerische Werthe 
gesetzt werden, da wenigstens bei den ganzen symmetrischen 
Functionen keine Nenner vorkommen, die verschwinden können. 



168 Vierter Abschnitt. §. 50. 

Wir machen zunächst einige Anwendungen auf besondere 
symmetrische Functionen, die für die Folge wichtig sind. Schon 
im §. 22 ist bemerkt worden, dass das Difierenzenproduct 

(1) JP = (ui — Cii) («1 — «3J . . . («1 — «„) 

(«2 — «3) . . . («2 — «») 



f«„_l — K„) 

durch Umstellung zweier Elemente nur das Vorzeichen ändert. 
Das Quadrat dieses Productes wird also bei allen Vertauschungen 
zweier der Variablen « und demnach auch bei allen Permu- 
tationen ungeändert bleiben, d. h. eine symmetrische Function 
der Variablen sein. Die Ordnung dieser symmetrischen Function 
ist, wie man aus (l) sieht, gleich 

(2 n — 2, 2 w — 4, ... 2, 0). 

Wenn wir also die Function /(xj, deren Wurzeln die «1,05.2 . . . «« 
sind, in der Form annehmen 

f(x) = «0 ^" + (^i ^"~^ -|- (^h ^"""^ + • • • + ttn-iX -\- a„, 

so dass die höchste Potenz von x nicht gerade den Coefficienten 
1 hat, so ist P2 eine ganze rationale Function von 

Ol ^ , . . ^ 

die durch Multiplication mit a^"— 2 in eine homogene Function 
von «Ol ^ii • • • ^n übergeht. Wir nennen diese homogene Func- 
tion, die also durch 

(3) a2«-2p2^2> 

definirt ist, die Discriminante der Function /(a;). Setzen 
wir «0 = 1, so erhalten wir die unhomogene Form der 
Discriminante!). 

Das Verschwinden der Discriminante ist die noth- 
wendige und hinreichende Bedingung dafür, dass 
z w e i d e r W e r t h e «1 , Kj . . • «„ einander g 1 e i c h w e r d e n. 

Wir können für die Discriminante noch einen zweiten Aus- 
druck aufstellen. 

Es ist nach §. 14, (12) 



n(n — 1) 

^) Die Discriminante ist, vom Factor ( — 1) 2 Oo""^ abgegeben, 
dasselbe, was Gauss die Determinante der Function nennt (1. c, art. 6). 



§. 50. 



Discriminanten. 



169 



(4) 



/'(«i) = «0 («1 — «2) («1 — «3) • . • («1 — «h) 



/' («n) = «0 («" — «1) («n «2) . . . («„ — «„_i), 

folglich, da hier jeder Factor («/j — «/,) zweimal mit entgegen- 
gesetzten Zeichen vorkommt, 



(5) 



Um die Discriminante wirklich darzustellen, haben wir zu- 



nächst ein allgemeines Mittel. Es war nach S. 25 



n(n — 1) 

(6) (-1) 2 p^ 



1, «1, Kf . . . a 

1, «-2, «1 . . . «"-1 



n— 1 
1 

n- 

■2 



n— 1 



1z 
, Kji, OC^ . . . Cc,, 

und wenn wir nach §, 30 das Quadrat dieser Determinante durch 
Multiplication nach Verticalreihen als eine neue Determinante 
darstellen und 

Sm = K + «r H — «" 

setzen 

^Oi "I1 "2? • • • ''n — 1 
J) _— (t2n— 2 j Si, S.2, S3, ... Sn 



n 



0) 



Sn— 1, Sn, S„-(.i, . . . S2n— 2 

Die Grössen Sm sind aber die Potenzsummen, die wir schon 
im §. 46 durch die Coefticienten ausgedrückt haben; nur sind an 
Stelle der ai, a2 . . . a„ die Quotienten (2) zu setzen. 

So finden wir z. B. für n = 2 

(8) D = a-{S() 8-2 — sf) = a^ — 4ao ag 
und f ür « = 3 

(9) D = < (So S2 «4 — So S3- -f 2 Si S2 S3 — S1-S4 — s.f). 
Hierin ist nach §. 46 zu setzen 

Sq = 0, fto Si = — üi 

a^ S2 = ttf — 2 «0 «2 

Oyä S3 = — ai^ -f- 2 ^0 «1 «2 — 3 aj a^ 

a*Si = af — A Uo a^a^ -f- 4 a^-a^ a^ + 2 aü2a2^ 

wodurch man erhält 

(lOj J) == a/ tta^ -|- 18 tto a^ a^a^ — 4r a^ a^ — 4 af «3 - 27 a^^aal 



170 



Vierter Abschnitt. 



§• 51. 



Die Discriminante D ist eine unzerlegbare Function 
der Variablen ag, % . . . «„ (§. 20). 

Denn angenommen, D habe einen rationalen Theiler D^, 
so muss Bi homogen sein, und lässt sich daher, von einer Potenz 
von ÜQ als Factor abgesehen, rational durch die Variablen 
«1, «2 . . . Kn ausdrücken. Da nun J) durch keine Potenz von a^ 
theilbar ist, so muss Z)i, wenn es nicht constant ist, die Variablen 
«1, «2 • • • «rt enthalten und muss daher wegen (3) durch eine der 
Differenzen «i — «^ theilbar sein. Da aber andererseits Dj in 
Bezug auf die «i, «2 • • • ^« symmetrisch ist, so ist es auch 
durch das Quadrat von ojj- — a^ und durch das ganze Product 
P^ theilbar, also, von einem constanten Factor abgesehen, mit 
D identisch. 



§. 51. 

Kennzeichen für die Anzahl der verschiedenen 

Wurzeln. 



Das Verschwinden der Discriminante D ist, wie wir gesehen 
haben, die Bedingung dafür, dass zwei unter den Wurzeln 
«1, «2, . . . «„ der Gleichung f{x) = einander gleich werden. 
Man kann aber diesen Satz noch verschärfen und so ein genaues 
Kennzeichen für die Anzahl der verschiedenen Wurzeln 
von f{x) = herleiten. 

Wenn, wie bisher, Sq, s^, S2, . . . die Potenzsummen der a 
bezeichnen, so setzen wir nun für ein beliebiges v "^ n 



(1) 



D. = 



^0' 



s,, 



•S,-i 



1, 8,, . . . Sc 



2 r 



SO dass, wenn «0 = 1 angenommen wird, D„ mit der Discrimi- 
nante D von f{x) übereinstimmt. Um diese Functionen Dv durch 
die Wurzeln a,- auszudrücken, beweisen wir folgenden Satz: 

1. Man wähle beliebig v unter den Grössen «»• 
aus, etwa «i, «2...av, und bezeichne das 
Differenzenproduct [§. 50, (1)] dieser v Grössen 
mit 



§. 51. KennzeiclieD f. d. Anzahl d. verschiedenen Wurzeln. 171 



(2) 



(3) 



P.= 



1, «1, . . . «[-1 

1, «2, . 
1, «,, . 



a 



1—1 



a' 



Dann ist 



worin sich die Summe S auf alle möglichen 

Arten, die v Grössen «i, a^, . . ., «,. auszuwählen, 

bezieht. 

Man kann diesen Satz auch so ausdrücken, dass Dv die 

Summe der Discriminanten aller der Gleichungen ist, die irgend 

V von den Grössen a» zu Wurzeln haben. 

Um ihn zu beweisen, sei v irgend eine unter n gelegene 
Zahl. Schreiben wir dann die Determinante Dv in der folgenden 
Form : 

V V.Ol 



A = V 



V- 1 

^ a. a. 



V 



a. «. 



2^u. a. 
2 a. a. 



v- 1 — 1 



V 1—1 1 



V 



V — 1 t— 1 

a. «. 



so können wir den Schlusssatz des §. 30 anwenden, wenn wir dort 



a 



(s) 



lis) 



= U'^ = a 

h s 



h—1 



setzen, und dann geht die Formel (16), §. 30 unmittelbar in die 
Formel (3) über. 

Daraus erkennen wir zunächst nach §. 49, dass al"-^ D, eine 
ganze Function der ao, «x, . . . a„ ist, die den Factor ao nicht 
mehr hat. Es ergiebt sich aber auch daraus die folgende Be- 
deutung der Dv für die Erkennung der Wurzelgleichheit: 

2. Die nothwendige und hinreichende Bedingung 
dafür, dass unter den «j, «2, . . ., ci,i nicht mehr 
und nicht weniger als q verschiedene vor- 
kommen, ist 

Z),,+i = 0, D^+2 = 0, . . . D„ = 0, 
Dq von Null verschieden^). 
Denn ist v grösser als 9, so kommen in jedem der DifFe- 
renzenproducte Pv der Formel (3) zwei gleiche a vor, und sie 
verschwinden also alle. Ist aber v = p, so enthält die Summe 



1) Dieser schöne Satz ist von L. Baur gefanden und dem Verfasser 
mitgetheilt (Mathematische Annalen, Bd. 50). 



172 Vierter Abschnitt. §. 52. 

(3) ein nicht verschwindendes Glied, nämlich das Differenzen- 
product der q verschiedenen Grössen «i, «2, . . ., oc^, während 
alle anderen Glieder der Summe verschwinden. 



§• 52. 

Discriminanten der P'ormen dritter und vierter 

Ordnung. 

Bei den Functionen dritter und vierter Ordnung haben wir 
zur Berechnung der Discriminanten in den Auflösungen der 
Gleichungen dieser beiden Grade (§. 38, §. 40) ein einfaches Mittel. 

Was zunächst die Gleichung dritter Ordnung betrifift, so 
waren die drei Wurzeln von 

(1) a;3 + aic -j- 6 = 
in der Form dargestellt: 

u = « -)- V 

(2) ß = au -\- e^v 

y z= t^U~\- £V, 

worin 



(3) . = :^M_V^3_ .,^ -i-V-3 

die complexen dritten Einheitswurzeln sind und tt, v durch 
§. 38, (8) bestimmt sind. 
Aus (3) folgt 



(4) £— f2^V— 3", l — £=zf^-V—?j, l_£2 = __£y. 

und aus (2) 



3 



a — ß = V— 3 (e^u — ev) 
u — y = — V— 3 {£11 — a^v) 



ß — y = V— 3 (u — v). 
Hieraus durch Multiplication 



(5) (« — ß) {a — y){ß — y)=3 ]/— 3 {u^ — ^3). 

Erhebt man ins Quadrat, so erhält man für die Discri- 
minante der cubischen Gleichung (1) nach §. 38, (6) 

(6j I) = — {21h-' -f 4a?'j. 



§. 52. Discriminanten. 173 

Hieraus erhält man die Discriminante der allgemeinen Function 

(7) «0 ^^ -\- «1 x"^ -\- a^x -\- «3, 

wenn man für a und h die Ausdrücke §. 37, (4) einsetzt, in 
denen man «i, «ji o.z durch 

«1 «2 ^3 

«0 öfo «0 

ersetzt, und mit a^ multiplicirt [§. 50, (3)]. Man erhält so 

3 ao «2 — «1^ 



a 



3 ö,f ' 
2 a^^ — 9 ao a^ a^ -j- 27 a,2as 



27 < 
und folglich 

(8) D = - 27^ {(2 al - 9 «, «i «2 + 27 «,2«3)2 

-|- 4 (3 ao «2 — «1"/ f • 

Wenn man das Quadrat und den Cubus ausrechnet, so 
kommt man zu der Formel (10) §. 50 zurück; es ist aber be- 
merkenswerth, dass die Formel (8) scheinbar den Nenner 21 a^ 
enthält, der sich beim Ausrechnen forthebt. 

Ebenso können wir bei den biquadratischen Gleichungen 
verfahren. Wir erhalten, wenn a, /3, y, Ö die Wurzeln der bi- 
quadratischen Gleichung 

(9) x^ -\- ax^ ^bx -^ c = 
sind, nach §. 40, (5) 

« — ß = V -{- w, y — ö = 'y — xo^ 

(10) a — y ^ IV -\- u, d — ß =1 lü — M, 

a — d = u -{- V, ß — y = u — V. 

Danach wird die Discriminante der Gleichung (9) 
D = («2 _ |(,2)2 (^2 _ ^2)2 (^2 _ ^2)2^ 

d. h. es ist D gleich der Discriminante der cubischen Resolvente 
§. 40, (4) 

(11) ;s3 _^ 2a^2 _|_(fl^2 _ 4c) _ 62 = 0, 

deren Wurzeln u^, v^, tv^ sind. 

Wenn man diese Discriminante aber nach der Formel (10), 
§. 50 bildet, indem man 

ciq = 1, ai = 2 a, a^ = a^ — 4 c, «3 = — b^ 



174 Vierter Abschnitt. §. 52. 

setzt, so folgt 

(12) D = — 4«32,2 _|_ i44ctc62 -f- 16a4c 

— 128a2c2 -}- 256 c» — 27 K 

Wenn man dagegen zur Bildung der Discriminante der 
cubischen Gleichung (11) die Formel (8) anwendet, so erhält man 

(13) 27 D = 4 (a2 -f 12 c)3 _ (2 a3 — 72 a c + 27 &2)2. 

Man leitet hieraus die Discriminante der allgemeinen Func- 
tion vierten Grades 

(14) f{x) = tto x^ -f- «1 a;2 -\- üiX^ -\- a^x -\- a^ 
ab, indem man nach §. 37, (4) a, 6, c durch 

— ^a^- 



8 



4- aa 






256 ' 16 4 
ausdrückt, dann ai, «25 %i ^4 durch 



ttj «2 *3 0^4 

ttn Cfo ftn <^n 



(-0 i<o "-O ""0 

ersetzt und mit a^ multiplicirt. 

Setzt man nach Ausführung dieser einfachen Rechnung zur 
Abkürzung 



'O 



(15) Ä = a.2 — 3 tti «3 -j- 12 «0 «45 

(16j B = 27 cif a^ + 27 «q a^ -j- 2 a| — 72 üq a^a^ — 9 a^ ag «3, 

so erhält man aus (13) 

(17) 21I) = 4.Ä^ — B\ 

Die Grössen A und B, die uns im nächsten Abschnitt noch 
beschäftigen werden, heissen die erste und zweite Invariante 
der biquadratischen Function /. Man kann also nach (17) die 
Discriminante rational durch diese Grössen ausdrücken, jedoch 
nicht so, dass die Coefficienten ganzzahlig werden; führt man die in 
(17) vorgeschriebene Rechnung aus, um J) durch die Coefficienten 
tto, Ol, «2 5 <^3 selbst darzustellen, so muss sich der Factor 27 
noch fortheben lassen. Wir wollen den langen Ausdruck, dessen 
Berechnung keinerlei Schwierigkeit bietet, nicht hierher setzen. 



§. 53. Resultanten. 175 

§. 53. 
Resultanten. 

Eine andere Anwendung der Theorie der symmetrischen 
Functionen, die übrigens die Discriminantenbildung als speciellen 
Fall enthält, ist die Bildung der Resultanten. 

Es seien 

(1) fix) = «0^" + Miic"-! -\- a^x""-^ + ••• + «»., 

(2) cp {x) = 6o ^"' + ^1 ^"""^ + h «'"~^ H \-'bm 

zwei ganze rationale Functionen vom n^^^ und m^^^ Grade und 
«1, «2, . . . «„ seien die Wurzeln der ersten, so dass auch 

(3) f{x) = aQ(x — «i) {x — a.,) . . . {x — a„) 

gesetzt werden kann. 

Nun ist das Product 

qp («i) cp («.,) . . . (p (a„) 

eine symmetrische Function der Wurzeln von f{x) und kann 
also ganz und rational durch 

eil «2 Un 

ausgedrückt werden. Die Ordnung dieser symmetrischen Func- 
tion ist {m^ m . . . m) (§. 49) und daher ist 

(4) B = a^(p («i) (p («.) . . . g? K) 

eine ganze rationale und homogene Function m*" Ordnung von 
tto, a^ ... a„. Sie ist auch, wie ihr Ausdruck zeigt, eine ganze 
homogene Function w*" Ordnung von &o, b^ . . . hm. Sie wird die 
Resultante der beiden Functionen f{x) und (p{x) genannt. 
Diese Bezeichnung rechtfertigt sich durch eine zweite Darstellung. 
Bezeichnen wir die Wurzeln von (p{x) mit ^i, ßi - • - ßm-, 
setzen also 

(5) <p {x) = bo(x — ß,) (x — ßi) . . . (x — ßm), 
so wird nach (4) 

(6) R = a^:htn {rM - ßul 

worin das Productzeichen U sich auf alle Indices i = 1, 2 . . . n 
fc = 1, 2 . . . m bezieht. 



176 Vierter Absclinitt. §.53. 

Dieser Ausdruck zeigt nun, class JR, abgesehen von dein 
Factor ( — 1)'"", in der gleichen "Weise von (p (x) abhängt, wie 
von /(x), und dass wir also auch setzen können 

(7) (- lynn B = hl' f{ß,)fißd . . . /(/5„0- 

Die Discriminanten sind hiernach ein specieller Fall der 
Resultanten, den man erhält, wenn man für (p{x) die Derivirte 
f'(x) nimmt. Wie bei den Discriminanten, kann man auch von 
der Resultante nachweisen, dass es eine unzerlegbare Function 
der Variablen rt, b ist. 

1. Das Verschwinden der Resultante von f(x) und 
(p{x) ist die nothwendige und hinreichende 
Bedingung dafür, dass die beiden Gleichungen 

f(^x) = und q)(x) =^ 

eine gemeinsame Wurzel und folglich die 
Functionen /(ä;) und q){x) einen gemeinschaft- 
lichen Theiler haben. 
, Die Gleichung, die durch Nullsetzen der Resultante entsteht, 
wird auch die Endgleichung aus f(x) = und q)(x) = 
genannt und die Aufstellung der Endgleichung die Elimination 
von X. 

Zur Berechnung der Resultanten kann man den Algorithmus 
des grössten gemeinsamen Theilers anwenden (§. 6). Ist nämlich 
m ^ «, so kann man eine ganze Function Q und eine eben- 
solche Function ip{x), deren Grad kleiner ist als w, so be- 
stimmen, dass 

f(x) = Q(p{x) ^ ip{xl 

also, wenn man für x eine der Wurzeln ßi setzt, 
also 

(8) b^onf(ßi) = h:nt(ßi); 

ist m' der Grad von ip (x), so ist 

(9) 17' n ^p (ßi) = E' 

die Resultante von g? (x) und ip (x) und daher 

(10) ± E = to ""' E'- 

Die Bildung der Resultante E ist hierdurch auf die Bildung 
von Fl zurückgeführt. Man kann nun (p(x) wieder durch ip{x) 



§. 53. Resultanten. jYY 

theilen, und führt so die Bildung von R' auf die Bildung einer 
Resultante von Functionen immer niedrigeren Grades zurück, bis 
man schliesslich auf eine Constante, d. h. eine Function der 
Coefficienten a, h kommt, die mit der gesuchten Resultante iden- 
tisch sein muss. 

Die Berechnung der Resultanten ist meist sehr weitläufig. 
Wir wollen nur das einfachste Beispiel der Resultante zweier 
quadratischer Functionen anführen: 

f[x) = tto X^ -\- tti X -j- «2 

cp (x) = &0 ^^ + h^x -^ ho. 
Man kann hier direct das Product 

E = < (60 «f + &1 «1 + ^'2) {bo «2- 4- ^1 «2 + io) 

berechnen, und erhält, wenn man 

— «0 («1 + «2) = «11 «0 «1 «2 = «2 

setzt, 

(11) R = a^b.^ -\- a.^h^ — &o \ «1 «2 — «o «1 \ h^ 

-\- &o h eil + «0 «2 ^1^ — 2 ao &o «2 hi 
oder, was damit identisch ist, 

(12) R = («0 h — a^ hy — («0 \ — ch h) («1 h — a^ b^). 

Die einzelnen Glieder der Resultante der zwei Functionen 
f(x) und (p{x) vom n^^^ und m*^° Grade haben, von einem numeri- 
schen (ganzzahligen) Factor abgesehen, die Gestalt 

(13) «^„»«v. ...a;"C&r'... j;;-, 

worin, wie aus den oben bestimmten Graden hervorgeht, 
/14X vo -^ ^'i + • • • + Vn = m 

f'o + 1^1 + • • • + f^n = «. 

Wir können aber noch eine andere Relation zwischen diesen 
Exponenten angeben. 

Da nämlich [nach (6)] R eine homogene Function nm^^^ 
Grades von den n -\- m Variablen a, ß ist, da ferner a^ vom 
nullten, a^ vom ersten, a^ vom zweiten etc. Grade in den a, 
allgemein a^ und bu vom h^^^ Grade in diesen Variablen sind, 
so folgt 

/jgN Vi + 2 V2 + 3 1/3 + • • • + nvn 

-\- fii -]- 2 ^^ -\- S ^^ -\- ■■■-{- m ft,„ = n m. 

Weber, Algebra. I. 10 



178 Vierter Abschnitt. §. 53. 

Wenn wir den Iudex A: von a/, oder hu das Gewicht der 
betreffenden Grösse nennen und unter dem Gewicht eines 
Productes die Summe der Gewichte der einzelnen 
Factoren verstehen, so können wir der Formel (15) auch 
den wörtlichen Ausdruck geben: 

2. Alle Glieder der entwickelten Resultante 
haben ein und d a s s e 1 1d e Gewicht mn. 

Summen, deren Glieder alle dasselbe Gewicht haben, heissen 
isobarische Functionen, und das Gewicht eines jeden 
Gliedes heisst das Gewicht der Function. Durch Multiplication 
mehrerer isobarischer Functionen entstehen wieder isobarische 
Functionen, und das Gewicht des Productes ist die Summe der 
Gewichte der Factoren. 

Die Resultanten sind isobarische Functionen der Variablen 
«fc, ftfc vom Gewichte nin. 

Die Functionen / und cp selbst kann man dadurch zu iso- 
barischen machen, dass man der Variablen x das Gewicht 1 
beilegt. 

3. Ersetzt man die Variablen in einer isobari- 
schen Function durch homogene Functionen 
irgend welcher anderer Variablen vom Grade 
des Gewichtes der betreffenden Variablen, so 
entsteht aus der isobarischen Function eine 
homogene Function der neuen Variablen, 
deren Grad dem Gewichte der Function 
gleich ist. 

Wenn die Functionen /(a;), (p{x) durch Ordnen zweier 
homogener Functionen der Variablen x, y, . . . vom Grade n 
und m nach einer der Variablen x entstanden sind, so sind die 
Coefficienten «t, hu homogene Functionen vom Grade h der 
Variablen ?/, ^ . . . und aus 2. und 3. ergiebt sich der Satz : 

4. Durch Elimination einer Variablen x aus zwei 
homogenen Functionen n*^^ und w*^"» Grades 
ergiebt sich eine Endgleichung vom Grade mn 
in den übrigen Variablen. 

Giebt man den Variablen a^, bk nicht die Gewichte Z:, son- 
dern {N -\- l') und (M -[- /j), worin N, M irgend zwei Zahlen 
sind, so wird das Gewicht der Resultanten von / und 9, wie aus 
(14) und (15) hervorgeht. 



§. 54. Bestimmung der gemeinschaftlichen Factoren. 179 

(16) niN-^nM^nin. 

Dies ist auch der Grad der Resultanten, wenn die ajc und bk 
durch Functionen von neuen Variablen der Grade N -\- k und 
M -\- Je ersetzt werden. 

§. 54. 
Bestimmung der gemeinschaftlichen Factoren. 

Eine elegante Lösung des Eliminationsproblems, wodurch 
wir zugleich die gemeinschaftlichen Factoren der beiden Func- 
tionen /(a;) und cp(x) erhalten, ergiebt sich, wenn man die in 
§. 4 eingeführten Functionen fs{x) benutzt. Wir detiniren aber 
jetzt diese Functionen so: 

/o (x) = «0 

/i (^) = ao a: -f- «1 

(1) /, (x) = «0 sC^ -\r ttiX -\- «2 



"»H 



so dass fn{x) mit der ursprünglich gegebenen Function f(x) 
identisch ist. Es ist aber/s(a;) eine ganze Function s^^^ Grades 
von x^ und wenn wir 

(2) f{x) = x-^fs(x)^Fs{x) 
setzen, so ist 

(3) Fs{x) = «,+ia;»-^-i + rr,+2Ä,"-*-2 H \- «„ 

eine ganze Function vom Grade n — s — 1. 

Dieselbe Bedeutung mögen cps{x) und ^s(^) fü^' die Function 
9)(a;) vom Grade m haben, so dass 

(p{x) = x'"-'<(ps(x) + 0s (x) 

(4) (ps{x} = h.x" -\- b,x'-' + • • • 4-^s 

0,(^-) = hs^ix'»-'--" -f- 6s+2^'"-"-^ + • • • + &m. 
Daraus ergiebt sich, wenn man s in (2) und (4) durch n — s 
und m — s ersetzt: 

(5) (pfn-s f(Pm-s = (^* <Pm-s + ^m-s) /n-s 

Mehmen wir nun an, es sei 
(6) n ^ m, 

12* 



J80 Vierter Abschnitt. §. 54. 

SO ist die Function auf der rechten Seite der Gleichung (5) vom 
Grade m — 1 in Bezug auf x. Wir setzen, indem wir s durch 
n — s -|- 1 ersetzen, 

(7; 9y;_i = ^l,s^"-^ 4- A, sX'"-2 H h As +/9)m-n + s-l. 

worin g5,„_„+s_i = zu setzen ist , wenn m — w + s — 1 
negativ wird. 

Die Coefficienten J.^, s sind darin homogene lineare Functionen 
sowohl von den Coefficienten «, als von den Coefficienten hi. Sie 
sind zugleich isobarisch vom Gewichte 
(8) m — n + s + r — 1, 

wie man am einfachsten erkennt, 'wenn man nach der Vorschrift 
des vorigen Paragraphen der Variablen x das Gewicht 1 beilegt, 
wodurch die Functionen /s, g>s in isobarische Functionen mit dem 
Gewichte s übergehen. 

Wenn das Gewicht einen negativen Werth erhält, so ist die 
Function gleich Null. 

Beispielsweise ist, wenn n > m ist, 

und wenn n = m ist. 

^l,s = «0 ^s — ^0 ^'s- 

Wir wollen aber die Formel {!) nur so lange anwenden, 
als s > »i — m ist, so dass darin nur positive Werthe von 
5,i — n -\- s vorkommen, also für 

s = ^i — m -\- 1, n — m -|- 2, . . ., n. 

Ist s ^ n — wi, so wollen wir setzen 

(9) ffx'-^ = A.^"-' + A«^""' + • • • + A« 

s = 1, . . ., n — m. 
Diese Ar^s sind dann lineare Functionen der h allein. Sie 
sind nämlich, soweit sie nicht Null sind, geradezu den h gleich, 
so dass 

(10) Ar^s = ^'m-n+s+r-l, ^ — ^ -fl^r + S^?l-|-l 

und =: 0, wenn m — w -|- s -f- r — 1 negativ oder grösser 
als m ist. Dann ist auch hier das Gewicht von J.^, s gleich 
m — 7i -|- s ^ r — 1, falls Ar^s nicht gleich Null ist. 

Um die Formeln (8j, (9) zu vereinigen, wollen wir noch ein 
Zeichen i^s einführen, so dass 
(llj jOs = ^*~^ für .s = 1, . . ., w — m 

= /s_i „ s = n — m -\- l, n — m -|- 2, . . ., w, 



§. 54. Bestimmung der gemeinschaftlichen Factoren. 



181 



und 2)s eine Function (s — 1)*^"^ Grades von x ist. Dann lassen 
sich die Gleichungen (8), (9) in die eine zusammenfassen: 

(12) cpps = Äi^sX"*-' + Ä2,sX»-^ H \- An,s-{'qsf, 

worin qs = g3,„_„+s_i oder (für negative m — n -\- s — 1) 
= ist. 

Wenn nun für irgend einen Werth von x die Functionen 
f{x) und (p (x) zugleich verschwinden, so muss die Determinante 
des Systems verschwinden, das aus (12) hervorgeht, wenn wir 
/ und (p = setzen (§. 27, II). Die Bedingung hierfür ist also, 

wenn wir 

-4i, 1, A2. 1 . • . A„,i 

-^1, 2i -^2, 2 • • • ^i* 



(13) 



R = 



L«, 2 



-^1, 7it -^2, n • • • -"l 



n, n 



setzen, JB = 0, und R ist daher die Resultante für / und cp. 
Man sieht auch hieraus sofort, nach den oben gegebenen Grad- 
und Gewichtsbestimmungen der Är,si dass R in Bezug auf die a 
vom Grade m, in Bezug auf die h vom Grade n und vom 
Gewichte wn ist, wie es sein muss. 

Wir wollen über die Determinante R und ihre Unter- 
determinanten eine Reihe wichtiger Sätze ableiten. 

I. Wenn die beiden Functionen / und cp einen 
gemeinschaftlichen Theiler vom Grade n — r 
haben, so verschwinden alle Unterdetermi- 
nanten von R mit r-f- 1 Reihen. 
Um ihn zu beweisen, greifen wir aus der Reihe der Indices 
1, 2, . . ., n irgend r -\- l heraus, «i, a.,, • • •, ^r+u und biklen nach 
(12) die Gleichungen 

9i>«. —/'/«. =^:,«, X"-^^Ä2,a, a;"-2H [-Än,a, 



(I4j 



^PPu, 



fq^i — ^i,«2 



X 



n—\ 



+ A«. ^"-' + ' 



■^n,U2 



Wenn nun Cj, Cg, . . ., Cr+i irgend welche Constanten sind und 
P = CiPu, + CiPu, 4- . . . -^ c,.+ii;«,.^, 
(15) Q = Ci qa, + C^qu, -^ • ■ • -f fr+l 2«^+i 

gesetzt wird, so folgt aus (14) 



182 Vierter Abschnitt. §. 54. 

(16) (pP —fQ= C\ a;"-i -f Ca ä;"-2 ^ ^ C„ = C{x). 

Nun kann man (§. 27, III) unter allen Umständen die Con- 
stanten Ci, Ca, . . ., c,.a_i so bestimmen, dass 

(17) C, = 0, C, = 0, . . ., C, = 

ist, und dann ist die Function C(x) auf der linken Seite von 
(16) höchstens vom Grade n — r — 1 in Bezug auf x. Wenn 
aber / und q) einen gemeinsamen Theiler (n — r)*^'^ Grades 
haben, so muss dieser nach (16) auch in C{x) enthalten sein, 
und dies ist nur möglich, wenn zugleich mit (17) auch die 
Gleichungen 

(18) Cr+i = 0, Cr + 2 = 0? • • V Cn = 

befriedigt sind. Dann aber müssen nach §. 27, I. alle (r -\- 1)- 
reihigen Unterdeterminanten der Matrix 

verschwinden, w. z. b. w. 

Es gilt auch der umgekehrte Satz: 

II. Wenn sämmtliche Unterdeterminanten von It 

mit r-f- 1 Reihen verschwinden, so haben die 

Functionen / und cp einen gemeinschaftlichen 

Theiler vom Grade n — r. 

Nehmen wir nämlich an, dass alle Unterdeterminanten von 

(r -\- 1) Reihen der Matrix (19) verschwinden, so kann man die 

Constanten c^, . . ., c,.+i so bestimmen, dass die Gleichungen (17), 

(18) befriedigt sind und folglich C(x) verschwindet, ohne dass 
alle Ci verschwinden. Nehmen wir 

(20) «1, a.2, . . ., oir+i = 1, 2, . . ., r + 1 

an, so ist nach (15) P höchstens vom Grade r, und aus (16) 
folgt, dass q) P durch / theilbar ist. Demnach muss go einen 
Theiler mit / gemein haben, dessen Grad mindestens = n. — r ist. 
Wenn wir die Determinanten 

(21) Br=l ±Är,rÄ2,2- --Är,r 

die Hauptunter determinanten von R nennen, so dass 
speciell i?„ = B, ist, so können wir dem zuletzt bewiesenen Satze 
die folgende weitergehende Fassung geben: 



§. 54. Bestimmung der gemeinschaftlichen Factoren. I33 

III. Die nothwendige und hinreichende Bedingung 
dafür, dass / und qp einen grössten gemein- 
schaftlichen T heil er vom Grade n — r, aber 
nicht von höherem Grade, haben, ist die, dass 

-tlni -tin — li • • •■> -^r + 1 

verschwinden, während Br von Null ver- 
schieden ist. 
Nehmen wir nämlich an, / und <p haben einen gemein- 
schaftlichen Theiler vom Grade n — r — 1, und es verschwinde 
ausserdem i?r+i, dann machen wir über die a die Annahme (20) 
und können wegen -R,+i = die Constanten c^, nicht alle ver- 
schwindend, so bestimmen, dass 

wird. Dann ist C(x) höchstens vom Grade n — r — 2, und 
muss daher, da es durch jeden Theiier von / und cp, also durch 
eine Function (n — r — 1)*^"^ Grades theilbar ist, identisch Null 
sein. Daraus können wir aber wie oben schliessen, dass / und cp 
einen gemeinschaftlichen Theiler vom Grade n — r haben. 

Da Är,s nach (10) gleich Null ist, wenn r-\- s <n — m -{- 1, 
und gleich 60, wenn r -\- s ^=^ n — w -)- 1, so ist 

(22) E„_„. = (-i)'"-"'""-»-"ir" 

Dies ist also von Null verschieden, so lange cp wirklich den 
Grad w erreicht, in Uebereinstimmung damit, dass in diesem 
Falle der grösste gemeinschaftliche Theiler von / und (p den 
Grad m nicht übersteigen kann. 

IV. Wenn die Voraussetzungen des Satzes III er- 
füllt sind, so lässt sich der grösste gemein- 
schaftliche Theiler Tr von / und (p durch die 
folgende Determinante darstellen: 

(23) Tr = 

-4i,i, -4.2,1,. . . -4,._i,i, Ar^i X'^ '' -\- Ar + \,i ä;"~' ~ -J- ' • ' -r~ An,i 
^1,2, ^2,2,... ^r- 1,2, Ar.o iC"-'' -4- yl,. + 1,2 3;"-'— ^ -\ \- An,2 

yll,n ^2,n--.^»— l,n ^r,r ä;"-'" -f A,. + ^,r X''-'—^ H h ^n,r 

Diese Function ist nämlich vom Grade (n — r) und der 
Coefticient von ar" - *■ ist gleich R,., also, nach Voraussetzung, von 
Null verschieden. 

Es ergiebt sich aber aus (12) 



184 



Vierter Abschnitt. 



ß. 54. 



Är,sX"-^ + ^,. + 1,3«»-'-- 1 H [- Ä, 



n, s 
n— 2 



und folglich erhält man nach dem Determinantensatz von der 
Addition der Colonnen (§. 25, VII; 

I Ai, ^2,1, . . . ^— 1,1, g^i^i — /^i 
(24) T,. = ' '^^'2- ■^2'^' ■ ■ * -^^—-[.21 (p P2 — fl2 

■^l.ri ^2,r; • • • ^r — l.r- ^ Pr /^r 

oder, wenn wir nach den Elementen der letzten Colonne ordnen 
und 

^1,1? -^2,1, . . . yl,._],i, pi 

-4-1,21 ■^2,21 • • • -^r — 1,2- P2 



-a-i,r5 -4i 



2, >•: 



^. 



l,ni?r 



(25) Pr = 

setzen 

(26j Ir = FrCp- q,.f, 

worin ^^ aus P^ hervorgeht, wenn man die jj, durch die g; ersetzt. 

Haben also, wie vorausgesetzt, / und tp einen gemeinschaft- 
lichen Theiler {n — rjten Grades, so muss dieser auch in Tr 
aufgehen, und also, da die Grade übereinstimmen, mit Tr iden- 
tisch sein. 

Die Function Tr ist in Bezug auf die Coefficienten h von ^) 
homogen und vom Grade r, in Bezug auf die Coefficienten a von 
/ ist der Grad aber nur r — ■>«'-'- wi, da die ersten n — m 
Zeilen der Determinante (23) die a nicht enthalten. Bezeichnen 
wir den Grad von Tr in Bezug auf x mit s, setzen also n — r 
= s, so ist der Grad von T,. in den a gleich tn — s in den b 
gleich n — s. 

Um das Gewicht von Tr zu erhalten, geben wir der Variablen 
X wieder das Gewicht 1. Dann ist die Determinante (23) eine 
Summe von Producten, deren Gewicht man nach (8) erhält, wenn 
man in 

m — n -\- h -\- Je — 1 

die Zahlen h und h beide in irgend einer Reihenfolge von 1 bis 
r gehen lässt und die Summe aller dieser Ausdrücke nimmt. 
Da hiernach die Summe aller h -\- A' gleich r (r -f- 1) ist, so 
ergiebt sich das Gewicht gleich r (m — n -f- r), oder, wenn 
wieder n — r = s gesetzt wird, gleich (n — s) {m — s). Es 
folgt also: 



§. 55. Elimination. 2g5 

V. Die Function Tn-s ist vom Grade s in x, m — s 

in den Coefficienten von f,n — s in den Coeffi- 

cienten von ^, und isobarisch und vom Gewicht 

(m -^ — s) {n — s). 

Wenn R, aber nicht die Unterdeterminante -R„_i, gleich Null 

ist, also nur eine gemeinschaftliche Wurzel von / und cp vorhanden 

ist, so kann man die verschiedenen Potenzen der Unbekannten 

aus den Gleichungen (12) bestimmen, die dafür ergeben: 

A«^"~' + A«^"~' H h ^n,s = 0, s = 0, 2, . . ., n — 1, 

und man erhält also, wenn man. die Unterdeterrainanten von R 
mit Bi^Tc bezeichnet: 

-tin — l,n ^2 -^n -2,n ^n— 1 -^1, n 



''n.n 



\^l ) Jy p , J. p ,..., X -p- 

Darin ist i?„,„ = -R„_i, und wenn wir ii„_i „ = 5„_i setzen, so 
ergiebt sich 



(28) X = 



o„. 



Rn-l 



(1) 



§. 55. 
Elimination. Theorem von Bezout. 

Wenn in den beiden Functionen 

f(x) = ttoic" -\- ttj j-"-i + • • • 4- a„ 
cp (x) = &o ^"* + &i a:'»-i + • • • + &m 
die Coefficienten a, b selbst wieder ganze Functionen einer 
Grösse y sind, so wird auch die Resultante eine ganze Function 
von y werden, die wir mit F(y) bezeichnen wollen. Die Bildung 
dieser Gleichung ist die Elimination von x aus den beiden 
Gleichungen (1). 
Die Gleichung 

(2) F{y) = 

hat alle die Werthe von y zu Wurzeln, wofür die beiden 
Gleichungen 

(3) /(^) = 0, (p(x) = 

eine gemeinsame Wurzel haben. Ist die Bedingung (2) befriedigt, 
80 findet man die Werthe von x, die den zwei Gleichungen 
(3) genügen, indem man den grössten gemeinschaftlichen Theiler 
von f(x) und q){x) aufsucht. Dieser gemeinschaftliche Theiler 



186 Vierter Abschuitt. §. 55. 

ist vom ersten Grade und bestimmt also x rational, wenn 
nur eine solche gemeinschaftliche Wurzel vorhanden ist. Sind 
mehrere gemeinschaftliche Wurzeln vorhanden, so erfordert die 
Bestimmung von x noch die Lösung einer Gleichung höheren 
G)"ades. 

Gehört zu jeder Wurzel der Resultante nur eine gemein- 
schaftliche Wurzel ,r, so ist die Zahl der Werthepaare x, y, die 
den Gleichungen (3) genügen, gleich dem Grade der Resultante 
in Bezug auf y. Sind also die Coefficienten a vom Grade v, h 
vom Grade ^ in Bezug auf ^, so ist nach der Gradbestimmung 
des §, 53 der Grad der Resultante 

(4) nv -{- wft; 

so gross ist also die Anzahl der gemeinsamen Wurzelpaare. 
Diese Zahl kann aber noch dadurch modificirt werden, dass 
möglicherweise die Coefficienten so beschaffen sein können , dass 
die höchste Potenz von y aus der Endgleichung wegfällt. Man 
würde dann die üebereinstimmung der Zahl mit (4) nur durch 
die Hinzufügung unendlicher Wurzeln retten können. Auch 
mehrfache Wurzeln geben zu Bedenken Anlass. Man begegnet 
diesen üebelständen theilweise dadurch, dass man die homogene 
Form der Gleichungen zu Grunde legt , eine Form , in der sich 
das Eliminationsproblem besonders in der Geometrie einstellt. 

Wenn nämlich die Function / (x) aus einer homogenen 
Function wter Ordnung der drei Variablen j\ y, s (einer ternären 
Form) durch Ordnen nach Potenzen von x hervorgegangen ist, 
so sind die Coefficienten a^, %, «2 • • • ^.n homogene Formen der 
beiden Variablen ^, z von dem Grade, den der Index nngiebt, 
also «0 Gioe Constante, «^ eine lineare, a.^ eine quadratische 
Form u, s. f., und Entsprechendes gilt von den Coefficienten 
&o, Z^i . . . 6„j der Function g? {x). 

Bedeuten a;, i/, z Dreieckscoordinaten in der Ebene, so sind 
f{x) = 0, ^){x) = die Gleichungen einer Curve nter und einer 
Curve mter Ordnung, und die gemeinsamen Wurzeln dieser beiden 
Gleichungen (die Verhältnisse ;/■ :y:z) bedeuten die Schnittpunkte 
der beiden Curven. Die Endgleichung, die man durch Elimi- 
nation von X erhält, ist eine homogene Gleichung, deren Grad 
sich aus (15), §. 53 gleich nm ergiebt. 

Eine Verminderung des Grades kann hier nicht stattfinden; 
immer ist die Endgleichung eine homogene Gleichung des nmten 



§.55. Elimination. J37 

Grades für die beiden Unbekannten 1/, s. Die einzige Ausnahme, 
auf die hier zu achten ist, ist die, dass die Resultante identisch 
(für alle ^, s) verschwindet, dass also unendlich viele gemein- 
same Wurzeln vorhanden sind. Dieser Fall tritt dann, aber auch 
nur dann ein, wenn / und (p als Functionen der Variablen x^ ?/, s 
betrachtet, einen gemeinsamen Theiler haben (§. 20j. Hierher 
ist auch der Fall zu rechnen, dass/ und (p einen nur von ^, z 
abhängigen gemeinsamen Theiler haben, der dann auch als 
Factor der Resultanten auftritt. Hier giebt es zwar nur eine 
endliche Zahl von Werthepaaren y.z^ zu diesen aber unendlich 
viele Werthe von x. 

In der Geometrie haben diese Fälle die Bedeutung, dass die 
beiden Curven einen Curventheil und nicht bloss einzelne Punkte 
gemein haben. 

Was sich von einem strengen algebraischen Standpunkte über 
diese Frage sagen lässt, ergiebt sich aus §. 54. Wir wollen die 
Coefficienten «j-, hi in (1) als ganze Functionen iten Grades 
einer Variablen y ansehen, so dass das Gewicht mit dem Grade 
in Bezug auf y übereinstimmt. 

Wenn / und (p als Functionen von x und y einen gemein- 
schaftlichen Theiler haben, so giebt es unendlich viele gemein- 
same Lösungen von / = und «jp = 0. Im anderen Falle 
bilden wir durch Elimination von x die Resultante 7i*, die eine 
ganze Function »iwten Grades von y ist. Der Grad kann sich 
dadurch erniedrigen, dass die Coefficienten einiger der höchsten 
Potenzen verschwinden. Es giebt also jedenfalls nicht mehr als 
mn Werthe von t/, für die li verschwindet. Ist ß einer dieser 
Werthe, so ist R durch y — ß theilbar. Wenn nun aber für 
y = ß die beiden Functionen / und cp einen grössten gemein- 
schaftlichen Theiler vom Grade .s oder n — r haben, so sind 
nach §. 54, I, HI die sämmtlichen Unterdeterminanten von M 
von r -\- 1 Reihen durch (y — ß) theilbar, während Rr nicht 
durch y — ß theilbar ist. Daraus ergiebt sich aber, am ein- 
fachsten aus dem Sylvester 'sehen Theorem [§. 32, (7)], dass 
li selbst durch (y — ßy theilbar ist. Es kann aljer li auch 
noch durch eine höhere Potenz von y — ß theilbar sein. Jeder 
Theiler sten Grades von / und cp absorbirt also mindestens s 
Wurzeln von It = 0, und wir erhalten hieraus das nach Bezout 
benannte Theorem in folgender, in geometrisches Gewand ge- 
kleideter Gestalt. 



188 Viertel" Abschnitt. §. 55. 

I. Zwei Curven nter und mter Ordnung, die keinen 
Curventheil gemein haben, schneiden sich höch- 
stens in tim Punkten. 

Dass die Maximalzahl mn für jeden Werth der Zahlen n und 
m unter Umständen erreicht werden kann, ersieht man aus dem 
Falle, dass / und cp in lauter in Bezug auf x und y lineare 
Factoren zerfallen. 

Will man, wie es in der Geometrie gebräuchlich ist, in dem 
Satze den Zusatz „höchstens" weglassen, so muss man unend- 
liche Wurzeln mitrechnen, was man durch Einführung homogener 
Variablen umgehen kann. Man muss aber au6h noch Fest- 
setzungen treffen, wonach in gewissen Fällen einige der Schnitt- 
punkte mehrfach zu zählen sind. 

Nur wenn wir uns der oben erwähnten ho'mogenen Form be- 
dienen, oder, was auf dasselbe hinauskommt, wenn wir unendliche 
Werthe der Unbekannten zulassen, können wir den Satz aus- 
sprechen, dass zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten 
immer wenigstens eine Lösung haben. 

Die Theorie der Elimination setzt uns nun in den Stand, 
folgende Aufgabe zu lösen. 

IL P]s sei ein System S von Gleichungen /i = 0, 
^2 = 0, /s =^ 0, ... zwischen den Unbekannten 
X, ^, 2, . . . gegeben. Die Anzahlen der Gleichun- 
gen und der Unbekannten sollen beliebig sein 
und brauchen nicht mit einander überein- 
zustimmen. Es sollen alle Werthe der Unbe- 
kannten ermittelt werden, die diesen Glei- 
chungen zugleich genügen, wenn solche vor- 
handen sind, und im entgegengesetzten Falle 
nachgewiesen werden, dass keine vorhanden 
sind. 

In dem Falle, wo nur eine Unbekannte vorhanden ist, hat 
man zur Lösung dieser Aufgabe zu untersuchen, ob die Func- 
tionen /i. /,, /g, . . . einen gemeinschaftlichen Theiler haben, und 
wenn ein solcher gefunden ist, giebt uns sein Verschwinden die 
Werthe der Unbekannten durch Auflösung einer algebraischen 
Gleichung mit einer Unbekannten. Wir nehmen also die Auf- 
gabe für eine geringere Anzahl von Unbekannten, als die gegebene, 
als gelöst an, und wenden die vollständige Induction an. 



I 



§. 55. Elimination. jgg 

Wenn von den gegebenen Gleichungen nur eine, etwa 
/j = 0, die Unbekannte x enthält, so setze man in diese eines 
der Werthsysteme der y, s^ . . . ein, die den übrigen Grieichungen 
genügen, die, nach der Voraussetzung, als schon gefunden be- 
trachtet werden. Dann sind drei Fälle möglich: Entweder /j 
verschwindet identisch, dann gehören zu diesem Werthsystem 
der y. z^ . . . unendlich viele Werthe von x, oder es geht x aus 
/, heraus, ohne dass /^ verschwindet, dann giel)t es keinen Werth 
von .T, oder endlich es ergiebt sich eine algebraische Gleichung 
für X, die eine endliche Anzahl von Wurzeln hat. 

Hierauf können wir nun das allgemeine Problem in folgen- 
der Weise zurückführen. Wir nehmen aus dem System zwei 
Gleichungen heraus, die die Variable x enthalten: 

/ = «0 a:" + «1 ä;"-i -f • • • ^ a„ 
9? =r 6„ x^^ + hy a;'»-i -\ f- i„. , 

deren Coefficienten ganze Functionen der ^, s^ . . . sind. Diese 
müssen in Bezug auf x einen gemeinschaftlichen Theiler vom 
ersten, zweiten, dritten, . . . Grade haben. Die Bedingungen dafür 
lassen sich nach §. 54 als rationale Gleichungen zwischen den 
2/, ^, . . . darstellen, und ebenso ergiebt sich dann der grösste 
gemeinschaftliche Theiler von / und g) als rationale Function 
von X, y^ z^ . . . Dadurch ist dann das System H auf ein anderes 
System S^ zurückgeführt, das zwar mehr Gleichungen enthalten 
kann als S, in dem die Unbekannte x aber in einer Gleichung 
weniger vorkommt als in S. Durch Wiederholung dieses Ver- 
fahrens ist dann die Aufgabe gelöst. Es ist hierbei aber noch 
zu bemerken, dass man die verschiedenen Systeme S^ be- 
trachten muss, die sich aus der Annahme verschiedener Grade 
des gemeinschaftlichen Theilers von / und (f ergeben ; auch muss 
man darauf Rücksicht nehmen, dass möglicherweise 0,^ , h^ ver- 
schwinden können, wenn man es nicht vorzieht, diese Möglichkeit 
dadurch auszuschliessen, dass man durch eine lineare Substitution 
in allen Gleichungen von *S' den Coefficienten der höchsten 
Potenz von x constant macht. Man erreicht dies etwa dadurch, 
dass man 

y = X + «2/1. ^ = .-» + /3^i, . . . 
setzt, worin «, /3, . . . beliebige, nicht verschwindende Constanten 
sind. 

Wenn sich im Verlaufe der Rechnung Gleichungen einstellen, 



190 Vierter Abschnitt. §. 56. 

die einen rationalen gemeinschaftlichen Theiler haben, so kann 
man diesen abspalten, und die Aufgabe in mehrere einfachere 
der gleichen Art zerlegen. Es kann auch vorkommen , dass in 
den auf einander folgenden Systemen von Gleichungen eines auf- 
tritt, dessen Gleichungen alle einen gemeinsamen Theiler haben. 
Enthält dieser mehrere der Unbekannten, so entspringt aus ihm 
ein System von unendlich vielen Lösungen, bei denen allen in 
diesem Factor vorkommenden Unbekannten, ausser einer, be- 
liebige Werthe ertheilt werden können. 

III. Das Problem II wird also nach dem geschil- 
derten Verfahren immer gelöst durch Auf- 
lösung einer Kette von algebraischen Glei- 
chungen mit nur einer Unbekannten und durch 
Einsetzen willkürlicher Werthe für gewisse 
der Unbekannte n. 



§. 56; 

Elimination aus drei Gleichungen. 

Die Principien der Elimination, die wir im Vorhergehenden 
auf zwei Gleichungen angewandt haben, lassen sich auf mehrere 
Gleichungen mit mehreren Unbekannten ausdehnen. Wir wollen 
auf den Fall von drei Gleichungen mit zwei Unbekannten etwas 
näher eingehen. 

Es seien 

(1) f(x,y) = 0, cp(x,y) = 0, ^(x,y) = 

die drei gegebenen Gleichungen von den Graden «, m, l und wir 
setzen 

(2) f{x, 2/) = «0 ^" + % ^" ~ ^ + • • • + ^^«' 
darin aber sei 

(3) «fe = afe,o2/^" + «fc,!^'-' + • • • + «Äpfe- 
ln ganz entsprechender Weise bezeichnen wir die Functionen (p 
und ^, deren Coefficienten h und c sein mögen, so dass 

. ^ = C(,Xi -h C^X^~^ -\- • ' ■ -\- Ci 

^ ' Ck = Ck,oy^ -f Ck,i y^-"- + • • • + Cfe,fc 

wird. 

Wir bilden nun zunächst aus den beiden Functionen / und 

fp nach §. 54 die Resultante ii„. Wir setzen dann unter der 



§.56. Die Resultante. \Q\ 

Voraussetzung, class Bn—i von Null verschieden ist [nach §. 54, 
(28)]: . 

(o) X = j, 

in il^ (x, y) ein, und erhalten 

(6) Ei^,ip(x,y) = CoÄL_i + c,SizlEn-r + • • • + ciBi^,. 

Die rechte Seite dieses Ausdrucks ist eine ganze Function 
von y, deren Grad ^ wir hier nicht naher zu bestimmen brauchen. 
Er lässt sich übrigens mit Hülfe der Gleichungen (27), §. 54 
noch erniedrigen, worauf es hier nicht ankommt. 

Wir ordnen (6) nach Potenzen von y und setzen 

(7j Ri^,xl^(x. y) = W{y) = Cr + C^i^"^ H h C-«- 

Worauf es hier allein ankommt, ist, dass die C'o, Ci, . . ., (7u ganze 
^Functionen der a, h und lineare Functionen der c sind. 

Wir denken uns ferner die Resultante B^ nach Potenzen 
von y geordnet und erhalten 

(8) j?„ = Jor" + A2/'""~' -^ h ^m«, 

worin die Coefficienten Ai ganze Functionen der a, h allein sind. 

Nun bilden wir die Resultante [5*", i?„] der beiden Func- 
tionen (7j, (8J. Diese ist eine ganze Function der «, h^ c, homogen 
in Bezug auf jede der drei Variablen-Reihen a, 6, c, deren Grad 
in Bezug auf a, h einstweilen nicht näher bekannt ist, deren Grad 
in Bezug auf die C und folglich auch in Bezug auf die c (nach 
§. 53) gleich mn ist. 

Wir sondern nun von der Function \W, i?„] einen von den 
a, h allein abhängigen Factor B möglichst hohen Grades ab, 
und setzen 

(9) [^, Bn] = B ^, 

so dass £1 keinen von den c unabhängigen Factor mehr enthält. 

I. Die auf diese Weise, bis auf einen numerischen 
Factor vollständig bestimmte rationale Function 
der rt, &, c, die in Bezug auf c vom Grade mn ist, 
nennen wir die Resultante der drei Functionen 

/, 9i ^• 
Hier ist nun zunächst zu bemerken, dass der Factor B 

nicht verschwinden kann, wenn die Resultante der beiden Func- 
tionen ii'„ und Bn-i die wir mit z/ bezeichnen wollen, nicht 
verschwindet; denn wenn [W, jR„] verschwindet, so haben 'jP" = 
und jB„ = eine gemeinsame Lösung y. Wenn zJ nicht ver- 



192 Vierter Abschnitt. §. 56, 

schwindet, so kann Rn nicht identisch verschwinden, und ii„_i 
kann für dieses y nicht Null sein; also giebt es eine gemeinsame 
Lösung X von der Form (5) von / = und gj =: 0, die dann 
auch il) zu Null macht. Wenn aber das von den c unabhängige 
B gleich Xull ist, so bleibt [^, !{„] Null, welche Werthe auch 
die c haben mögen , und man kann die c so annehmen , dass 
1^ = keine Lösung mit / = und q) = gemein hat. Wenn 
also J5 = ist, so muss ^ verschwinden. Damit ist Folgendes 
bewiesen: 

IL Wenn für die a, &, c solche Werthe gesetzt sind, 
dass £1 z= und zJ nicht = wird, so haben die 
drei Gleichungen f = 0, q) = 0, ip =^ eine ge- 
meinsame Lösung 
und umgekehrt: 

IIL Haben f = 0, <5p = 0, t^ = eine gemeinsame 
Lösung, und ist z/ von Null verschieden, so ver- 
schwindet Sl. 
Es ist nicht leicht, sich auf rein algebraischem Wege von 
der unnöthigen Voraussetzung frei zu machen, dass z/ von Null 
verschieden sei. Einfacher aber gelangt man dazu durch Be- 
nutzung der Stetigkeit. 

Angenommen, die drei Gleichungen (1) haben eine gemeinsame 
Lösung X, y. während z/ = 0, aber ^ von Null verschieden ist. 
Dann kann man die a, h beliebig wenig, aber so ändern, dass 
z/ einen von Null verschiedenen Werth erhält. Betrachtet man 
X, y als Lösung von / = und 9) = 0, so werden diese Grössen 
durch algebraische Gleichungen bestimmt, deren Coefiicienten 
rational von a, h abhängen, und die sich also bei hinlänglich 
kleinen Veränderungen von a. b um beliebig wenig ändern 
(§. 44). Sie mögen in x', y' übergehen. Dann kann man die 
Coefiicienten c noch so ändern, dass 1/; (x\ y') wieder verschwindet, 
und diese Aenderungen der c sind ebenfalls beliebig klein. Man 
kann also schliesslich diese Aenderungen alle so klein annehmen, 
dass Sl nicht Null wird, und dann erhält man einen Wider- 
spruch gegen IIL 

In ähnlicher Weise lässt sich zeigen, dass auch wenn ü 
und z/ zugleich verschwinden, die drei Gleichungen (1) eine 
gemeinsame Lösung haben. Wenn zunächst / und cp einen ge- 
meinsamen Theiler haben , so wird dieser und folglich auch / 
und 9> mit ijj eine gemeinsame Wurzel haben. 



§. 57. Theorem von Bezout. ]^9 



o 



Wenn dies nicht der Fall ist, so giebt es nur eine endliche 
Anzahl von Wurzeln x^ y von / und (p. Wir wollen annehmen, 
dass für keine von diesen i/; (a?, y) verschwindet. Wir variiren 
nun a, &, c so wenig, dass alle diese t^ {x^ y) von Null ver- 
schieden bleiben, jedoch so, dass z/ von Null verschieden wird, 
während ü Null bleibt. Dann haben wir einen Widerspruch 
gegen (II). Damit ist also bewiesen: 

IV. Die nothwendige und hinreichende Bedingung 
dafür, dass die Gleichungen / = 0, 9) = 0, ^j = d 
eine gemeinsame Lösung haben, ist ,ß = 0. 

Es ist hierbei jedoch noch zu bemerken, was wir bei der 
Beweisführung der Kürze wegen nicht ausdrücklich hervorgehoben 
haben, dass der Satz II, und demgemäss auch III und IV nur 
dann allgemein gültig sind, wenn man auch unendliche Werthe 
von X, y zulässt, oder besser, wenn man die gegebenen Gleichimgen 
in der homogenen Form 

f{x, «/, z)=0, cp {x, y, ^) = 0, t^ (ä-, y. z) = 

annimmt, wobei dann auch ^ = unter den Lösungen auftreten 
kann. 

§• 5''- 

Grad und Gewicht der Resultante. Das Theorem 

von Bezout. 

Näheren Aufschluss über die Natur der Resultante ii von 
drei Gleichungen erhalten wir, wenn wir einen speciellen Fall 
betrachten, den nämlich, dass die drei Functionen f, (p^ ip in 
lineare Factoren zerfallen. 

Es sei 

1, « 
(1) «3P = n(ß[i>x + ß'^^y + /3^^) 

i' =n (yO'^x 4- rf 2/ + rfO' 

worin die a, /3, y nun als unabhängige Variable gelten. Dieser 
Fall geht aus den allgemeinen dadurch hervor, dass man für 
die a, 6, c gewisse homogene Functionen a', h\ c' der Variablen 

Weber, Algebra. I. 13 



194 Vierter Abschnitt. §. 57. 

«, /3, y setzt, und zwar sind die a vom w*^° Grade in den oc, die 
h vom m*^° Grade in den /3, die c vom V^'^ Grade in den y. Das 
Ersetzen der a, ö, c durch diese Functionen a', 5', c' wollen wir 
der Kürze wegen die Substitution <S nennen. 

Die Functionen /, g), t^, ß mögen durch die Substitution © 
in /', (f\ ^', Sl' übergehen. Es werden /', 9', t^' immer dann, 
aber auch nur dann, eine gemeinsame Wurzel haben, wenn eine 
der Determinanten 

a(^\ a[^\ «W 

ß?, ßf. ßf 



(2) Ai,^ = 



verschwindet. Die Anzahl dieser Determinanten beträgt Imn. 

Daraus folgt, dass auch Sl' durch jede der Determinanten 
(2), und folglich auch durch ihr Product theilbar sein muss. 
Daraus ergiebt sich nun der Beweis des folgenden wichtigen 
Satzes: 

I. Die Resultante Si ist als Function von a, &, c un- 
zerlegbar. 

Es sei nämlich Sl^ ein in Bezug auf a, &, c rationaler Theiler 
von ß, und durch die Substitution <5 gehe Si^ in Sl'i über. Es 
muss dann Sl\ wenigstens durch eine der Determinanten ^h,i,k 
theilbar sein. Da aber, w^enn die Indices h, i, Z; durch irgend 
drei andere h\ /', h' ersetzt werden, die a', &', c' und mithin auch 
Sl'i ungeändert bleiben, so muss Sl'i durch die säramtlichen 
Determinanten (2) und also auch durch deren Product theilbar 
sein. Da das Product aber in Bezug auf die c' vom Grade mn 
ist, so ist auch Sl^^ nicht von niedrigerem Grade in Bezug auf 
die c. Da es aber auch nicht von höherem Grade sein kann, 
und da überdies nach Voraussetzung Si keinen von den c unab- 
hängigen Theiler hat, so ist ii^ (von einem numerischen Factor 
abgesehen) mit Si identisch. 

Diese Betrachtung zeigt nun zugleich, dass Sl'i in Bezug auf 
die «', b' und folglich £1 in Bezug auf die a, h mindestens 
vom Grade ml und nl sein muss. 

Wenn wir aber nun die ganze Betrachtung des vorigen und 
dieses Paragraphen wiederholen, nur mit dem Unterschiede, dass 
vdr / an die Stelle von ^, also die a an die Stelle der c treten 
lassen, so erhalten vär statt Sl eine Function ßy, die in Bezug 



§. 57. Theorem vou Bezout. ' I95 

auf die a vom Grade ml ist. Nach §. 56, IV. verschwindet aber 
ßy immer, wenn Sl verschwindet ; und folglich muss Slf durch das 
unzerlegbare ü theilbar sein (§. 43, 2.). Daraus ergiebt sich, 
dass iß in Bezug auf die a höchstens vom Grade Im ist, und 
da dieselbe Betrachtung ein drittes Mal wiederholt werden kann, 
so ist bewiesen: 

IL Die Resultante ü dreier Functionen von^ drei 
Variablen von den Graden m, w, l ist vom Grade 
ml in den Coefficienten der ersten, In in denen 
der zweiten und yim in denen der dritten Function. 

Daraus ergiebt sich, dass die Function ü' dem Producte 
der Determinanten (2) gleich ist, oder die Formel 

(3) ß' = JT^;,,■,.. 

Diese Formel gestattet die Bestimmung des Gewichtes von 
tß, das wir erhalten, wenn wir den Coefficienten a;,, t, hh,iii Ch,k 
das Gewicht h beilegen, so dass [nach §. 53, (3)] /, 9), 1^ in 
homogene Functionen w*®'', m*^°, P^^ Grades übergehen, wenn für 
die Coefficienten homogene Functionen neuer Variablen vom 
Grade des Gewichtes gesetzt werden. 

Das Gewicht h ergiebt sich nämlich für die aj,^fc, 65,_fc, c'h^ic-, 
wenn wir in (1) den «j, «25 ßi-, ßii ^n 7-2 cl^s Gewicht 0, und den 
"3? ßii yz ^^s Gewicht 1 beilegen. Dadurch erhält aber z/;,^,-^^ 
das Gewicht 1 und ü' das Gewicht Imn. Dies ist dann aber 
auch das Gewicht von ß, das sich durch die Substittition © nicht 
ändern kann. Diesem Satze über das Gewicht können wir den 
folgenden Ausdruck geben, in dem es das Bezout 'sehe Theorem 
enthält. 

III. Durch Elimination von zvrei Unbekannten aus 
drei Gleichungen Z*®"", m^^^^ w*^" Grades ergiebt 
sich für die dritte eine Endgleichung vom Grade 
Imn. 

Um daraus (wie in §. 55, I.) den geometrischen Satz ab- 
leiten zu können, dass sich drei Flächen von den Graden Z, m, n, 
die nicht unendlich viele Punkte gemein haben, höchstens in 
Imn Punkten schneiden, wäre noch zu zeigen, dass die End- 
gleichung in ^, wenn zu demselben Werthe z^ vom z mehrere, 
etwa V Werthe von x, y gehören, wenigstens durch (z — z^y 
theilbar ist. 

13* 



196 Vierter Abschnitt. §. 57. 

Dieser Beweis würde auf algebraischem Wege nicht ohne 
Weitläufigkeit zu führen sein. Man kann diesem Mangel aber 
auch durch eine Stetigkeitsbetrachtung abhelfen, die hier, in 
geometrischem Gewände, kurz angedeutet sein mag. Nehmen 
wir an , die drei Flächen /; qp, ^ haben für einen Werth 2 = s^ 
V Schnittpunkte. Wir geben dem System der Flächen /, g), il), 
ohne ihre Gestalt und gegenseitige Lage zu ändern, eine unend- 
lich kleine Drehung um eine Axe, die in der Ebene z ■= z^^ 
liegt, aber mit keiner der Verbindungslinien der in dieser Ebene 
angenommenen v Schnittpunkte parallel ist. Dann sind nach der 
Drehung die ^-Ordinaten dieser Punkte alle von einander ver- 
schieden; sie mögen ^i, Z-i . . . Zv geworden sein. Diese Drehung 
findet aber ihren analytischen Ausdruck in gewissen Ver- 
änderungen der Coefficienten a, &, c von /. g^, 1/^, die zugleich 
mit der Drehung unendlich klein werden. Wenn nun die Re- 
sultante ß(^) durch diese Drehung in ß' übergegangen ist, so 
ist ß' durch {z — z-^ {e — z^ , . , {z — z^^ theilbar; und da 
die Drehung beliebig klein genommen werden kann, so ei'giebt 
sich daraus nach §. 44, dass ^{z) durch {z — ^0)'' theilbar sein 
muss. 

Wir wollen hier noch einmal auf die Bildung der End- 
gleichung von zwei homogenen Gleichungen mit zwei Unbe- 
kannten, also auf die Bestimmung der Schnittpunkte zweier 
Curven zurückkommen. Es seien diese beiden Gleichungen vom 
Grade n und m 

(4) fix, y, z) = 0. rp {x, y, z) = 0, 

mit den Coefficienten a und h. 

Die Endgleichung ergiebt sich in einer symmetrischen Form, 
wenn man eine lineare Gleichung 

(5) ux-[-vy-\-icz=^0 

mit unbestimmten Coefficienten «, v, iv hinzufügt , und dann aus 
den drei Gleichungen (5) und (6) die x^ y, z eliminirt. Man 
erhält dann nach (2) eine Endgleichung 

(6) ß(w, V, IV) = 0, 

die in Bezug auf u. v, tv homogen und vom Grade mn ist. In 
den a ist sie vom Grade m, in den h vom Grade n. Setzt man 
in Sl (m, «7, w) z. B. w ^ 0, t- = 1, iv = — ?/, ^ = 1, so ergiebt 
sich die Endgleichung für y in der früheren Gestalt. 



§. 57. Die Resultante. I97 

Die Function Sl verschwindet, wenn die Gleichungen (4) und 
(5) eine gemeinsame Lösung haben, d. h. so oft die durch (5) 
dargestellte gerade Linie durch einen Schnittpunkt der beiden 
Curven / und cp hindurchgeht, und wenn daher w, v, iv homogene 
Liniencoordinaten bedeuten, so ist ß ^= im Sinne der analy- 
tischen Geometrie die Gleichung des Schnittpunktsystemes der 
beiden Curven / und (p 1). 

Die Function Sl (u, v, iv) ist zwar als Function der Variablen 
a, 6, w, V, w unzerlegbar; sie enthält aber für jedes besondere 
Zahlensystem a, &, wofür sie nicht identisch verschwindet, lineare 
Factoren in Bezug auf h, v, iv, nämlich, wenn x, y, s die Coordi- 
naten eines der Schnittpunkte sind, den Factor ux -\- vy -^ v z. 
Haben wir also m n verschiedene Schnittpunkte, so zerfällt 
iß (it, V, w) in m n lineare Factoren. 

Hieraus kann man nun wieder durch Stetigkeitsbetrach- 
tungen nachweisen, dass ^ auch im allgemeinen Falle, wenn es 
nicht identisch verschwindet, in ni n lineare Factoren zerleg- 
bar ist. 

Um dies zu zeigen, seien Pi, Pj, . . . mit den Coordinaten 
*'ii !/ii ^\'i ^21 Vi^ ^2 • • • ^^^ Schnittpunkte von / und 9. 

Wir können den Coefficienten a, b unendlich kleine Aende- 
rungen ertheilen, so dass die Piesultante mn verschiedene 
Wurzeln erhält, und folglich die variirten Curven /', cp' mn 
getrennte Schnittpunkte. Von diesen Schnittpunkten wird eine 
gewisse Zahl v^ unendlich nahe bei Pj liegen, deren Complex 
wir mit P'i bezeichnen wollen, ebenso werden Vo Punkte Pg 
unendlich nahe bei P^ liegen u. s. f., so dass 

Vi -^ V.2 -\- • ' • = mn 
ist. Es sei dann 

JJi = iiXi 4-^2/1 -f ^^ ^1 
der dem Punkte Pi entsprechende Factor von 

Sl = Sl (1.1, V, iv) 
und sei demnach 

Sl z=z l\ Sil. 
Durch die angegebene Variation der a, h gehe ß in Sl' 



1) Diese Darstellungsweise der Resultanten findet sich, für den Fall 
von drei Flächen zweiten Grades, bei Hesse, Analytische Geometrie des 
Raumes (Leipzig, Teubner, 1. Auflage 1861, 3. Auflage 1876). 



198 Vierter Abschnitt. §. 57. 

über; dann hat ^' die den v^ Punkten F[ entsprechenden Vj 
linearen Factoren C/i, TJ'u . . . und es sei 

ß' = ü[ Si[ 

so dass Sl'i noch durch ü'i . . . theilbar ist. 

Wenn nun Sl^ nicht durch Ui theilbar wäre, so könnte man 
über die w, v, iv so verfügen, dass U^ = 0, und Sl^ von Null 
verschieden wäre. 

Dann würde man aber, da die Variationen beliebig klein 
genommen werden können, und Sl\ dem iß^ also beliebig nahe 
gebracht werden kann, ein System vom Werthe u, v, iv finden 
können, für die U'i verschwindet, während Si'i von Null ver- 
schieden ist. Dies ist aber unmöglich, weil Sl[ durch Ui theil- 
bar ist. Folglich muss Sl durch Ui theilbar sein, und durch 
Wiederholung dieses Schlusses findet man, dass Sl durch U^^ 
theilbar ist. Wir haben also das Bezout'sche Theorem in 
folgender schärferen Form. 

IV. Die Resultante ß(M, v,t(;) der beiden Curven / und 
(p verschwindet entweder identisch, und dann 
haben/ und cp unendlich viele gemeinschaftliche 
Punkte; oder es zerfällt Sl{u^ v, w) in mn lineare 
Factoren, die auch zum Theil einander gleich 
sein können, deren jeder, für sich gleich Null 
gesetzt, die Gleichung eines der Schnittpunkte 
der beiden Curven darstellt. 

Diese Formulirung des Satzes von Bezout giebt dann auch 
eine zweckmässige Bestimmung darüber, mit welchem Grade 
der Vielfachheit man jeden Schnittpunkt der beiden Curven zu 
zählen hat. 

Diese Betrachtungen sind, wie man leicht erkennt, einer 
Verallgemeinerung für den Fall einer grösseren Anzahl von 
Gleichungen mit einer gleich grossen Anzahl von Unbekannten 
fähig. Man hat z. B., um zu dem nächsten Falle überzugehen, 
aus den Voraussetzungen des §. 56 aus drei Gleichungen 
f{x, y) = 0, q) (ic, 1/) = 0, ifj (x^ y) = 0, die eine gemeinsame Lösung 
haben, für diese Werthe von x, y rationale Ausdrücke durch die 
Coefficienten von /, (p, ip abzuleiten. Wir wollen hier aber nicht 
näher darauf eingehen. 



§. 58. Tschirnhauseri-Transformatiou. 199 

§. 58. 
Tschirnhausen-Trans formation. 

Wir machen von der Theorie der symmetrischen Functionen 
und der Resultantenbildung noch eine wichtige Anwendung auf 
die von Tschirnhausen i) herrührende Transformation alge- 
braischer Gleichungen. 

Es sei 

(1) f{x) = rr" + «1 X«-l -f «2 ^"-' H h[««-l ^ + «n 

irgend eine Function n^"^ Grades, und 

irgend eine (ganze oder gebrochene; rationale Function von x, 
bei der wir nur die eine Voraussetzung machen , dass f{x) und 
i) {x) keinen gemeinsamen T heiler haben sollen. Nach 
dem Schlusssatz von §. 6 können wir dann die Functionen F{x) 
und (p (ic), letztere höchstens vom Grade n — 1, so bestimmen, dass 

(3) lix) = Fix) fix) + ^>{x) i>{x) 
wird, so dass, sobald für x eine Wurzel der Gleichung 

(4) f(x) = 
gesetzt wird, 

wird. Da wir nun die Werthe von y nur für solche Werthe 
von X, die Wurzeln von (4) sind, betrachten werden, so 
verlieren wir nichts an Allgemeinheit, wenn wir von vornherein 

y = <P{^1 
also gleich einer ganzen Function (n — 1)*^° Grades setzen. Es 
sei also 

(5) 1/ = 9)(a:) = «0 + «1 ^ + «2 ^^ + • • • + cKn-i-r''-\ 
worin die Coefficienten a vorläufig noch ganz unbestimmt bleiben. 

Bezeichnen wir mit 



1) Acta eruditorum, Leipzig 1683. 



200 Vierter Abschnitt. §. 58. 

die Wurzeln der Gleichung (4), so ergeben sich aus (5) die ent- 
sprechenden Werthe von y: 

(7) i/i = TlX). Vi = ^ (^2) ' ' .yn= Cp (Xn), 

und das Product 

(8) ^{y) = (y — y,) {y — y^) ■ ■ ■ {y — yn) 

ist eine symmetrische Function der Grössen (6), die sich 
also rational durch die Coefficienten von/(;r) aus- 
drücken lässt. 

In dieser Weise dargestellt, möge 0(^y) den Ausdruck haben 

(9) ^{y) = y- -f h, 7/"-i -f- h, ^"-2 H h ^«-1 y -f &«• 

Die Coefficienten hy werden nach §. 7 durch die yi bestimmt 
mittelst der Formeln 

&i = — ^i/i, &2 = ^!/i«/2i h = — ^Jy^y^ys, . . 
woraus sich ergiebt, dass bv eine ganze rationale und 
homogene Function v^^"^ Grades von den Variablen 

«0, OCj, . . ., ttn—i ist. 

(y) ist nichts Anderes als die Resultante der beiden 
Gleichungen 

(10) fix) ^ 0, cp{x) - y = 0, 

und nach §. 54 kann man auch umgekehrt die gemeinsame 
Wurzel X dieser beiden Gleichungen (10), wenn y einem der Werthe 
Vi-, y-2i • • r yn gleich wird, rational durch die Coefficienten von 
(10), d. h. rational durch a^, «j, y ausdrücken, vorausgesetzt, dass 
nur eine solche gemeinsame Wurzel vorhanden ist. 

Dies wird dann eintreten, wenn die n Werthe yi, y^, . . •, yn 
von einander verschieden sind. Dann erhält man einen Ausdruck 

^ = ßo + ßiy -}- ßo.y ^ h /5n-ir-s 

der gültig ist, wenn für x einer der Werthe (6) und für y der 
zugehörige Werth (7j gesetzt wird. Die Grössen ßi sind aus 
den tti und «j rational zusammengesetzt. 

Kommen aber unter den Werthen y^ , ^21 • • -i yn mehrere 
gleiche vor, so erfordert die Bestimmung der zugehörigen Werthe 
der X noch die Auflösung einer Gleichung des entsprechenden 
Grades. Dieser Grad ist aber immer kleiner als n, da 
die Function g? (x) höchstens für n — 1 Werthe von x denselben 
Werth y erhalten kann. Wenn also die Gleichung 

(11) ^(y) = 



§. 58. Tschirnhausen-Transformation. 201 

vollständig gelöst ist, so ist damit auch die Gleichung (1) voll- 
ständig gelöst [wenn (11) nur verschiedene Wurzeln hat] oder 
wenigstens auf die Lösung einer Gleichung niederen Grades 
zurückgeführt [wenn (11) gleiche Wurzeln hat]. 

Demnach betrachten wir (11) als eine Umformung der 
Gleichung (1), und die Bildung von (11) aus (1) heisst die 
Tschirnhausen-Transformation der Gleichung (1). 

Der Zweck einer solchen Transformation ist, die Coeffi- 
cienten ai so zu bestimmen , dass O (y) eine einfachere Gestalt 
erhält als f{x). 

Man kann die Coefficienten hp bilden, wenn man die Potenz- 
summen der i/i kennt (§. 46). 

Bezeichnen wir die Summen der m*^'^ Potenzen der Xi mit 
Smi der yi mit ö,„, also 

S,n = Sx'f, Ö« = StJ^, 

SO können wir (?,„ durch die Sm auf folgende Art bilden. 

Wir entwickeln zunächst y'" nach dem polynomischen Lehr- 
satz (§. 12), setzen also 

(12) r = 

•V ^. , ^, / ^ ^, N <» OC\i... «""-1 X'i + 2>'2 • • • + (n-1) v„_, 

2jn(y,)n{v,) . . . n{vn-i) « ^ «-i 

worin die Summe sich auf alle nicht negativen ganzzahligen 
Werthe von Vq, v^, . . ., v„^i erstreckt, die der Bedingung 

(13) Vo + Vi -|- • . • + r„_i = m 

genügen. Setzen wir dann in (12) x^^ X2, . . ., Xn für x und bilden 
die Summe der so erhaltenen Werthe von 2/*", 2/T, • • •, y'"; so folgt 

(14) 6,n = 
y TT(ni) 

V rr^ ^^T^ ^ n< ^ ^»'i + 2^. + • • • + ("-D^n-i <" <' • • • ""l'^'- 

2^n{Vf^)n(v^) . . . /7(a/„_i) " 1 

Hierdurch ist ö^n als ganze homogene Function m*^' Ordnung 
der «Q, «1, . . ., a„_i dargestellt. Eine etwas vereinfachte Schreib- 
weise erhält man nach der zweiten Darstellung von Formen 
(§. 17). Lassen wir fti , jti,» • • -i ^m unabhängig von einander die 
Reihe der Zahlen 0, 1, . . ., w — 1 durchlaufen, so wird, wenn in 
einer Combination v^ mal der Index 0, v^ mal der Index 1, Vg mal 
der Index 2, . . . r„_imal der Index n — 1 vorkommt, 

und 



202 Vierter Abschnitt. §. 59. 

i"i + f*2 -^ • • • -^ i"»' = Vi 4- 2^2 4- • • • 4- (n — l)v„_i, 
und danach kann der Ausdruck für 0„, so dargestellt werden: 

u 
(15) Ö»t :^ Z" Suj + uj + • • • + .«,„ '^«i "^,"2 • • • W"^. 

Beispielsweise wird 

Öj = «0 So + «1 Si -}- • • • -f- «„_i S„_i 
/. 7,- 

(16) öo = ^Si^k^-i^'k 

7i, i, fc 
Öo = Z' S/t 4- i + fc «7, «, «?,.. 

worin Ä, «, 7j die Reihe der Zahlen 0. 1, 2, . . ., w — 1 durchlaufen. 



§. 59. 

Anwendung auf die cuhischen und biquadratischen 

Gleichungen. 

Das Ziel, das schon Tschirn hausen bei dieser Trans- 
formation im Auge gehabt hat, bestand darin, durch Bestimmung 
der Substitutionscoefficienten «a. «j, . . ., a„_i in der umgeformten 
Gleichung 0. {y) = so viele Glieder zum Verschwinden zu 
bringen, dass die Gleichung lösbar wird. Es gelingt dies leicht 
bei den Gleichungen dritten und vierten Grades, wenn es auch 
nicht einfach ist, und nicht ohne weitläufige Rechnungen mög- 
lich scheint, die sonst bekannten Formeln auf diesem Wege 
abzuleiten. 

Nehmen wir zunächst die cubische Gleichung 

(1) a:» + a :r2 + 6 a: -[- c = 0, 
die wir durch die Substitution 

(2) y = K -i- ßx -\- yx^ 
umformen. Um die Gleichung für y 

(3) 2/3 -^ Alf -i- By -^ C = 

auf eine reine cubische Gleichung zurückzuführen, haben wir die 
Verhältnisse a:ß:y aus den beiden Gleichungen 

(4) A = 0. B = () 

zu bestimmen, von denen die erste linear, die zweite quadratisch ist. 
Die Gleichungen (4j sind gleichbedeutend mit 

(5) ö, = 0, 02 = 



§. 59. Gleichungen dritten und vierten Grades. 203 

und ergeben also nach (16) des vorigen Paragraphen 

a So + ^ Si 4- 7 S2 = 0, 
«2 So + 2aßs, + 2ays2 -f ß'-s, + 2ßySs + y^s^ = 0, 
worin Sq = 3 ist. Multiplicirt man die letztere Gleichung mit 
Sy und zieht das Quadrat der ersten davon ab, so folgt 

(6) ß^ (So s, _ sf) + 2 /3 r (So S3 — Si s,) + r^ (So s, — s^) = 0. 
Die Discriminante dieser quadratischen Gleichung 

(So S3 — Si s^y — (So S2 — s/j (So s, — sl) 

giebt entwickelt 

— So (Sq Sa S4 So S3' — Si S4 — s, -f- 2 Si S2 S3), 

ist also, wenn u die Discriminante der cubischen Gleichung (1) 
bedeutet [§. 50, (9)] gleich — 3D, und die Auflösung von (6) 
giebt also 

(7) ^_ — (S0S3-S, S2)"+'V-3Z) 

^ r So So — s'i 

Damit ist die Gleichung (3) auf eine reine Gleichung zurück- 
geführt, die zu ihrer Lösung nur noch das Ziehen einer Cubik- 
wurzel erfordert. Welches Vorzeichen wir der in (7) vorkommen- 
den Quadratwurzel geben wollen, steht in unserem Belieben. 

Um die Tschirnhausen-Transformation für die biquadratische 
Gleichung zu benutzen, kann man etwa so verfahren, dass man 
in der umgeformten Gleichung 

(8) y* + hr + hy' + hy-{ h, = o 

die cco, «1, «2, «3 so bestimmt, dass 

(9) h, = 0, b, = 

wird, wodurch (8) in eine quadratische Gleichung für y^ über- 
geht, aus deren Wurzeln noch die Quadratwurzeln gezogen 
werden müssen, so dass, nachdem die Gleichungen (9) gelöst 
sind, noch zweimal eine Quadratwurzel gezogen werden muss. 

Wenn man mittelst der ersten Gleichung (9) aus der zweiten 
«0 eliminirt, so entsteht eine homogene cubische Gleichung 
zwischen «i, «2, «3. Man kann daher eines von den beiden Ver- 
hältnissen «1 : «2 : «3 beliebig annehmen, z. B. «3 = setzen, und 
erhält zur Bestimmung des anderen eine cubische Gleichung. 
Dadurch ist dann die Lösung der biquadratischen Gleichung auf 
die einer cubischen und auf Quadratwurzeln zurückgeführt. 



204 Vierter Abschnitt. ' ' §.'60. 



§• 60- 

Die Tschirnhausen-Transformation der Gleichung 

fünften Grades. 

Will man auf die Gleichung fünften Grades 

(1) x'' Ar eil X* -\- a.2X- ^ Ö3 ^'^ -\- ciiX -\- «.-, = 
die Tschirnhausen-Transformation anwenden, so hat man 

(2) y z= Uq -^ «1 X -\- a.2 X'^ -\- a^x^^ -\- ci^x^ 
zu setzen, und erhält die Transformirte 

(3) y + b,iß^ Kiß + hiß + l,y + h- = 0. 

Der nächstliegende Gedanke wäre nun, die Yerhältnisse der 
fünf Unbekannten « so zu bestimmen, dass 

(4) Ji =0, h, = 0, Z^3 = 0, &, = 

würde , wodurch f3) auf eine reine Gleichung zurückkäme , und 
dies war auch das Ziel , das Tschirnhausen im Auge hatte. 
Aber von den vier Gleichungen (4) ist die erste linear, die 
zweite quadratisch, die dritte vom dritten und die vierte vom 
vierten Grade. Die Endgleichung, die man daraus ableiten kann, 
wird daher (nach §. 57, III.) vom Grade 2 . 3 . 4 = 24, und daher 
kann daraus für die Lösung der Gleichung fünften Grades kein 
Nutzen gezogen werden. Man sucht daher zunächst nur den 
beiden Gleichungen zu genügen: 

(5) &j = 0. ^2 = 0. 

wodurch die Gleichung (3j in eine Form übergeht, die nach 
F. Klein (Vorlesungen über das Ikosaeder) eine Haupt- 
gleichung fünften Grades genannt wird. 

Zur Befriedigung der beiden Gleichungen (5j haben wir die 
Verfügung über die vier Verhältnisse u^ : u.^ : «0 : «3 : «4, und wir 
können diese Grössen noch auf mannigfaltige Art zur Verein- 
fachung der Gleichung fünften Grades benutzen. 

Wir kommen in einem späteren Abschnitt ausführlicher auf 
diesen Gegenstand zurück und beschränken uns hier darauf, die 
Ziele im Allgemeinen zu bezeichnen. Der Anschaulichkeit wegen 
bedienen wir uns einer geometrischen Einkleidung, die übrigens 
zum Verständniss der algebraischen Theorie, wie sie später 
gegeben werden soll, durchaus nicht wesentlich ist. 



§. 60. Hauptgleichung fünften Grades. 205 

Wenn wir mit Hülfe der linearen Gleichung hi = von 
den fünf Grössen a die eine, etwa «oi durch die übrigen aus- 
drücken, so können wir die vier übrigen a^, «o, «3, «4 als homo- 
gene Coordinaten eines Raumpunktes betrachten. Die Gleichung 
^2 = stellt dann eine Fläche zweiter Ordnung dar, feg = 
eine Fläche dritter Ordnung, 1)^ = eine Fläche vierter Ord- 
nung, 65 = eine Fläche fünfter Ordnung. 

Wollte man also bo, 63, h^ zugleich zu Null machen und 
dadurch die gegebene Gleichung auf eine reine reduciren, so 
müsste man einen der 24 Schnittpunkte von drei Flächen zweiter, 
dritter, vierter Ordnung bestimmen, der von einer Gleichung 
24teii Grades abhängt. 

Statt nun so zu verfahren, sucht man auf der Fläche 
^2 = eine gerade Linie zu bestimmen. Solcher gerader Linien 
giebt es auf jeder Fläche zweiter Ordnung eine oder zwei 
Schaaren (reell oder imaginär), und man kann eine dieser Geraden 
durch Quadratwurzeln bestimmen, wie weiter unten aus- 
geführt werden soll. Die Ermittelung eines Schnittpunktes einer 
dieser geraden Linien mit der Fläche 1^ = führt dann auf 
eine Gleichung dritten Grades, und wenn man noch durch Be- 
stimmung eines gemeinsamen Factors der a den Coefficienten 
^4 = 1 macht, so erhält die Gleichung für y die Gestalt 

(6) y:.^yj^l = 0, 

wodurch y als algebraische Function einer Variabein h bestimmt ist. 

Diese Gleichungsform wird gewöhnlich nach dem englischen 
Mathematiker Jerrard genannt, der sie im Jahre 1834 bekannt 
machte. Sie ist aber schon viel früher (178G) von E. J. Bring 
in Lund publicirt worden 1). Wir nennen sie daher die Bring- 
Jerrard'sche Form. 

Ebenso gut könnte man durch eine Gleichung vierten Grades 
^4 = machen, und würde eine zweite Normalform der Gleichung 
fünften Grades erhalten: 

(7) iß -f ^2 ^ j = 0, 

die die gleiche Berechtigung hat, wie die Bring- Jerrard 'sehe 
Form. 

Für die Lösung der Gleichung fünften Grades freilich wird 
durch diese Betrachtungen nichts gewonnen. Ihr Nutzen besteht 



^) Vgl. F. Klein, Yorlesnngeu über das Ikosaeder, S. 143. 



206 Vierter Abschnitt. §. 60. 

darin, dass die Gleichung fünften Grades auf eine Normal- 
form zurückgeführt wird, die nur von einem veränderlichen 
Coefficienten abhängt. Dies kann auf unendlich viele verschiedene 
Arten erreicht werden und gelingt am einfachsten, nämlich ohne 
Lösung einer Gleichung dritten oder vierten Grades, wenn man 
die Gleichung fünften Grades ög := selbst als eine Umformung 
der gegebenen Gleichung fünften Grades betrachtet. Hat man 
nämlich die Gleichung 65 = gelöst, so wird einer der fünf 
Werthe von y gleich 0, und die gegebene Gleichung fünften 
Grades ist damit zugleich gelöst. 



Fünfter Abschnitt. 



Lineare Transformation. 



$. 61. 



Einführung der linearen Transformation. 

Wenn wir in irgend welchen Functionen, die von den m 
Veränderlichen aji, x^, . . ., x,n abhängen, für diese Veränderlichen 
lineare Ausdrücke einsetzen, die von m neuen Veränderlichen 
x'i, x'21 . . ., x',n abhängen 

so nennen wir dies eine lineare Substitution, und das Er- 
gebniss eine lineare Transformation. 
Die Grösse 



(2) 



r = 



tu I ill ' 'Ml 



heisst die Substitutionsdeterminante. Sie muss immer 
von Null verschieden sein, da sonst durch (1) eine Abhängigkeit 
zwischen den Variablen x-^^ x.>^ . . ., x^ ausgedrückt wäre, 

durch eine lineare Substitution geht jede homogene Func- 
tion der Variablen x in eine homogene Function desselben 
Grades der Variablen x' über. 



208 Fünfter Abschnitt. §. 62. 

So geht beispielsweise jede lineare Function 

i 

y = ^aiXi 
in eine ebensolche Function 

i 

y = IjüiXi 
über, worin 

(3) a;, = ia.«w 
Betrachten wir m solcher linearer Functionen 

i 

y,, == Zlüi^vXi V = 1, 2, , . ., m, 

so erhalten wir m transformirte Functionen 

i 

y'y = Ua'i^vX'i r = 1, 2,. . ., w. 

Die Determinanten der Systeme ;?/,, y'v 

Z/ = 2^ + «1,1 «2,2 • • • «»i,»n Z/ = 27 + «1,1 «2,2 • • • tt'm,m 

stehen nach dem Multiplicationsgesetz der Determinanten in der 
Abhängigkeit 

(4) ^' = rzl, 

so dass die eine nicht ohne die andere verschwindet. 



§. 62. 
Quadratische Formen. 

Von besonderer Wichtigkeit ist die Transformation der 
homogenen Functionen zweiten Grades oder der quadratischen 
Formen. Wir bezeichnen sie, wie schon im ersten Abschnitt, so: 

(IJ 9^ (3^11 Sfg, . . .^ X,)i) ^^^ -^ O'ij'k ^i ^ki <^t, fc — -^ «fe, f" 

Durch die Substitution §. 61, (1) geht (p über in 

i. k 
(2j 0ix\, X'^, . . ., X',n) = ^a'i^kOC'iX'u. 

Setzen wir a: --- | für x und ebenso x' -|- |' für x' , so dass 
die I' mit den | in derselben Abhängigkeit stehen, wie die x' 
mit den x^ so erhalten wir, wenn wir zur Abkürzung 

\ (p' {x^) — Ui, \ 0' (x'i) = ll^i 
setzen, durch Vergleichung der Glieder der ersten Dimension 
[§. 18, (12), (13)]: 



§. 62. Quadratische Formen. 209 

(3) 2:|vWv = 2;|;< 

also, wie in §. 61, (3) 

(4) Wfc = i:«WM,. 
Nun ist 

i i 

(5) ujc = 2Jau,iXi, u'k^ Sa'-k^iXi, 

und demnach giebt uns (4) die Transformation von m linearen 
Functionen. Die Coefficienten des transformirten Systems sind 
au,h und des ursprünglichen, die man durch Einsetzen des ersten 
Systems (5) in (4) erhält, 

(6) &,,„=ri:af)a,,,. 
Die Determinante des ersteren Systems 

XI = 27 + ai,i «2, 2 • • • Clm,m 

ist nach §. 61, (4) 

= r Z7 + Oj^l 62,2 • • • ^m, mi 

und nach (6) ist die Determinante der 6^ j, 

= r 2j ^ ttiji 0^2.2 • • • ^m, ?«• 
Wenn wir also 

(7) £r= 2; + «1,1 a2,2 ... am,m 
setzen, so haben wir den wichtigen Satz 

(8) H' = r'K 

Die Determinante H wird die Determinante der Form 
q) (.7;) genannt. 

Sie ändert sich also bei der linearen Transformation der 
Function cp nur um den Factor r^, und sie kann bei der trans- 
formirten Form nicht verschwinden, wenn sie es bei der ursprüng- 
lichen nicht thut. 

Das Verschwinden der Determinante H hat die Be- 
deutung, dass die Function (p(x) sich auffassen lässt 
als eine Function von weniger als m Veränderlichen, 
die lineare Functionen der x sind. 

Denn wenn erstens durch eine lineare Transformation (p (x) 
in die Function 0(x') übergeht, die von einer der Veränderlichen, 
etwa von x\, unabhängig ist, so verschwindet H', da die Elemente 
in einer der Zeilen (und Colonnen) alle verschwinden, und also 
ist wegen (8) auch //= 0. 

Zweitens aber ist // die Determinante des Systems linearer 
Gleichungen 

Weber, Algebra. I. 14 



210 Fünfter Abschnitt. §. 63. 

(9) (p'(Xi) = 0, « = 1, 2 . . . m, 

und wenn diese Determinante verschwindet, so giebt es (§. 27, IV.) 
ein Grössensystem 

(lOj x(^\ a:(o) . . . ä;W, 

dessen Elemente nicht alle verschwinden, und die, für die x ein- 
gesetzt, den Gleichungen (9) genügen. 

Nun hat man aber, wenn a:,-, x'i irgend zwei Grössensysteme 
sind, und A ebenfalls eine willkürliche Grösse bedeutet, die iden- 
tischen Gleichungen 

(11) (p{x -h ^x') = (p(x) + k2:xi(p'{Xi) -|- V-(p{x') 

(fix') = l;2JXi(p'(Xi), 

[§. 18, (12) bis (15j], so dass, wenn für x'i die Werthe xf^ gesetzt 

werden 

a2j (p(xi-^ Xxf^) = cp{x), 

ganz unabhängig von A wird. Wenn wir nun annehmen, es sei 

xf^ von Null verschieden und wir setzen 



;. = 



a;W' 



ferner: 

ri3) 



IJi = x^ xf — x^ x^^'^ 
2/3 = x-^ icW — Xi x^^'^ 



ym= XmX^^'^ — XyX^^^ 

so folgt: 

(14) icWS ^{X) = if (0, ^2- 2/3 •• • !/,n), 

wodurch 9) (a;) durch die m — 1 Veränderlichen 3/2, 2/3 •• • 2/»» ^^S" 
gedrückt ist. 

^. 63. 

Transformation der quadratischen Formen in eine 

Summe von Quadraten. 

Wir machen von dem zuletzt ])e-vNäesenen Satze sogleich eine 
wichtige Anwendung auf die Discriminante der Function (11) 
(als Function zweiten Grades von A betrachtet), wobei nicht 
mehr vorausgesetzt wird, dass die Determinante der Function g? 
verschwindet. Diese Discriminante ist 

(1 j i^{x) = \X Xi (p' (x'ij] -' — 4 ^ (x) cp (x'). 



§. 63. Quadratische Formeu. 211 

Setzen wir in ihr Xi -\- l x'i an Stelle von rCj, so ergiebt sich, 
wenn man für fp{x -\- Ix') den Ausdruck §. 62, (11) substituirt 
und Z x'i (p' (x'i) ^= 2(p(x') setzt, 

woraus hervorgeht, dass ti^) nur von m — 1 linearen Verbin- 
dungen der tn Veränderlichen abhängt. Setzt man für ic'^, x'^... x'm, 
beliebige specielle Werthe, für die (p (x') nicht verschwindet, und 
nimmt x'^ von Null verschieden an, so wird 

also eine Function der m — 1 Veränderlichen 

1)2 ^2 -^l "^l •^2i • • • ym Xm Xx Xy Xni' 

Man kann dies auch dadurch bestätigen, dass 

für Xi, x^ . . . x„i = x'^, x'2 • . ■ x'ni alle zugleich verschwinden, 
dass also die Determinante der Function t^' verschwinden muss. 

Die Formel (1) enthält nun ein sehr wichtiges Resultat, das 
sich am besten übersehen lässt, wenn wir dieser Formel folgende 
Gestalt geben. 

Wir setzen 
.0^ ^{x) = — 4 (jp {x' ) i (//2, . . . ?/,„) 

^^^ Zxicp'(x'i) = 2Vcp{x')Y,, 

und erhalten 

(3) cp(x) = Y{ -\- X (^2, Vz ' • • !/m), 

wodurch (p (x) dargestellt ist als Summe aus einem Quadrat einer 
linearen Function y^ und einer Function % '^on m — 1 Variablen. 
Dabei ist Yi nicht linear ausdrückbar durch 1/2, Vs • > • ym] denn 
für Xi , Xo, . . . x,n = x\, a;',, . . . x'^ werden 2/2, 2/3 •• • ym gleich 
Null, während Yi ^ ]/ q){x')^ also von Null verschieden wird. 

Daraus folgt der wichtige Satz 

Eine quadratische Form von m Veränderlichen 
lässt sich immer darstellen als eine Summe von 
Quadraten von m oder weniger von einander unab- 
hängigen linearen Functionen. 

Dieser Satz ist ofienbar richtig für eine Function von einer 
Variablen, die ja selbst ein Quadrat ist. Aus (3) folgt aber die 
Richtigkeit des Satzes für eine Function von m Veränderlichen, 
wenn seine Richtigkeit für eine Function von m — 1 Veränder- 



lichen vorausgesetzt wird. 



14* 



212 Fünfter Abschnitt §. 64. 

Die Darstellung ist, wie (2) zeigt, auf unendlich viele ver- 
schiedene Arten möglich, da die willkürlichen Grössen x' noch 
in dieser Formel vorkommen. 

Eine Darstellung durch weniger als m Quadrate ist nur dann 
möglich, wenn die Determinante der Function 9) verschwindet. 

Da in dem Ausdruck (2) für Y^ eine Quadratwurzel vor- 
kommt, so kann Yj reell oder imaginär sein, seihst wenn die 
Coefficienten von 95 und die x und x' reell vorausgesetzt werden. 

Setzen wir aher in dem Falle, wo Y^ imaginär ist, i Zj an 
Stelle von 1\, so können wir unseren Satz auch so aussprechen: 

Eine reelle quadratische Form von m Veränder- 
lichen lässt sich als Summe von höchstens m positiven 
oder negativen Quadraten reeller linearer Functionen 
der X darstellen!). 

Zur Yeranschaulichung dieser Betrachtungen mag noch be- 
merkt werden, dass im Sinne der analytischen Geometrie das 
Verschwinden der Determinante der Function 9 bei drei Variablen 
die Bedingung ist, dass der Kegelschnitt 9? = in ein Linien- 
paar zerfällt, und bei vier Variablen, dass die Fläche 95 = in 
einen Kegel übergeht. Die in (1) eingeführte Function t^ stellt, 
gleich Null gesetzt, für vier Variable, den Tangentenkegel der 
Fläche 95 = dar, der seine Spitze im Punkte x' hat. 

§. 64. 
Trägheitsgesetz der quadratischen Formen. 

Für die Zerlegung einer quadratischen Form in Quadrate 
gilt nun der folgende Satz, der von Sylvester den Namen des 
Gesetzes der Trägheit der quadratischen Formen erhalten bat 
(Philos. Mag. 1852). 



^) Für die allgemeine Theorie der linearen Transformation der Forn.en 
zweiten Grades sind ausser den Untersuchungen von Jacobi und Hesse 
(Hesse, „Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes", dritte 
Auflage, besorgt und mit Zusätzen versehen von Gundelfinger, Leipzig 
1876) besonders die Arbeiten von Weierstrass und Kronecker (Monats- 
berichte der Berliner Akademie 1868, 1874) von Bedeutung. Eingehende 
historische Darlegung der Entvrickelung der Frage in dem „Bericht über 
den gegenwärtigen Stand der Invariantentheorie" von Franz Meyer 
(erster Jahresbericht der deutscheu Mathematiker- Vereinigung, Berlin 1892). 



§. 64. Trägheitsgesetz. 213 

Wie man aucli eine reelle quadratische Form g) (x) 
in die Summe von positiven und negativen Quadraten 
linearer Functionen zerlegen mag, die Anzahl der posi- 
tiven und negativen dieser Quadrate, und also auch ihre 
Gesammtzahl, ist immer dieselbe, vorausgesetzt, dass 
zwischen diesen linearen Functionen keine lineare Ab- 
hängigkeit besteht. 

Der Beweis dieses wichtigen Satzes ist sehr einfach. 
Es seien 

(1) cp(x) = Ff + n + . . • Y? - r;2 _ r:? r;? 

= ZI + Z| H Z'^ - Z[^ - Z'i Z3 

zwei Zerlegungen von g? (x) in Quadrate. Es seien also 
Yi, Y.2 . . . Yy, Y\, Y^ . . . Y'y' homogene lineare Functionen von 
ic, zwischen denen keine lineare Rel-ition mit constanten Coeffi- 
cienten besteht und also v -\- v' ^ m; dieselben Voraussetzungen 
werden über die Functionen Z^, Z2 . . . Zu, Z[, Z'2 . . . Z'^t gemacht, 
so dass auch ^ -\- ^' "^ m ist. 
Angenommen, es sei 

dann können wir die Variablen x den linearen Gleichungen 

,^. Ti = 0, r^ = . . . r. = 

^"^ z\ = o, z; = . . . Z'u. = 

unterwerfen, deren Anzahl v -\- ^' kleiner als m ist. ' 

Wenn nun die sämmtlichen Functionen Z^, Z2 . . . Z^ linear 
abhängig wären von den Functionen Y^, Y2... Yy, Z'^, Z'^...Z'u>, 
80 könnte man aus diesen ^ Gleichungen durch Elimination der 
V Variablen Yj, Y2 . . ■ Yy eine lineare Gleichung zwischen den 
Zj, Z-i . . . ZfjL, Z'i . . . Z'a> herleiten, die nach Voraussetzung nicht 
bestehen soll. Es ist also das Verschwinden sämmtlicher 
Zj, Z, . . . Zu nicht eine notliwendige Folge der Gleichungen (2), 
und wir können zu den Gleichungen (2) noch eine nicht homo- 
gene hinzufügen, etwa 

Z, = 1; 
dann haben wir für die m Unbekannten x ein System von m 
oder weniger Gleichungen, die von einander unabhängig sind, 
sich also nicht widersprechen. (§. 29, V). 

Dann ergiebt aber die zweite Darstellung (1) für (p{x) einen 
positiven Werth, während die erste einen negativen oder ver- 



214 Fünfter Abschnitt. §. 65. 

schwiiidendeu Werth giebt, worin ein Widerspruch liegt. Es 
folgt also 

V ^ ,u, 
und da man ebenso schliesst 

^^ V. 

so bleibt nur v = /u, übrig. In gleicher Weise kann man be- 
weisen, dass v' = fi' ist, wodurch unser Satz vollständig be- 
wiesen ist. 

§. 65. 
Transformation von Formen «ten Grades. 

Wenn eine Form wten Grades von m Veränderlichen, F(x), 
durch eine lineare Substitution [§. 61, (1)] transforrairt wird in 
0(x'), so wird gleichzeitig die lineare Function der Veränder- 
lichen li, I2 • • • I»» 

(1) iliF(xi) 

durch dieselbe auf 1, angewandte Substitution in 

(2) ii:-^(^;) 

transformirt, weil beide Ausdrücke den Coefficienten der ersten 
Potenz von t in der Entwickelung von 

nach Potenzen von t darstellen (§. 18). Desgleichen wird die 
quadratische Function 

(3) Z^i^.F'ix^x,) 
in 

(4) Z^-^',0"(Xi,x'u) 
transformirt. 

Wenden wir das erste Resultat auf ein System von m Func- 
tionen F^ (x), F2 (x) . . . F,n (x) von beliebigen Graden an und 
bezeichnen mit z/ die Determinante 

F[ {x^l F[ {X2) . . . Fl (x,n) 
Fo{x,l F^ix,) . . . Fi{Xm) 



während vdr mit z/' die entsprechende, aus den Functionen 
01. 0, . . . 0yn gebildete Determinante bezeichnen, so erhalten 



§. 65. 



Fuuctional-Determinante. 



215 



wir nach §. 61, (4), wenn wir wieder mit r die Substitutions- 
determinante bezeichnen, 
(5) z/' = rz/. 

Die Function z/ heisst die Functional-Determinante 
der m Functionen i^i, F2 . . . Fm- 

Desgleichen erhalten wir aus der Transformation (3), (4), 
wenn wir mit H die Determinante 

T {X^i ^ij, -T (^"25 X^) ... X* [X^i Xffi) 



" \Xmt Xi)^ J: \Xtn^ X^) . . . Jj (Xmi ^mj 

und mit H' die entsprechende Determinante für die transformirte 
Function O bezeichnen, nach §. 62, (8) 
(6) H = r2 H. 

i? heisst die Hesse'sche Determinante 1) der Function 
F. In beiden Formeln (5j und (6) bedeutet r die Substitutions- 
determinante. 

Aus den Formeln (2), (3) (6) ergiebt sich ferner, dass die 
Function 5^ 

Xi 

durch die auf die | und die x gleichzeitig angewandte Substi- 
tution in 

(8) 2; i;- IL O" (A 4) + A r2 2; 1; 1^' 

übergeht, wenn A ein unbestimmter Coefficient ist. Betrachten 
wir also das System von w -j- 1 Variablen |i, I21 • • • Im, A, so 
geht dies durch eine lineare Substitution, die aus §. 61, (1) 
durch Hinzufügung der Gleichung l' z= r^l hervorgeht, und 
deren Determinante 

1 ' 2 ' m 

1 ' 2 ' m 



0, 0, 0, r2 



= r3 



1) Genannt nach Hesse, der in geometrischen Untersuchungen, 
namentlich in der Theorie der Curven dritter Ordnung und in Eliminations- 
problemen diese Determinante vielfach anwandte und ihre Bedeutung 
erkannte. 



216 



Fünfter Abschnitt. 



§. 66. 



ist in das System 1'^, Ig, . . . |;„, l' über und die quadratische 
Form (7j wird dadurch in die quadratische Form (8j transformirt. 
Wenden wir also auf diese Form den Satz §. 62 (8j au, und 
bezeichnen die Hesse' sehe Determinante der Form (7), also 
wenn H' (xi), H' {x^^ . . . H' (x,n) die Ableitungen von H sind, die 
Determinante 



(9) 



F"(xi, x{), F'(x,, X2), . . . F"{xi, Xm), H'(xj) 

M {X^i Xi). H (^25 '''2/1 • • • -t [X^-! X,n), -ti \X2) 
-^ \P^m^ '^IJ^ J- \p^m-> ^2/1 . • • -t! \Xm-i Xmji -ä (^Xf^) 

H'(x,), H'ix^y, H'{x„,\ 



mit C, so besteht die Pielation 

(10) 6" = r^C 

wenn C dieselbe Bedeutung für die transformirte Fiinction ^ 
hat, wie C für F. Eine ähnliche Beziehung ergiebt sich auch, 
wenn man in (9) die H' (xi) durch die Ableitungen F (xi) ersetzt. 
Dann aber geht die Determinante (9) in das Product HF über, 
und wir erhalten also kein neues Resultat. 



§• 66. 
Invarianten und Co Varianten. 

Bei der linearen Transformation der homogenen Functionen 
treten immer gewisse Functionen der Coefficienten auf, die, wenn 
man die Coefficienten der gegebenen Form durch die Coefficienten 
der transformirten Form ersetzt, sich nicht anders ändern, als 
dass sie einen Factor annehmen, der eine Potenz der Substitutions- 
determinante ist. Auch bei gleichzeitiger (simultaner) Trans- 
formation eines Systems von mehreren Formen kommen solche 
Functionen vor, die von den Coefficienten aller Formen des 
Systems abhängen. Solche Functionen sind z. B. bei einem 
System von n linearen Formen die Determinante des 
Systems, und bei einer quadratischen Form die Deter- 
minante dieser Form. 

Man nennt diese Functionen Invarianten der Form, oder 
wenn sie von mehreren Formen abhängen, simultane Inva- 
rianten des Systems, 



§. H6. Invarianten und Covariauteu. 217 

Wenn also I{d) eine Function der Coefücienten a einer 
Form F{x) ist, und wenn a' die Coefficienten der transformirten 
Form 0{x') sind, so heisst I{ci) eine Invariante, wenn die iden- 
tische Relation 

(1) I{a') = y- I(a) 

besteht. Der Exponent A heisst das Gewicht der Invariante. 
Ist dieser Exponent Null, so heisst /eine absolute Invariante. 

Man betrachtet meist nur ganze rationale Invarianten, 
d. h. solche Functionen J, die von den Coefticienten a rational 
abhängen und überdies ganze homogene Functionen von 
ihnen sind. Die simultanen Invarianten sollen in Bezug auf die 
Coefticienten einer jeden der Formen, von denen sie abhängen, 
homogen sein. 

Ausser den Invarianten giebt es auch Functionen, die neben 
den Coefficienten die Variablen selbst noch enthalten, im Uebrigen 
aber dieselben Eigenschaften wie die Invarianten (1), „die In- 
varianteneigenschaft" haben; also, wenn C(x, a) eine solche 
Function ist: 

(2) C(x\a') = r^C(x, a). 

Solche Functionen heissen Covarianten der Form F(x). 
Die Functionaldeterminante ist eine simultane Covariante eines 
Systems von m Functionen und die Hesse'sche Determinante 
einer Function von höherem als dem zweiten Grade, ist eine 
Covariante einer einzelnen Form. Ebenso ist die im vorigen 
Paragraphen betrachtete Function C eine Covariante von F. 
Auch unter den Covarianten betrachtet man vorzugsweise ganze 
rationale und homogene Functionen von x und von a. 

Ist m die Anzahl der Variablen x, n der Grad der Function 
F{x)^ V und fi die Grade von C(x, a) in Bezug auf die x und 
a, so besteht zwischen den Zahlen A, ft, v, m, n die Relation 

(3) w^tt = wA -f- V, 

die man dadurch beweist, dass man den Grad der rechten und 
linken Seite von (2) in Bezug auf die Substitutionscoefficienten 
vergleicht. Die a' sind nämlich in den Substitutionscoefficienten 
vom wten Grade, r vom w^ten Grade, x vom ersten Grade, woraus 
sich (3) ergiebt. Die entsprechende Formel fiir die Invarianten 
erhält man, wenn man v = setzt, wie denn überhaupt die 
Invarianten als specieller Fall der Covarianten betrachtet werden 
können. 



218 Fünfter Abschuitt. §. 67, 

Ein allgemeines Gesetz zur Bildung von Invarianten und 
Covarianten, das wir in den besonderen Fällen des §. 65 schon 
gebraucht haben, wollen wir kurz besprechen. 

Wenn wir nach §. 18, (4) die Function 

F(xi 4- f|j, rr-j -}- f|2 • • • ^m -f- Hm) 
nach Potenzen von t ordnen, so erhalten wir für den Coefficienten 
von P 

«1 H- «2 4- • • • + «m =^ V. 

Wenn wir auf die Variablen | und x gleichzeitig die lineare 
Transformation (1), §. 61 anwenden, so geht Fr{x,^) in 0y (x\^') 
über, was man aus Fy erhält, wenn man gleichzeitig alle Buch- 
staben X, I, a durch x', ^'. a' und F durch ersetzt. 

Daraus folgt: 

I. Betrachtet man Fy{x^ |) als Form rten Grades 
von I und bildet eine Invariante dieser Form, 
deren Coefficienten also noch von den x ab- 
hängen, so erhält man eine Covariante der 
Form F. 

Und da die Variablen x und | derselben Transformation 
unterliegen, so ergiebt sich ebenso: 

II. Bildet man eine Covariante der Function 
Fy{x^ ^) als Function von ^ betrachtet, und er- 
setzt darin die | durch die ^, so erhält man 
eine Covariante der ursprünglichen Function 
F{x). 
Die gleichen Sätze gelten auch für simultane Invarianten 
und Covarianten. 

Von den Functionen Fy{x^ |) gilt der Satz 

(5) F.(^, |) = f;_v(|, a;), 

der sich durch die Vergleichung entsprechender Potenzen von t 

auf beiden Seiten der Identität 

F{X, + ^^1 . . . X,n + t^r.) = t-Fit-'X, -f ^: . • • t-'^m + U) 

ergiebt. 

Die Functionen 



§. 67. 



Binäre Formen. 



219 



werden die Polaren der Function F(x) genannt, und zwar 
heisst Pvix, ^) die vte Polare. Auch von ihnen gilt der Satz 

Der constante Factor n(v) n{n — r) : J7(w) ist zugesetzt, 
damit, wenn die Form F{x) mit den Polynomialcoefficienten 
geschrieben ist, die Functionen Py möglichst einfache Coefficienten 
erhalten. 

Für die binäre Form f{x, y), auf die wir im Folgenden 
diese Definitionen hauptsächlich anwenden werden, ergeben sich 
für die Polaren folgende Ausdrücke: 



^ ^ n(n — 1) 
und allgemein 

n(n — 1) 

dx 



^^f"{x,x) 4- 2^rjf'{x,y) + r}'f"{y,y) , 



(n-t;+l)P,(a:, 1) = 



^^-h^^r-^^ .- 



d'f 



+ ••• + '? 



V »V 



ox'-'^dy ' ' ' 8«/" 

Wenn man zu einem System von Covarianten einer 
Form F wieder Covarianten bildet, so erhält man, wie 
unmittelbar einzusehen ist, Covarianten der ursprüng- 
lichen Form. 

So erhält man z. B. im Falle dreier Variablen, wenn man 
aus den drei in §. 65 betrachteten Formen F, H, C die Func- 
tionaldeterminante bildet, die neue Covariante von F: 

F'{x,\ H'(x,l C'(x,) 
<6) K= F'{x,\n'{x,\ C{x,) 

F'{x,\H'{x,l C'{x,) 

die nach (3) das Gewicht 9 hat, also der Bedingung 

(7) K = r^K 

genügt. 



§. 67. 
Lineare Transformation binärer Formen. 

Eine ganze rationale Function wten Grades von x 

(1) f(x) = ttoX^ -\- ttiX**-'^ -|- «2^""^ ■"!"••• + an-iX -\- ttn 



220 Fünfter Absclinitt. §. 67. 

wird in eine binäre Form verwandelt, wenn man x durch x : y 

ersetzt und mit y^ niultiplicirt: 

(2j f{x, y) = öox" 4- a^x^-^y -^ a^x^'-^y'^ _]_... _^ a«?/"- 

Wenn man die Wurzeln von /(a:) kennt, so kann man /(a;) 
in n lineare Factoren zerlegen: 

(3) f{x) = ao(x — «i) {x — Ka) . . . (a; — «„), 

und daraus ergiebt sich 
(4j f{x, y) = tto {x — «1 y) {x — a^y) . . . {x — a„ y). 

Ersetzt man aber auch «i, «2 • • • ^'n durch Verhältnisse 

«1 : /3i, «2 • /32? • • • «» = /^n, so erhält man 

(5j /(a;, 7j) = ^(a;/3i — y a^) (x ß^ — y a^) . . . (x ßn — y c^n), 

wenn 

ao = Äß^ß2 . . . ßn 
gesetzt wird. 

Für die Factoren von f{x^ y), die uns jetzt öfter begegnen, 
führen wir als Abkürzung das Zeichen ein 
(6) xß^ — ya, = (xß^). 

Ebenso werden wir setzen 
(7 j x^ y.2 — x^yi = {x^ y^), 

worin a^i, y-y und x^^ y-i zwei beliebige Variablenpaare sind. Wenn 
wir die inhomogene Darstellung anwenden, so setzen wir noch 
kürzer 

X — ay = (0, 1). X — a^ = (0, 2), . . . a; — «„ = (0, n) 
^ ^ Uy — u^ = (1, 2), . . . Ui — Kfe = (?, h). 

Machen wir in der Form (2) eine lineare Substitution 

X = ax' -^ ßy' 
(^) y = yx'-{-dy' 

mit der von Null verschiedenen Determinante 

(10) r = ad — ßy, 

so geht die Form f(x, y) in eine Form wten Grades F{x', y') 
über, und es ist 

(11) F{x\ y') = a'ox''^ + a[x'"-^ij' + a'^x'^-^y'^ -\ a^i/'*». 

Die Coefficienten aj,, a\ . . . a'n der transformirten Form er- 
hält man als lineare und homogene Ausdrücke in den Coeffi- 
cienten tto, üi . . . ttn und als homogene Ausdrücke wten Grades 
in den Substitutionscoefficienten a, /3, y, 8. Man erhält so, wenn 
man a;' = 1, t/' = oder ic' = 0, ?/' = 1 setzt, 

(12) c/ö=/(«, r), a'n=f{ß,8). 



§. 67. Binäre Formen. 221 

Die übrigen Coefficienten a! kann man durch die Derivirten 
der Function f {x, y) ausdrücken, z. B. 

ai = /3/'fa)4-ö/'(7), 
was wir nicht weiter ausfüliren. 

Wenn wir auf die beiden Variablenpaare x, y und a^, ßj^ 
gleichzeitig die Transformation (9) anwenden, so erhalten wir 
die linearen Factoren von f(x, y) transformirt, nämlich 

(13) {x'ß-^) = r{xß,), 

wie man aus der Multiplicationsregel der Determinanten oder 
auch durch directes Ausrechnen findet. Diese Factoren {x ßu) 
sind also auch Covarianten von /(ic, i/), freilich aber irratio- 
nale, da sie nicht rational von den Coefficienten von f{x) ab- 
hängen. Ebenso ergiebt sich 

(14) {uHßu) = r{aj,ß^), 

■wonach die Determinanten (uhßu) als irrationale Invarianten 
zu betrachten sind. Wir wollen nun darlegen, wie man daraus 
rationale Invarianten und Covarianten bilden kann. 

Wir betrachten zu diesem Zweck am besten die lineare 
Transformation in der nicht homogenen Gestalt 

n-\ — ^^' -\- ß 

i -l ) X — ,1 s. i 

^ -^ y a; -{- 

und wenden diese auf die Function f{x) in (1) an. Es folgt 
dann, wenn 

F{x') = a'ox'" -f aia;'"-i + aaa;'"-^ H h «'« 

gesetzt wird 

<16) F(x') = {yx'-^8rf{x). 

Diese Gleichung schreiben wir auch so: 

F{x') =(ux'Jr ßr («0 ^ «1 ^ + «2 Ji • • •), 

woraus, wenn man x' = — ö : y, also x = '-o setzt, 

a,r^ = {—yYF(^ y 

oder, wenn «i, «2, . . . «n ebenso von k^, «g? • . . «„ abliängen, wie 
x' von x^ also 

F{x') = a,{x' — «;) ix' — «;) . . .{x' — a'n) 
gesetzt wird, 

(17) r-tto = «ö(y«; + d) (yu, + ö) . . . (y«„ + 8) 
folgt. 



222 Fünfter Abschnitt. §. 67. 

Nun ist nach der Transformation (15) 

r{x' — «i) 



X — C6i = 



(18) (y^' + ^)(r< + ^) 

Wir bilden nun ein Product P aus irgend welchen der 
Factoren 

(0, 1), (0, 2) . . . (0, n) 

(1, 2), (1, 3) ... (w — 1, w), 

jedoch so, dass darin jede der Ziffern 1, 2 ... w im Ganzen 
gleich oft, etwa jumal vorkommt. Der Index 0, d. h. die 
Variable rr, möge vma\ vorkommen, und die Gesammtanzahl der 
Factoren soll q betragen. Es ist dann, da jeder Factor zwei 
Indices enthält, 

(19) v^n^ = 2q. 

Dann ergiebt sich aus (17) und (18), wenn P' aus P durch 
Vertauschung von x^ cci mit x', a'i hervorgeht 

(20) cq^ F = «;' r'»."-9 {y x' + d)^ P. 
Wir bilden nun 

(21) C{x,y,a) = o.l,fZp(^^y 

die Summe genommen über alle Werthe, die man aus P erhält, 
wenn man die Indices 1 , 2 , 3 . . . w auf alle mögliche Arten 
mit einander vertauscht. Diese Summe ist dann eine sym- 
metrische Function der Wurzeln von (1) und lässt sich also als 
ganze rationale Function der Verhältnisse a-^ -.ao, a2:aQ...an'ao 
ausdrücken, so dass kein Glied die |u.te Ordnung übersteigt (§.49). 
Die Function C{x, </, a) ist also eine ganze homogene Function 
von «05 «1 ... o^n von der /it-ten Ordnung und eine ganze homogene 
Function von x^ y von der vten Ordnung. Da sie nach (19), (20) 
der Bedingung 

(22) C{x\ y\ «') = f^ C(x, y, a), 

(23) X = n^ — q, 2X = n^ — v 

genügt, so ist sie eine Covariante und in dem besonderen 
Falle, wo V = ist, eine Invariante. 

Das Gewicht A ist, wie der zweite Ausdruck zeigt, immer 
positiv oder Null, da n^ mindestens gleich v ist. Der äusserste 



§. 68. Binäre cubische Formen. 223 

Werth n^ ^= V oder ?, = kommt nur dann vor, wenn in P 
jeder der Indices 1, 2, 3 . . . n nur mit verbunden vorkommt, 
also P eine Potenz von f(x) selbst ist. 



§. 68. 
Binäre cubiscbe Formen. 

Eine binäre quadratische Form giebt keine anderen in- 
varianten Bildungen als die Discriminante. Mit diesen befassen 
wir uns daher nicht, und gehen gleich zur Betrachtung der 
cubischen Formen 

(1) /(^^ y) — «0 ^^ + «1 ^^ y + «-.' ^ y- + «3 y^ 

über. Hier bilden wir als erste quadratische Covariante die 
Hesse 'sehe Determinante. Wir wollen hier immer die Regel 
befolgen, dass wir die Formen mit ganzzahligen Zahlencoeffi- 
cienten ohne gemeinsamen Factor schreiben. Dann müssen wir 
in der aus den zweiten Ableitungen von (1) gebildeten Deter- 
minante den Factor 4 abwerfen und erhalten als erste Covariante 



oder 

(2) H = A^- -i- Ä,xy -^ Ä,iß, 
wenn zur Abkürzung 

(3) A^ = 9 «0 ttj — «1 «2 

gesetzt ist. 

Die Discriminante dieser quadratischen Form ist eine Inva- 
riante der gegebenen cubischen Form. Sie enthält aber den 
Factor 3 in allen numerischen Coefficienten , und demnach 
setzen wir 

(4) ?>D= ^A,A,- AI, 

und dann stimmt D mit der Discriminante der cubischen 
Form [§. 50, (10)] überein: 

(5) D = a^a^ -\- 18ao«i«2"3 — 4ao«2^ — 4:a'^a^ — 21 a^a.^. 
Eine weitere cubische Covariante erhalten wir, wenn wir die 

Functionaldeterminaute von f(x, y) und H(x, y) bilden: 



224 Fünfter Abschnitt. §. 68. 



(7) Q = 



(6) Q (X, y) = f (X) ir (y) - f {y) H' {x) 

oder 

Stto^^ + '^ci'xxy -f- «2^^ 2AqX -\- A-^y 

ttiX^ -\- ^a^xy -\- Sa^y^, A^x-^-IA^y 

in der sich kein numerischer Factor wegheben lässt. Wir setzen 
die ausgerechneten Coefficienten von xß^ x^y, xy"^, y^, deren Bil- 
dung keine Schwierigkeit macht, der Reihe nach hierher: 

27 «ff »3 — 9 tto «1 «2 4~ 2 af, 
27 a^aia^ — 18 «0^2' ~\~ 3aj-a27 

— 27ao<^2^3 -h 18 «f «3 — 3aia.|, 

— 27 «0 «3' , -|- 9 «i «2 <^3 — 2 a|. 

Das Verhalten von fi^ Z), ^ bei linearer Transformation 
ergiebt sich aus §. 66, (2), (3); sind IF, Z>', Q' die entsprechenden 
Bildungen für eine transformirte Form, so hat man 

(8) H' = r'H, D'=r^D, Q' = r^ Q. 

Die Covarianten können wir benutzen, um die cubische Form 
auf eine Normalform zu transformiren, die zugleich die Lösung 
der cubischen Gleichung giebt. 

Wir wählen die Normalform 

(9) fix, y) = F(|, v) = ^'-h V\ 

worin |, rj lineare Functionen von x, y sind; eine Porm, die, wie 
sich gleich ergeben wird, immer hergestellt werden kann, wenn 
D nicht verschwindet, also die Gleichung f = nicht zwei 
gleiche Wurzeln hat. Die Lösungen von / = ergeben sich 
dann aus den linearen Gleichungen 

14-^=0, I + £7? = 0, I + f2^ = 0, 

worin £ eine imaginäre dritte Einheitswurzel ist. 

Um für die Normalform (9) die Formen H\ D\ Q' zu bilden, 
haben wir a'o = «3 = 1, «1 = «2 = zu setzen und erhalten 
H' = 9^ru U = - 27, Q' = 27 (^^ _ ^3). 

Wenn die Normalform (9) durch lineare Transformation aus 
der allgemeinen Form f(x, y) abgeleitet ist, so ergiebt sich 
nach (8) 

(10) -^'- '-^^ 

27(|3_,j3) = ^3(^ 

1^ + ^^=/ 



§. 68. Binäre cubische Formen. 225 

Daraus folgt 



also, wean für r^ aus der ersten Gleichung der Werth 9 : V — 3 B 
gesetzt wird, 

woraus | und r] durch zwei Cubikwurzeln bestimmt sind, von 
denen nach der ersten Gleichung (10) die eine durch die andere 
ausgedrückt werden kann. 

Darin liegt auch der Beweis, dass, wenn D von Null ver- 
schieden ist, die Normalform durch lineare Transformation her- 
gestellt werden kann. Denn unter dieser Voraussetzung zerfällt 
H in zwei von einander verschiedene lineare Factoren, und wenn 
man diese, von constanten Factoren abgesehen, für die neuen 
Variablen |, r] einer linearen Transformation wählt, so wird 
.40=0, ^2 = 0; es folgt aber aus den identischen Relationen 
3 as J.0 + «1 A^ = «., J., , «2 ^0 + 3 ao A, = a^ J.i, 

wenn nicht zugleich Ä^ = 0, was durch das nicht verschwindende 
D ausgeschlossen ist; a'i =; 0, a'^ = 0, d. h. die transformirte 
Form von / enthält nur die Guben von | und t]. 

Eliminirt man |, ?/, r aus den Gleichungen (10), so erhält man 
zwischen den Covarianten folgende identische Relation 
(12) 4//:' -f- g2 _|_ 27 i>/2 = 0. 

Um die Transformation in die Normalform auszuführen, d. b. 
die Functionen |, y] wirklich zu finden, zerlegt man die Function 
H in ihre linearen Factoren 



4 A E=(2A,x-\-A,y^y- 3 Dy) i^2A,x-^ A, y — ]/- SDy). 

Dann unterscheiden sich |, rj von diesen beiden Factoren von H 
nur um je einen constanten Factor. Wir setzen also, wenn wir 
zwei constante Factoren mit 7i, k bezeichnen, 

. 2| = k(2A,x-^A,y — V-3D y) 

2r]= ]c(2A,x-{^A,y-^y-3Dyl 
woraus sich durch Multiplication mit Rücksicht auf die beiden 
ersten Gleichungen (10) ergiebt: 

(14) ShkAof^^ =1, 

Weber, Algebra. I. 15 



3 



226 Fünfter Abschnitt. §. 69. 

und die Gleichungen (11) geben durch Vergleichung der Coeffi- 
cienten von x/^ 

wo qt, der Coefficient von xJ in Q. also 

(16) qo = 27 «•- as — 9 öo «1 tta + 2 af 

ist. 

Dass die Vorzeichen von V— S JD mit Rücksicht auf die 
Vorzeichen in (11) so zu nehmen sind, wie es in den Formeln 
(13; geschehen ist. ergiebt sich am einfachsten, wenn man die 
Rechnung für den besonderen Fall «o = 0, a-^ = durchführt, 
in dem die Vergleichung von (11) mit (13j die Identität 
{a^x — aa.ij)'^ = afx^ — Saa^a^x^y -f Ss^a^a^-xy^ — a^y 
ergiebt. wenn a eine imaginäre dritte Einheitswurzel ist. 



§• 69. 
Das volle Formensystem der binären cubischen Form. 

Wir wollen noch nachweisen, dass die Invarianten und 
Covarianten der cubischen Form durch die Functionen D,/, Ä Q 
erschöpft sind, d. h. dass sich alle Invarianten und Covarianten 
einer cubischen Form rational durch diese vier Formen aus- 
drücken lassen. 

Sei also 

C = C(x, y, a) 

eine Covariante vom Grade v in den Variablen und vom Grade 
fi in den Coefficienten, von der wir voraussetzen wollen, dass sie 
nur ganzzahlige numerische Coefficienten hat. 

Es ist dann für irgend eine transformirte Form [§. 66. (2), (3)] 

(Ij 6"= C{lyi,a') =r'C(x,y, a), 



m 



3 u — V 



2 

Wir verstehen jetzt unter |, ?; die Variablen unserer oben 
betrachteten Normalform. Bezeichnet dann a eine dritte Einheits- 
wurzel, so ist 

^ = a^\ 7] = a^r}' 

eine lineare Substitution mit der Determinante 1, durch die die 
!Normalform S. 68, (9) in sich selbst übergeht. Es folgt also, 



§. 69. Das volle Formensystem der cubischen Form. 227 

dass sich C nicht ändern kann, wenn ^, ri durch a |, e^t] ersetzt 
werden; es kann also C nur von 1?^, ^^, t}^ rational abhängen. 
Die Vertauschung von | mit rj entspricht einer Substitution 
mit der Determinante — 1 ; dadurch bleibt also C ungeändert 
oder ändert sein Zeichen, je nachdem X gerade oder ungerade 
ist. Es besteht daher C aus einer Summe von Gliedern der Form 

worin 31 ein ganzzahliger Factor ist (da wir die numerischen 
Coefficienten in C und also auch in C als ganze Zahlen voraus- 
gesetzt haben), und das obere oder untere Zeichen gilt, je nach- 
dem A gerade oder ungerade ist. Im letzteren Falle ist dieser 
Ausdruck durch ^^ — j^s theilbar und der Quotient ist durch 
|3 _j_ -^3 und ^Tj rational und ganzzahlig ausdrückbar (weil eine 
symmetrische Function von zwei Grössen so durch die Summe 
und das Product dargestellt werden kann). Setzen wir also r = 
oder = 1, je nachdem A gerade oder ungerade ist, so ergiebt 
sich für C" ein Ausdruck von der Form 

C" (I, ri) = (|3 _ rj^y 2:31a nY a' + v'Y. 

worin die 31 ganzzahlige Coefficienten sind und a, ß eine Reihe 
positiver ganzer Zahlen durchlaufen, die der Bedingung 

(3) 3r-\-3ß^2tt = v 

genügen. Aus (1) ergiebt sich also, wenn wir mit einer hinläng- 
lich hohen Potenz von 3 multipliciren und |jj, |''' -j- ?2^ 1^ — 'rj^ 

nach §. 68, (10) durch H, /, Q, und /• durch i)~ü ausdrücken, 

(4) 3"C = Q'IJMD'^H^f, 
worin 

(5) 6 y = A — 3 r — 2 «, 

und worin die M gleichfalls ganzzahlige Factoren sind. 

Zu jedem Werth von y gehört nach (5) ein bestimmter 
Werth von a, und nach (3) ein bestimmter Werth von ß; ebenso 
sind durch einen Werth von cc oder von ß jedesmal die beiden 
übrigen Zahlen bestimmt, so dass in (4) jeder Exponent von 
D, H oder / nur einmal vorkommt. 

Dass y eine ganze Zahl ist, folgt leicht aus f2), (3), (5); 
denn da nach der Definition A — 3 t eine gerade Zahl ist , so 
ist zunächst 3 y eine ganze Zahl, und da ferner nach (2) und (3) 

A-2«=| (u -0. + 2/3 + 2r), 

15* 



228 Fünfter Abschnitt, §, C9. 

SO ist 6y und mithin Sy durch 3 theilbar. Hieraus folgt, dass 

auch ö eine ganze Zahl ist. 

Dass aber y auch positiv sein muss, sehen wir so ein: 
Angenommen, auf der rechten Seite von (4) kommen auch 

negative Potenzen vonD vor, so multipliciren wir diese Gleichung 

beiderseits mit einer so hohen Potenz von Z), dass rechts keine 

negativen Potenzen von D mehr auftreten, dass aber auch die 

rechte Seite nicht den Factor D erhält. Setzen wir in der so 

gewonnenen Gleichung 

(6) üo = 0, «1 = 1, «2 = 0, «3 = 0, 

so wird 

(7j D = 0, H=—x'-, f=xßy, Q = 2x\ 

Es würde also die linke Seite verschwinden, während die rechte 
Seite nicht verschwindet, worin ein Widerspruch liegt. 

^Yir können aber endlich auch noch beweisen, dass auf der 
linken Seite von (4) keine Potenz von 3 auftreten kann, die 
nicht in allen Factoren M enthalten ist, und sich also fort- 
heben lässt. 

Wir haben im §. 2 den Satz bewiesen, dass das Product 
zweier primitiver ganzer rationaler Functionen von beliebigen 
Variablen wieder eine primitive Function ist. Dabei ist unter 
einer primitiven Function eine solche verstanden , deren Coeffi- 
cienten ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler sind. Es handelt 
sich nun hier darum, nachzuweisen, dass eine Summe der Form 

worin die M ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler sind, nicht 
imprimitiv werden, und speciell den Factor 3 erhalten kann, 
wenn für Q^ D^ H^ f ihre Ausdrücke in den a, ic, y gesetzt 
werden. Nach dem erwähnten Satze genügt es, da Q eine primi- 
tive Function ist, dies nachzuweisen für die Form 

Hierin können wir überdies alle Glieder weglassen, deren M 
den Factor 3 schon hat, und endlich können wir wieder nach 
dem erwähnten Satze annehmen, dass der Ausdruck nicht durch 
D theilbar sei, dass er also ein Glied mit y = enthält. 
Nehmen wir also an, es habe unter diesen Voraussetzungen der 
entwickelte Ausdruck (8j den Theiler 3, und substituiren nun die 
besonderen Werthe (6), (7), d. h. setzen wir D = 0, H z= — a:^, 



§. 70. 



Biquadratische Formen. 



229 



f = x^y^ so reducirt sich der Ausdruck auf das einzige Glied, 
iu dem y = 0, 2« = A ist, 

und es würde also folgen, dass dies JSI den Theiler 3 haben 
müsste, was gegen die Voraussetzung ist. Damit ist also be- 
wiesen: 

Jede ganzzahlige Covariante der cubischen Form 
kann ganz und rational und mit ganzzahligen Coeffi- 
cienten M dargestellt werden durch einen der beiden 
Ausdrücke 

Z MÜ^ H"f\ Q2J3ID'^H" f. 

Die Invarianten sind als Specialfall unter den Covarianten 
enthalten und sind sämmtlich Potenzen von D. 



§. 70. 
Biquadratische Formen. 

Wir gehen nun zur Betrachtung der biquadratischen Form 
(X) f(^^ y) = «0 X* + «1 x^ y 4- «2 x^ %f 4- «3 X Iß 4- «4 %ß 
über. 

Wir haben zunächst die Hesse' sehe Determinante als Cova- 
riante vierter Ordnung, die wir, um sie von einem Zahlenfactor 
zu befreien, durch 3 theilen: 

.„ jT 1 \\2aQX'^-\-%aixy-\-1a.iy^, ^aiX--\-A:a^xy-\- ^a^y^\ 

3 j 3aia;2-|-4a2^y + 3a3?/2, 2a<iX^-{-QaiXy-\-\2aiy^\ 
oder 

H= Aox* + A.x-^y + A^x^y^ ^ A,xy^ -]- Ä,tß, 
worin 

^0=8 «u «2 — 3 af , A^ = 8 «2 «4 — 3 «3^ 
Ai = 24 Oq «3 — 4 a^ «2, A^ = 24 % «4 — 4 rtg «35 
A2 = 48 «0 «4 + 6 «1 «3 — 4 a|, 
und eine Covariante sechsten Grades 



(3) 



T = 



12 



Die Invarianten der biquadratischen Form bilden wir am 
einfachsten nach §. 67 aus den Wurzeldifferenzen, 



230 Fünfter Abschnitt. §. 70. 

Wir erhalten so eine Invariante von der zweiten und eine 
von der dritten Ordnung in den Coefficienten : 

(4) Ä = 1«,^ [(12)^34)^ + (13)H24)^ + (14)^23)-'], 

(5) 5 = a,^2;(12)n34)2(13)(42), 

Ausdrücke, die sich übersichtlicher schreiben lassen, wenn man 

(6) U= (12) (34), r = (13) (42), W = (14) (23) 
setzt, nämlich 

(7) B= a^\ü\r—W)-i-V'(W-ü)^W\U—V)] 

= ai{W—V)(ü — W)(V-U). 

Zur Berechnung dieser Grössen sind die nöthigen Formeln 
schon in §. 52 entwickelt. Nach den dortigen Formeln (10) 
ergiebt sich 

(8) ü" = v2 — ?f2, V = tV^ — u\ W = u^ — v% 
und II-, v% lü- sind die Wurzeln der cubischen Resolvente 

(9) ^3 _u 2a^2 _^ («2 — 4c)^ — &2 _ 0. 

Die Ausdrücke für yl, B ergeben sich nun aus der Be- 
merkung, dass die drei Grössen 

y^ = ao{ V— W) = «0 (u^ + ^^ + «t^^ — 3 w2) 

(10) ^2 = «0 ( W— ü) = «0 (W2 + f2 -^ |(;2 _ 3 v2) 

y^ = ao(U — V) = tto (m2 + -ys -^ t(;2 _ 3 1(,2) 
wegen (7) und (8) die Wurzeln der cubischen Gleichung 

(11) i/3 — SÄy -f 5 = 

sind. Die Gleichung (11) muss also aus (9) durch die Substi- 
tution 

2/ = — «0 (2 « + 3 z) 

hervorgehen, und es ergiebt sich daraus 

A = a^{a^ -^ 12 c) 
B = a,f(2a3 _ nac ^ 21b'-), 

und durch die Coefficienten üq, a^, a^, ci-^, a^ ausgedrückt: 

(12) A = «,' — 3 «1 «3 -f- 12 «0 «4 

(13) B = 21 «2 a^ J^ 27 «o «| + 2 a^ — 72 a^ a^ a^ — 9 a, a^ a., 
so dass Ä, B dieselbe Bedeutung haben, wie in §. 52. 

Auch die Discriminante der biquadratischen Gleichung als 
eine dritte, aber von Ä und B abhängige Invariante 



§. 71. Biquadratische Gleichungen. 231 

(14) B = al f7' F' W- 

haben wir an der erwähnten Stelle schon gebildet und gefunden 

(15) 21I) = ^A^ — B\ 

Nach der Formel des §. 67, 2X = n/i* — v, erhalten wir 
für die bis jetzt gefundenen invarianten Bildungen, die wir für 
eine transformirte Form mit Accenten bezeichnen, folgende Re- 
lationen 

^ A' = r^Ä, B' = r^B, B' = r^'-B. 



§. 71. 
Auflösung der biquadratischen Gleichung. 

Wir wollen eine Normalform durch eine lineare Substitution 
mit der Determinante 1 herstellen, zu deren Ableitung wird die 
gegebene biquadratische Form in lineare Factoren zerlegt an- 
nehmen : 

(1) /(^> y) = «0 {x — ay) {x — ßy){x — yy){x — d y). 
Wir setzen 



xYa — ß = ß^ — at], ^ ^ ^ 

also 



(3) 



X — c/.y = — y « — ß ^ 
X — ßy = — \'a — ßy] 
(x — y y)Vu — ß = {ß — y) ^ — {u — y)r] 



(x - dy)ya - ß = (ß - d) ^ - {a - d) rj, 
und dadurch geht f(x, y) über in 

(4) F(|, rj) = a[ r^ V-{-ci'J^-n' + «'3 ^ V'. 
und die Invarianten für diese Form sind 

A' = Ä = a'^ — 3 a\ a'3, 

(5) B' = B =^2 aj — 9 a\ a[, a'3, 

B' = B = a'l a'l a'i — 4 a'f a'i. 

Die Coefficienten a\ , «3, a'^ sind nach (3) leicht durch die «, ß, y, ö 
auszudrücken : 



232 Fünfter Abschnitt. §. 71. 

a\ = a, (ß - y) (ß - ö) 

(6) a'g = «0 (« — y) (« — d) 

«; = - «o[(« -y)iß - ö) -f- (« _ ö) (/3 - y)] 
Durch Vertauschung der Wurzeln können wir die Normal- 
form (4) auf sechs verschiedene Arten herstellen, die aber nur 
drei verschiedene Werthe von a[, liefern. Diese drei Werthe 
sind, wenn wie oben 

U=(a - ß) (7- ö), 

(7) V = (a- y) (ö - ß), 

W= (« - ö) iß - y), 

gesetzt wird, 

< ^cioiV - W), 

(8) < ^ao(W-U), 

al'=ao(ü - V). 

Kennt man die a'g, a^, a'^", so kann man auch die C/, V, W 

bestimmen durch 

'dtto U = al' — al 

(9) 3 ao F = a; — a'^ 

3 «0 W= a'l — «2, 

woraus hervorgeht, dass, wenn von den drei Grössen a'g, a'g, a'J' 
zwei einander gleich sind, eine der Grössen Z7, F, W ver- 
schwindet, also zwei der Wurzeln der biquadratischen Gleichung 
einander gleich sind, und folglich ihre Discriminante verschwindet. 

Setzen wir noch 

«/3 -|- yd = u, 

(10) ay^8ß = v, 

ad ^ ßy = tv, 
so ist 

ao(u -\- V -\- tv) = «2, 
[die Summe der Producte der Wurzeln yonf(x,y) zu je zweien], 

ü = V IV, 

F = if — w, 

W= u — V, 
also 

3 «0 w = «2 — ^''2 1 

(11) 3ao^" = «2 — ^'21 

3 «0 ^«^ = »2 — ^''2* 



§. 72. Covarianteu. ^ 233 

Es sind also mit den Grössen a'g, a'^, a"^ zugleich die u,v,w 
bekannt. Wenn man aber die Grössen m, v, tv kennt, so ist 
die Lösung der biquadratischen Gleichung auf Quadratwurzeln 
zurückgeführt. Denn es ist 

a ß -^ yd ^= u, aoK ß .y d = «4 
und daraus 



2aß =z u -\- W — -, 2yd=u— W — -• 

Y Clfi ¥ CIq 

Da man nun ebenso die Producte 

«7, «ö, ßy, ßd 
bestimmen kann, so kann daraus «2 etwa aus 

aß . ay 

berechnet werden. 

Die Grössen a'g, a'J, a'^' sind aber, wie wir schon im vorigen 
Paragraphen gesehen haben, die Wurzeln der cubischen Gleichung 

(12) 2^ — SÄ2 -^ B = 0. 

Dies ist wohl die einfachste Form, die man der cubischen 
Resolvente der biquadratischen Gleichung geben kann. 



§. 72. 
Die Covarianten. 

Wenn w^r die Covariante H, nach §. 70, (2) für die trans- 
formirte Form 

(1) /(^, y) = F(|, rj) = a\ ^^'f} + a', t'V' + < ^V 
bilden, so erhalten wir 

(2) —H= 3a;2|4_|. 4a\aJ-^r] - (Ga'.a', — 4a'|)|2^2 

+ 4a>'3|7^•^ + 3a'|7;^ 
und daraus folgt 

(3) ^ + 4 a,/ = - 3 « |2 _ «; ^2)2. 

Es ist also diese Verbindung, von dem Factor — 3 ab- 
gesehen, das Quadrat einer quadratischen Form, und dasselbe 
gilt, wenn wir a'^ durch a'g, a^' ersetzen. Wir setzen also zur 
Abkürzung 



234 ■ Fünfter Abschnitt. §. 72. 

(4) H^ 4.alf = — Zi^l 

Von den drei Functionen i^, t^gi ^'s können keine zwei 
einen gemeinschaftlichen Theiler haben, wenn die 
Discriminante B von Null verschieden vorausgesetzt wird. Denn 
dann sind auch die drei Grössen a\, a'ö, a'.^ von einander ver- 
schieden, "Wenn also t/^i und i>2 verschwinden, so müssen H und 
/ verschwinden, d. h. ein gemeinsamer Theiler von tpi und ipj 
müsste gemeinsamer Theiler von H und / sein. Nun war aber | 
ein beliebiger Lineartheiler von /. Dieser kann nach (2) nur 
dann Theiler von H sein, wenn a'g =0 ist, also wieder, wenn 
die Discriminante D verschwindet [§. 71, (5)]. 

Nun ist die Functionaldeterminante T von / und H identisch 
mit der Functionaldeterminante von / und H -j- A/, was auch 
X sein mag, und daraus ergiebt sich, wenn A = Aa'^ gesetzt 
wird : 

T=-ltdF' m ^\ in) - F' {ri) i,\ (I)]. 

Es ist also T theilbar durch ^j, und aus gleichen Gründen 
durch i/.'2 und 1/^3, und folglich ist T bis auf einen von |, ?j un- 
abhängigen Factor identisch mit dem Product \p^ tp-j ip-^. 

Bilden wir demnach das Product der drei Gleichungen (4), 
so folgt mit Rücksicht auf die cubische Gleichung §. 71, (12), 
der die Grössen a'2, a'^, a"^ genügen: 

H^ — ASÄHf — UBf = cT\ 

wo c eine noch zu bestimmende Constante ist. Nach §. 70, (16) 
bleibt c bei einer linearen Transformation ungeändert, und man 
findet also seinen Werth, wenn man aus der Normalform (1), (2) 
die Glieder mit der höchsten Potenz von ^ beiderseits einander 
gleich setzt, c = — 27. 

Wir haben also zwischen den Invarianten und Covarianten 
die folgende identische Relation 

(5) ^' — 48 ^ Hf — 64 Bf = — 27 T\ 

Die Functionen ijj^, ip2, 1/^3 sind gleichfalls Covarianten, frei- 
lich mit Coefficienten, die in den Coefficienten von / nicht ratio- 
nal sind. Wir können sie leicht durch die Wurzeln a, /3, y, d 
von f ■= ausdrücken. Setzt man zur Vereinfachung ^ = 1, 
so folgt nach §. 71, (3j und (6) 



§. 72. Covarianten. 235 

^1 = «1 1"^ — a'sV' 
_ ^, (^ _ y) (/3 _ g) (^ _ ay. -(a-y) {g - 8) {x - ß)^ 
- "° ^T^^ 

Darin aber lässt sich a — ß im Zähler und Nenner weg- 
heben, und man kann tlf-^ in zwei Formen darstellen; um ip^ ^^^ 
1/^3 zu erhalten, braucht man dann nur /3, 7, d cyklisch zu ver- 
tauschen. 

Man findet so: 

^' = (y — ß) (x — k) (x — 8) — (K — 8) (X — ß) (X — y) 
= (8 - ß)(x - a) (x — y) — (« - y) (x - ß) (x - 8) 



«0 



(6) ^ = (8 - y) (X - «) (x-ß)- (« - ß)(x- y) {x - 8) 

= iß — 7) {x — «) (^ — ^) — (« — ö) {x — y) {x — ß) 

^ = {ß-8){x-a)(x-y)-(a- y) (x - 8) (x - ß) 

' ^(y -8)(x- a) (x — ß) — (a- ß) {x - 8) {x - y). 

Die Grössen ^j-, i/;.|, t^| kann man auflassen als die Wurzeln 
einer cubischen Gleichung, deren Coefficienten Covarianten sind. 
Man erhält diese Gleichung leicht aus (4) in der Form 

Diese Gleichung ergiebt nach §.71, (12) und mit Benutzung 
des Ausdruckes (5) für T^ 

(7) z"^ -Y B.z'^ ^ \{R^ — \^i Af) z — T- = 0. 

Es ist noch von Interesse, die Discriminante dieser Gleichung 
zu bilden. Man erhält sie am einfachsten aus dem Ausdruck 

wenn man die Ausdrücke (4) einsetzt und dann für (a, — a'^)^ 
(«; — a'gV (a'g — a'^)^ die Discrimhiante der Gleichung §. 71, (12) 

27 (4 A' — B^) = S'D 

setzt, wo dann D die Discriminante von / ist. Man erhält so 

(8) z/= 2^^Df. 



236 Fünfter Abschnitt. §. 73. 

§. 73. 

Das volle Invariantensystem der binären 
biquadratischen Form. 

Wir wollen noch beweisen, dass mit den Bildungen Ä^ B 
das System der unabhängigen Invarianten der binären, biquadra- 
tiscben Form erschöpft ist. Während man sich aber gewöhnlich 
mit dem Nachweis begnügt, dass jede Invariante eine ganze ratio- 
nale Function von A^ JB ist, wollen wir, wie wir es schon in 
§. 69 für die Covarianten der cubischen Form gethan haben, 
auch die Frage nach den numerischen Coefficienten berühren, 
und hier zeigt sich eine neue Erscheinung. 

Die Invariante D z. B. ist zwar nach §. 70, (15) rational 
durch J., B ausgedrückt. Aber die Zahlencoefficienten sind nicht 
ganze Zahlen, sondern haben den Nenner 27, obwohl die Coeffi- 
cienten in der entwickelten Function B alle ganze Zahlen sind. 

Wir betrachten also jetzt als ganze Invarianten ganze 
rationale homogene Functionen ;iiten Grades der fünf Veränder- 
lichen «ü, «1, «2? ^35 ^4 

(1) /(«O, «1, «2r «31 «4) = I{tt)^ 

deren Coefficienten ganze Zahlen sind, und denen die Inva- 
rianteneigenschaft 

(2) /' = r2."I 

zukommt, wenn T oder I(a') dieselbe Function der Coefficienten 
einer transformirten Function ist. 

Solche Invarianten sind J., 5, Z), zwischen denen die Rela- 
tion besteht: 

(3) 27 D= 4.4' — B\ 

und unser Ziel ist, zu beweisen, dass alle ganzen Invarianten 
ganze und ganzzahlige rationale Functionen von diesen dreien 
sind. 

Wenn wir die Function I' in der Xormalforra (4) des §.71 
bilden, so erhalten wir zunächst aus (2), da r = 1 ist, 

I(a) = I (0, a'j, «2, «3, 0), 

und diese Function I kann nur von «^ und dem Product a[ a'g 
abhängen; denn die Substitution 



§. 73. Das volle In variantensystem. 237 

deren Determinante = 1 ist, lässt die Normalform §.71, (4) und 
in ihr a', ungeändert, während a'^, a'^ in A^a'^, a'^: A- übergehen, 
und darin ist A eine willkürliche Grösse. 
Wenn wir also 

setzen, so ist 

(4) 1=9? (a'i a'g, ^r), 

wenn ^p eine ganze, rationale, ganzzahlige Function der beiden 
Argumente a\ a'^ und 2 ist. 

Nun ist aber nach §.71, (5) 

3 a[ a'3 = £^- — Ä, 

und wenn wir also (4) mit einer geeigneten Potenz von 3, etwa 
3'', multipliciren, so erhalten wir 

(5) S'I=i<(Ä,2), 

worin i) wieder eine ganzzahlige Function von Ä und s ist. 
Nach §. 71, (12) ist aber 

und hiernach können wir alle höheren Potenzen von 2 durch 
die erste und zweite ausdrücken, erhalten also 

(6) ri=x(AB^,), 

worin x in Bezug auf s höchstens vom zweiten Grade ist. 

Die linke Seite von (6) l)leibt aber ungeändert, wenn £ 
durch «2, ög, a'g', also durch drei verschiedene Werthe, ersetzt 
wird, und folglich kann die Function % cüß Variable z überhaupt 
nicht mehr enthalten (§. 33, II). 

Es ist daher 

worin % eine ganzzahlige, ganze, rationale Function ist. 
Wenn wir in (7) nach (3) 

B- = Aä' — 21D 

setzen, so folgt, dass (7j eine der beiden folgenden Formen hat 

(8) 3^ 7 = ^ (Ä, D\ B {A, D), 

je nachdem der Grad von / gerade oder ungerade ist. 



238 Fünfter Abschnitt. §. 73. 

Ist / eine ursprüngliche Function der a, d. h. eine 
solche, deren Zahlencoefficienten keinen gemeinsamen Theiler 
haben, so können die Coefficienten der Functionen jedenfalls 
keinen anderen gemeinschaftlichen Theiler haben, als eine Potenz 
von 3. 

Was uns zu beweisen oljliegt, ist, dass sie alle durch 
3' theilbar sind, oder was dasselbe ist, dass, wenn wir 
0(Ä, I)) als ursprüngliche Function voraussetzen, v = 
sein muss. 

Es ist also die Frage: Können aus der ursprünglichen 
Function Q (Ä, D) oder B O {A^ I)) Functionen mit dem Theiler 
3 entstehen, wenn man die A. B. D durch ihre Ausdrücke in 
den a ersetzt? Da B ursprünglich ist, so kann nach §. 2 die 
in den a ausgedrückte Function £ ( J. , D) nur dann den 
Theiler 3 haben, wenn ihn ^(J., B) hat. 

Also ist die Frage darauf zurückgeführt: Kann die ur- 
sprüngliche Function ^(A.D), den Theiler 3 erhalten, wenn 
A, B durch ihre Ausdrücke ersetzt werden? 

Dass diese Frage verneint werden muss, können wir leicht 
so einsehen. ^Yir denken uns zunächst in O (A, B) alle die 
Glieder beseitigt, deren Coefficienten durch 3 theilbar sind; 
denn offenbar müssen auch die übrigen Glieder noch dieselbe 
Eigenschaft behalten, durch Substitution der Ausdrücke für 
A, B den Theiler 3 zu erhalten. 

Wir können zweitens annehmen, dass '^{A, B) nicht den 
Factor B hat. denn durch Weglassen dieses Factors würde nach 
dem schon erwähnten Satze (§. 2) die fragliche Eigenschaft nicht 
aufgehoben. 

Dann aber müsste aus {A, B) eine durch 3 theilbare 
Zahl entstehen, wenn alle a. mit Ausnahme von «21 gleich Null, 
a.2 = l gesetzt werden. Dadurch wird B ^= Q . A = 1 , und es 
müsste also C»ri. Oj eine durch 3 theilbare Zahl sein; dies ist 
aber der Coefhcient der höchsten Potenz von A in (A^ B), der 
nach Voraussetzung nicht durch 3 theilbar ist. Damit haben wir 
also bewiesen: 

Jede ganzzahlige Invariante der biquadratischen 

Form lässt sich rational und ganzzahlig durch 

A, J5, B darstellen, und zwar in einer der beiden 

Formen 

(A, D), B O (A, B). 



§. 73. Das volle Invariantensystem.- 239 

Dass auch umgekehrt jeder solche Ausdruck, wenn er in 
den Coefficienten a homogen ist, eine ganzzahlige Invariante 
darstellt, ist von selbst klar^). 



^) Die Theorie der Invarianten findet man ausführlicli dargestellt in 
den Werken: Clebscli, „Theorie der binären algebraischen Formen". 
Leipzig 1872. Faä di Bruno, „Einleitung in die Theorie der binären 
Formen". Deutsch von Walter. Leipzig 1881. P. Gordan, „Vorlesungen 
über Invariantentheorie", herausgegeben von Kerschensteiner , Leipzig 
1885. Vergl. auch Franz Meyer, „Bericht über den gegenwärtigen Stand 
der Invariantentheorie" im Jahresbericht der deutschen Mathematiker- 
Vereinigung 1890/91 (Berlin 1892). In Bezug auf die zuletzt behandelte 
Frage s. H. Weber, „Zur Invariantentheorie". Göttinger Nachrichten 1893. 



Sechster Abschnitt. 
Tschirnhausen-Transformation. 



§. 7.4. 

Die Hermite'sche Form der Tschirnhausen- 
Transformation. 

Wir haben im vierten Abschnitt den Grundgedanken der 
Tschirnhausen-Transformation schon kennen gelernt. 

Die Aufgabe war die, eine algebraische Gleichung wten 
Grades 

(1) f{x) = «0 a;" -f- «1 ic"— 1 + • • • + cin-i a; -j- a*» = 
durch eine Substitution {n — Ijten Grades 

(2) y = «,j -\- Kl X -{- a.2 x^ -\- • ' • -\- a„_ia;"— ^ 

umzuformen, um in den willkürlichen Coefficienten a Mittel zu 
gewinnen, die Gleichung zu vereinfachen. 

Hermite hat dadurch, dass er der Substitution (2) eine 
besondere Form gab, diese Aufgabe sehr vereinfacht und mit 
der Invariantentheorie in Verbindung gebracht i). 

Hermite benutzt dabei die Functionen /o, /i, /^ . . ./n— i, 
die uns schon früher beim Eliminationsproblem gute Dienste 
geleistet haben, durch die sich die Potenzen von x bis zur 
(n — l)ten rational ausdrücken lassen. 

Wir bezeichnen hier mit x eine Wurzel der Gleichung (1), 
■während unter t eine unbestimmte Veränderliche verstanden sein 
soll. Dann ist (wie im §. 4 und §. 46) 



1) Hermite, Sur quelques theoremes d'algöbre et la resolution de 
l'equation du quatrieme degre, aus den Comptes rendus der Pariser Aka- 
demie besonders erschienen. Paris 1859. 



§. 74. Hermite'sche Form d. Tschirnhausen-Transformation. 241 

(3) r^ = ^"~ Vo (^) + ^"" Vi (^) + • • • + tfn_,{x) 4- /„_, (o;), 

und 

/o(a:) = «0 

(4) /ä (iC) = flo ^^ "h «1 ^ + ^2 

fn-i(x) = ttoX"--" + aia;"-2 + «a^^-s -^ ^ a^-i 

Wir nehmen nun die Substitution (2) in der Form an 

(5) y = tn-ifo (X) + tn-oji (X) -\ [- ti /„_2 (x) -j- f^/n-l (x), 

worin die ^„_i, 4i_2 • . . ^i, ^o die ^^ Stelle der a getretenen 
unbestimmten Grössen, und nicht mit den Potenzen von t zu 
verwechseln sind. Es geht aber y aus dem Ausdruck (3) 
hervor, wenn f' durchs ersetzt wird. 

Bezeichnen wir durch das vor eine Function gesetzte Zeichen 
S, dass die Summe über sämmtliche Wurzeln x der Gleichung (1) 
zu nehmen ist, so haben wir, wie im §. 46 : 

'S^[/i(^)] ={n- l)«i 
(6) S[f,(x)] =(n-2)a. 



S[fn-i{x)] = a„_i, 
also: 

(7) S{y) = naot;,_i -|-(w— l)ai f„_2 H h 2an_2fi-|-a„_i^o, 

ein Ausdruck, der sich aus /' (t) ergiebt, wenn V" durch t^ ersetzt 
wird [§. 46, (4)]. 

Eliminiren wir mit Hülfe von (7j die Variable tn—i aus (5), 
so folgt 

(8) ^ - -i S(y) = tn-2F,{x) + tn-sF.ix) ^ h ^oi^n-2(^), 

tv 

wenn 

TP j. n — 1 , «1 

Fo =/i —a^=a,x^-, 

(9) ^^ =/2 — ^^-;^ «2 = «0 a:' + «1 ^ + -^, 

l 1^ 1 

Fn-2 =/n-i an-i = cioX"-'^ -\- a^x**-^ -\ 1 a„_i, 

so dass 

Weber, Algebra. I. 16' 



t 



242 Sechster Abschnitt. §. 75. 

(10) S\F, (x)] = 0, S[F, {x)] = 0, . . . S[F„.2ix)-] = 0. 
Setzen wir nach (3) 

(U) F(t,x) = ß^--f(t) 

= f-'F,(x) H- f-'F,{x) H V-tFr^^.ix) + J„-2(:r), 

so geht die rechte Seite von (8) aus F{t^ x) hervor durch die 
Ersetzung von i^- durch f?... 

Nehmen wir von vornherein y in der Form 

(12) y = f„_2Fo (^) — t„-sF,(x) H h toFn-2(x) 

an. so ist die Gleichung 

(13) S(y) = 

identisch befriedigt. Welchen Nutzen diese Form der Substitution 
gewährt, werden die nächsten Betrachtungen zeigen. 



Invarianten-Eigenschaft der Tschirnliausen- 

T r a n s f r m a t i o n. 

Es ist jetzt der Einfluss zu untersuchen, den eine lineare 
Transformation, der wir die Function /(^) unterwerfen, auf die 
Tschirnhausen-Transformation hat. 

Wir machen in f(x) die lineare Substitution 

(1) ^ = 7|>^' «d-/5-/ = r, 
wodurch wir erhalten 

(2) 9'«) = (7l + V/(^f^) 

SO dass (p(^) eine ganze rationale Function wten Grades und 

q)(^) = die durch (1) transformirte Gleichung f(x) = ist. 

Wir leiten nun eine Function (r, |) ganz in derselben 

Weise aus g? (|) ab, wie wir im vorigen Paragraphen F(t^ x) aus 

f{x) abgeleitet haben, nämlich 

(.3;#(r,|)=-^-i9'(r) 

= T"-20,/|j^r''-30,(|j- Lr0„_3(^) + ^„_2(^), 

worin r ebenso wie t eine Variable ist und die Functionen 

« 

^,j (I), 01 (I) . . . CP„_2(|), ebenso aus | und den Coefficienten 



§. 75. Invarianten-Eigenschaft. 243 

von (jp (I) gebildet sind, wie die entsprechenden Functionen 
Fq {x\ Fl {x) . . . Fn-2 (oo) aus x und den Coefficienten von f{x). 
Wenn wir nun andererseits in F{t, x) gleichzeitig mit der 
Substitution (1) die Substitution 

(4) * = ^^^ 

yt -\~ 

ausführen, so erhalten wir 

(5) (yr + 0)7(0 = «5P(r), 

(6) (rl + ö) (y^ + ö) (^ - ^) = r(t - I), 

und, indem wir von (5) die Ableitung, am einfachsten durch 
Differentiation mittelst der Formel 

dt^ _ r 

bilden, 

(7) r (7 r + ö)""^ 1/' (t) = (y r + ö) i 9,' (r) - r <jP (r). 
Aus (5), (6) und (7) folgt 

und durch Subtraction beider Formeln 

also 

(8) Kr t + d)"-^ i'X^, :r) = (r, I) 
oder, ausführlicher geschrieben 

(9) T"-2 00 + '^"~' ^1 + h ^n-2 = 

Wir setzen nun, indem wir in F(t, x) die Potenzen t^ durch 
beliebige Variable tk ersetzen und ebenso in 0(^, |) t'' durch t^, 

.j^^ r(i, a:) = fn_,F, + ^„-3^1 H h ^0-f;-2, 

^(^, I) = T„_2^o +^n-3^1 + • • • 4- ^0^«-2, 

SO dass die Substitutionen der Tschirnhausen-Transformation 
(11) y=Y(t,xl rj=H(r,^) 

lauten [§. 74, (12;], 



244 Sechster Abschnitt. §-75. 

Die Gleichung (9), die in Bezug auf r identisch ist, bleibt 
aber auch richtig, wenn nach Ausführung der angedeuteten 
Potenzirung rechts t^ durch t^ ersetzt wird, und sie lehrt also, 
dass zwischen den Functionen T(t, x), -ff(T, |) die Relation besteht 

(12) H{r, I) = r Y{t, x), 

wenn wir die t von den r in folgender Weise abhängen lassen: 
Man setze 

(13) L-s = {c^'r^ßy-'(yr^S) 

und ersetze nach Ausführung der Potenzen r^ durch r^. 

Es sei nun ^ eine beliebige Veränderliche, und wir multi- 
pliciren, ehe wir die Potenzirungen in (13) ausführen, diese 
Gleichungen der Reihe nach mit 

1, -in -2)., (« - 2) (» - 3) ^,^ . . . + ^„_,. 

dann bekommen wir links eine ganze rationale Function von ^ 
vom (n — 2jten Grade 

(14) T(s) = tn-2 — (n-2)tn-z2 
(n - 2) (n - 3) ^^ 

und die rechte Seite ergiebt nach dem binomischen Satze 
[(«r ^ ß)-,(yr^ d)]n-2 = [^(« _ y^) _|_ (^ _ Ö0)]—% 

was, wenn wir 

setzen, in 

übergeht. 

Wenn wir hierin die Potenz (r — tY"^ nach dem bino- 
mischen Satze ausführen , und dann t^ durch r^ ersetzen , so 
erhalten wir eine Umformung der Function T(^). Wir setzen also 

&{t) = Tn-2 — {n — 2)r„_3g 
und erhalten die identische Umformung 



§. 76. Der Hermite'sche Satz. 245 

(16) (7 e -f ö)»-^ T (^f±|) = r"-^ (e), 

worin der Zusammenhang zwischen den Coefficienten t und r 
durch die symbolischen Gleichungen (13) ausgedrückt, also der- 
selbe ist, wie in den Functionen Y und H. 

Es ist also hiernach r'^—^&{t,) die Umformung der 
Function {yi, -\- dy-^ T {z) durch dieselbe lineare Sub- 
stitution, durch die {yt, -\- <5)"/(i^) in qp (^) übergeht. 

Bezeichnen wir die Coefficienten dieser umgeformten Func- 
tion, also die Grössen r"-^^^. ^it f^ gQ ergiebt die Gleichung (12), 
die in Bezug auf r linear ist, 

(17) m\ I) = r"-i Y(t, x). 

Aus Y{i^ X) gehen nun n Functionen hervor, wenn man 
für X die n Wurzeln von f{x) setzt. Jede homogene rationale 
symmetrische Function dieser n Functionen ist rational durch 
die Coefficienten von f{pc) ausdrückbar , und wenn wir also eine 
solche Function mit K{t., a) bezeichnen, so ergiebt die Gleichung 
(17), wenn wir die Coefficienten von (p{^) mit a' bezeichnen, 

(18) K{t\ a') = r*("-i)^(^, a), 

wenn v den Grad der symmetrischen Function bedeutet. Damit 
ist der schöne Satz von Hermite bewiesen: 

Die Coefficienten in der durch die Tschirnhausen- 
Transformation 

y = Y{t. X) 

umgeformten Gleichung f {x) = und alle symme- 
trischen Functionen der w Werthe y sind simultane 
Invarianten der beiden Functionen 

/(^), T{z). 



^ §. 76. 
Ausführungen über den Hermite'schen Satz. 

Durch die Betrachtungen des letzten Paragraphen hat sich 
ergeben, dass, wenn wir 

(1) y = tn-2 F, (X) -f tn-3 F, (x) ^ t^ Fn_^{x) 

setzen, die symmetrischen Functionen der n Werthe t/i, 2/2 •• • Vm 
die man aus y erhält, wenn man für x die n Wurzeln von 



246 Sechster Abschnitt. §, 76. 

f{x) = setzt, simultane Invarianten von zwei Formen wten und 
(n — 2)ten Grades, f{z\ T{z) sind. 

Eine solche ganze rationale und homogene symmetrische 
Function vien Grades 

P(?/l, 2/2 •• • Vn) 

ist wegen (1) offenbar eine homogene Function rten Grades der 
Variablen t. Sie ist ebenso eine homogene Function vten Grades 
in den «, da der Ausdruck (1), wie er die a explicite enthält, 
linear ist, und da die symmetrischen Functionen der x nur von 
den Verhältnissen a^ : öq, «2 : «oi • • • <^n : «0 abhängen. Bei dem 
Ausdruck von P durch die a könnte aber möglicherweise eine 
Potenz von öq im Nenner bjieiben, und wir haben noch nachzu- 
weisen, dass dies nicht eintritt. 
Setzen wir 

a^-P(^i, . . . ^„) = K{t a) 

und bestiunnen die Potenz a'^ so, dass K{t. a) eine ganze Func- 
tion der a ist, aber für a^ ■= nicht mehr verschwindet, so 
wird folgen, dass l = sein muss, wenn wir nachweisen, dass 
für «,j = die sämmtlichen y endliche Werthe behalten. 

Wenn wir «q =^ werden lassen, während die üljrigen a 
ungeändert bleiben, so wird eine der Wurzeln x, wie wir im 
§. 44 gesehen haben, unendlich wachsen. Dass aber das zugehörige 
y gleichwohl endlich bleibt, ergiebt sich aus der in Bezug auf t 
identischen Gleichung §. 74, fllj 

aus der zu ersehen ist, dass, wenn a^j = und x unendlich wird, 
die Functionen 

Foix), F,{X) . . .Fn-2(X) 

gleich den Coefficienten von fd)-, also gleich 

n — l 1 

0, ^^ a, . . .,■ - ~ ö„_i 

werden. Es bleiben also auch die y endlich, und P{yu Vi • ■ ■ Vn) 
ist gleich einer ganzen rationalen Invariante vom Grade v 
sowohl in den t als in den a. 

Wenn wir also die Gleichung für y in der Form annehmen: 

(3) r -^ F,y—^ + F,y—^ -\ h ^n = 0, 

so ist Fv eine solche Invariante vten Grades. 



§. 76. Transformation der cubischen Gleichung. 247 

Eine InYariante vom Grade n{n — 1) ist auch die Discri- 
minante z/ der Gleichung (3), oder das Quadrat des Differenzen- 
productes 
(4) n=(ij, — ijo) (iji — t/s) • • • 

iVi — yd • ' • 

Um über die Bildung dieser Grösse näheren Aufschluss zu 
bekommen, erinnern wir uns, dass wir y erhalten, wenn wir in 



t — X n 
V" durch ffc ersetzen. Wir erhalten also y^ — 2/2 ^^^ der Formel 

(5) y, - y, = (X, - X,) ^,_^{ll_^^y 

wenn wir dieselbe Vertauschung machen. 
Der Quotient 

f(t) 
(t — Xi) (t — Xk) 

ist eine ganze rationale Function von t vom Grade n — 2. Er- 
setzen wir darin f' durch f^, so möge er in fi^k übergehen; wir 
haben dann 

(6) yi — ijk — {Xi — Xk)U^T,. 
Wenn wir also 

(7) «o""'® = ^1.2fl,3...^1,n 

'2,3 • • • *2, n 

^n — l,n 

setzen, so ist 6) eine homogene ganze Function vom Grade 
V2 'n'{n — 1) in Bezug auf die f, und sie ist ausserdem als sym- 
metrische Function der x rational durch die Coefficienten a dar- 
stellbar. 

Aus (6) folgt aber, wenn J), wie im §. 50, (3) die Discri- 
minante von f{x) bedeutet, 

(8) ^ = D 02, 

woraus zu schliessen ist, dass eine Invariante ist, die den 
Nenner a^ nicht mehr enthält, z/ ist in den Coefficienten a 
vom Grade n{n — 1), während D nach §.50 vom Grade 2w — 2 
ist; daraus folgt, dass & vom Grade ^/j (w — 1) (>* — 2) in den 
Coefficienten a ist. 

ist eine sogenannte zerlegbare Form Y2 ** (*^ — l)ten 
Grades in den Variablen t\ denn sie lässt sich nach (7) in lauter 



248 



Sechster Abschnitt. 



§. 77. 



lineare Factoren zerlegen, die freilich nicht rational in den 
a sind. 

Wir haben schon im §. 58 darauf hingewiesen, dass hei der 
Tschirnhausen-Transformation auch x rational durch y ausdrückbar 
ist; und dasselbe gilt also auch für jede rationale Function von x. 

Betrachten wir irgend eine solche Function q) (x), die auch 
noch die Coefficienten a und t enthalten kann, aber immer für 
beide Arten von Variablen ganz und homogen vorausgesetzt sei, 
so können wir setzen 

(9) <p(x) = Co -f C\ y-J^ C,y^^ U Cn_:r-S 

■worin die C'o, Ci,...C„_i rational in a und in t ausdrückbar sind. 



Stellen war die Gleichung (9) für x 



X 



n 



Xt) 



X 



ni 



y = yiT y2i • • ■ yn auf, so erhalten wir für die Bestimmung der 
C ein System linearer Gleichungen, dessen Determinante 



(10) 



1, 2/2, yl . . . y^-^ 



1, y 



ni yn 



VI 



also gleich VD ist. Der Zähler des Ausdruckes für Cy geht 
aus der Determinante (10) hervor, indem man die Elemente der 
{y -\- l)ten Colonne durch (p{x^, ff {^2) • • • (f (Xn) ersetzt, und 
folglich hat der Zähler, wenn man Alles durch die Xi ausdrückt, 
den Factor Vi) (weil er verschwindet, wenn zwei Xi einander 
gleich werden). 

Wir können also setzen 

worin Qy eine ganze rationale Function der t und der a ist, die 
höchstens noch eine Potenz von a^ im Nenner enthalten kann. 
Wir bekommen dann 

(11) &cp(x) = Qoi- Qyy-\- Q.y^ ^ h ^n-i!/"-'- 

Die Coefficienten Qy sind aber keine Invarianten und ihre 
Berechnung ist in den meisten Fällen schwierig. 



§• 77. 
Transformation der cubischen Gleichung. 

Der Hermite'sche Satz (§. 75) reicht für die cubische Glei- 
chung aus, die Transformation ohne weitere Rechnung auszuführen 



§■. 77. Cubische Gleicliung. 249 

Wir haben dazu, wenn wir homogene Variable ^i, s^ an- 
wenden, simultane Invarianten der cubischen Form 

(1) /(^i, ^2) = «0 4 + «1 ^'l ^2 + «2 ^1 ^2^ + a-i 4 
und der Linearform 

(2) T= — ^0^1 4- ^1-^2 

zu bilden. Wenn wir aber die lineare Substitution 

^1 = «^1 + /^^ 

auf T anwenden, so ergiebt sich 
wenn 

f(, = + ^0 « — ^1 r, 

oder 

^^0 = 7^1 + ^^0- 

Diese Substitution geht aus (3) hervor, wenn man ^j, z^-, 
z\^ ^2 durch r^i, rt^, t\, t'^ ersetzt. Wenn nun I(a^ tj, Iq) eine 
simultane Invariante von / und T ist, homogen und vom ivten 
Grade in ^oi ^1 und vom Gewicht A, also 

l{a\t\,Q = r^-I(a,t,,t,), 
so folgt durch diese Vertauschung 

I{a\ z\, z'^ = r'-''7(a, ^1, z^\ 
d. h. es ist I{a^ z^^ z^ eine Covariante von /. 

Man erhält also alle simultanen Invarianten von / 
und T aus den Covarianten von/, wenn man darin z-^, z^ 
durch ^1, ^0 ersetzt. 

Die Covarianten von / haben wii aber in §. 68, 69 voll- 
ständig kennen gelernt. 

Danach ist es leicht, die cubische Gleichung zu bilden, die 
sich aus der Substitution §. 74, (12) 

(5) y = ti {a^x^ |M + ^0 («0 a;2 4- «1 a; -|- ^M 

für y ergiebt. Schreiben wir die Gleichung in der Form 

so sind P2, P3 Covarianten von /, und zwar Pg ^on der zweiten, 
P3 von der dritten Ordnung, sowohl in i als in a. 



250 Sechster Abschnitt. §. 77. 

Da nun Po und Pg Covarianten der cubischen Form sind, 
so können sie sich nach §. 68 und 69 von den beiden dort defi- 
nirten Functionen 

nur um constante. d. h. numerische Factoren unterscheiden. Diese 
Constanten Factoren lassen sich durch irgend eine specielle 
Annahme bestimmen. 

Wir können z. B. annehmen 

fi = 1, fo = 0> «0 = 1, «1 = 0, 
dann wird y = x, also 

Andererseits ergiebt sich aber nach den im §. 68 gegebenen 
Formeln (2), (3), (7) für diese besondere Annahme 
E{\, 0) = 3 «2, ^(1,0) = 27 «3, 

woraus man allgemein schliesst 

so dass wir für ij die cubische Gleichung erhalten 

(6) iß + l H{t,, U) y + ^Q(t,,to)=0. 

Die Discriminante z/ dieser cubischen Gleichung ist 

also mit Anwendung der Relation §. 68, (12) 

(7) 4.H'-r Q' + 2lDf = 

(8) ^ = DfiU, t,)\ 

wenn D die Discriminante der gegebenen cubischen Gleichung 
ist, in Uebereinstimmung mit den allgemeinen Resultaten des 
vorigen Paragraphen. 

Wollen wir hierauf die Auflösung der cubischen Gleichung 
gründen, so müssen wir zunächst nach den Vorschriften des 
vorigen Paragraphen x rational durch ij darstellen. Wir setzen 

(9) «o/(fi, h) x= Qo-^ Q^y -{- 9-2 y'. 

Die Berechnung der Coefficienten Q ist leicht auszuführen, 
wenn man diese Gleichung für Xi, x,, x-^, und entsprechend 
2/i, i/-2, ^3 aufstellt. 



§. 77. Cubische Gleichung. 251 

Wir wollen über den Gang der Rechnung, die nur die Dar- 
stellung symmetrischer Functionen der Wurzeln einer cubischen 
Gleichung durch die Coefficienten nach den Vorschriften des 
vierten Abschnittes (§. 48, 49) erfordert, einige Andeutungen 
machen. Nimmt man zunächst die Summe der drei Gleichungen 
(9), so erhält man nach (6) 

3 ^0 = I H{t,, U) Q, — aj{t,, to\ 

so dass also nur noch Q^ und Q^ berechnet zu werden brauchen; 
diese findet man, wenn man die für x = x^^ gebildete Gleichung 

(9) mit 

Vi — Vi = «0 (^2 — ^3) (^1 — ^0 ^1) 
und mit 

2/2" — yl = — «0 (^2 — Xo) y^ {ti — to X,) 

multiplicirt , und die drei durch cyklische Vertauschung der In- 
dices 1, 2, 3 gebildeten analogen Gleichungen addirt. 

Man hat dann nur Gebrauch zu machen von den Formeln 

a'^2^xl{x<i — iCg) = —]/B 
a^ U x'l(x.2 — X3) = aiYl) 

< 2J xt {X, - X,) = ""' \v < yi), 

und findet so 

2 1 

^1 = «0 1{ 4- ^ «1 toh -\- j a.2 tl 

Q-2 = - to. 

Setzen wir zur Vereinfachung ti ^= t, to = 1, gehen also zu 
den inhomogenen Ausdrücken über, so ergiebt sich 

(10) (3 «0 ^ + «1) f{t) = - jH{t)Jr yf (t) - 3 1/2, 
während die Gleichung für y lautet 

(11) r-^l^{t)y-i-^ 0(0 = 0, 

wenn wir H{t), Q{t) für H{t, 1), Q{t, 1) setzen. 

Um nun die cubische Gleichung zu lösen, bestimmen wir t 
aus der quadratischen Gleichung 

II{t) = 0. 



252 Sechster Abschnitt. §. 77. 

Wir wollen für den Augenblick zur Abkürzung 

(12) Q = V- SD 
setzen; dann folgt aus (7) 

(13) ^ = 3^/(0, 
und aus (11) 

(14) y= -j ^3p/(i), 

und der Ausdruck (10) ergiebt 

(15) (SaoX-{- a,) f(t) = yf'(t) - Stf. 

Um die Uebereinstimmung dieses Resultats mit der Car- 
dani sehen Formel herzuleiten, gehen wir auf den §. 68 zurück, 
und setzen in den dortigen Formeln x = t, y = 1. 

Wegen (13) wird, nach §. 68, (11), (13) 

^ = 0, 
und folglich 

2Äot -^ Äi= — Q, ^ = — JlQ, 

ferner nach §. 68, (10) 

f{t) = ^\ f'{t) = s^n\ 

worin ^' = hÄo nach §. 68, (13) die Ableitung von ^ nach t ist, 

Danach folgt aus (14) 

hgfSQ 
•^ 3 

und aus (15) 

SttoX^ a^= — hÄfifSQ ^ r^37— =. 

h yS Q 
oder nach §, 68, (14) 

(16) Sa^x -^ a-i = Äq Qi — h) f^S q, 
worin nach §. 68, (15) 



7 A tT^ f/ — gp + 3 pqo 

Nehmen wir a^ = l, a^ = an, so erhalten wir aus (16) 
die Cardanische Formel (§. 38) 

(17) . J^=^ +v n + f + V^f^W+f- 



§. 78. Allgemeine Ausführung der Transformation. 253 

Allgemeine Ausführung der Transformation. 

In der allgemeinen Durchführung der Tschirnhausen-Trans- 
formation in der Hermite'schen Form können wir noch einen 
bedeutenden Schritt weiter gehen. 

Wir betrachten zunächst die allgemeine Substitution §. 74, (5) 

(1) y = tn-ifo + tn-2fl + tn-sfi + " " * + ^o/n-1, 

aus der wir die speciellere Form §. 74 (12) erhalten, wenn wir 
die Variablen t an die eine lineare Bedingung 

(2) S(y) = najn-i + (w — l)ai^„_2 + • • • + ««-i^o = 
binden, was aber fürs Erste noch nicht geschehen soll. 

Durch die Functionen /q, /,, /j ■ . . fn—i lassen sich nach 
§. 74, (4) alle Potenzen von x und also auch alle rationalen 
Functionen von x linear und homogen darstellen. 

Wenn wir diese Darstellung für die verschiedenen Potenzen 
von y finden können, so lässt sich durch Elimination der /j die 
Gleichung nten Grades für y bilden. 

Denselben Zweck erreichen wir aber noch einfacher, wenn 
wir die n Producte yfs linear durch die / darstellen. Denn 
wenn wir die Gleichungen haben 

(3) yfs = Eo,sfo + ^i,./i + E2,sf2 H h En-,,sfn-r 

s = 0, 1, 2 ... w — 1, 

so erhalten wir durch Elimination von /q, /i . . . /«— i aus dem 
System (3) 

-£■0,0 y-, ^1, Ol -^2,0 • • • -ßn — 1,0 

•Eo, 1, -El,! — ^, jE'2, 1 • • • -E'n-l,! 



(4) E = 



= 0, 



-C/Q, n — 11 -C/1, n — li -C/2, n — 1 • • • -t^n — l,n — 1 y 

also eine Gleichung nten Grades für 1/, die die gesuchte trans- 
formirte Gleichung ist. Alles ist daher zurückgeführt auf die 
Bestimmung der Coefficienten jE^,», die, wie aus (1) hervorgeht, 
jedenfalls lineare Functionen der Variablen t sind. Insbesondere ist 

(5) ^0,0 = Oj^tn — li -t^l, = tto^n — 2i • • • -^n — 1,0 = <^oh' 

Um die übrigen E zu berechnen, bemerken wir, dass nach 
der Definition §.74, (4) zwischen den Functionen / die folgenden 
Relationen bestehen : 



254 Sechster Abschnitt. §. 78. 

a^/o = /i — «1 
(6) • ■ ' \ 

^Jn — 2 fn — \ f'n — 1 

von denen die letzte eine Folge der Gleichung f{x) = ist. 

Wenn wir nun die Reihe der Variablen to, ti . . . tn-i fort- 
setzen, indem wir die neuen Variablen f„, i„ + i, f„ + 2 . . . durch 
folgende Gleichungen definiren 

«0 tn + «1 ^n-l + «2 tn-2 + ••• + «„ ^0 = 0? 

(-7) C-otn + l -{- tt\in -p C(2 ^n — 1 n~ • • ■ ~r ^»1^1 = 0, 

«0 ^n + 2 + «1 ^» + 1 -h ^2 ^n H~ * * * "H ^n ^2 = 0, 

SO erhalten wir, wenn wir die Gleichungen (6) der Reihe nach 
mit tn — ii tn-2 ' ■ ■ io naultipliciren und addiren, 

(8) Xy = info + ^»-1 /l + • • • + ^1 /n-1, 

und wenn wir nun (6) ebenso mit ^„, f„_i . . . f^ multipliciren, 
nach (8) 

^2 2/ = ^n+ 1 /; + ^n /i + • • • + ^2 /n-1. 

So ergiebt sich das folgende System 

y = tn-l /o + ^n-2 /l + • • • + ^0 /n-1 

Xy = tn /o -^ ^n-1 /l 4- • • • + ^1 /n-1 

(9) a;2l/ == ^„ + 1 fo+tn /i H h ^2 /n-1 

X^y = tn + s-lfo + tn + s-2fl + * ' ' + 4/n-l, 

und wenn wir diese Gleichungen wieder mit ctg, «s_i . . . «o 
multipliciren und addiren, so folgt der gesuchte Ausdruck 

yfs = ^0,s/o + -E^l,s/l + • • • + -E'n-^s/n-l, 

worin nach (7j 

jC/o, s = ^0 ^n + s — 1 ~r ^1 f « + s — 2 -p ' ■ ' I ^s ^n — 1 

^= f's + l^n— 2 • • • — <^n*s — 1 

J^l, s = ^0 ^n + s — 2 ~\~ ^l^n + s — 3 ~I " ' ' "[ ^stn — 2 

= — eis -\-itn — 3 ■ • ■ — <^n f s — 2 

(10) Es-i,s == üotn 4-«l^n-l -i- • ■ • -A- Clstn-s 

— tts + l^n — s — 1 ■ ■ ■ f'^n f 

JSs,s ^ ttoin — i -\- Clitn — 2 ~h ' ' ' i (^stn — s — 1 

Es + l,s = <^()tn — 2 -p <^l ^n — 3 "1 " * * I ^s'n — s — 2 



§. 79. Die Bizoutiante. 255 

Hierzu ist noch zu bemerken, dass die überzählig eingeführten 
Variabein f„, ^„^.i ... in der zweiten Form von ^o,s, -£"1,8 •.• -E*«-!,« 
bereits wieder eliminirt sind, und dass die Variable f„_i nur 
in Ea,s vorkommt. 

§• 79. 
Die Bezoutiante. 

Die Gleichung (4) des vorigen Paragraphen wird, entwickelt, 
die Gestalt haben 

r + P^r-' + ^2^-' H h -Pn = 0, 

oder wenn wir ^„_i so bestimmen, dass S(y) = wird, 

(1) ynj^p^yn-2j^ h ^n = ; 

darin ist dann 

eine Function zweiten Grades in Bezug auf die t und in Bezug 
auf die a. Diese Function ist für viele Anwendungen besonders 
wichtig und hat von Sylvester den Namen Bezoutiante 
der Function f(x) erhalten, zu Ehren des französischen Mathe- 
matikers Bezout, der schon im vorigen Jahrhundert die ersten 
richtigen Ausführungen über Elimination gegeben hati). 

Nach den Formeln des letzten Paragraphen lässt sich diese 
Function verhältnissmässig einfach berechnen. Wir führen zu- 
nächst neben den Variablen f„_i, f„_2 . . . fo noch ein zweites 
System davon unabhängiger Variabein r„_i, r„_2 . . . Tq ein und 
setzen 
/-2^ y ^^ in-ifo -\- ^1-2/1 + ' • • "h hfn-\ 

^ = ■^n— 1/0 -h ^n— 2/1 -p • • • ~r ^0/»— 1- 

Statt nun Siiß) zu bilden, berechnen wir zunächst S(ys), 
woraus dann S(y^) hervorgeht, wenn man die t gleich den t setzt. 
Wenn man die Formel (3) des vorigen Paragraphen 

(3) yfs = Eo,sfo + E,,J, -\ h ^n-M/„-i 

mit tn—s—i multiplicirt und dann in Bezug auf s von bis n — 1 
summirt, so findet man 



(4) 




ys 


/o 

0, 


Z Eo,stn- 

n — 1 


-s— 1 





i,n-l 


T„-s- 


-1 


•••+/«- 


-li^ E„ 

0,n — 1 



■l,s '-n — s — !• 

1) Sylvester, On a theory of the syzygetic relations of two rational 
integral fonctions etc. Phil, transactions vol. 143 (1853). 



256 Sechster Abschnitt. §. 79. 

Nun ist nach §. 74, (6) 
Sfo = na^, Sfi = {n — 1) a^, ... Sfn-x = a„-i, 
so dass man erhält 

s 

0, n — 1 

s 

-j- (W— 1) «1 2: E^^stn-s-X 
0,n — 1 



s 

-j- a„_i ZI Mjn^i^s'^n—s — l' 

0, n — 1 

Hierin ist nun der Coefficient von t,j_i 

naoEo,o + (w — 1) aiEi,o + • • • + a„_i_E'„_i,o, 
also nach (3) 

Da nun S(^) mit dem Gliede na^tn-i anfängt, so wird in 
der Differenz 

(5) S(y^) - i- S(y) S{,) 

kein Glied vorkommen, das mit t„_i multiplicirt ist. Da dieser 

Ausdruck aber ausserdem in Bezug auf t und t symmetrisch ist, 

so enthält er auch nicht #„— i, und wir können bei seiner Bildung 

einfach ^„_i und r„_i = annehmen. 

Wir setzen nun 

S(y) — naotn-i -f (p (t), 
worin 

(6) Cp (t) = (n — 1) tti tn-2 + (^ — 2) «2 ^n-S + ' " ' + «^n-l 4- 

Dann wird 

(7) S(y0)-^S(y) S(z) = 

S 

nao Z! Eo,sTn-s—i 

1, n — 1 

s 

-]- (W 1) tti 2: Ei^sTn-s-l 

l,n — 1 



l,»i — 1 "" 

wobei jedoch zu bemerken ist, dass tn-i = anzunehmen, also 

-^s,s =^^ Ch tn—2 ~T~ ' ■ ■ "1 ^stn — s — 1 

zu setzen ist, während die übrigen E durch die Formeln (10) des 
vorigen Paragraphen bestimmt sind. 



§. 79. Die Bezoutiante. 257 

Der Ausdruck auf der rechten Seite von (7) ist eine bi- 
lineare Function der t und t; er möge entwickelt die Form 

haben 

;» A- 

Z" ZI Bh,k h^^k, 

0, »i — 2 0, n — 2 

mit der Bedingung Bhj^ = Bh,h- Die Bezoutiante ergiebt 
sich dann, wenn man r = t setzt, also 

h.k 

(8) JB = E Bh^k thh-, 

0,n — 2 

worin die Coefficienten Bh,k quadratische Functionen der a sind; 
und aus (7) folgt 

(9) S{y2) - - Siy) S^z) = 2? 5,,, f,r,, 

n 0,n — 2 

(10) S{>f-) = i [S(ij)]^ + B. 
Nach der Formel (8), §. 74 ist 

?/ - 1 S(y) = tn-2Fo + tn-sF, H h toFn.2 

^ — — 'S'(^) = r„-2Fo -f T„„3Fi -f . . . -f- r, F„_2, 
und wenn wir beides multipliciren, 

y^-l [yS(,) -i-zS(y)] 4- ^ ^(y) ä(^) 

= -^ 'i:hhFn-h — 2Fn-k-2- 

0,n — 2 

Sumrairen wir diese Formel über alle Wurzeln x^ d. h. nelunen 
wir die mit S bezeichnete Summe, so folgt 

S(yz) - 1 S(y) S{z) = 2:%,f, 5 (F„_,_2F„_,._o), 
und die Vergleichung mit (9) lehrt: 

(llj Bh,k = Ä(F„_,_2F„_fc_2). 

Wir bezeichnen mit zJ die Determinante der Function B, 
setzen also 

^ ■== 2J JZ Bo^o Bii . . . Bn—2,n — 2- 

Nach dem Multiplicationssatze der Determinanten und mit 
Rücksicht auf die Formeln [§. 74, (10)]: 

SF, = 0, SF, = 0, . . . SFn-o = 

Weber, Algebra. I. 17 



258 



Sechster Abschnitt. 



§. 79. 



ist aber, wenn wir 



O = 



1, -Fo(^l), Fi(X,) . . . Fn-2{Xi) 

1, Fo(x,), Fiix-i) . . . F„-2{oc2) 



1, F,i(Xn\ Fi{Xn) . . . Fn-2(X„) 

setzen, nach (11) 

(12) CD2 = wz/. 

Beachtet man nun die Ausdrücke (9) in §. 74 für die Func- 
tionen Fq^ Fl . . . F„-2, so ergieht sich leicht nach dem Satze, 
dass man in einer Determinante eine mit einem beliebigen Factor 
multiplicirte Colonne zu einer anderen Colonne addiren kann 
(§. 25, VII), für O der Ausdruck 



a 



n— 1 



1, ^1, x^ . 
1, 3/2, X.2 • 



/r>n — 1 



^n—1 



Xr, 



1/y» /y»*^ 

dessen Quadrat nach §. 50 die Discriminante von f{x) ist. Hier- 
nach haben wir also nach (12) den wichtigen Satz: 

Die Determinante der Bezoutiante von f {x) ist der 
n^*^ Theil der Discriminante von /(a;). 

Die Berechnung der Bezoutiante hat nach unseren Formeln 
gar keine Schwierigkeit mehr und gestaltet sich ziemlich einfach. 

Für n = 3 erhält man das schon aus derP'ormel (6) des §.77 
zu schliessende Resultat 



(13j 



5 = — ^ H (ti, t,,). 



Für die Berechnung der Bezoutiante der biquadratischen 
Form wollen wir zur Veranschaulichung des Vorhergehenden 
das Formelsystem vollständig aufführen , indem wir die Durch- 
führung der wenig längeren Rechnung für die Form fünften 
Grades dem Leser überlassen. 

Es ist für die Form vierten Grades nach (7) und §. 78, (10) 

f(x) = (((, x^ -\- (i-i x'^ -j- «2 ^^ -\~ '-h^ -\- 'U 

-E'0,1 = — «2^2 — «3^1 — «4^0 4^0 1^2 
Fi,i = a^ti BttiTa 

-£"2,1 = «0 ^2 + fh ii 2 «2 ^ 

Fz,l = «0^1 -|- «1^0 «3^2 



S. 79. 



Die Bezoutiante. 



259 



-^0,2 


«3 t.2 «4 #1 








4 «0 Tl 


^1,2 - 


«3 ti <H to 








3 «1 Tj 


E.. - 


«1 U + «2 tl 








2 aa ri 


^V2 - 


«0 ^2 + «1 k 


1 


«2 


^0 


«gTi 


-^0,3 — 


— ciiU 








4ao^^o 


^1,3 


— «4^1 








3 «1 Tq 


-^2,3 


ajo 








2 «2 ^0 


E-i,?, — 


eil h + «2 k 


1 

1 


«3 


^0 


«3 ^o- 



Man hat diese Ausdrücke mit den rechts daneben gesetzten 
Factoren zu multipliciren und zu addiren, dann noch 



1 



--9(09'(r) 



1 



= — j (3 «1 U + 2 «2 /i -f «3 ^o) (3 «1 r2 + 2 «^ ^i + «3 ^o) 

hinzuzufügen und die Coefficienten von r/,f;, aufzusuchen. So 
ergiebt sich: 

-^2,2 = — -j (8 «0 «2 — 3 «f), JBo, 1 = — -y (6 «1 «4 — «2 «3) 



C14) 2?i 1 = — 4 rto «4 — 2 ai «3 -j- «2', J5i,2 = 



1 



(6 «0 «3 — «1 «2) 



-Bo,o = — 7- (8 a2 «4 — 3 «3-), 



^0,2 = r (16 «0 «4 — «1 «3)- 



Auf dieselbe Weise kann man bei einer Form fünften Grades 
verfahren, und findet für die Coefficienten der Bezoutiante fol- 
gende Ausdrücke : 

.5 1^0,0 = 4 a'l — 10 a3 «5 

.öJjj^i = 6a| — 10 «2 (^4 — 20aia-, 

5 ^2,2 = C a,-' — 10 «1 «3 — 20 «0 f*4 

■J -^3,3 = 4 a; — 10 ÜQ tta 



5J?o,i = 3a3«4 — 15 «2 «5 

5 ^0, 2 = 2 («2 "4 — 20 «1 a-, 

5i?o,3 = «i«4 — 25 «0% 

.j i?i 2 = 4 «2«:', — 15 «1 «4 — 25aort5 

5 i?i,3 = 2 aj «3 — 20 «0 «4 

5^2,3 = 3 a, «2 — 15aoa3. 



17* 



260 Sechster Abschnitt. §. 80. 

§. 80. 
Transformation der Gleichung fünften Grades. 

Diese Entwickelungen sollen nun angewandt werden, um 
die Transformation der Gleichung fünften Grades, wie wir sie 
im §. 60 skizzirt haben, durchzuführen. 

Es lässt sich auf unendlich viele Arten ein Werthsystem 
to, ti, f.2- ^3 so bestimmen, dass die Bezoutiante B verschwindet; 
im Allgemeinen ist dazu die Auflösung einer quadratischen 
Gleichung erforderlich. Wir können z. B. 

setzen und das Verhältniss to : t-^ aus der quadratischen Gleichung 

bestimmen. Diese Werthe von t enthalten dann die Quadrat- 
wurzel 

Statt dessen kann man aber auch andere Bestimmungen treffen 
und bekommt andere und andere Quadratwurzeln. In der Aus- 
wahl dieser Quadratwurzel liegt etwas AYillkürliches und Un- 
bestimmtes. 

Wir greifen unter diesen verschiedenen Bestimmungsweisen 
eine heraus und transformiren damit die gegebene Gleichung 
fünften Grades in eine Haupt gleichung, d. h, in eine solche, 
in der die dritte und vierte Potenz der Unbekannten nicht vor- 
kommt, oder wir nehmen an, nach F. Kl ein 's Vorgang, die zu 
transformirende Gleichung sei von Haus aus eine Haupt- 
gleichung 
(1) f{x) = a^x'^ -^ a^x^ -j- ((iX -\- ci:, = 0. 

Wir wollen aber noch ausdrücklich hervorheben, dass nach 
§. 76, (8) durch diese vorläufige Tschirnhausen -Transformation 
die Discriminante der gegebenen Gleichung nur um einen Factor 
02 geändert wird, worin rational von den angewandten t, 
also auch von der zu ihrer Bestimmung benutzten Quadratwurzel 
abhängt. 

Unter der Voraussetzung (l) werden nun die Coefficienten 
der Bezoutiante nach den Formeln des vorigen Paragraphen 
folgende : 



§. 80. Hauptgleichuug fünften Grades. 261 

5 -Bo,o~=: 4 af — 10 «3 n,-„ 5 ^o,i = 3 a^ a^ 

.ö5i,i = 6a|, .5^0,2 = 

('2) b B-2,2 = — 20«o«4i 0^0,3 = — 25 «0 «5 

5^3,3 = 0, 5 5i,.2= - 25aoa3 

5 5i,3 = 20 «0«^, 5^2,3 = lÖttoös. 

Wenn man hieraus die Determinante berechnet, so erhält 
man ohne Schwierigkeit nach §. 79, (12) für die Discriminante 
der Hauptgleichung fünften Grades 

(.3) D = al (5'a|a^ + 2HiQal + 22hQa(>alaia? 

— 1600«o«-3a|«5 + 108a|a5 — 21 a^a-). 
Da nun hier J^s^s = ist, so haben wir ein Werthsystera 
der f, wofür die Bezoutiante verschwindet, nämlich 

t, = 0, i^ = 0, t^ = 0. 

Wir nehmen nun unsere Tschirnhausen - Substitution in fol- 
gender Form [§. 74, (12)] 

und wollen über die «o, «j, «j so verfügen, dass die Gleichung 
fünften Grades für y unabhängig von ^3, t^ zu einer Haupt- 
gleichung wird, dass also /S' (//-) identisch für alle ^21 h ver- 
schwindet. 

Da S{F'^) = jBs.s hier verschwindet, so geschielit dieser 
Forderung nach §. 79, (11) Genüge, wenn wir «g, a^, «o so 
bestimmen, dass 

(5) <5o,o + «/^M + «IA2 

-\- 2 «0 «1 -Bo,l + 2 «0 «2 -Bo,2 + 2 «1 «2 ^1,2 = 0, 

(6) «0 i'0,3 + «1 -Bl,3 + «2 -^2,3 = 0. 

Diese Gleichungen führen durch Elimination von einer der 
drei Grössen a auf eine quadratische Gleichung für das Ver- 
hältniss der beiden anderen. An sich ist es nicht nothwendig, 
irgend einen besonderen Fall auszuschliessen, auch nicht den, 
dass ^0,3, -Bi,3, ^2,3 alle drei verschwinden; man hätte dann nur 
für die « irgend eine Lösung der Gleichung (5) zu nehmen. 

Um aber nicht weitläufig zu sein, wollen wir annehmen, 
dass 5n,3 von Null verschieden sei, weil die hierdurch aus- 
geschlossenen Fälle, in denen eine Wurzel der gegebenen Glei- 
chung Null oder unendlich wird, hier eigentlich kein Interesse 
bieten, weil sie auf eine Gleichung niedrigeren Grades zurück- 
kommen. Die Behandlung bleibt übrigens ganz dieselbe, wenn 



262 



Sechster Abschnitt. 



§.80. 



wir annehmen, dass eine andere von den drei Grössen 5o,3i^i.3?^2,s 
von Null verschieden ist. 

Um nun die Gleichungen (p), (6) in symmetrischer \Yeise zu 
behandeln und namentlich zu erkennen, welche Quadratwurzel 
zu ihrer Lösung erfordert wird, verfahren wir so. AVir setzen 
zur Abkürzung 

•Bf) = C'-o-BojO -\- «i-Bu,i -|- «2 -£"0,2 

(7) 2^1 = s^i,o + «1^1,1 + «2-Bi,2 

Dann können wir die Gleichungen (5) und (ß) so darstellen: 

«0-Bo,3 + «1-Bl,3 + «2-^2,3 = 0- 

Wir multipliciren die zweite mit einem unbestimmten Factor 
a, und addiren sie zur ersten, wodurch wir erhalten 

(9 J «0 {Bo J- «3 5o, 3) + «1 (-Bi -f «3 ^1,3) + «2 (-B2 + «3 B,, 3) = 0. 
eine Gleichung, die erfüllt ist, wenn wir setzen 

JBo + a, jB,,3 = 
(10) -Bi + ^'3 -Bi,3 = ö a, 

B2 -|- «3^^2,3 ^ Ö^'l- 

Aus diesen drei Gleichungen, in Verbindung mit der Gleichung (6). 
haben wir die Unbekannten «0, «i, «9. «3. ö zu bestimmen. Wir 
setzen die Gleichungen zunächst ausführlich hierher : 



(8) 



ai) 



«o-Bn.o -'- «i-Sai -{- M9.Bo,2 -l-«3Bo,3 = 

«r, Si,o ^ «1 ^1.1 J- Ko (.Bi,o — ö) 4- «3 ^1^3 = 

«0 -^2,0 -^ «1 (^2,1 + ÖJ -[- «o B2.2 + «.j i?2,3 = 

«0 Bs/j -^ «1 -B3.1 -h «,-63^2 = 0, 

und wenn wir hieraus «o, «i, «21 ^-j eliminiren, so ergiebt sich 
eine quadratische Gleichung für ö, nach deren Lösung man die 
Verhältnisse «o : Uy : «2 : «3 aus linearen Gleichungen bestimmen 
kann. 

Die quadratische Gleichung für 6 aber lautet in Deter- 
minantenform 

-Bo,Oi -Bo,!, -Bo,2i -Bo,3 

^1,0, ^1,15 -B1.2 <5, 5l,3 

^2,0- Bva -\r ^1 ^2,2i ^£^2,3 

^3,0, Bz.y, i>3,2, <' 



= 0. 



§. 81. Xormalform der Gleichung fünften Grades. 263 

Da sich die linke Seite durch Vertaiischung von ö mit — ö 
nicht ändert, so ist es eine reine quadratische Gleichung und 
sie giebt mit Piücksicht auf §. 79, (12) 

wenn D die Discriminante der gegebenen Gleichung ist. Wir 
bekommen also nach (2) 

(12) ba,a,6=VlB, 

worin das \'orzeichen beliebig ist. 



§. 81. 
Normal form der Gleichung fünften Grades. 

Wie schon früher bemerkt, ist das hauptsächlichste Ziel 
dieser Betrachtungen, eine Normalform der Gleichung fünften 
Grades herzustellen, die nur von einem unbestimmten Coeffi- 
cienten, einem Parameter, abhängt. Eine solche Normalform 
ist die Bring- Jerrard'sche Form. Um diese zu erhalten, haben 
wir nach (4) des vorigen Paragraphen 

(1) y = t,Fo-}-t, {a,F, -f «iK -f UoFs) 

zu setzen, so dass identisch 

wird, und dann ist das Yerhältniss t^ : fg aus der cubischen 
Gleichung 

zu bilden. Diese cubische Gleichung lässt sich wirklich bilden, 
wenn auch ihr Ausdruck lang wird. Die hierzu nöthigen Formeln 
sind von Cayley berechnet i). 

Es ist das Ergebniss einer merkwürdigen Untersuchung von 
Gordan, dass man eine andere, die Brioschi'sche Normalform 
ohne neue Irrationalität erhalten kann, und wir wollen zum 
Beschluss dieser Betrachtungen über die Tschirnhausen -Trans- 
formation dies Ptesultat noch ableiten 2). 

Wir halten an den Voraussetzungen des vorigen Paragraphen 
fest und setzen für den Augenblick zur Abkürzung 



^) Cayley, on Tschirnhausen's Transformation, Phil. Trans. 1861, 
Mathematical Papers, Tom. IV, Nr. 275. 

*) Gordan, Mathematische Annalen, Bd. 28, 1886. 



264 Sechster Abschnitt. §. 81. 

(2) u = Fo, V =r «g-P^i + «1^2 + «o-F's, 

worin «o, «j, «2 die im vorigen Paragraphen bestimmten Wertlie 
haben sollen. 

Nach der Formel §. 79 , (4) lassen sich die drei Functionen 

U-, UV, V- 

linear und homogen durch /o,/i,/2,/3,/4 darstellen, und weil 

(3) S{u-') = 0, S{uv) = 0, S(v^) = 

ist, so werden diese Ausdrücke auch in Fq, Fi, F^, Io^ linear 
und homogen (§. 74). 

Die Rechnung ist nach den Formeln der §§. 78, 79 leicht 
auszuführen, soll aber hier nicht weiter verfolgt werden, da es 
uns nur auf die Darlegung des Grundgedankens ankommt. Wir 
wollen nur bemerken, dass die Coefficienten in den Ausdrücken 
für u^, UV, t;2 linear in den Coefficienten der ursprünglichen 
Gleichung fünften Grades und quadratisch in den a^, «i, «g 
sind. Wenn wir nun aus diesen Ausdrücken mit Hülfe von (2) 
die Functionen F^, J\, F^^ F^ eliminiren, so erhalten wir eine 
Relation von der Form 

(4) jpu"^ -\- 2quv -\- rv"^ = au -\- hv, 

worin die p, q, r, a, h von den Coefficienten ai und ai rational 
abhängen und jedenfalls nicht alle zugleich verschwinden. 
Setzen wir für den Augenblick 

pu"^ -{- 2quv -{- 7- v'^ = (p (u, v\ 
so ist nach §. 63 

4 qp (u\ v') <p (m, v) — [n' cp' {u) + ^' 9' {v)Y 
das Quadrat einer linearen Function von «, r, so dass dadurch 
(p{u,v) in die Summe von zwei Quadraten zerlegt wird. Wählen 
wir u' = b, v' = — a, so folgt 

cp (&, — a) (p (u, v) = [b (pu -\- qv) — a {qu + rv)]^ 

-f- {pr — </-) {au -j- bv)\ 
oder wenn man zur Abkürzung 

p b- — 2qab -\- r «2 = m, 

bp — aq = a\ 
(^) bq — rt r = b\ 

q2 — pr = c 
setzt, 
(6) m{pu^-^2quv-\- r V^) = {a' u -f- b' v^ — c(au-}-b v^, 



§. 81. Normalform der Gleichung fünften Grades. 265 

und nach (4) kann diese Gleichung auch so dargestellt werden: 

(7) m (au -^ hv) = (a'u -\- b'v)^ — c {au -{- h vy. 

Man setze nun 

a'u -{- b'v 

^^^ y— au-Ybv' 

und bilde die Gleichung fünften Grades, deren Wurzeln die fünf 

Werthe von // sind: 

(9) 2/' + Ci y* + Ca ?/» + C3 y2 _|- C4 ?/ + C5 = 0; 

darin lassen sich die Coefficienten c auf folgende Weise näher 

bestimmen. 

Aus (8) leiten wir ab 

, 1 /— ((' u A- h'v -\- Yc (a u -\- b v) 

U -^VC = ! I . ■ 

au -f- ov 
und daraus nach (7) 

V + Vc = - 



m 



a' u -\- b' ü — Vc (a u -\- bv) 
^ = a'u -{- b'v — Vc (au -|- b.v). 



y^Vc 
Daraus folgt aber nach (3) 

Wenn wir also aus (9) die Gleichung ableiten, deren Wurzeln 
die Werthe 

1= ' _ 

y+Vc 

sind, also _ 

l-jVc 

■" = —1— 

setzen, so muss eine Gleichung für ^ entstehen, in der die Coeffi- 
cienten von ^* und ^■' verschwinden, und zwar welches Zeichen 
wir auch der Quadratwurzel Vc geben. Dadurch erhält man vier 
Gleichungen zwischen den Coefficienten Cv der Gleichung (9). 
Die Gleichung für | wird nämlich: 

(1 - 1 Vcf + c,i (1 - 1 vöy + c^^Ki - 1 Vcf 

+ C:,r'. (1 _ I yjy -f C,^ (1 - ^ Vc) 4- C,|-' = 0. 

Setzt man hierin die Coefficienten von |* und |3 gleich 0, 
so folgt: 



266 Sechster Abschnitt. §. 81. 

5 Vc* - 4ci W + '\c, V? - 2C3 V^ + c^ = 0, 
— 10 Vc' 4- 6c, V? — 3f, VF -h c, = 0, 

und diese Gleichungen zerfallen wegen des doppelten Zeichens 
von V~c in die vier 

h c^ -\- 3 Ca t + C4 = 0, 
4 Cj c -(- 2 C3 =0, 

10 c + 3 Ca = 0, 

6 Ci c -^ C3 = 0. 

Aus der zweiten und vierten dieser Gleichungen folgt 

Ci = 0, C3 = 0, 

und dann aus der dritten und ersten 

_ 10 _ 

C2 ^^ C. C^ ü C"^ 

so dass also die Gleichung für y die Gestalt erhält 

(10) 2/'" — y c?/3 -4- 5c2?/ -f C5 = 0. 

Diese Gleichung hängt noch von den beiden Parametern c-, 
und c ab; man kann sie auf eine Gleichung mit einem Para- 
meter reduciren durch die Substitution 

wodurch sie die einfache und elegante Form erhält 
(12; z'' — 10^3 ^ 45^ -^ 7 = 0. 

Dies ist die Brioschi'sche Normalform. Die Substitu- 
tion (11) leidet aber an dem Uebelstande, dass sie noch eine 
Quadratwurzel enthält, während in den Formeln (8) und (10) 
nur die zwei im vorigen Paragraphen besprochenen Quadrat- 
wurzeln vorkommen. Man kann aber auch nach einer Bemerkung 
von Klein auf rationalem Wege aus (10) zu einer Normalform 
kommen, die nur einen Parameter enthält 

Setzt man z, B. 

(13) y = ^i- y = ^^ 

so erhält man aus ClOj die Gleichung 

(14) s'^ -[- \hz^ — \Oyz^ -\- Zy"- = Q. 



§. 81. Normalfoi'm der Gleichung fünften Grades. 267 

Es ist bei dieser Transformation stillschweigend die Voraus- 
setzung gemacht, dass die in (5) mit m und c bezeichneten 
Grössen nicht Null seien. 

Ist w =: 0, so ist in der Formel (4) 'pu'^ -\^ ^quv -{- rv'^ 
durch au -\- hv theilbar, es muss dann also wenigstens für 
einige der Wurzeln die Gleichung 

au -\- hv = 0, 

d. h. eine Gleichung von nicht höherem als dem vierten Grade 
bestehen, 

Ist c = 0. also pu^ -\- 2 quv -\- rv^ ein Quadrat einer 
linearen Function, so ergiebt sich aus (7) und (3j. dass, wenn 

y =z a'u -\- b'v 
gesetzt wird, 

Siy) = 0, S(y^~) = 0, S(yi) = 

ist, dass also die Bring-Jerrardsche Form in rationaler 
Weise herstellbar ist. 

Wir können schliesslich die Resultate dieser Betrachtungen 
dahin zusammenfassen: 

Die Hauptgleichung fünften Grades lässt sich 
durch eine Transformation, die als einzige Irratio- 
nalität die Quadratwurzel aus der Discriminante 
enthält, auf eine Normalform mit einem Parameter 
transformiren. 



ZWEITES BUCH. 



DIE WURZELN. 



Siebenter Abschnitt. 
Realität der Wurzeln. 



§. 82. 

Allgemeines über Realität von Gleichungswurzeln 
und über die Discriminante. 

In diesem Abschnitt werden wir uns mit der Frage beschäf- 
tigen, wie viele Wurzeln einer algebraischen Gleichung reell 
sind. Die Coefficienten der Gleichung werden dabei als reelle 
Zahlen vorausgesetzt. Wir wollen solche Gleichungen kurz 
reelle Gleichungen nennen und beginnen mit einigen allgemeinen 
Betrachtungen. 

Die reelle Gleichung n*^° Grades 

f(x) = 
hat, wie wir im dritten Abschnitt gesehen haben, n Wurzeln, die 
entweder reell oder imaginär, d. h. von der Form ^-\~ir} sind, mit 
reellen ^, t]. Die Zahl von n Wurzeln ergiebt sich aber nur dann 
allgemein, wenn wir unter Umständen eine Wurzel mehrfach 
zählen, nämlich (m-j-l)fach, wenn mit f(x) zugleich die m ersten 
Derivirten von f{x) verschwinden. Da nun ein complexer Aus- 
druck von der Form X -\- iY nur dann gleich Null ist, wenn 
die beiden reellen Bestandtheile X und Y einzeln verschwinden, 
wenn also mit X -\- iY zugleich X — iY verschwindet, und da 
ferner bei reellen Coefficienten, wenn f(^-\-ir]) = X-\-iY 
ist, sich/(| — ir]) = X — iY ergiebt, so folgt aus f(^-\-ir]) = 0, 
dass zugleich /(| — itj) = sein muss, dass also zu jeder 
imaginären Wurzel | -j- iyj eine zweite davon verschiedene 
imaginäre ^ — irj, d. h. die conjugirt imaginäre Wurzel 
gehört. Da mit den Derivirten /'(| -j- ir}), /"(| -\- ii^) . . . zu- 
gleich die conjugirten Grössen /' (| — irj), f" (^ — i rj) . . . ver- 



272 Siebenter Abschnitt. §. 82. 

schwinden, so folgt, dass conjugirt imaginäre Wurzeln 
denselben Grad der Vielfachheit haben. 

Daraus folgt, dass die imaginären Wurzeln immer in gerader 
Zahl vorkommen, und dass eine Gleichung ungeraden Grades 
immer mindestens eine reelle Wurzel haben muss. 

Unser nächstes Ziel wird das sein, die Zahl der reellen 
Wurzeln, ohne die Gleichung aufzulösen, direct aus den Werthen 
gewisser rationaler Functionen der Coeffici enten der 
Gleichung zu bestimmen. 

Eine sehr wichtige Rolle spielt hierbei die Discriminante, 
auf deren Bedeutung für unsere Frage wir zunächst eingehen 
müssen. 

Wir haben in §. 50 die Discriminante erklärt als das Product 
aus den Quadraten der sämmtlichen Wurzeldifferenzen 

noch multiplicirt mit «o""^' wenn ao der Coefficient der höchsten 
Potenz der Unbekannten in der gegebenen Gleichung ist, und 
wir haben dort gezeigt, wie die Discriminante als rationale 
Function der Coefficienten berechnet werden kann. Der Factor 
aY~^ ist immer positiv und könnte hier ohne wesentliche Be- 
schränkung der Allgemeinheit auch gleich 1 vorausgesetzt werden. 
Wir wollen, wie schon früher, für die Discriminante das Zeichen 
D gebrauchen. 

Die Discriminante verschwindet dann und nur dann, 
wenn unter den Wurzeln zwei gleiche vorkommen. 

Nehmen wir an, dass /(^) durch Absonderung des grössten 
gemeinschaftlichen Theilers von f(x) und /' (x), was durch ratio- 
nale Rechnung geschieht, von mehrfachen Factoren befreit sei, 
so wird also D nicht verschwinden. 

Sind cci und X2 reell, so ist (x^ — x^y positiv. Ist x-^ reell 
und X2 imaginär, so giebt es eine zu X2 conjugirte Wurzel X2, 
und das Product 

{Xi -~* X2) (^^x — '^2) 

ist als Product zweier conjugirt imaginärer Grössen positiv, also 
auch söin Quadrat. 

Sind Xi und Xo beide imaginär, aber nicht conjugirt, so ist 
das Product 

(Xi — X2) (x[ — x'2) 

und sein Quadrat positiv. 



§. 83. Wurzeln der cubischen Gleichung. 273 

Sind aber endlich Xi und x.2 conjugirt imaginär, so ist ihre 
Differenz rein imaginär und deren Quadrat negativ. 

Es kommen also in dem Product, durch das wir die Discri- 
minante erklärt haben, genau so viel negative Factoren vor, als 
es Paare conjugirt imaginärer Wurzeln giebt, und wir schliessen 
daraus auf den wichtigen Fundamentalsatz: 

Ist f(x) = eine reelle Gleichung ohne mehrfache 
Wurzeln, so ist die Discriminante positiv oder negativ, 
je nachdem die Anzahl der Paare conjugirt imaginärer 
Wurzeln gerade oder ungerade ist. 

Der Fall, wo nur reelle Wurzeln vorhanden sind, gehört zu 
denen, wo die Discriminante positiv ist. 

Für die Fälle der quadratischen und cubischen Gleichungen, 
in denen nur ein Paar imaginärer Wurzeln auftreten kann, ist 
durch diesen Hauptsatz bereits die Unterscheidung der ver- 
schiedenen Fälle, die in Bezug auf die Wurzelrealität möglich 
sind, die Determination, vollendet. 



§• 83. 

Discussion der quadratischen und cubischen 

Gleichung. 

Für die quadratische Gleichung 

«0 x^ -\- tti X -\- a2 ^= 
haben wir (§. 50) 

D = a{ — 4 tto «2 > reelle W^urzeln, 

< imaginäre Wurzeln. 
Für die cubische Gleichung 

ÜQ x^ -\- eil a;2 -[- «2 ^ -{- «3 = 
ist 

D = a{ a; -\- 18 «o «i «2 «s — ^ «o c-i — 4 af a^ — 27 al al, 
D > drei reelle Wurzeln, 
D < eine reelle, zwei imaginäre Wurzeln. 
Auch der Fall D = giebt hier zu keinen weiteren Unter- 
scheidungen Anlass; denn in diesem Falle sind die beiden 
Wurzeln der quadratischen Gleichung einander gleich und reell, 
von den drei Wurzeln der cubischen Gleichung zwei einander 
gleich und alle drei reell; denn eine imaginäre Wurzel kann hier 

Weber, Algebra. I. 18 



274 Siebenter Abschnitt. §, 83. 

nicht doppelt vorkommen, weil sonst auch die conjugirte doppelt 
vorkommen würde, und ebenso wenig kann die einzelne Wurzel 
imaginär sein, weil sonst eine zweite vorhanden sein müsste. 

Es kann sich bei der eubischen Gleichung nur noch darum 
handeln, die Bedingung dafür aufzusuchen, dass alle drei Wurzeln 
einander gleich sind. 

In diesem Falle muss die linke Seite der eubischen Gleichung 
ein vollständiger Cubus sein, also 

«0 x^' -\- a^x- -{- üiX -\- a, = a(i{x — a)^. 
Die Vergleichung beider Seiten dieser in Bezug auf x identischen 
Gleichung ergiebt 

woraus man durch Elimination von « erhält 
, a^ — 3 a(, «2 = 0, 

«1 «2 — 9 f'o öta = 0. 
Daraus ergiebt sich als Folge (indem man die erste dieser Glei- 
chungen mit «2, die zweite mit «j multiplicirt und subtrahirt) 

a^ — 3 tti «3 = ; 

und wenn diese Bedingungen erfüllt sind , so folgt daraus um- 
gekehrt 



/(^) = „.(:.+ ^y, 



d. h. die Gleichheit aller drei Wurzeln. 
Bei der eubischen Gleichung 

x^ -{- eil X- -\- a^x -\- a^ ^:= 

können wir ausser über die Realität auch noch über die Vor- 
zeichen der Wurzeln vollständig entscheiden. 

Bezeichnen wir nämlich mit «, ß, y die drei Wurzeln, so ist 

(2) «1 = — (a + /3-f 7), a2 = ciß-^Ky^ßy, a^ = — aßy, 

Ist nun J) < 0, also nur eine Wurzel, etwa a, reell, so ist 
ßy positiv und a wird negativ oder positiv sein, je nachdem % 
positiv oder negativ ist. Ist aber D positiv, also alle drei Wurzeln 
reell, so ist, wenn «, /3, y positiv sind, nach (2) 

(3) a^ < 0. «2 > 0. «3 < 0; 

diese Bedingungen sind nothwendig dafür, dass alle drei Wurzeln 
positiv sind. Sie sind aber auch hinreichend; denn wenn eine 



i^. 83. 



Wurzeln der cubischen Gleichung. 



275 



oder drei Wurzeln negativ sind, so ist «3 > 0. Sind aber zwei 
Wurzeln, etwa ß, y, negativ, so ist entweder 

«1^0 oder « > — (ß -\- y). 
In letzterem Falle aber folgt 

a,<ßy-(ßJr yy =- ß^ - ßy - y\ 
also «2 negativ. 

Ist endlich eine Wurzel gleich 0, so muss nothwendig «3 
verschwinden. 

Indem man x durch — x ersetzt, schliesst man, dass für drei 
negative Wurzeln die nothwendige und hinreichende Bedingung 
die ist 
(4) tti > 0, % > 0, as > 0. 

Wir erhalten daher unter Voraussetzung einer ^lositiven 
Discriminante folgende Tabelle : 



«1 



«9 



«3 



h - 

+ -f - 
+ - - 



+ + + 





— — 




- + + 


2 


+ - + 





wo in der letzten Columne die Zahl der positiven Wurzeln 
angegeben ist. Wir können das Resultat dieser Betrachtung so 
aussprechen : 

Bei positiver Discriminante ist die Anzahl der posi- 
tiven Wurzeln der cubischen Gleichung gleich der An- 
zahl der Zeichenwechsel in der Reihe 

1, «x, «2? ^3} 

wenn wir unter einem Zeichenwechsel die Aufeinanderfolge einer 
positiven und einer negativen oder einer negativen und einer 
positiven Grösse verstehen. 

Wenn eine der beiden Grössen a^, «3 verschwindet, so haben 
wir, da dann nicht alle Wurzeln von gleichem Zeichen sein 
können, eine oder zwei positive Wurzeln. 

18* 



276 Siebenter Abschnitt. §. 84. 

Wenn «. = ist, so reducirt sich die Discriminante auf 

a.2 {a'l — 4 «2)) 
und wenn diese positiv ist, so hat die cubische Gleichung eine 
verschwindende und noch zwei andere reelle Wurzeln. Diese 
sind positiv, wenn 

«1 < 0, a2 > 0, 
negativ, wenn 

a^ > 0, a, > 0, 
und es ist eine von ihnen positiv und eine negativ, wenn 

ist. 



«1 = 0, a, < 



§. 84. 
Discussion der biquadratischen Gleichung. 

Bei den Gleichungen vierten und fünften Grades existiren 
entweder keine oder zwei oder vier imaginäre Wurzeln. Ist die 
Discriminante negativ, so hat man zwei imaginäre Wurzeln. Bei 
positiver Discriminante können entweder vier oder keine ima- 
ginären Wurzeln vorhanden sein. Diese beiden Fälle zu unter- 
scheiden, wird weiterhin unsere Aufgabe sein. Wir wenden uns 
aber zunächst zu einer elementaren Betrachtung der biquadra- 
tischen Gleichung, die wir der Einfachheit halber in der ver- 
kürzten Form 

(1) x^ -j- axy^ -^hx ^ c = 

annehmen wollen, von der wir leicht zur allgemeinen Form 
zurückkehren können. 

Bezeichnen wir die Wurzeln mit a. /3, y, b und setzen, wie 
in §. .52 

u — ß = V -^ u\ y — b z= V — «•, 

(2) « — y = K' -}- «, d — /3 = «• — «, 
« — ö = n -{- f, ß — y ^= \{ — r, 

so sind v."-^ v-^ tv^ die Wurzeln der cubischen Resolvente 

(3j iß + 2 a^/- -^ (a- — 4:C)y — h'^ = 0, 

und die Discriminante D dieser cubischen Gleichung, die durch 

(4) 27 D = 4 (a2 -i- 12 c)3 — (2 a^ _ 72 « c -f- 27 h'^y 

bestimmt ist. ist zugleich die Discriminante der biquadratischen 



§. 84. Wurzeln der biquadratischen Gleichung. 277 

Gleichung (1), und die Vorzeichen der Grössen ii, y, w sind 
durch die Bedingung 

(5) uvti) = — b 

beschränkt [§. 40, (3)]. 

Wenn die Discriminante negativ ist, so hat die Gleichung 
(3) ebenso wie (1) zwei conjugirt imaginäre Wurzeln. 

Ist D positiv und alle vier Wurzeln «, /3, y, d reell , so 
werden auch m, v, w reell und also ihre Quadrate, d, h. die 
Wurzeln von (3), positiv. 

Sind alle vier Wurzeln imaginär, etwa « mit ß und y mit d 
conjugirt, so folgt aus (2), dass v und tv rein imaginär, u reell 
ist; also hat in diesem Falle die Gleichung (3) eine positive und 
zwei negative Wurzeln. 

In beiden Fällen kann aber auch, wenn h verschwindet, eine 
der Grössen «, v, iv gleich Null sein. 

Mit Rücksicht auf die Ergebnisse des letzten Paragraphen 
über die cubische Gleichung kommen wir also zu folgendem 
Resultat : 

Die noth wendige und hinreichende Bedingung 
für die Existenz von vier verschiedenen reellen 
Wurzeln ist 

(6) Z) > 0, a < 0, «2 _ 4 c > 0. 

In allen anderen Fällen, wo D positiv ist, hat die Gleichung 
vier imaginäre Wurzeln. 

Wir können auch für D = 0, also im Falle der Gleichheit 
zweier Wurzeln, die Discussion vollständig durchführen. 

Nehmen wir y = d an, so folgt aus (2), da wir die An- 
nahme a-\-ß~\-y-\-8=:0 gemacht haben, 

2v = 2iü = K — ß 
2u = a -{- ß — 2y = 2(a-{- ß) 
und daraus nach (3) 

^ -4«=2(« + /3)2 + («-/3)2 

IG (a-^ - 4 c) = (« - ßy [8 (« + ßy + (« - ßyi 

Um zunächst den Fall zu erledigen, dass auch u = ß ist, 
so erhalten wir aus (7) dafür die Bedingung a^ — 4 c = 0, und 
die erste Gleichung (7) zeigt, dass a negativ ist, wenn « und y 
reell, dagegen positiv, wenn a und y conjugirt (und dann wegen 
cc -\- y = rein imaginär) sind. Daraus folgt: 



278 Siebenter Abschnitt. §. 84. 

Die biquadratische Gleichung hat zwei Paare gleicher, reeller 
Wurzeln, wenn 

(8) D = 0, a < 0, a2 — 4 c = 
und zwei Paare gleicher imaginärer Wurzeln, wenn 

(9) D = 0, a > 0, «2 _ 4 c = 0. 

Ist aber a von /3 verschieden, so muss y reell sein und (7j 
zeigt, dass, wenn a und /3 reell sind, a negativ und a- — 4c 
l^ositiv ist, dass dagegen, wenn a und /3 conjugirt imaginär sind, 
entweder a positiv oder a^ — 4c negativ sein muss, da in die- 
sem Falle (« — /3)2 negativ ist, und wenn 2(a -|- ^y^ -\-{a — /3)- 
positiv ist, jedenfalls auch 8 (a -}- ^)2 -[- (« — ^y- positiv sein muss. 
Wir können also (6) dahin ergänzen, dass wir sagen: 
Die nothwendige und hinreichende Bedingung für 
die Existenz von vier reellen Wurzeln, von denen auch 
zwei (aber nicht mehr) einander gleich sein können, ist 

(10) i> ^ 0, a < 0, a2_4c>o. 

Die nothwendige und hinreichende Bedingung für 
drei gleiche Wurzeln, die nothwendig alle reell sind, ist 
nach (2) 

«2 = ^-2 ;= ^(,2^ 

es muss also die cubische Piesolvente (3) drei gleiche Wurzeln 
haben, und dafür sind nach §. 83 (1) die nothwendigen und hin- 
reichenden Bedingungen 
, . «2 _4_ 12c = 

^ ^ 2 «•■ — 8 a c -f 9 ^2 = 0. 

Nach §. 52 (1.5), (16) sind die beiden Invarianten A und H 
der biquadratischen Gleichung 

J. = a2 -f 12 c, J5 = 2 «•> — 72 a c -f 27 62. 
Also können wir die Gleichungen (11) auch so schreiben: 

^ = 0, 5 + 4a^ = 0. 
so dass (11) gleichbedeutend ist mit 

^ = 0, 5=0. 

Durch Elimination von c kann man aus (llj auch noch die 
Gleichung ableiten: 
(12) 8«3 -^ 27?;2 = 0. 

Endlich ist noch die Bedingung für die Gleichheit 
aller vier Wurzeln 

« = 0, Z* == 0, c = 0. 



§•84. 



Discriminanten fläche. 



279 



Man kann diese Verhältnisse sehr anschaulich machen durch 
eine geometrische Deutung, und wenn auch geometrische Be- 
trachtungen nicht eigentlich in unserem Plane liegen, so wollen 
wir doch nicht unterlassen, den Leser darauf gelegentlich hin- 
zuweisen. 

Deutet man a, 6, c als rechtwinklige Coordinaten im Räume, 
so ist jeder Raumpunkt als Träger einer gewissen biquadratischen 
Gleichung von der Form (1), f {x) = 0, zu betrachten; alle 
Gleichungen, die eine bestimmte Zahl x zur Wurzel haben, 
werden durch Punkte einer Ebene [f{x) = 0] repräsentirt. Die 
Gleichung B = ist die Gleichung einer krummen Oberfläche 
(fünften Grades), der Discriminantenfläche, die von den 
Schnittlinien der Ebenen f(x) = 0, f'{x) = erzeugt wird, und 
also eine abwickelbare Fläche ist. Sie ist die Einhüllende aller 
Ebenen f(x) = 0. 

Die Fläche hat eine aus zwei Zweigen bestehende Rückkehr- 
kante, die durch die Gleichungen (11), (12) dargestellt ist, und 
eine Doppellinie, die durch die Gleichungen 6=0, a^ — 4c = 
bestimmt ist und also die Gestalt einer Parabel hat. Auf der 
Seite der negativen a durchsetzt sich in dieser Parabel die 



Fig. 5. 



Fläche selbst. Auf der 
Seite der positiven a 
setzt sich die Parabel 
als isolirte Linie fort. 
Die Discriminanten- 
fläche theilt den gan- 
zen Raum in drei 
Fächer, von denen zwei 
nur längs der Doppel- 
parabel zusammen- 
hängen , und diese 
Fächer enthalten die 
Punkte, denen keine, 
zwei und vier reelle 
Wurzeln entsprechen. 
Nennen wir für den 
Augenblick diese drei Fächer [0], [2], [4], so grenzt [0] an [4] 
nur längs der Doppelparabel, während [0] sowohl als [4] längs 
der Flächentheile an [2] grenzen. Wir wollen mit [0, 2] und 
[2, 4] die Grenzflächen von [0], [2] und von [2], [4] bezeichnen. 




280 Siebenter Abschnitt. §. 84. 

Der isolirte Theil der Parabel setzt sich in das Innere von [0] 
fort. Die Rückkehrkanten liegen auf dem Theil der Fläche, der 
[4] von [2] scheidet. 

Im Coordinatenanfang stossen die drei Raumtheile und ihre 
Grenzflächen und Grenzlinien zusammen. Die Punkte der 
Flächentheile [0, 2] stellen Gleichungen mit zwei gleichen und 
zwei imaginären Wurzeln dar, die Punkte von [2, 4] Gleichungen 
mit zwei gleichen und zwei davon verschiedenen reellen AYurzeln. 

Auf der Doppelparabel finden zweimal zwei gleiche Wurzeln 
statt, und zwar auf dem Theil, in dem [0] an [4] grenzt, reelle, 
in dem isolirten Theil imaginäre. 

Die Punkte der Piückkehrkanten repräsentiren Gleichungen 
mit drei gleichen W^urzeln und der Coordinanten - Anfangspunkt 
die Gleichung mit vier gleichen W^urzeln. 

Auf die Discriminantenfläche und ihre Bedeutung für die 
Discussion der biquadratischen Gleichung hat zuerst Kronecker 
hingewiesen. Ein Modell der Fläche ist von Kerschensteiner 
construirt i). 



Der analytische Ausdruck für die Bedingungen der Piealität 
der Wurzeln lässt sich in eine Gestalt bringen , in der nur die 
Covarianten der biquadratischen Form Vorkommens). 

Den Ausgangspunkt dazu bilden die Ausdrücke für die 
Functionen t^j, ip^-: ^s? di^ §• '^^■) {^) gegeben sind. Wenn wir 
in jenen Ausdrücken os mit ß vertauschen, so gehen ip^^ tp^-, t'i ^^ 
^15 — ^35 — ^'2 über, und wenn wir gleichzeitig u mit ß und y 
mit d vertauschen, i'-^, ip^-, i>-i in ^'1, — ^21 — ^s- Daraus ergiebt 
sich Folgendes: 

Setzt man für die Variable x einen beliebigen reellen Werth 
und sind die Wurzeln «, /3, 7, ö der biquadratischen Form alle 
reell, so sind auch t^'i. t^'2, t^'3 reell. 

Sind tt. ß conjugirt imaginär, 7, ö reell, so ist die Ver- 



1) Kronecker, Monatsbericht der Berliner Akademie vom 14. Februar 
1878. Eine Beschreibung des Modells findet sich in dem von Dyck heraus- 
gegebenen Katalog mathematischer Modelle, München 1892, dem die Fig. 5 
auf voriger Seite entnommen ist. 

-) Clebsch, „Theorie der binären Formen", §. 47. Faä di Bruno, 
, Theorie der binären Formen", deutsch von Walter (Leipzig 1881), §. 20, 
woselbst sich ein wesentlicher Zusatz von Nöther findet. 



§. 85. Bezoutiante und AVurzelrealität. 281 

tauschung von a und ß gleichbedeutend mit der Vertauschung 
von i mit — i. Es sind also in diesem Falle ip^ reell, t^.,, — iZ-'s 
conjugirt imaginär. 

Sind endlich a, ß und y, Ö zwei Paare conjugirt imaginärer 
Wurzeln, so werden a mit ß und y mit d vertauscht, wenn i in 
— i übergeht; also sind in diesem Falle fi reell, ^21 ^3 rein 
imaginär. 

Sind vier Wurzeln reell, so werden t^'f, i'^, li^^ reell und 
positiv. 

Sind zwei Wurzeln reell, so ist ip{ reell und positiv, 1^./, ijj^ 
sind conjugirt imaginär. 

Sind vier Wurzeln imaginär, so ist xfj^ positiv, i^'o", ^3- sind 
reell und negativ. 

Nun haben wir im §. 72, (7) die cubische Gleichung auf- 
gestellt, deren Wurzeln t/^f, i'li i't sind, und haben auch ihre 
Discriminante gebildet. Im vorigen Paragraphen haben wir ein 
Kennzeichen für die Anzahl der positiven Wurzeln einer cubischen 
Gleichung kennen gelernt, woraus sich folgendes Ptesultat ergiebt: 

Ist D < 0, so hat die biquadratische Gleichung zwei reelle 
und zwei imaginäre Wurzeln. 

Ist D > 0, so müssen, wenn vier reelle Wurzeln vorhanden 
sein sollen, in der Pieihe 

1, H, H' - IGAf, — T^ 

drei Zeichenwechsel vorkommen, d. h. es muss 

II < 0, H^ — lGÄf> 

sein. Bei den drei anderen noch möglichen Zeichencombinationen 
sind alle vier Wurzeln imaginär. Hierbei aber kann für x ein 
beliebiger reeller Werth gesetzt werden. 



§. 85. 

Die Bezoutiante und ihre Bedeutung für die 

W u r z e 1 r e a 1 i t ä t. 

Für die Untersuchung der Realität der Wurzeln einer be- 
liebigen reellen Gleichung in allgemeineren Fällen kann die 
Function mit Nutzen angewandt werden, die wir im §.79 als 
Bezoutiante der Gleichung bezeichnet haben. 



282 Siebenter Abschnitt. §. 85. 

Ist 

(1) f{x) = a?" -|- «1 a;"-i -f- Og r'-2 _}_ . . . _|_ ^^ _ 

irgend eine reelle Gleichung n'''" Grades, so war die Bezoutiante 
folgenderraaassen definirt : 
Man setze 

(2) y = tn-lfo (X) + tn-2fi (X) ^ [-tofn-i (x\ 

worin die to, f^, . . ., t„_i unbestimmte Variable bedeuten und 
/o (x) = 1, /i (x) = X -^ üi, /2 {x) = a;2 4- «1 a: + «2, . . . 
Es ist dann [§. 79, (10)] 

wo B eine quadratische Form der n — 1 Variablen %, ^i,..., tn-2 
ist mit Coefficienten, die rational aus den Coefficienten a^ zu- 
sammengesetzt sind. Diese Function B haben wir als Bezoutiante 
definirt und für die Fälle w = 4 und n = ö wirklich gebildet. 
Nun sind in der Summe auf der linken Seite von (3) 

(4) y! -hyi + y!-i h yl 

<ii6 2/ii 2/25 •••1 2/n lineare Functionen der Variablen foi ^i, ••., ^n-i, 
und wir haben also in der Formel (3j eine Transformation der 
quadratischen Form 

auf eine Summe von n Quadraten. 

Wir machen fürs erste keinerlei beschränkende Voraus- 
setzungen über Gleichheit oder Verschiedenheit der Wurzeln von 
f(x)\iud müssen nun zunächst untersuchen, inwieweit die linearen 
Functionen y^, ?/2, . . ., ;?/„ von einander unabhängig sind. In dieser 
Beziehung gilt der Satz: 

Sind iCi, X21 . . .1 Xv von einander verschiedene Wur- 
zeln der Gleichung (1), so sind 3/1, 2/,, . . ., y,. linear unab- 
hängig. 

Denn angenommen, es existire zwischen y^, i/,, . . .. 2/. eine in 
Bezug auf die t identische lineare Relation 

«1 2/1 + «2 2/2 -^ • • • + «'■ yy = 0, 

deren Coefficienten a von den t unabhängig und nicht alle gleich 
Null sind, so würde diese in die folgenden Gleichungen zer- 
fallen : 



§.85. 



Bezoutiante und Wurzelrealität. 



283 



«1 /o (^l) + «2 /o (^o) + • • • + «v/o (Xy) = 0, 

«1 /i (^i) + «2 /i (^2) H h «v/i (a?,) = 0, 

Da nun v '^ n ist, so muss die Determinante der v ersten 
von diesen Gleichungen verschwinden, also 

/o (^1)1/1 (^1)1 • • ••fr—li.^l) 
/o (^l)l /i (^2)1 • • •ify—i (^2) 



oder 



1, a;i -|- «1, iCj- -)- «x ^1 "h % • 

J- ^ *^2 — i ^li ^2 — — ^1 *^2 — I — ^^2 • 



0, 



0. 



i, Xy |— ttj, 3?V — ]— Gi^ CVy — \— Cli) ... 

Diese Determinante lässt sich aber durch wiederholte An- 
wendung des Satzes von der Addition der Colonnen §. 25, (VII) 
auf die Form bringen: 



+ 



1, a^i, x^^ 

1, 3/2) ^21 



•> '^i — (^1 "^i) y^i ^i) ' • • \^i 



•1 •*2 



V — 1 



1) Xy^ Xy^ 



•5 -^v 



V— 1 



{x.2 a^s) . . . {X2 — Xy) 



yXy — 1 Xy)^ 

und kann also nicht verschwinden, wenn, wie vorausgesetzt war, 
die Xi, x-i, . . ., Xy verschieden sind. 

Wenn wir daher in der Summe (4) alle unter einander 
gleichen Glieder zusammenfassen, so bleiben so viele Qua- 
drate linear unabhängiger Functionen übrig, als die 
Gleichung (1) verschiedene Wurzeln hat. 

Wenn nun x^ eine reelle Wurzel von (1) ist, so ist yf ein 
positives Quadrat in der Summe (4). Sind aber Xi und X2 con- 
jugirt imaginär, so zerfallen auch y^ und 3/2 in zwei conjugirt 
imaginäre Bestandtheile 

y^ r= ti -\- vi, y^ = u — vi, 

wo u und V lineare reelle Functionen von den t sind. Demnach 

wird 

2/2 4- y 2 _ 2 ^<2 _ 2 vK 

Es ist also durch (4) die durch (5) definirte Function ^(f) 
in eine Summe von Quadraten zerlegt, deren Anzahl gleich der 



284 Siebenter Abschnitt. §-86. 

Zahl der verschiedenen Wurzeln \onf(x) = ist, und unter 
denen so viele negative sind, als unter diesen von einander ver- 
schiedenen Wurzeln Paare imaginärer Wurzeln vorkommen. 

Diese Anzahlen bleiben aber nach dem Trägheitsgesetz der 
quadratischen Formen (§. 64) bei jeder anderen linearen reellen 
Transformation der quadratischen Form in eine Summe von 
Quadraten dieselben. Nun ist S{y) eine reelle lineare Function 
der t, und B enthält die Variable tn—i nicht mehr; hiernach 
ergiebt sich aus der Formel (6) der Satz: 

I. Wenn die Bezoutiante B durch reelle lineare 
Transformation in eine Summe von jr positiven 
und V negativen Quadraten, die nicht auf eine 
kleinere Zahl reducirt werden können, zerlegt 
ist, so ist 7t -\~ V -\- 1 die Zahl der verschiedenen 
Wurzeln von f(x) = 0; und v ist die Anzahl der 
darunter enthaltenen Paare conjugirt imaginärer 
Wurzeln, tc — v -[- 1 die der reellen. 

Ist die Determinante von B\ also aach die Discriminante 
von f{x) (§. 79) von Null verschieden, so ist 7t -\- v = n — 1 
und V ist kleiner oder höchstens gleich ^oi. 

Die Bezoutiante ist also eine quadratische Form von einer 
besonderen Natur, die sich eben darin ausspricht, dass unter 
den Quadraten, in die sie sich zerlegen lässt, höchstens |m nega- 
tive vorkommen können. 



§. 86. 
Die Trägheit der Formen zweiten Grades. 

Durch den Satz des vorigen Paragraphen sind wir auf die 
Untersuchung der homogenen Functionen zweiten Grades mit 
reellen Coefficienten hingewiesen. Ueber diese Functionen haben 
wir in §. 64 unter dem Namen des Trägheitsgesetzes einen 
Satz kennen gelernt, der für das Folgende die Grundlage bildet. 
Der Satz besteht darin, dass, wie man auch eine quadratische 
Form von m Veränderlichen in eine Summe von positiven und 
negativen (^)uadraten von linear unabhängigen linearen Functionen 
transformiren mag, was auf unendlich viele verschiedene Arten 
möglich ist, die Anzahl der positiven und ebenso die der negativen 
Quadrate immer dieselbe ist. 



§. 86. Trägheit der Formen zweiten Grades. 285 

Bezeichnen wir mit tc die Anzahl der positiven und mit v 
die Anzahl der negativen Quadrate, so ist % -j- v höchstens 
gleich m. 

Wenn wir den Unterschied m — 71 — v mit q bezeichnen, 
so kann, wenn wir die allgemeine quadratische Form von m 
Variablen als Summe von m Quadraten darstellen, q als die An- 
zahl der Quadrate mit verschwindenden Coefficienten bezeichnet 
werden. 

Die drei Zahlen :r, v, 9, von denen keine negativ sein kann 
und deren Summe gleich der Anzahl der Variablen ist, 

(1) n -\- V -]^ Q = m, 

sind also für eine bestimmte quadratische Form unveränderlich. 
Wir werden sie die charakteristischen Zahlen der quadra- 
tischen Form nennen 1). 

Wir haben nach Mitteln zu suchen, um aus den Coefficienten 
der quadratischen Form die Zahlen n^ v, q zu ermitteln. Wenden 
wir diese Mittel auf die Bezoutiante an, so erhalten wir Kenn- 
zeichen, um aus den Coefficienten einer Gleichung auf die Anzahl 
ihrer reellen Wurzeln zu schliessen. 

Es sei also jetzt, wie in §. 62 

1, m 

eine quadratische Form von m Veränderungen mit reellen 
Coefficienten a,_fc. 

Die Determinante 

(3) XI = 2^ i «1, 1, a2, 2i • • -5 ÖSm,m 

zeigt durch ihr Verschwinden an, dass (p durch lineare Trans- 
formation in eine Function von weniger als m Variablen trans- 
formirt werden kann, dass also q grösser als Null ist. 

Die Determinante jR ist eine symmetrische Determinante. 
Unter ihren Unterdeterminanten verschiedener Ordnung kommen 
gewisse vor, die wieder symmetrische Determinanten sind, nämlich 
die, die man aus B. erhält, wenn man Zeilen und Colonnen, die 
sich in Diagonalgliedern schneiden, ausstreicht, die also, wenn 



^) Nach Frobenius heisst n -\- p der Rang, n — r die Signatur 
der quadratischen Form („l eher das Trägheitsgesetz der quadratischen 
Formen" : Sitzungsberichte der Berliner Akademie 1894). 



286 



Siebenter Abschnitt. 



§. 86. 



«. ß. y . . . irgend welche unter den Indices 1, 2, . . ., ))i bedeuten, 
durch 

zu bezeichnen sind. Diese wollen wir die Haupt-Unterdeter- 
minanten von R nennen. 

Wir wollen die Anzahl der Haupt- Unterdeterminanten l)e- 
stimmen. 

Die Anzahl der u- reihigen Haupt -Unterdeterminanten ist 
gleich der Anzahl der Arten, wie man aus der Reihe der Indices 
1, 2, 3, . . ., m Gruppen von^u- verschiedenen auswählen kann, also 
gleich der Anzahl der Combinationen von m Elementen zu je jli, 
und diese Zahl ist gleich dem Binomialcoefficienten £J[^"\ Die 
Anzahl aller Haupt -Unterdeterminanten ist also, wenn wir die 
Determinante R selbst und ausserdem noch die Einheit als eine 
nullreihige Determinante mitzählen, 



1 + m + 



m(ni — Ij 
TT"2 



+ • • . -f ;>« -f 1 = 2'' 



Es ist aber meist nur ein kleiner Theil von diesen wirklich 
zu berücksichtigen. 

Die Indices 1, 2, 3, . . ., m lassen sich auf n(m) = 1 . 2 . 3 . . . w* 
verschiedene Arten anordnen; wenn wir mit irgend einer dieser 



Anordnungen die Determinante bilden 



«1,1 :5 
«2,1? 


«1,2 , «1,3; 
«2,2 :, «2,3 ' 


«3,1, 


«3,2, «3,3; 



•, «1, 



m 



5 . • ., ^3,»» 



•5 «2,»n 



«m,li «Hl, 2? «m,3i • • •: «ni,> 

so lässt sich eine Reihe von Haupt -Unterdeterminanteu daraus 
ableiten, wie es durch die Striche angedeutet ist, d. h. so, dass 
man jede vorhergehende aus der nachfolgenden erhält, indem 
man die letzte Zeile und Colonne weglässt; es ist also 

Rf) =1: Xl] = a],i, R2 = «],1«2,2 «l'25 

«l,li «1,2: «1,3 



Ro = 



«2,li «2,25 «2,3 
! «3,1, «3,2i «3,3 

Ein solches System soll . wenn es in absteigender Reihe 



•5 -tiin -"• 



•"mi -"//i - 



-15 • • •■) Rl^ -^0 



§. 87. Verschwindende Determinante. Og7 

geordnet ist, eine Kette von Haupt-Unterdeterminanten 
heissen. Solcher Ketten lassen sich 11 (m) verschiedene bilden, in 
denen allen das erste Glied it, das letzte Glied 1 ist. 



§• 87. 

Quadratische Formen mit verschwindender 

Determinante. 

Wenn die in (3), §. 86 definirte Determinante R der quadra- 
tischen Form q) {x^, X2, . . ., x^) verschwindet, so lässt sich, wie wir 
schon im §. 62 gesehen haben, cp durch weniger als »t von ein- 
ander unabhängige lineare Functionen von x ausdrücken. Wenn 
wir mit m — q die kleinste Zahl von Variablen bezeichnen, durch 
die sich cp ausdrücken lässt, so hat q dieselbe Bedeutung, wie 
im vorigen Paragraphen. 

Wenn sich nun unter den Haupt-Unterdeterminanten von R 
eine /.;-reihige findet, die von Null verschieden ist, etwa 

-Rfc = ^ dz «1,1 «2,2, • • ., «fc,fc, 
so ist, wenn wir 

Xk+i = 0, . X,, + 2 = 0, . . ., X,n = 

setzen, 

(p(Xi,X2, . . ., Xk, 0, 0, . . ., 0) 
eine ([uadratische Form von k Variablen Xi^ X2, . . ., aJ/c, deren 
Determinante Rk von Null verschieden ist, die sich sonach nicht 
durch weniger als Je Variable ausdrücken lässt. Um so weniger 
kann also bei unbeschränkt veränderlichen x^^ x^^ . . ., x^ die 
Function (p von weniger als h Variablen abhängen und es folgt 

(1) Q "^ m — li. 

Wir nehmen nun an, die Form qp {x^^ X-i-, . . ., iUm) lasse sich 
durch li von einander unabhängige lineare Formen von x aus- 
drücken, die wir mit 

,, = fi' X, -^ß'i^X^^ h ßk^ ^n + ßUl ^fe+. H h ßn.^ ^m 

Z._ = ßf> X, + ß'i^ *-2 H h ßk^ Xu + ß?ll ^fe+l H h ß^ ^- 



(2) 

Zu = ß'^'Xr-^ß'2'x2^ \-ß'i^'xu + ßUiXk+i^ htf^« 

bezeichnen wollen. 



288 Siebenter Abschnitt. §. 87. 

Da 5'i,^2----5'2'fc von einander linear unabhängig sein sollen, so 
muss unter den aus der Matrix 



ß^, ß'l\ ...ß 

ß?\ ß'i\ . . ., ß\ 



'(1) 

m 



(k) a(k) fi(k} 

tn 



ßT\ ßr. .-.ß 



zu bildenden A'-reihigen Determinanten wenigstens eine von Null 
verschieden sein. Denn wären sie alle gleich Null, so Hessen 
sich die Unbekannten \, /ig, . . ., \, die nicht alle verschwinden 
sollen, aus den Gleichungen 

li, ßf -4- ^hßf H h ^^^ßf = 0, s = 1, 2, 3 m 

bestimmen, und die s^, z^, . • ., ^t würden einer Gleichung 

K ^1 + ^2 ■ä'2 4- • • • + h Zu = 
genügen, also nicht unabhängig sein (§. 27). 

Wir können aber, ohne die Allgemeinheit zu beschränken, 
annehmen, dass die Determinante 

^ ± ß'^' ß'i' . . . ß^ 

von Null verschieden sei, und dann können wir die Gleichungen 
(2) in Bezug auf die Variablen x-^^^ x^^ . . .. Xu auflösen. 



Diesen Auflösungen geben wir die Form 

-^1 = Vi + «fc^i-i^fc + i + • ' • + «'»^^' 

^2=2/2 + «J.^+1 a^fc + l + • • • ^ «m ^: 



(3j 

Xu = Vk + «fc'+l^fc+l + • • • + «m ^m, 

worin die xjs lineare homogene Verbindungen der Zs sind, die 
aus den Gleichungen 

/3'/^ 2/1 + ^2^V2 + • • • + M'V^- = ^1, 

ßTy. + ßfih^----^ß'i'yk = z-2. 



ßfy.-^ßTy,^--'^ßfyk = zu 

bestimmt werden, während die a neue Coefticienten sind, die in 
«iner leicht zu übersehenden Weise aus den ß abgeleitet werden, 
auf deren Bildung es uns hier nicht weiter ankommt. 

Nun lässt sich nach der Voraussetzung die Function 
<p{x-i_,X2, ..., Xrr,) durch ^1,^21 ■••■> Zk, also auch durch 2/1,^2, •.., y^ 



§. 87. Verschwindende Determinante. 289 

allein ausdrücken. Bezeichnen wir diesen Ausdruck mit 
^iy^Vi-»" -.yi), so haben wir [durch Vermittelung von (3)] die 
Identität 

(4) 9P(a-i, a^a, . . ., Xj,. x^ + i . . . x,,,) = 0{ij^^ 2/2, • • •, ^fc)' 
und wenn wir darin Xt + i, ä'j: + 2, . . •, x^ = setzen, 

(5) 0(xi, Xi, . . ., Xu) = 95 (a^i, Xo, . . ., Xk, 0, 0, . . ., 0), 

wodurch, da es auf die Bezeichnung der Variablen nicht an- 
kommt, vollständig bestimmt ist; wir können daher setzen 

(6) ^(!/i, ^2, . . •, !/fc) = (P {iju 2/2, . • ., ?A-, 0, 0, . . ., 0) 

— ^ \Xi^ Xo^ ' • .5 ^»1/ 5 

<D entsteht also aus g? dadurch, dass man die m — k letzten 
Variablen (bei der hier gewählten Anordnung) gleich Null setzt: 

r,8 

(7) ^(^1, . . •, Xu) = ^ ar,sXrXs. 

l,k 

Die Determinante von ist eine der Haupt- Unterdeter- 
minanten von jB, und zwar erhält man sie, indem man in R die 
m — Tc letzten Zeilen und Colonnen wegstreicht. 

Nehmen wir an, dass cp sich nicht durch noch weniger als 
Je Variable ausdrücken lässt, dass also l' = m — q sei, so kann 
die Determinante dieser Function nicht verschwinden. 

Hieraus und aus dem zuvor Bewiesenen ergiebt sich nun 
der Satz: 

H. Wenn alle Haupt-Unterdeterminanten von R von 

mehr als k Reihen verschwinden, während unter 

den Hau pt -Unter determ in anten von Ic Reihen 

wenigstens eine von Null verschieden ist, so ist 

Q = m — Je. 

Denn aus (7) folgt, dass, wenn q = 'ni — Je ist, wenigstens 
eine /c- reihige Haupt -Unterdeterminante von Null verschieden 
sein muss, und aus (1), dass, wenn auch noch eine Haupt-Unter- 
determinante von mehr als Je Reihen von Null verschieden ist, 

Q < m — Je 

ist. Wenn also q = m — Je ist, so kann keine Unterdeterminante 
von mehr als Je Reihen von Null verschieden sein. 

Sind :r, v, q die charakteristischen Zahlen der Form g?, so 
sind :7r, v die Anzahlen der positiven und negativen Quadrate, 
in die sich die durch (7) bestimmte Form zerlegen lässt, und 

Weber, Algebra. I. jg 



290 Siebenter Abschnitt. §. 88. 

die Bestimmung der Zahlen ti^ v braucht also nur noch für 
letztere Function, deren Determinante von Null verschieden ist, 
durchgeführt zu werden. 



§. 88. 

Quadratische Formen mit nicht verschwindender 

Determinante. 

Bei der Untersuchung der Formen (p (Xf^^ x^^ ■ . ., x,,t) mit nicht 
verschwindender Determinante machen wir von einem Deter- 
minantensatz Gebrauch, den wir im §. 31 bewiesen haben, und 
an den wir hier erinnern wollen. 

Ist A eine Determinante von m Reihen, und sind Af^^ ihre 
ersten, Af^l' ihre zweiten Unterdeterminanten, so ist 

(1) ' A^'Af-A^^A^' = AA]'i 

Ist A eine von Null verschiedene symmetrische Deter- 
minante, so ist Ai^ = A'i'' und wir können die Formel (1) so 
schreiben : 

(2) ^P^l^ — ^f = ^^l;j. 

Darin kann i jeden der Indices 2, 3, . . ., m bedeuten. Wenn 
Ai' = und A\''i = ist, so folgt hieraus, dass auch Ai^ = 
sein muss, und daraus schliessen wir, dass nicht zugleich 

.(1) .1,2 .1,3 .l,m 

-^1 1 ^^1,2- -^l,3i • • •■) ■^l,m 

verschwinden können, da sonst auch 

i(2) j(3) A{m) 

^-±1 , Jll , . . ., -^1 , 

also auch, gegen die Voraussetzung, A verschwinden würde (§.25). 
Wenden wir dies auf die jetzt von Null verschieden an- 
genommene Determinante R = R,n unserer Function «p an, so 
folgt, dass zwar die erste Haupt-Unterdeterminante J?„,— i, dann 
aber nicht alle zweiten Haupt -Unterdeterminanten B,n~2 ver- 
schwinden können. Dieselbe Schlussweise lässt sich anwenden, 
wenn wir R durch ein nicht verschwindendes R,n-i, R,n-2 • • • 
ersetzen, und wir gelangen also zu folgendem wichtigen Satz : 
III. Man kann, wenn R von Null verschieden ist, die 
Indices 1, 2, . . ., ni so anordnen, dass in der Kette 
der Haupt -Unter d et ermin ante n 

(3) jv„i, M„i—ii • • •; Rii Ro 



§. 89. Anzahl der positiven und negativen Quadrate. 



291 



nicht zwei auf einander folgende Glieder ver- 
schwinden. 
Die Determinantenrelation (2) ergiebt, wenn man 

Ä = Rk+u (fc = 1, 2, . . ., w — 1) 
setzt, eine Gleichung zwischen drei auf einander folgenden Gliedern 
der Kette (3), die wir so schreiben können: 

(•i) -RfcÄfc Tfc = i?;,_iJBfc^l, 

worin Sk und Ti- gewisse Unterdeterminanten von 7i, also ganze 
rationale Functionen der Coefficienten cii^k sind. 

Näher bezeichnet, sind iJ^, Sic, ^/t erste Unterdeterminanten 
von JRfc + i, und zwar ist 

dR]c + i o Ö-ßfe + i rr 8-^fc + i 



Rv 



dRu+i 



T,.= 



Eine dem Satz (3) entsprechende Anordnung der Indices 
wollen wir für die Folge als gewählt voraussetzen. Dann ist, 
wenn R^ verschwindet, Rk—i und Rk + i von Null verschieden und 
(4) zeigt, dass sie entgegengesetzte Vorzeichen haben, also: 

IV. Wenn ein inneres Glied einer Kette von Haupt- 
Unterdeterminanten verschwindet, so haben die 
beiden angrenzenden Glieder entgegengesetzte 
Vorzeichen. 



§. 89. 
Anzahl der positiven und negativen Quadrate. 

Um die Anzahl der positiven und negativen Quadrate einer 
Form mit nicht verschwindender Determinante zu bestimmen, 
nehmen wir zunächst an, dass in der Kette der Haupt -Unter- 
determinanten 

kein Glied verschwinde. Wir können dann den Coefficienten A 
so bestimmen, dass die Determinante der Form 

verschwindet. Die Determinante ist nämlich 



02,1» f*2,2i • • •: <^h,m 



■"m ^ J-hn — li 



19* 



292 Siebenter Abschnitt. §. 89. 

und sie verschwindet, wenn 



-tim — l 

gesetzt wird. 

Die Function t^' lässt sich dann durch jh — 1 Variable y 
ausdrücken, und man erhält nach der Formel (6), §. 87 

oder nach (1) 

7? 

(2) cp (Xi, 3^2, . . ., X,n) = p-^^ Xl + (p (^1, 2/o, . . ., 1/„,_i, 0). 

J^m — 1 

und die Untersuchung der Function 9? von m Variablen ist dadurch 
auf die Untersuchung von (pi{y) = ^{yi-, y'i-, . . ., ym-i, 0) von 
m — 1 Variablen zurückgeführt, deren Determinante gleich 12„j_i, 
also von Null verschieden ist. Je nachdem i?,„ : B,n—i positiv 
oder negativ ist , wird die Function (p (x) ein i)ositives oder ein 
negatives Quadrat mehr haben als (pi (y). 

Durch Anwendung des gleichen Verfahrens auf qp^ (y) und 
die folgenden Functionen ergiebt sich der Satz: 

Die Anzahl der positiven und negativen Glieder der Reihe 

^q\ J^m J-^m — 1 J^i 

-Cl„i_i JA,„i — 2 -"0 

stimmt überein mit der Anzahl der positiven und negativen 
Quadrate, in die sich die Function (p (x) zerlegen lässt. 

Wir wollen diesem Satze noch einen etwas anderen Ausdruck 
geben, schicken aber folgende Erklärung voraus. 

Wenn eine Reihe von Null verschiedener reeller Zahlen in 
bestimmter Anordnung vorliegt, so können die Vorzeichen dieser 
Grössen in mannigfaltiger Weise wechseln; folgen zwei Grössen 
von gleichem Zeichen auf einander, so findet eine Zeichenfolge 
(Permanenz) statt, folgt aber auf eine Grösse eine andere von 
entgegengesetztem Zeichen, so haben wir einen Zeichenwechsel 
(Variation). 

Betrachten wir nun von diesem Gesichtspunkte die Reihe 
der Grössen 

so findet beim Uebergange von Rk zu jRa—i eine Zeichenfolge oder 
ein Zeichenwechsel statt, je nachdem der Quotient Bu : Rk-i 
positiv oder negativ ist. 



§. 89. Zeichenfolgen und Zeichenwechsel. 293 

Wir können also auch den folgenden Satz aussprechen: 
V. Ist n die Anzahl der positiven, v die der nega- 
tiven Quadrate von 9p, so ist n gleich der Anzahl 
der Zeichenfolgen, v gleich der Anzahl der 
Zeichenwechsel in der Kette 

Diese Fassung des Satzes hat den Vorzug, dass sie sich auf 
den Fall übertragen lässt, dass in der Reihe (4) einzelne innere 
Glieder verschwinden, wenn nur nicht zwei auf einander folgende 
Glieder Null sind (was nach §. 88, III. immer angenommen werden 
kann). Wenn nämlich Rj, = 0, Rk-i, -Ri-fi von Null verschieden 
sind, so haben nach §. 88, Satz IV. Rk-i und Ru + i verschiedene 
Vorzeichen. In der Reihe 

I^k + li ^ki Rt; — ! 

findet also ein Zeichenwechsel und eine Zeichenfolge statt, 
gleichviel ob wir das verschwindende R^ durch eine positive oder 
eine negative Grösse ersetzen. 
Wenn wir nun die Kette (4) 

in der einzelne Glieder verschwinden, durch eine andere ersetzen, 

{0) R,ni Rm — \i • ' '1 -tt'li J^Oi 

in der kein Glied verschwindet, und in der den nicht verschwin- 
denden Gliedern der Reihe (4) Glieder von demselben Vorzeichen 
entsprechen, so haben die Reihen (4) und (5) gleich viele Zeichen- 
wechsel, welches Zeichen auch die den verschwindenden R ent- 
sprechenden R' haben mögen. 

Es sei nun t/> (x) eine zweite beliebige quadratische Form 
der Variablen x, mit der wir die Form 
(6) cp' = (p -\- sxjj 

bilden, worin £ ein noch unbestimmter Coefticient ist. Wir 
werden nun sogleich zeigen, dass wir e so wählen können, dass 
(p' und (p dieselbe Zahl von positiven und negativen Quadraten 
haben, dass aber in der Kette der Haupt- Unterdeterminanten 
R'i der Form (p' keine verschwindenden Glieder vorkommen, und 
dass endlich einem nicht verschwindenden Rj^, ein jR^ von dem- 
selben Vorzeichen entspricht. Dann können die Zahlen ;r, v 
für cp und für cp' sowohl aus der Reihe (4), als auch aus der 
Reihe (5) ermittelt werden, und die Anzahl der Zeichen- 



294 



Siebenter Abschnitt. 



§. 89. 



Wechsel, die in beiden gleich ist, giebt die Anzahl v der nega- 
tiven Quadrate. 

Um nun den Nachweis zu führen, dass der Coefficient £ in 
der angegebenen Weise bestimmt werden kann, nehmen wir an, 
es sei (p irgendwie in eine Summe von Quadraten verwandelt 

. (7) (f = Ai y^ + -^2 2/2^ + • • • + ^mVi, 

und xl>, in den Variablen ^/i? 2/2? • • m Vm dargestellt, habe den 
Ausdruck 

(8) ,p = Z ßi^j^yiyu. 

Die Zahlen n^ v für die Function cp' werden dann aus der 
Kette der Haupt-Unterdeterrainanten von 

£P2,li ^2 -\~ ^ ß2,2 • • • f P2,m 



(9) 



'*■»! ~| ^ Pm,i 



nach dem Satze V. bestimmt. 

Nun kann man aber e so klein annehmen, dass diese Haupt- 
Unterdeterminanten dem Zeichen nach übereinstimmen mit 

Al /L2 A3 . . . /.„j, Aj Ag A3 . . . A„j_i, . . ., /l^, Ajl ^15 1) 

und dann ist die Anzahl der positiven und negativen Quadrate 
von (p' gleich der Anzahl der positiven und negativen unter den 
Coefficienten A, von denen keiner verschwindet, d. h. die Zahlen 
7t und V sind für q) und q)' dieselben. 

Sind nun die Coefficienten von t/.-, in den ursprünglichen 
^^ariablen ausgedrückt, öj.t, also 

so ist eine der Haupt-Unterdeterminanten von cp' 

«1,1 + £^1,1 . . • «i,A- + £^i,fc 



Ph 



«-fc 



und ist also eine ganze rationale Function A;*^° Grades von £, 

E^ = R, + bM, + 6^M, H h £'^4, 

worin die M^, J/9, . . ., -Mt rational von den «1,^, 6/,^ abhängen. 
Insbesondere ist 

3f, = 2:+ 5j,i62.2 . . . h,lc, 

und man kann die bj^j, immer so annehmen, dass 3Ik von Null 
verschieden ist. Nach §. 34 kann man also s so annehmen, dass, 



§. 89. Zeichenfolgen und Zeichenwechsel, 295 

wenn Rh von Null verschieden ist, B'jc dasselbe Zeichen hat, wie 
Bk, und wenn Bk verschwindet, B'^ nicht verschwindet. 

Wir können das hierdurch Bewiesene mit den Ergebnissen 
des §. 87 in eine allgemeine Regel zur Bestimmung der Anzahl 
der negativen Quadrate, auch für den Fall verschwindender 
Determinante, zusammenfassen. 

VI. Um die charakteristischen Zahlen jr, v, q der 
Function (p{x) zu bestimmen, ordne man die 
Variablen x^, x^, . . ., x,n so an, dass in der Kette 
der Haupt-Ünterdeterminanten 

(10) Bmi B,n—i, . . ., Xli, Bq 

eine möglichst kleine Anzahl von Anfangs- 
gliedern verschwindet, und dass von den folgen- 
den Gliedern nicht zwei neben einander stehende 
verschwinden; q ist dann die Anzahl der ver- 
schwindenden Anfangsglieder, v die Anzahl der 
Zeichenwechsel und tc = m — v — q ^). 
Zu bemerken ist noch, dass man die Anzahl der Zeichen- 
wechsel in der Reihe (lOj auch von rechts nach links abzählen 
kann, d. h. dass man dieselbe Anzahl von Zeichenwechseln findet, 
wenn man die Reihe in umgekehrter Ordnung schreibt. 

Bezeichnen wir mit 7t, v, q die charakteristischen Zahlen der 
Form g) und bilden die Form 

SO können wir il^ so bestimmen, dass die Determinante von <jp' 
nicht identisch für jedes £ verschwindet. Dann sind jr', r', die 
charakteristischen Zahlen von g?' und 

(11) Jl' -\- V' = 7t -\- V -{- Q. 

Es ist dann in (7) 

^m = 0> ^m — 1 ^^ 0, . . ., A,,)i — + 1 = 0, 

Xm-o, A„,_o_i, . . ., /i von Null verschieden. 



') Hierüber ist zu vergleichen Gundelfinger's Zusatz zur dritten 
Auflage von Hesse's analytischer Geometrie des Raumes. Frobenius, 
„Ueber das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen". Sitzungsberichte 
der Berliner Akademie 1894. Frobenius giebt ein Verfahren an, um die 
Signatur, also die Differenz n — v, in gewissen Fällen auch dann aus der 
Kette (7) zu bestimmen , wenn darin beliebige Glieder verschwinden , so 
dass ein vorheriges Ordnen der Indices entweder ganz vermieden oder 
wenigstens eingeschränkt wird. 



296 Siebenter Abschnitt. §. 90. 

In der Kette der Haupt-Unterdeterminanten von (9) stimmen 
dann bei hinlänglich kleinem s die m — q Endglieder im Vor- 
zeichen überein mit 

und die Anzahl der in dieser Kette vorkommenden Zeichenfolgen 
ist daher mindestens gleich der Anzahl der positiven A und 
die Anzahl der Zeichenwechsel mindestens gleich der Anzahl 
der negativen A. Es ergiebt sich hieraus 

(12) ■X' ^71^ t^' ^ ^• 

Nennen wir eine Form y, deren charakteristische Zahlen 
jr == ?w, V = 0, Q = sind, die also als Summe von n positiven 
Quadraten von einander unabhängiger linearer Functionen dar- 
stellbar ist, eine positive Form, so gilt der Satz, dass für eine 
positive Form keine der Haupt-Unterdeterminanten verschwinden 
kann. Denn eine positive Form kann für kein reelles Werth- 
system der Variablen Xi^ x^-, . • ., Xm verschwinden, ausser wenn 
diese Variablen alle gleich Null sind. Wenn aber nun die 
Haupt -Unterdeterminante i?^ = ist, so ist die Function von 
Ti Variablen 

^ \Xi^ Xji ' ■ ., Ä^fti U, . . ., ()), 

deren Determinante eben R], ist, durch weniger als n lineare 
Functionen der x^, X2, . . ., Xk^ etwa ?/i, 2/2, • • •, Vk—i, darstellbar, 
und die Function cp verschwindet daher, wenn 

l/i =0, . . ., llk—i = 0, a?i_(-i = 0, . . ., Xm = 0, 

ist. Dies ist ein System linearer Gleichungen, das durch nicht 
verschwindende x befriedigt werden kann. Daraus ergiebt sich 
VH. Die nothwendige und hinreichende Bedingung 
für eine positive Form ist die, dass die Glieder 
der Kette (7) alle positiv sind. 
Den entsprechenden Satz für eine negative Form erhält man, 
wenn man VII. auf die Form — (p anwendet. Positive und nega- 
tive Formen werden auch unter dem Namen der definiten 
Formen zusammengefasst. 

§. 90. 
Anwendung auf die Bezoutiante. 

Die genaue Discussion der Trägheit der quadratischen 
Formen hatte für uns den Zweck, die Anzahl der reellen und 



§. 90. Anwendung auf die Bezoutiante. 297 

imaginären Wurzeln einer algebraischen Gleichung durch Ab- 
zahlung der positiven und negativen Quadrate der Bezoutiante 
zu bestimmen. Ist n der Grad der Gleichung, so ist ihre 
Bezoutiante eine quadratische Form von n — 1 Veränderlichen, 
und im §. 79 haben wir sie für n = 3, 4, 5 vollständig gebildet, 
und die Wege kennen gelernt, wie man auch in anderen Fällen 
zu ihrer Berechnung gelangen kann. 

Wir haben schon früher bemerkt, dass die Bezoutiante nicht 
eine allgemeine quadratische Form ist, sondern dass sie die be- 
sondere Eigenthümlichkeit hat, dass die Anzahl v ihrer negativen 
Quadrate niemals grösser als \n werden kann. Diese Eigen- 
thümlichkeit muss in gewissen Ungleichheitsbedingungen zwischen 
den Coefficienten ihren Ausdruck finden, die aber zur Zeit noch 
nicht bekannt sind. Nur in dem Falle n = 3 können wir den 
algebraischen Charakter dieser Beschränkung vollständig angeben. 

Für die cubische Gleichung 

f(x) = «0 ^^ -\- a^x^ -\- a.2 X -\- a^ = 
ist die Bezoutiante nach §. 79, (13) nichts Anderes, als die 
Hesse'sche Covariante (§. 68) 

- IH(t,, U) = - liAoq + ÄJJo + At!)- 

Es besteht aber, wenn D die Discriminante, also 

3D = 4:ÄqÄ2 — Ä{ 

ist, die Relation 

4Hi-{- ^2 -f 27 Dß = 0, 
mithin, wenn wir darin tn = setzen, 

(1) 4^-' + g,^ + 27D< = 0, 
wenn 

r/o = 27 «Q- tts — 9 «0 «1 «2 + 2 af 
ist. Diese Relation zeigt, dass Aq und D nicht zugleich positiv 
sein können, und dass also die Form — // nicht in zwei 
negative Quadrate zerlegbar ist. 

Wir wollen den allgemeinen Satz des vorigen Paragraphen 
noch auf die biquadratische Gleichung anwenden, die wir der 
Einfachheit halber in der Form 

(2) x^ -}- ax^ -\- bx -\- c = 

annehmen. Um die Coefficienten der Bezoutiante zu bilden, 
haben Avir in den Formeln §. 79, (14J 

Üq, ttl, ttgl %5 ^4 

durch 



298 



Siebenter Abschnitt. 



§. 90. 



1, 0, a, &, c 
zu ersetzen. Wir erhalten so 

B2,2 = — 2 a, jBi,i == «2 _ 4 c, 5o,o = — 1(8 a c — 3 i^), 
-Bo,i = f«^ ^2,0 = — 4c, i?i,2 = — 3&. 
Wir ordnen die Determinante so an: 

— 2 a, — 3 6, — 4c 

— 3 &, «2 _ 4 c, i a ö 

— 4c, ia&, — i(8«c — 362) 

und erhalten die Kette der Haupt-Unterdeterminanten 

(3) D, — 2a:^ + 8ac — 9 62, _2a, 1, 

wenn D die Discriminante bedeutet, die nach §. 53, (13) bestimmt 
ist durch 

(4) 27 Z) = 4 (a2 + 12 c)3 — (2 a^ _ 72 « c -f 27 62j2. 

Das Kennzeichen dafür, dass alle vier Wurzeln reell sind, 
ist hiernach 

(5) D > 0, — 2 a:^ + 8 a c — 9 62 > 0, — 2 a > 0. 

Dies Kennzeichen ist scheinbar verschieden und jedenfalls 
weniger einfach, als das in §. 84 aufgestellte 

(6) D > 0, a < 0, a2 — 4 c > 0. 

Wir wollen aber nun noch nachweisen, dass beides genau 
dasselbe besagt. 

Zunächst ist sofort zu übersehen, dass (6) erfüllt sein muss, 
wenn (.5) erfüllt ist, denn 

— 2 «(«2 _ 4 c) — 9 62 
kann nicht positiv sein, wenn a und a- — 4c negativ sind; um 
aber umgekehrt einzusehen, dass aus (6) die Bedingungen (5) 
folgen, müssen wir den Werth von D in Betracht ziehen. 

Wir setzen zur Abkürzung 

(7) a = — 2 a, /3 = — 6 a^'-f- 24ac — 27 62, y = 3a2 — 12c, 
so dass die Bedingungen (5) 

a > 0, /3 > 0. Z) > 0, 
die Bedingungen (6) 

w > 0, y > 0, 2) > 
lauten; dann ist nachzuweisen, dass, wenn k, y und D positiv 
sind, auch ß positiv sein muss. Hierzu drücken wir D in (4) 
nach (7) durch a, /3, y aus und erhalten 

27i) =r 4(a2 — j;):i _ [2 «(«2 — y) — j3]2. 



§.90. 



Biquadratisclie Gleichung. 



299 



Wenn D positiv ist, so muss hiernach gewiss «2 — y positiv 
sein. Setzen wir also 

«2 — y = 02, 

so ist «2 > ö-, also, wenn d positiv genommen wird, 

CO d 
und 

27D = 4ö'^ — (2aö2 — ßy. 

Hiernach kann D bei negativem ß nicht positiv sein; denn 
ist ß negativ, so ist 

2aö2 — /3 > 2aÖ2 > 2d\ 
also 4 0« — (2 a ^2 — /3)2 negativ. 

Es ist hiermit direct nachgewiesen, dass die Kriterien (5) 
und (6) genau dasselbe besagen. 

Nach der im §. 84 gegebenen geometrischen Interpretation 
bedeutet ß = eine Fläche dritter Ordnung, die durch die 
Parabel b = 0, 7 = hindurchgeht, und die, soweit negative 
Werthe von a in Betracht kommen, ganz in dem Raumtheil ver- 
läuft, in dem D negativ ist. 

Um für die Gleichung fünften Grades ein Beispiel vor Augen 
zu haben, betrachten wir die Gleichung 

X'' -\- x^ -\- a = 0. 

Wir haben also in unseren allgemeinen Ausdrücken ij. 79 
oder auch §. 80, (2), (3) zu setzen 

tto, tti, «2, «31 «41 «.-> = 
1, 0, 0, 1, 0, a, 
und wir erhalten für die Determinante der Bezoutiante 

— 2 a, 0, 0, —5a 
0, f, —5 a, 
0,-5 a, 0,-3 

— 5 a, 0,-3, 

und für die Discriminante 

7>= 108 a + 3125 a*. 
Eine Kette von Haupt-Unterdeterminanten ist 

(8) iD, 60 a\ ^^^^, —2 a, 1. 



Die Discriminante ist negativ, wenn 



(9) 



< — a < |/ 



108 
3125' 



300 



Siebenter Abschnitt. 



90. 



sonst positiv, besonders also für alle positiven a positiv. Man 
sieht, dass bei positiver Discriminante in (8) immer zwei 
Zeichenwechsel, bei negativer Discriminante, wo auch a negativ 
ist, ein Zeichenwechsel stattfindet. 

Unsere Gleichung hat also, so lange a in dem Intervall (9) 
liegt, zwei imaginäre Wurzeln, wenn es ausserhalb dieses Inter- 
valles liegt, vier imaginäre Wurzeln, niemals vier reelle Wurzeln. 

Ein rein numerisches Beispiel bietet die der complexen 
Multiplication der elliptischen Functionen entnommene Gleichung 

^5 _ a;3 _ 2 a;2 — 2 ic — 1=0. 
Für die Determinante der Bezoutiante erhalten wir aus §.79: 

— 4 —3 4 . 



8 

6 

2 

und die Kette der Haupt-Unterdeterminanten 

472 94 , — 4 



5 ' 


5 ' 


¥' 


3 


4 


33 


5 ' 


5' 


5' 


4 


33 


46 


5' 


5' 


5^ 


5, 


8, 


6, 



^, -1, 



1, 



so dass die Discriminante unserer Gleichung 47^ ist. Die 
Gleichung hat also zwei Paar imaginäre und eine reelle Wurzel. 
Das zweite Glied dieser Kette 94 : 5 braucht man, wenn man 
die Discriminante kennt, nicht zu berechnen, ja- es genügt schon 
die Kenntniss des negativen Vorzeichens im vorletzten Gliede, 
um die vorstehende Entscheidung über die Realität der Wurzeln 
zu treffen. 



Achter Abschnitt. 
Der Sturm'sche Lehrsatz. 



^. 91. 
Das Sturm'sche Problein. 

Die im vorigen Abschnitt behandelte Frage nach der Anzahl 
der reellen Wurzeln einer Gleichung ist ein specieller Fall eines 
allgemeineren Problems, das den Gegenstand dieses Abschnittes 
ausmachen soll, und das die Grundlage ist für alle Methoden 
der genäherten numerischen Berechnung von Gleichungswurzeln. 

Es handelt sich um die Frage: wie viele reelle Wurzeln 
einer reellen numerischen Gleichung liegen zwischen 
zwei gegebenen reellen Zahlwerthen a und &? 

Ist dies entschieden, so handelt es sich weiter darum, die 
Grenzen a, b so weit einzuengen, dass nur nocli eine Wurzel 
der gegebenen Gleichung zwischen ihnen liegt, und sie endlich 
einander so weit zu nähern, dass jede von ihnen als ein ge- 
näherter Werth dieser Wurzel betrachtet werden kann. 

Nehmen wir a = — oo, b = -\- o), oder doch a negativ, h 
positiv so gross an, dass jenseits dieser Grenzen keine Wurzeln 
mehr liegen können, so fällt diese Aufgabe mit der im vorigen 
Abschnitt behandelten, die Anzahl aller reellen Wurzeln zu be- 
stimmen, zusammen. 

Wir wollen zunächst zeigen, wie sich das allgemeine Problem 
auf das specielle zurückführen lässt, wie also unsere jetzt auf- 
geworfene Frage, im Princip wenigstens, durch die Betrachtungen 
des vorigen Abschnittes beantwortet ist. Es möge sich zunächst 



302 Achter Abschnitt. §. 92. 

darum handeln, die Anzahl der i)Ositiven Wurzeln einer 
Gleichung f{x) = zu ermitteln. Setzen wir x = iß^ so wird 
jedem reellen Werth von y ein positiver Werth von x ent- 
sprechen, und umgekehrt entsprechen jedem positiven Werth von 
X zwei reelle, entgegengesetzte Werthe von y. Die Anzahl 
der positiven Wurzeln von f {x) = ist also halb so 
gross, als die Anzahl der reellen Wurzeln von f {y^) 
r= 0. Setzen wir ferner 

X — a 

y — b — x' 

so wird, während x von a bis h geht, y durch positive Werthe 
von Null bis Unendlich gehen, und wenn wir durch diese Sub- 
stitution /fa;) in F(y) transformiren , so wird f(x) = ebenso 
viele Wurzeln zwischen a und h haben, als F(y) = positive 
Wurzeln hat, mithin halb so viel als F{z'-) = reelle Wurzeln 
hat. Unsere Aufgabe ist also dadurch in der That auf die 
Ermittelung der Anzahl der reellen Wurzeln einer gewissen 
anderen Gleichung zurückgeführt, deren Grad doppelt so gross 
ist, als der Grad der gegebenen Gleichung. Diese Zurück- 
führung des Problems giebt aber seine Lösung nicht in der 
einfachsten Form, und wir müssen nach einer einfacheren Be- 
antwortung der Frage suchen. 

§. 92. 
Die Sturm'schen Ketten. 

Zu einer Lösung des Problems, das wir uns im vorigen 
Paragraphen gestellt haben, führt uns folgende Betrachtung. 

Es seien a und ß irgend zwei reelle Zahlen und a < ß. 
Es sei ferner f{x) eine gegebene ganze rationale Function von 
x. von der ermittelt werden soll, wie viele ihrer Wurzeln in 
dem Intervall ^ 

Ci < X < ß 

liegen. Wir nehmen an, dass «, ß nicht selbst zu den Wurzeln 
\on f{x) = gehören, dass also /(k) und f(ß) von Null ver- 
schieden sind. Ausserdem wollen wir noch fürs erste annehmen, 
dass/(a;), wenigstens in dem Intervall z/, keine mehrfache Wurzel 
habe, dass also für keinen Werth des Intervalls /(^j und f (x) 
zugleich verschwinden sollen. 



§. 92. Die Sturm'scheu Ketten. 3Q3 

Wir nehmen an, dass wir auf irgend eine Weise eine Reihe 
von m ~\- 1 stetigen Functionen herstellen können 

(1) /(^),/l(^),/2(^), .•.,/«. (X), W 

denen folgende Eigenschaften zukommen: 

1. Von den Functionen /» sollen im Intervall z/ nicht 
zwei auf einander folgende zugleich verschwinden. 

2. Die letzte von ihnen, /„^(a;), soll im Intervall z/ 
überhaupt nicht verschwinden, also ein unver- 
änderliches Zeichen behalten. 

3. Wenn ein mittleres Glied, etwa/y(a;), für irgend ein 
X im Intervall z/ verschwindet, so sollen für dieses 
X die beiden angrenzenden Functionen/,._i(ii:;) und 

fv + i(x) entgegengesetztes Vorzeichen haben. 

4. W^enn/(a^) im Intervall z^ verschwindet, so soll 
fi(x) für diesen Werth von x dasselbe Vorzeichen 
haben wie f'{x). 

Eine solche Functionenreihe (^)" wollen wir eine Sturm'sche 
Kette nennen. Wie man sie bilden kann, werden wir später 
sehen; zunächst sollen aus der Definition Folgerungen gezogen 
werden. 

Für jeden Werth von x, für den keine der Functionen von 
(ü) verschwindet, hat jede dieser Functionen ein bestimmtes 
Vorzeichen. Wir zählen einen Zeichenwechsel, so oft beim 
Durchlaufen der Kette von links nach rechts auf ein positives 
Glied ein negatives oder auf ein negatives Glied ein positives 
folgt. Die Anzahl der so gezählten Zeichenwechsel (Variationen) 
für einen bestimmten W^erth von x wollen wir mit V{x) be- 
zeichnen. Wenn ein mittleres Glied/,. (it) verschwindet, so haben 
wir nach 3. beim Uebergang \ou fv—i{x) zufvj^i(x) einen Zeichen- 
wechsel zu zählen. 

Sind a, ß zwei Werthe, für die keine der Functionen fv ver- 
schwindet, und lassen wir nun x stetig wachsen von a bis /3, so 
wird eine Aenderung in der Zahl der Zeichenwechsel nur dann 
eintreten können, wenn eine der Functionen von (ü) ihr Zeichen 
wechselt, also durch den Werth Null hindurchgeht (wegen der 
vorausgesetzten Stetigkeit). 

Ist dies aber eine mittlere Function, so ändert sich die 
Zahl der Zeichenwechsel nicht (nach 3). Denn in 

/v-ll />'5 />+l 



304 Achter Abschnitt, §. 93. 

findet vor und nach dem Durchgange von /v durch Null immer 
ein Zeichen Wechsel statt, weil /»^.i und /,._i entgegengesetzte 
Zeichen haben. 

Wenn aber/(a;) durch Null geht, so geht beim Durchgange 
wegen 4. ein Zeichenwechsel verloren. Denn geht/(^) von nega- 
tiven zu positiven Werthen, so ist (vergl. §. 35)/'(x) und mithin 
/i (^) positiv und die Vorzeichen ändern sich so : 

f{x\ /i {x) 
- + 

und wenn f{x) von positiven zu negativen Werthen übergeht, so 
ist/'(a;) und /i (a;) negativ, also die Zeichen so: 

+ - 

mithin ist in beiden Fällen ein Zeichenwechsel verloren 
gegangen. 

Da \\\n\ fm{x) nach 2. sein Zeichen nicht wechselt, so folgt, 
dass V {a) — y{ß) gleich der Anzahl der zwischen « und ß 
gelegenen Wurzeln von f{x) = ist, oder: 

Die Anzahl der Wurzeln von f(x) = zwischen a 
und ß ist gleich dem Ueberschuss der Anzahl der 
Zeichenwechsel der Kette für a; = « über die Anzahl 
der Zeichenwechsel für x ^^ ß. 

Wenn für x = a oder x = ß eine oder einige der mittleren 
Functionen von (Si) verschwinden sollten, so ist es wegen 3. gleich- 
gültig, ob wir diesen verschwindenden Werth durch einen posi- 
tiven oder einen negativen ersetzen. 

§, 93. 
Erstes Beispiel: Kugel functionen. 

Ehe wir nun zu den allgemeinen Methoden übergehen, nach 
denen Sturm' sehe Ketten zu bilden sind, wollen wir einige 
Beispiele betrachten, in denen sich durch besondere Umstände 
solche Ketten darbieten. 

Wir betrachten zunächst die sogenannten Kugelfunc- 
tionen, die in der mathematischen Physik und Mechanik viel- 
fach gebraucht werden. 



§. 93. Kugelfunctionen, 305 

unter Kugelfunctionen verstellt man ein System ganzer 
rationaler Functionen von steigendem Grade, das folgendermaassen 
definirt ist: 

V^{x) = \{X^^' - \ X) 



1.3.. . (2h- 1) / „ n{n - \) ^_^_ 



J^n[x)— 1 2...n V 2(27?, — !)^ 

n{n -\){n- 2) (n - 3j _ \ 

•" 2 . 4 (2 w — 1) (2 w — 3) • • •/ 

so dass Pn{x) eine ganze rationale Function n'^" Grades ist, 
und, je nachdem n gerade oder ungerade ist, nur die geraden 
oder nur die ungeraden Potenzen enthält. Durch Anwendung 
des Zeichens 11 (n) kann man den allgemeinen Ausdruck für die 
Kugelfunctionen auch so darstellen: 

^^ " ^^ ~ ^ 2» n (ii) n(n — 2(i) n{n — iiy 

worin die Summe in Bezug auf ^ von ju^ = an so weit zu er- 
strecken ist, als n — 2 a nicht negativ wird. 

Zwischen diesen Functionen bestehen die folgenden Rela- 
tionen , die sich nach Einsetzen des Ausdruckes (1) durch ein- 
fache Vergleichung der Coefficienten gleicher Potenzen von x 
verificiren lassen, 

(2) nPn(x) — {2n — 1)X Pn-l(x) + (m — 1) Pn-of^) = 

Fiix) — xP,(x) = 
(3) (1 — x'-) P;(a;) + nxPJx) - nP„-i(x) = 0. 

Aus der letzten Gleichung folgt für a; = i 1 

± Pn{± l) = Pn-l(± n 

also 

(4) Pn(l)=l, Pn(- 1) = (- 1)". 

Aus (2) und (3) folgt nun, dass die Functionen P„, von 
einem beliebigen m an abwärts geordnet. 

\0) Pmi -tm—li J^m — 2 • • • -t^o 

in dem Intervall von — 1 bis -f- 1 ^^^ Eigenschaften einer 
Sturm'schen Kette haben. Denn wenn P„ und P„_i für irgend 

Weber, Algebra. I. 20 



06 Achter Abschnitt. §. 9 



o. 



ein X zugleich verschwänden, so müsste nach (2) auch P„_2, 
folglich P„_3 etc. bis Pq verschwinden, was unmöglich ist, da 
Po = 1 ist. Hiernach ist §. 92, 1. erfüllt, und weil Pq = 1 ist, 
so ist auch die Bedingung §. 92, 2. für jedes beliebige Intervall 
befriedigt. 

Ist P„_i = 0, so ist nach (2) P„ und Pn-o von entgegen- 
gesetztem Vorzeichen, wie die Bedingung §. 92, 3. fordert. 

Aus (3) folgt, dass niemals Pn{x) und Pn{x) zugleich ver- 
schwinden, da sonst auch Pn-i{x) verschwinden müsste, und 
endlich ergiebt sich aus (3), dass, wenn Pn(x) verschwindet 
und — 1 < a; < 1 ist, P'n(x) und Pn-i(x) dasselbe Vorzeichen 
haben. 

Setzen wir nun in (5) für x die Werthe — 1, -|- 1 ein, so 
folgt aus (4), dass für x ^= — 1 in (5) lauter Zeichenwechsel 
stattfinden, für x = -\- l gar kein Zeichenwechsel; und daraus 
folgt: 

Die Gleichung Pmioc) = ha^t m reelle Wurzeln 
zwischen x= — 1 und x ='-\- l, und da P„i vom m^^^ 
Grade ist, so sind dies alle Wurzeln. 

Wir können aber einen noch etwas weiter gehenden Schluss 
ziehen. Nehmen wir ein Intervall z/ = f«, /3), in dem zwei und 
nicht mehr Wurzeln |, rj von P,„ = enthalten sind, so gehen 
beim üebergang von a zu ß in der Kette (5) zwei Zeichenwechsel 
verloren. Wir nehmen « so nahe an |, ß so nahe an tj, dass 
P„,_i(a) mit P,n_i(^) und P,„_i (ß) mit P„j_i(r?) von gleichem 
Vorzeichen ist. Wenn P,n beim Durchgang durch ^ vom Nega- 
tiven zum Positiven geht, so geht es beim Durchgang durch ?; 
vom Positiven zum Negativen; es ist also P'm(t) und folglich 
P,„_i(|) und P,„_i(«j positiv, Pln{v) und folglich P^_i(??) und 
P,n — i{ß) negativ, und das Umgekehrte findet statt, wennP„i beim 
Durchgang durch ^ vom Positiven zum Negativen geht. Man sieht 
also daraus, dass beim Üebergang von « zu ß in 

ein Zeichenwechsel verloren geht, also niuss bei dem gleichen 
üebergang, und folglich auch bei dem üebergang von | zu ?? in 
der Kette 

■Lm — li -t^m — 2 • • • -^0 

gleichfalls ein Zeichenwechsel verloren gehen; daraus 
schliessen wir auf den Satz: 



94. 



Die Säcularffleichungf. 



307 



Zwischen zwei auf einander folgenden Wurzeln 
von P,„ = liegt eine und nur eine Wurzel von 

P,n-1 = 0. 



§. 94. 
Zweites Beispiel. 

Als zweites Beispiel betrachten wir eine Gleichung, die wir 
der Kürze wegen die Säcular-Gleichung nennen wollen, weil 
die Untersuchung der säcularen Störungen der Planeten zuerst 
auf sie geführt hat i). Sie ist auch sonst wohl unter diesem 
Namen bekannt, kommt aber auch in vielen anderen Unter- 
suchungen vor, z. B. bei der Bestimmung der Hauptaxen einer 
Fläche zweiten Grades, in der Theorie der kleinen Schwingungen; 
ihre allgemeine analytische Bedeutung liegt darin, dass sie eine 
besondere, die sogenannte orthogonale Transformation einer qua- 
dratischen Form in eine Summe von Quadraten liefert. Wir 
wollen hier die Gleichung nehmen, wie sie vorliegt, ohne Be- 
ziehung auf irgend eine Anwendung, und wollen sie nach unseren 
allgemeinen Sätzen discutiren. 

Es sei «t^fe, wenn i und h die Reihe der Indices 1, 2, 3 . . . n 
durchlaufen, irgend ein System reeller Grössen und 

(1) cii,k = ak,i 

vorausgesetzt. Wir betrachten die symmetrische Determinante 



(2) 



Ln (X) = 



ai,i — x^ ai,2 • • • tti,n 

«2, h Ct2,2 X . . . a2^n 



a„ 



■X 



die eine ganze rationale Function n^"^^ Grades von x ist, in der 
X" den Coefticienten (— 1)** hat. Die Gleichung Ln{x) = soll 
der Gegenstand unserer Betrachtung sein. 

Wir bilden die mit abwechselnden Zeichen genommene Kette 
der Haupt-Unterdeterminanten 

(3) U{x\ -L^_,{x\ L„_2(^) . . ., (- 1)""' A(^), (- 1)", 



^) Laplace, Histoire de l'Academie des Sciences 1772. Von neueren 
Werken kann man darüber vergleichen Dziobek, Theorie der Planeten- 
bewegung, Leipzig 1888. 

20* 



308 Achter Abschnitt. §. 94. 

und Avollen nun nachweisen , dass , wenn wir die Voraussetzung 
hinzufügen , dass von den Grössen (3) keine zwei auf 
einander folgende zugleich verschwinden, wir eine 
Sturm'sche Kette vor uns haben. 

Es ist dies eine einfache Folgerung aus der Formel, die wir 
schon im §. 88 zu einem ähnlichen Zwecke benutzt haben, und 
die wir so darstellen können: 

(4) Lk Sii — T]^ = Lfc _ 1 Xfc + 1 , 

worin Su und jT^ ganze rationale Functionen von x sind. 

Wir haben nur zu zeigen, dass die Forderungen §.92, 1. bis 
4. befriedigt sind. Davon ist aber 1. in die Voraussetzung auf- 
genommen, 2. ist erfüllt, da das letzte Element gleich + 1 ist. 
Aus der Formel (4) folgt, dass, wenn Ltc = ist, Lk-i und L^u-i 
entgegengesetzte Zeichen haben, dass also die Bedingung 3. 
erfüllt ist. 

Es bleibt nur noch die Bedingung 4, übrig. Wenden wir 
aber die Formel (4) auf Ic = n — 1 an, so lautet sie 



CLn _ / dLn Y__ 

i — l,n — l \0(ln,n—l/ 



und daraus folgt, dass, wenn i„ = ist, 

d Ln d Ln 



Ln Ln - 



2» 
n- 



dan,n OOSn — 1, n— 1 

gleiche Zeichen haben; und ebenso kann man schliessen, dass 
alle Haupt- Unterdeterminanten von Ln 

Ln 

d «i, i 
dasselbe Zeichen haben. 

Nun ist aber die Derivirte von i„ (vergl. §. 25) 

' dLn 



L'n (X) 



1, n G di^ i 



und hat also für einen Werth x^ für den Ln(x) verschwindet, 
das entgegengesetzte Zeichen, wie X„_i, was eben die Forde- 
rung 4. verlangt. Daraus folgt der Satz : 

I. Sind a, ß zwei reelle Werthe, w < /3, so ist die 
Anzahl der zwischen a und ß gelegenen Wurzeln 
von L„{x) gleich dem Ueberschuss der Anzahl 
der Zeichenwechsel der Kette (3) für ic = a 
über die Anzahl der Zeichenwechsel für x :=: ß. 



§. 94. Die Säculargleichung, 3Q9 

Die höchste Potenz von x, die in Lk{x) vorkommt, ist, wie 
schon oben bemerkt, 

(— lfx\ 

und wenn der absolute Werth von x hinlänglich gross ist, so 
wird das Vorzeichen dieses Gliedes über das Vorzeichen von 
Z/fc (x) entscheiden. Nehmen wir also für « einen genügend 
grossen negativen, für ß einen genügend grossen positiven Werth, 
so finden in (3) für x ^ a lauter Zeichenwechsel, für x = ß 
lauter Zeichenfolgen statt. Es werden also n Wurzeln zwischen 
« und ß liegen, und daraus folgt der Satz: 

IL Die Gleichung Ln{x) = hat lauter reelle 
Wurzeln. 

Diese beiden Sätze sind aber nur von beschränkter Anwend- 
barkeit, so lange wir uns nicht von der Voraussetzung frei 
machen können, dass in der Kette der L^ nicht zwei auf ein- 
ander folgende Glieder zugleich verschwinden sollen. Von dieser 
Beschränkung können wir den Satz aber durch folgende einfache 
Ueberlegung befreien. 

Nehmen wir an, für irgend einen Werth von x verschwinde 
Lfc, aber nicht Z/fc_i; wir können dann die Grössen ot + i, j, die in 
Lk nicht vorkommen, so bestimmen, dass Lfe + i für diesen Werth 
von X nicht verschwindet; denn es kann L^ + i nicht identisch 
für alle afc+i, i verschwinden, weil es das Glied 

0'ki-l,k-L'lc — l 

enthält [§. 26, (12)]. 

Hiernach können wir, wenn in der Kette 

(5) Lni Ln — ii Ln — 2 ' * • ib -t*!, -|- 1 

einige auf einander folgende Glieder für irgend einen Werth von 
X verschwinden, durch Abänderung der «,-,fc eine andere Reihe 

(6) L'„, — L'„-i, L'n—2 • • • ib L'i, ^ 1 

ableiten, in der keine zwei auf einander folgenden Glieder für 
irgend einen Werth x (des Intervalles a . . . ß) verschwinden. 

Zugleicli können die ai,?;, von denen die L' abhängen, so 
angenommen werden, dass sie sich von den aj,fc um weniger 
als eine beliebig gegebene Grösse co unterscheiden. 

Wenn nun die Zahlen a, ß so angenommen sind, dass in 
der Reihe (5) kein Glied für a: ^= « oder x = ß verschwindet, 
so können wir co so klein annehmen, dass für x = a und x = ß 



310 Achter Abschnitt. §. 94. 

entsprechende Glieder von (ö) und (6j dasselbe Vorzeichen haben. 
Durch unseren Satz ist aber die Anzahl der Wurzeln von L'n = 
zwischen a und ß durch die Zeichen der Reihe (6) bestimmt. 

Nun lässt sich andererseits wieder co so klein annehmen. 
dass die Wurzeln von L^ = von denen von i„ = beliebig 
wenig unterschieden sind (§. 44j. 

Es kann zwar eine Doppelwurzel von Ln = in zwei ein- 
fache Wurzeln von L'n = übergehen; aber da L^ = keine 
imaginären Wurzeln hat, so sind diese reell; und dasselbe findet 
statt, wenn Ln = mehrfache Wurzeln hat. 

Hiernach behalten die Sätze I. II. ihre Gültigkeit, 
wenn die Voraussetzung aufgegeben wird, dass in der 
Kette der i^ keine auf einander folgenden Glieder ver- 
schwinden; nur müssen die mehrfachen Wurzeln dabei 
nach ihrer Vielfachheit gezählt werden. 

Hieraus können wir eine merkwürdige Beziehung der Säcular- 
gleichung zu dem Trägheitsgesetz der quadratischen Formen 
herleiten, die in der Geometrie, bei der Bestimmung der Haupt- 
axen einer Fläche zweiten Grades wohl bekannt ist. 

Wir betrachten neben der Function Z„ (x) die quadratische 
Form 

dann ist Ln («) für ein beliebiges s die Determinante der Form 

(8) <p' = ^ — «(^r + ^1 — h ^»)- ■ 

Die Gleichung Ln (x) = möge P positive, iV negative und 
B verschwindende Wurzeln haben. Wir nehmen s positiv an, aber 
so klein, dass alle positiven Wurzeln von L grösser als e sind, 
und ausserdem so, dass kein Glied der Reihe (3) für x = e 
verschwindet. Dann ist 

(9) Lnie), X,._i(6), ..., A(£),l 

eine Kette von Hauptunterdeterminanten für die Function tp', 
und wenn wir also mit jr', v', die charakteristischen Zahlen von 
(p\ bezeichnen, so ist jr' (nach §. 89, V.) gleich der Anzahl der 
Zeichenfolgen, v' gleich der Anzahl der Zeichenwechsel in der 
Kette (9). 

Wenn wir aber das Theorem I. anwenden, indem wir a= e 
setzen, und ß grösser als alle Wurzeln von L« (x) annehmen, so 
dass in der Kette (3) für x = ß nur noch Zeichenfolgen vor- 



§. 95. Die Sturra'chen Functionen. 311 

kommen, so giebt uns die Anzahl der Zeichenwechsel in (3) für 
X = £, die mit der Anzahl der Zeichenfolgen in (9) überein- 
stimmt, die Zahl P der positiven Wurzeln von Ln {x) = 0. Dem- 
nach ist, weil ausserdem noch n' -^ v' ■= F -\- N -\- R r=z n ist, 

(10) 7t' = F, v' = N -^ R. 

Wir nehmen nun die Functionen (p und (p' in folgender 
Weise in ihre positiven und negativen Quadrate zerlegt an: 

(11) (p == yf 4- ^IH \ry%- 4-^1 <^v^ 

(12) qp'^= 9? — £ {xl -f x; -|- • • • -f- x^) 

= Ff + riH [- rj, —zi — zt zi 

Wenn nun n -\- v' <. n ist, so können wir die x^, x^, . . ., a;„, 
zum Theil wenigstens von Null verschieden, so bestimmen, dass 

y/j = 0, 2/2 = 0, . . ., y„ = 0, Zi = 0, ^2 = 0, . . ., Z,> z= 0. 

Dann aber ergiebt die erste Darstellung (12) mit Hülfe von 

(11) einen negativen, die zweite einen positiven (oder verschwin- 
denden) Werth von g>', so dass die Annahme jr -(- v' < w un- 
statthaft ist. Es ist also tc -\- v' ^ n = n' -{- v\ also nach (10) 

Andererseits folgt aber aus §. 86 (12) 

was nur mit einander verträglich ist, wenn 

(13) 71 = F 

ist. Ebenso können wir nun auch beweisen, indem wir statt 
eines positiven ein negatives s zu Hülfe nehmen, dass v = N 
und folglich q = R sein muss. 

Wir sprechen dies noch als einen Satz aus: 

HI. Die charakteristischen Zahlen ;r, v, q der quadra- 
tischen Form q) sind gleich den Anzahlen der 
positiven, negativen und verschwindenden Wur- 
zeln der zugehörigen Säculargleichung. 

§. 95. 
Die Sturm'schen Functionen. 

Nach diesen besonderen Beispielen wenden wir uns zur Be- 
trachtung des Verfahrens, durch das man in allen Fällen eine 



312 Achter Abschnitt. §. 95. 

Sturm'sche Kette erhält i). Die Bildungsweise dieser Functionen 
ist principiell ausserordentlich einfach, wenn auch in der prak- 
tischen Ausführung meist nicht durchführbar. 

"Wir beschränken uns hier auf die Betrachtung von Glei- 
chungen ohne mehrfache Wurzeln, oder wir nehmen an, dass 
vor der Anwendung des darzulegenden Verfahrens /(^) von jedem 
gemeinschaftlichen Factor mit seiner Derivirten /' (x) befreit sei. 

Wenn wir dann 
(1) f,(x)=f'(x) 

annehmen, so ist sicher die Bedingung §. 92, 4. befriedigt. Nun 
verfahren wir so, als ob es sich um die Aufsuchung des grössten 
gemeinschaftlichen Theilers von f(x) und fi(x) handle, indem 
wir dabei jedesmal das Vorzeichen des Bestes umkehren; wir 
bilden also durch Division die Gleichungen 

/ = lifi —fi 

(2) /l =^ i-if'i /3 

Jm — 2 ^—^ (Im — lfm — 2 Jmt 

worin die q^^ go? • • •? Im-i und ebenso die /i, /g, . . ., /„i ganze 

rationale Functionen von x sind; die Grade der Functionen 

f\fiif2i ■ ' •lfm nehmen ab und man kann daher die Operation 

so weit fortsetzen, dass /,„ constant ist , oder wenigstens in dem 

betrachteten Intervall nicht mehr verschwindet. Dass fm nicht 

Xull werden kann, ist eine Folge der Voraussetzung, dass / und 

fi ohne gemeinsamen Theiler sind. 

Dass man dann in der Beihe 

(3) /i / 11 72? • • -5 Jm 

wirklich eine Sturm'sche Kette hat, ergiebt sich unmittelbar, 
wenn man die Kriterien §.92, 1. bis 4. durchgeht. Denn wenn 
zwei auf einander folgende der Functionen (3) zugleich ver- 
schwinden, so verschwinden nach (2) auch alle nachfolgenden; 
dies ist aber unmöglich, weil /,„ von Null verschieden ist. 
Ist aber /, (x) == 0, so folgt aus (2) 

fy + i(x) = — /v_i(:r), 

womit alle die Forderungen des §. 92 befriedigt sind. 



1) Sturm, Mem. sur la resolution des equations numeriques. Mem. 
de l'academie de Paris. Sav. etrang. VI, 1835. Auszug in Bull, de Ferussac 
XI, 1829. 



§. 96. Hermite's Lösung des Sturm'scheu Problems. 313 

Es ist, "Wie sich von selbst versteht, gestattet, die Functionen 
der Reihe (3) mit positiven, z. B. constanten Factoren zu multi- 
pliciren, ohne dass sie aufhören, eine Sturm'sche Kette zu bilden. 

Für w = 2 können wir demnach als die Sturm' sehen 
Functionen folgende nehmen: 

f{x) = x^ -\~ a X -\- h 
fi(x) =2x -^ a 
f^{x) = a^ — 4.b. 



§. 96. 
Hermite's Lösung des Sturm'schen Problems. 

Ein anderer "Weg zur Lösung des Sturm'schen Problems, 
der zu einfacheren Resultaten führt, .venigstens was die Durch- 
führung der Rechnung im Einzelnen betrifft, ist von Her mite 
eingeschlagen, der an das Trägheitsgesetz der quadratischen 
Formen und die Tschirnhausen-Transformation anknüpft i). 

Es sei 
(1) f{x) = «0^" + a-^x"-'^ _j_ . . . _j_ a„_ia; -|- a„ = 
die vorgelegte Gleichung und 

(Ji) Xi^ X^j . . v Xn 

ihre Wurzeln, die wir von einander verschieden annehmen. 
"Wir benutzen wie in §. 74 die Functionen 

(3) /o (^), /l (X), fo, (X) , . . ., /n-l (X), 

und setzen wie dort, indem wir unter t^„ t-^, . . ., tn-i unabhängige 
Variable verstehen, 

(4) y = tn-i /o (X) + tn-2 fl{x) -\ h ^1 /n-2 (^) + U fn-1 {x). 

Es mögen t/i, ?/2, . . ., Vn die "Werthe sein, die y für x = Xi, 
X2, . . ., Xn annimmt. 

Ist nun K ein beliebiger reeller "Werth, so setzen wir 

(.5) Hu = (xi — «) ijl + (^2 — «) 2/1 + • • • + (Xn — a) yl 

Dies ist eine quadratische Form der n Variablen i, und wir 
wollen zunächst die Zahl ihrer negativen und positiven Glieder 
bestimmen. Ist Xy eine reelle "Wurzel, also auch y^ reell, so ist 



1) Her mite, Remarques sur le theoreme de M. Sturm. Comptes 
rendus der Pariser Akademie, T. 36 (1853). 



314 Achter Abschnitt. §. 97. 

das Glied (xi — a)y'^ positiv oder negativ, je nachdem x^ 
grösser oder kleiner als « ist. Bilden aber x\, x^ ein imaginäres 
Paar, so sind auch ^i, y.2 conjugirt imaginär, und 

{xi — «) yl + {x^ — ci) 2/1 

zerlegt sich in ein positives und negatives Quadrat. Dies 
ergiebt sich wie im §. 85, wenn man yi\/xi — « = h -j- iv, 
y-2 ]/^2 — ^■' = « — iv setzt. 

Daraus folgt, dass die Anzahl Nu der negativen Quadrate 
in Hu gleich ist der Anzahl der imaginären Paare, vermehrt um 
die Anzahl der reellen Wurzeln, die kleiner als « sind. 

Nehmen wir also eine zweite reelle Zahl ß > «, bilden die 
Function H^ und bezeichnen mit N^ die Anzahl ihrer negativen 
Quadrate, so ist die Differenz 

N^ — Nu 
gleich der Anzahl der reellen Wurzeln zwischen « und ß. 

Man erhält also ein Mittel zur Bestimmung dieser Zahl, 
d. h. zur Lösung des Sturm' sehen Problems, wenn man die 
Coefficienten der Function Hu als Functionen der Coefficienten 
von f{x) und von « darstellt, und dann die Zahl Na untersucht. 



§. 97. 
Bestimmung der Hermite'schen Form H 

Zur Bestimmung der Hermite'schen Form H können wir 
die Mittel anwenden, die wir im sechsten Abschnitt kennen gelernt 
haben. Wir haben im §. 79 die Formel abgeleitet: 

(1) yfs = Eo,sfo + J^m/i H + ^n-l,s/n-l. 

Mit Benutzung der Relationen [§. 78, (6j] 

Xjo =/i «1, XJi =/2 ö!2? • • "1 Xjn — 1 = ttiii 

folgt hieraus 

Wir bestimmen also noch eine Functionenreihe E^i^s durch 
die Gleichung 

und erhalten dann aus (1) und (2) 



§. 97. Bestimmung der Hermite'sclien Form H. 315 

(^ — t^)yfs = (E-i,s — ciEo,s)fo + (Eo,s — «£'i,.)/i H 

Die Function -E'_i^g lässt sich aber durch die Rehitiou 
[§• 78, (7)] 

tto^n + s "T~ ^1 f »i + s — 1 r ■ ■ ■ \ ^'^'» ^s =^= 

ganz in der gleichen Weise ausdrücken, wie die übrigen £", so 
dass wir folgendes System von Formeln erhalten [§. 78, (10)]: 

= tts + ltn — l • • ' Clnts 

-C-O, » = <^o^n + s—l ~\- öi^n + s — 2 i • * ' "T ^stn — l 

= as + itn — 2 ' • • — ünts — i 

-C/i, s = «O^n + s — 2 ~r '^'l^n-rs — 3 ~\~ * ' " -j" ö^s^n — 2 

= — ^s + 1 frt — 3 • • • — ünts — 2 

(5) • • -J^ 

= Cls+ itn — s — 1 • • • ttn to 

Es,s = ttohi — l -p f'lfn — 2 -[-'•• -\- ttstn — s — l 

-C/S + l,s = «0 ^n — 2 -p ^1 ^n — 3 -\- • ' ' ~\- Üstn —s — 2 

En — 1, s = «0 ^s -p ^1 ^s — 1 -p • • • -p ^Ä ^0« 

Führen wir ein zweites System von Variablen t ein und setzen 
SO ergiebt sich aus (4) mit Benutzung der Formeln [§. 74, (6)] 



s 



(6) Ä[(a; — a)?/,?] = «ao 2: (^_i,s — a JS'o,«) tr„_s-i 

0, n — 1 

s 
-|- (n— 1)«! 2; (£"0,3 — «£'i,s)Tn_s_l 
0,n — 1 

s 

-(- a„_i -S (En-2,s — 0!,En--i,s)X„ — s-l- 
0, )i — 1 

und dies geht geradezu in die Function H über, wenn wir r = t 
setzen. 

Nehmen wir als Beispiel den Fall w = 3, so ergiebt sich 

-^—1, = f'i ti ^2 ^1 ^3 ^01 -^0, = ^0 ^21 

-^—1,1 = tti^i "a^li -C«o, 1 = <^2 ^1 ^3^0» 

-£»-1, 2 ^= Cl'i ^21 -^0, 2 = Cts ^11 



316 



Achter Abschnitt. 



§. 98. 



-E^l, = «0 ^1- -^2, fffj ^05 

■£"1, 1 = «0 ^2 + «1 ^1, -E;2, 1 = «0 ^1 + «1 ^0, 

und hieraus kann man die Coefficienten der Form H nach (6) 
leicht berechnen: 

-Efa, 2 = — «ü («1 + 3 «0 «) 

J/i^ 1 = — 3 «0 % — <^h «2 — 2 {a'l — «0 ftä) « 

Ho,o = — «2 «3 + (2 «1 % — «D « 

Hi^ = — '- «1 «3 + (3 ao «3 — «1 «2) « 

Ho^i^ = — 2 tto («2 + «1 «) 

H0.2 = — «0 (3 «3 + «2 «)• 



§. 98. 
Die Determinante der Hermite'schen Form. 

Für die Frage nach der Anzahl der negativen Quadrate der 
Form H ist die Kenntniss ihrer Determinante von Wichtigkeit. 
Diese Determinante lässt sich allgemein auf folgende Art be- 
rechnen. 

Setzen wir 

0,11—1 
so sind die Coefficienten i/,;^. deren Determinante gebildet werden 
soll, durch die Formel §. 97, (6) gegeben. Es ist i/,- ^ der Coeffi- 
cient von fjTfc in jener Formel, also 

ffi,k = S(X — U) fn — i — i fn — Tc—1- 

Die Determinante aus diesen n- Grössen lässt sich aber 
nach dem Multiplicationssatz in die Form setzen: 

{x^ — a) f, (a;i), (^1 — «) /i (a^i), • • -^ (^1 — «) A-i (^1) 



z/ = 



(Xn — «) /o {Xnh i^n — «) /l (^n), - • •, (Xn — «) fn-1 (^n) 
/o (^l)i /l (•^1)1 • • •; Jn — l (Xi) 



X 



oder auch, da 

a,j (ä:i — «) (^2 — «)... (JC„ — rx) = (— 1)" /(«) 
ist, in die Form 



§. 98. 



Die Determinante der Hermite'schen Form, 
/o (^l), /l (^l), • • •, /n-i {X^) 



317 



(-!)"/(«) 



«0 



Die hier noch vorkommende Determinante der /^ (;:c,) ist das 
Product der beiden folgenden: 



«05 0, 

«l5 «0' 



., 
, 



ün—it (ln—2t • • •? ^^0 






-'■9 '*'«) «^n? 



•^ •X'' 



n — 1 



Das Quadrat dieses Productes ist aber, wenn D die Discri- 
minante der Function f(x) bedeutet (§. 50), gleich a^ Z>, so dass 
sich für z/ ergiebt 

(1) ^ = (- l)"ao/(«)Z>. 

Da nach der Voraussetzung D nicht verschwinden soll, so 
wird J also nur dann verschwinden, wenn für « eine der Wur- 
zeln von f(x) = gesetzt Avird, und dies soll auch aus- 
geschlossen sein. 

Bezeichnen wir eine Kette von Haupt -Unterdeterminanten 
von ^, mit der niedrigsten angefangen, mit 

^1 («), A («)• • • •, ^n («) = ^, 
so ist nach §. 89, V. die Anzahl der Zeichenwechsel in 

(2) 1, ^i(«), z/g («),..., ^n («) 

gleich der Anzahl Na der negativen Quadrate in H, und wenn 
wir also die entsprechende Zahl Nß in 

1, ^, iß), ^, (ß), . . ., z/„ (ß) 

abzählen, so ist Ni — iV„ die Anzahl der zwischen « und ß 
gelegenen Wurzeln \onf{x). 

Für die cubische Gleichung ergeben sich die Ausdrücke aus 
dem Schluss des vorigen Paragraphen, Wir bilden die Kette 



«0, 



Un 



die offenbar dieselbe Anzahl von Zeichenwechseln hat wie (2), 
und erhalten so die Functionen 

2 «2 «0 (a^ — 3 «0 «2) -f- « (2 af -]- 9 a^ a.j — 7 «o «1 «2) 
-[- 3 ao «1 tts -[- af a^ — 4 «o «2^, — /(«) D. 



q 



18 Achter Abschnitt. §. 99. 



Nehmen wir zur Probe « = — oo, /3 = -|-co, so erhalten 
wir, wenn noch «0 = 1 gesetzt wird, die Zeichenbestimmung 
1, + 1, (af — 3 «2), D, 

1, — 1, («f — Sag), — I>- 
Man muss bei der Abzahlung beachten, dass, wennD positiv 
ist, al — 3 «2 nicht negativ sein kann [§. 52, (8)]. 

§. 99. 
Formulirung der Aufgabe durch Hurwitz. 

Anlässlich einer besonderen Frage, auf die wir weiter noch 
zurückkommen, hat Hurwitz eine Darstellung des Sturm'schen 
Problems gegeben, die zu besonders einfachen Resultaten führte). 

Es sei 

(1) f{^) = «0 ^" + «1 ^"-' H h «» 

eine ganze Function n*^° Grades der Variablen s. Es sei ferner 
^(^) eine zweite ganze Function von beliebigem Grade. Wir 
suchen nach §. 16 die Entwickelung des Bruches 0(s):f{s) nach 
fallenden Potenzen, und bezeichnen den Theil dieser Entwicke- 
lung, der negative Potenzen von 2 enthält, mit 

(2) Co^-i + Ci^-2 H = i Ck2-^^-K 

0, . . . 

Es sei nun weiter 

(3) 0(^) = fo + ^1 ^ H h t^n-l^'"-' 

eine ganze Function von einstweilen noch beliebigem Grade 
(m — 1), deren Coefficienten Iq, t^, . . ., f,„_i unabhängige Va- 
riablen sind. Wir bilden die Entwickelung nach fallenden Po- 
tenzen von 2 für den Bruch 

wofür wir nach (2) mit Benutzung der Regeln des §.16 erhalten 

2J k 2J Ch2-^ + ' + ^-Hitu, 
oder, nach absteigenden Potenzen von ^ geordnet, 

(4) 2J 3-'—'^ Z ci + i + kUti. 



^) Mathematische Annalen, Bd. 40. 



§. 99. Formulirung der Aufgabe durch Hurwitz. 319 

Bezeichnen wir den Rest der Division von (£■) durch /(,i) 
mit 01 (z) und setzen 

0, {Z) = f„ + f, ^ H h 4-: S—\ 

SO sind die /J,, f^, . . ., 4-i lineare homogene Functionen der 
Variablen f,,, f^, . . ., f,H-i- Es geben aber nach §. 16 die beiden 
Brüche 

^{£) 0{zf ^ {£) 0, {zY 

^^^ /(^) ~~'W) 

bei der Entwickelung nach fallenden Potenzen von z dieselben 
Glieder mit negativen Exponenten, und daraus folgt, dass die 
in der Entwickelung (4) auftretenden quadratischen Formen der 
m Variablen ti ,-,fe 

T). ^= 2^ Cf.^i^Tctitjc 

auch als quadratische Formen der n Variablen /;• ausgedrückt 
werden können. Sind also ;r/., v;., (>;. die charakteristischen Zah- 
len von T;., so ist Q/. mindestens = m — n. Von nun an wollen 
wir m = n setzen, also unter (z) eine Function (n — 1)^«° 
Grades verstehen. Wir betrachten hauptsächlich die Function Tq, 
die wir auch kurz mit T bezeichnen, also die quadratische Form 

i,k 

(6) T = H a+kUtk,' 

l,n — 1 

und bezeichnen ihre charakteristischen Zahlen mit jr, v, q. Dann 
ergiebt sich aus dem soeben Bewiesenen zunächst: 

1. Wenn/(^) und 0(^) nicht relativ prim sind, so ist 
9 > 0, also T keine definite Form. 

Denn wenn wir den grössten gemeinschaftlichen Theiler von 
/ und herausheben, so entstehen aus (5) Brüche von derselben 
Gestalt, in denen dasselbe geblieben ist, während sich der 
Grad des Nenners erniedrigt hat. Ist n' dieser erniedrigte Grad, 
so ist m — n' und folglich auch q positiv. Wir können ferner 
noch beweisen: 

2. Wenn f{z) und f'{z) einen gemeinschaftlichen 
Theiler haben, so ist T keine definite Form. 

Denn wenn f(z) und f'{z) einen gemeinsamen Theiler haben, 
so lässt sich eine reelle Function Q (z) (vom ersten oder zweiten 
Grad) so bestimmen, dass 

ist. Dann ist Qfi(z) von niedrigerem als w*^™ Grade, und wir 
können die Coefficienten to, ii, • • • 4— i so bestimmen, dass 

= Qf, (z) 



320 



Achter Abschnitt. 



99. 



wird. Dann ist aber (2)- durch /(^) theilbar, und 0(£) 0(zy- -./{z) 
ist eine ganze Function. Es kommen dann also in der Ent- 
wickelung nach fallenden Potenzen keine negativen Potenzen 
mehr vor. und es wird nicht nur T, sondern alle Functionen Ti 
gleich Null. 

Es giebt also von Null verschiedene Werthe der Variablen 
^,-, für die T verschwindet, was bei definiten Formen nicht mög- 
lich ist. 

Wenn ^^•ir annehmen, dass die Function f{z) keine mehr- 
fachen Factoren hat, so können wir, wenn die Wurzeln von f{z) 
bekannt sind, die Functionen T,. leicht in eine Summe von Qua- 
draten zerlegen. Es ist nämlich dann, wenn das Summenzeichen S 
sich auf die Wurzeln 

von f{z) erstreckt, und G{z) eine ganze Function bedeutet, 
nach §. 15 

' ^{z)@(z)^ _ 0{z )®{zr 

^^^ f{z) - ^ (T^ ^) f {X) + ^ ^'^' 

und wenn wir hierin \ : {z — x) nach §.16 nach fallenden Po- 
tenzen von z entwickeln, so ergiebt sich 

(8) T, _ S jj^^- 

Die Functionen 



(9) 



(a?2 j = ^0 + ^1 ^2 + 



X^l 






X'' 



{xn) = fo + ^1 ^n + • • • + an- 
deren Determinante gleich dem Differenzenproduct der Xi und 
folglich von Null verschieden ist, sind von einander linear unab- 
hängige, lineare Functionen der it und durch (8) ist also Ty. in 
eine Summe von n Quadraten zerlegt. Setzen wir 



(10) 



.<=V?g«(^<). 



so ergiebt sich (für A = OJ 

(11) T=yl^y^^, [-yl 

Unter der Voraussetzung reeller Coefficienten von / und ^ 
lassen sich nun die für die Trägheit der Function T charakteri- 
stischen Zahlen 7t^ v. q bestimmen. 



§. 99. Formulirung der Aufgabe durch Hurwitz. 321 

Zunächst ist ersichtlich, dass yi' aus der Summe (11) dann, 
und nur dann, wegfällt, wenn ^{Xi) = ist, also wenn Xi eine 
gemeinschaftliche Wurzel von / und O ist. Es ist also q gleich 
dem Grade des grössten gemeinschaftlichen Theilers von / und 
O, und gleich Null, wenn / und O relativ prim sind. 

Ist a^i, X2 ein imaginäres Paar, und 0{xi) von Null ver- 
schieden, so ist 

yi = F-^Qi y, = P-Qi 
und folglich 

y! -{-yi = ^ (P' - Q')- 

Dieses Paar giebt also einen Beitrag von einer Einheit zu tc 
sowohl als zu v. 

Für ein reelles x ist aber y^ positiv oder negativ, je nach- 
dem (x) und /' (x) gleiche oder verschiedene Zeichen haben. 

Hieraus ergiebt sich folgende Bestimmung für die charak- 
teristischen Zahlen tc, r, q der Form T. 

Q ist gleich der Anzahl der verschwindenden 0(x). 

71 ist gleich der Anzahl der imaginären Paare mit nicht 
verschwindenden 0(ä:), vermehrt um die Anzahl der 
(12) reellen Wurzeln mit positivem 0(x)f'(x). 

V ist gleich der Anzahl der imaginären Paare mit nicht 
verschwindenden $ (x) , vermehrt um die Anzahl der 
reellen Wurzeln mit negativem O (x) f (x). 

Wir machen hiervon einige besondere Anwendungen. 

Der Fall, dass T eine definite Form ist, dass also q und 
V ^ oder q und ;r = sind, kann nur dann eintreten, wenn 
und / relativ i)rim sind, wenn f{x) nur von einander ver- 
schiedene reelle Wurzeln hat, und wenn ausserdem 0{x)f'{x) 
für alle Wurzeln von f{x) dasselbe Zeichen hat. Sind a und ß 
zwei der Grösse nach auf einander folgende von diesen Wurzeln, 
so haben /' (a) und f (ß) entgegengesetzte Vorzeichen. Es müssen 
daher auch ^(a) und 0(ß) entgegengesetzte Vorzeichen haben. 
Es muss also zwischen « und ß eine ungerade Zahl von Wurzeln 
von O(a-) = liegen. Unter diesen Voraussetzungen ist auch 
umgekehrt T eine detinite Form, die im Zeichen mit 0(x)f'(x) 
übereinstimmt. kann also, wenn T eine definite Form sein 
soll, nicht von niedrigerem Grade sein als n — 1. Ist auch 
nicht von höherem Grade, so muss zwischen je zwei Wurzeln von 
f{x) eine und nur eine Wurzel von 0{x) liegen, oder wie wir 

Weber, Algebra. I. 21 



322 



Achter Abschnitt. 



§. 99. 



uns auch ausdrücken können, die Wurzeln von f{x) sind durch 
die Wurzeln von 0{x) von einander getrennt. 

Die Form T wird speciell eine positive sein, wenn wir ausser- 
dem noch annehmen, dass Cq positiv ist, und dies wird dann ein- 
treten, wenn die Coefficienten der höchsten Potenzen von g in 
f{z) und 0{z) dasselbe Zeichen haben. Da wir nun in §.89 VII. 
die nothwendige und hinreichende Bedingung für eine positive 
Form aufgestellt haben, so können wir jetzt folgenden Satz aus- 
sprechen, wenn wir 



C|), C\ 



^li <-2i 



Cv + l 



C,', Cr -I- 1, 



^2V 



= Cr 



setzen. 
3. 



Die nothwendige und hinreichende Bedingung 
dafür, dass die Gleichung n^^'^- Grades f{x) = 
nur von einander verschiedene reelle Wurzeln 
hat, die durch die Wurzeln der Gleichung (« — 1)*^"^ 
Grades 0{x) = von einander getrennt sind, ist, 
wenn die Coefficienten der höchsfen Potenzen 
von / und O von einerlei Zeichen sind, die, dass 
die Determinanten 

^Oi ^U ^21 • • '1 ^n — 1 

alle positiv sind. 
Wenn wir O (z) = f (2) setzen, so ist {z) '• f (z) = 1 , also 
immer positiv. Zugleich gehen in diesem Falle die Cq, c^, Cg, . . ., 
(nach §. 16) in die Potenzsummen .Sq, Sj Sg, . . ., über. Setzen 
wir dann 

S01 Sj, , Sy 

Sil S2, , S,. 4-1 



= Dr, 



Sy, Sy ^ ll . • •, 5-2 V 

so ist (wenn «„ = 1 angenommen wird) Dn—i die Discriminante 

von / und es folgt der Satz 

4. Die nothwendige und hinreichende Bedingung 
dafür, dass die Gleichung n^^"^ Grades f (x) = 
nur reelle von einander verschiedene Wurzeln 
hat, besteht darin, dass 

Uq, 1)^1 JJoi • • •, -L^n — l 

positiv sind. 



§. 100. Charakteristikentheorie. 323 

Nimmt man {x) = {x — a) f {x) an , worin a eine belie- 
bige reelle Zahl ist, die nicht zu den Wurzeln von f{x) gehört, 
so ist, wenn f{x) nur einfache Wurzeln hat, (> = 0, und, mag 
nun f{x) imaginäre Wurzeln haben oder nicht, es ist :r — v die 
Anzahl der reellen Wurzeln , die grösser als a sind , vermindert 
um die Anzahl der unter a liegenden Wurzeln. Die Differenz 
n — V nimmt also jedesmal um zwei Einheiten ab, wenn a 
wachsend durch eine Wurzel von f{x) hindurchgeht. Dies ist in 
Uebereinstimmung mit §. 96. 

§. 100. 
Grundzüge der Charakteristikentheorie i). 

Die Sturm'schen Sätze werden in ausserordentlicher Weise 
durch die Charakteristikentheorie von Kr o necker verallgemei- 
nert, die dasselbe Ziel wie der Stürmische Satz für Gleichungs- 
systeme mit beliebig vielen Veränderlichen verfolgt. Wir be- 
schränken uns hier auf die Betrachtung des einfachsten Falles, 
den wir zur Einschliessung der complexen Wurzeln einer Glei- 
chung anwenden wollen; auch bedienen wir uns hier unein- 
geschränkt der geometrischen Anschauung und der Bezeichnungs- 
weise der Differentialrechnung. 

Wir betrachten zunächst zwei reelle Functionen q) (x, y), 
^ (x, y\ und deuten die reellen Variablen x^ y als rechtwinklige 
Coordinaten in einer Ebene. Die Gleichungen 
(1 j (p (x, y) — 0, t (x, y) = 

stellen dann zweiCurven dar, die wdr kurz die Curve (p und die 
Curve ip nennen. Wir nehmen zunächst an, diese Curven seien 
geschlossen und erstrecken sich nicht ins Unendliche. Wir nehmen 
ausserdem an, (p sei im Inneren der Curve q) negativ, im 
Aeusseren positiv; ebenso t^ im Inneren von t^ negativ, im 
Aeusseren positiv. 

Bezeichnen wir, wie die Fig. 6 (a. f. S.) zeigt, den Winkel, den 
die Normale n in irgend einem Punkte von qp, in der Richtung, 
in der cp wächst, also nach aussen gezogen, mit der Richtung der 
positiven x-kxe bildet, mit d; so ist, wenn cp' (x) und q' {y) die 
partiellen Ableitungen von q) sind, und die Quadratwurzel positiv 
genommen ist, 

^) Kronecker, Monatsberichte der Berliner Akademie, März u. August 
1869, Februar 1873, Februar 1878. 

21* 



324 



Achter Absclinitt. 



100. 



COS d- = 



cp'(x) 



Vfp'(x)'^cp'{yy^' 



sin & = 



9>'(y) 



Ziehen wir die Tangente f so, dass sie zu der eben bezeich- 
neten Normale n so liegt, wie die positive ^-Axe zur positiven 
x-Axe und bezeichnen den "Winkel, den sie mit der positiven 
x-Axe bildet, mit |, so ist 



cos I 



sin I = 



Fisf. 6. 



Bezeichnen wir den Fortschritt auf cp in der Richtung t als 
den positiven und sind dx^ äy die Projectionen dieses Fort- 
schrittes, so sind dx und dy proportional und im Zeichen über- 
einstimmend mit — ^' (y\ ff' (x): und wenn Q eine beliebige 
andere Function ist, so ist 

dO z= ^' (x) dx -\- ^' (y) d y 
im Vorzeichen übereinstimmend mit der Functionaldeter- 
minante 
(2) [cp., ^] = <p' (X) 0' (y) - cp' (y) 0' (x). 

Bei der üblichen Annahme über die Coordinatenrichtung ist 
die positive Fortschrittsrichtung die , bei der das Innere der 

Fläche zur Linken 
liegt. 

Wenn nun die 
positive Fortschritts- 
richtung auf (p an 
einem der Durch- 
schnittspunkte der 
/ Curven cp, ip in das 
Innere von ip hinein- 
führt, so ist f? 1^, also auch die 
Functionaldeterminante [cp. i/;] nega- 
tiv, und im entgegengesetzten Falle 
positiv (Fig. 7). Wir nennen einen 
Schnittpunkt von (p und ip einen 
Austrittspunkt ^(qp, il)) oder einen Eintrittspunkt £(g), t^), je 
nachdem die positive Fortschrittsrichtung von (p aus dem Inneren 
von ip ins Aeussere oder vom Aeusseren ins Innere führt, und 
haben also den Satz: 

an einem A{cp.i)) ist [g), ii\ > 
„ E{(p.t) „ [95, i>] < 0. 





(3) 



§. 101. Charakteristik eines Systems von drei Functionen. 325 

Die Anzahl der J.(g), i/^) ist ebenso gross, wie die der E{(p,il^); 
und wenn wir qp mit ij; vertauschen, so gehen die J.(<5p,i^), E{(p,i>) 
in E(i'^ (p) und Ä(i\ cp) über. 

Die zwei Functionen 9, i/» bestimmen in eindeutiger Weise 
einen Flächenraum, der dadurch charakterisirt ist, dass in ihm 
das Product (p 4^ negativ ist. Wir wollen ihn den Binnenraum 
(g>, t/?) oder (7^, cp) nennen. In unserer Fig. 7 ist es die schraf- 
firte Fläche. 



§• 101. 
Charakteristik eines Systems von drei Functionen, 

Wir nehmen nun zu den beiden Functionen qp, ^' eine dritte 
f(x, y) hinzu. Die durch die Gleichung f = dargestellte 
Curve, oder die Curve / soll gleichfalls im Endlichen geschlossen 
sein, und wir wollen ausserdem noch annehmen, dass sie durch 
keinen der Schnittpunkte von (p und ^ hindurchgeht. 

Wir geben diesen drei Functionen eine bestimmte cyklische 
Reihenfolge 

/, <p, i\ 

so dass auf ip wieder / folgen soll, und verbinden mit dieser 
Reihenfolge eine bestimmte, etwa die positive Fortschrittsrichtung 
auf jeder der drei Curven. Wir wollen festsetzen, dass mit der 
umgekehrten Reihenfolge 

auf jeder der drei Curven die entgegengesetzte, also die negative, 

Fortschrittsrichtung verbunden sei. 

Fig. 8. Wir durchlaufen nun , bei der 

ersten Reihenfolge, die Curve / in 
positivem Sinne, und achten auf die 
Schnittpunkte von / und qp. Ein 
solcher soll ein Austrittspunkt A (/; q).,t) 
genannt werden, wenn die positive 
Richtung von / aus dem Inneren des 
Binnenraumes {(p, if) in das Aeussere, 
und ein Eintrittspunkt E(f] q), ip), wenn 
er aus dem Aeusseren in das Innere führt. 
In der Fig. 8 sind die Punkte a die Austrittspunkte ^ der 

Punkt e ein Eintrittspunkt. 




326 Achter Abschnitt. §. 101. 

Die Gesanimtauzahl der Ein- und Austrittspunkte stimmt 
überein mit der Anzahl der Schnittpunkte von / und cp, und ist 
also, da beide Curven geschlossen sind, eine gerade Zahl. Ist 
a die Anzahl der Punkte A(f] g), i^), e die Anzahl der Punkte 
-^(/> 9^5 ^)? so ist also auch e — a eine gerade Zahl und 

i(e — a) = li ■ 
eine ganze Zahl, die nach Kronecker die Charakteristik des 
Functionensystems /, 9), ^ heisst. (Im Falle der Fig. 8 ist 
sie gleich — 1.) 

Wenn wir die Functionen /, qp, ip cyklisch vertauschen, so 
erhalten wir drei Bestimmungen für die Charakteristik, und wenn 
wir die Eeihenfolge umkehren und dabei nach der getroffenen 
Vereinbarung auch die positiven Pachtungen durch die negativen 
ersetzen, drei weitere. Diese Bestimmungen sind, wenn wir jetzt 
die Symbole A (/; 9), 1/.'), E{f\ (p, ip) zugleich als Bezeichnung 
für die Anzahlen der betreffenden Punkte brauchen, 

2. \[E{cp-^J)-A{rp-^J)l 

3. \[E(^-f,^)-A(i.^;f,q>)\ 

4. \\E{f-i>,<p) -A{f-^,cp)\ 

5. \[E(^-q^J) - A{i^-cpJ)l 

6. \[E(,q>-f,^) - A{cp-f,i^)l 

und es gilt nun der fundamentale Satz, dass diese sechs 
Bestimmungen dieselbe Zahl ergeben. 

Um ihn zu beweisen, durchlaufen wir die Curve / in posi- 
tivem Sinne, und achten auf die sämmtlichen Schnittpunkte mit 
fp und ^. Der Weg längs der Curve / ward dabei ebenso oft in 
den Binnenraum {(p.ip) eintreten müssen, wie er aus ihm heraus- 
tritt , weil er wieder in seinen Ausgangspunkt zurückkehren 
muss. Die Curve / tritt aber ein in den Punkten E (/; ^, ij) 
und A(f; ijj, (p) und tritt aus in den Punkten A(f] qp, ip) und 
E(J\ ip, (p). Also ist 

E{f; cp, t^) + A(f- ^, cp) = A(f; qp, t) -f E(f- ^, qp), 
wodurch die Uebereinstimmung von 1. und 4. nachgewiesen ist. 

Wenn wir nun zweitens die Curve (p in negativem Sinne 
durchlaufen, und auf ihre Schnittpunkte mit / achten, so ergiebt 
sich, dass jeder Punkt Eif\ qp, 4') zugleich ein Punkt E{(p:frip), 
und jeder Punkt A(f; 9), i<) ein Punkt A{(p\ f^ ip) ist. Denn 
in der Fig. 9, worin der Punkt a irgend einen der Schnitt- 



§. 102. Charakteristik-Beziehung zu den Schnittpunkten. 



327 



+ i — 



punkte von / und g) darstellt, ist dieser Punkt ein E{f\ (p, ijj) 
und zugleich ein E{(p;f, ip), wenn i) in a positiv ist, und ein 
^(/; 9^5 •«/') und zugleich ein Ä(cp;f, xjj), wenn t/; in a negativ ist. 
Fig. 9. Daraus folgt die Uebereinstimmung 

von 1. mit 6. Es folgt ferner durch 
nochmalige Anwendung des ersten 
Schlusses die Uebereinstimmung von 
6. mit 2. und dann durch Anwendung 
des zweiten Schlusses die von 2. mit ö. 
f und endlich des ersten die von 5, 

mit 3., also die Uebereinstim- 
mung aller sechs Ausdrücke. 
Man ist daher berechtigt, die so bestimmte Zahl schlechtweg 
als die Charakteristik des Functionensystems (/, g), t^) 
zu bezeichnen. 



(p 



§. 102. 
Beziehung der Charakteristik zu den Schnittpunkten. 

Man hat nun zu beachten, dass die Bezeichnung der Schnitt- 
punkte zweier Curveu als Ein- und Austrittsstellen in §. 100 
wesentlich verschieden ist von der in §. 101. Dort kam nur die 
Beziehung der Punkte zu den beiden sich schneidenden Curven 
in Betracht, während in §. 101 noch die Beziehung zu einer 



Fig. 10. 



dritten Curve in Frage kam; dies ist in 
den gewählten Bezeichnungen B (9), i^), 
A ((p, i^) und E{f- 95, t^), Ä(f- cp, i>) voll- 
ständig ausgedrückt. Nun müssen wir 
aber genauer untersuchen, wie sich die 
beiden Bezeichnungsweisen zu einander 
verhalten. 

Wir wählen der Deutlichkeit halber 
eine etwas einfachere Figur als oben, 
die zugleich alle möglichen Verhältnisse 
veranschaulicht (Fig. 10). 
In einem Punkte E{fp^ i)) tritt die 9)- Curve in die Fläche 
der Curve -4) ein , d. h. es geht t^ von positiven zu negativen 
Werthen. Ist dann zugleich / positiv, so ist dieser Punkt ein 
-^(91 i'tf)-! "^'16 der Punkt 1 in unserer Figur, ist aber/ negativ, 
so ist es ein A{(p] t,f): wie der Punkt 3. So haben wir: 




328 Achter Abschnitt. §. 102. 

Ein Punkt E (g?, ip) ist ein 

E((p\ ^, /), wenn /> 0, (Punkt 1 der Fig. 10) 

Ä((p', i),f), wenn / < 0, (Punkt 3 der Fig. 10). 

Ein Punkt A{cp, ip) ist ein 

E{(p\ 1^,/), wenn / < 0, (Punkt 2 der Fig. 10) 

A{(p; ip,f), wenn / > 0, (Punkt 4 der Fig. 10). 

Nun ist in den Punkten E((p, i^) die Functionaldeterminante 
[(p, il^] negativ, in Ä{(p, ^) positiv (§. 100), und wir können also 
das Bewiesene so zusammenfassen : 

Es ist E(q)\ i>,f) die Anzahl der Schnittpunkte von 9), t\), in 

denen [9?, i^] / < 0, 
A{(p] ^, /) die Anzahl der Schnittpunkte von cp, ^, in 
denen [9, t/;] / > ; 
also ist die Charakteristik gleich dem halben Ueberschuss der 
ersten Zahl über die zweite. 

Diesem Satz können wir folgenden Ausdruck geben, wobei 
er von Grössenverhältnissen gänzlich unabhängig erscheint und 
nur von den Lagenverhältnissen der Curven und ihrer Schnitt- 
punkte abhängt. 

Unterscheiden wir die Schnittpunkte von cp, t^', je nachdem 
sie Austrittspunkte Ä(q), i^) oder Eintrittspunkte E((p, i^) sind, 
durch das Zeichen « und £, ebenso, je nachdem sie äussere oder 
innere Punkte zu der Curve / sind, durch a und £, geben dann 
den Punkten a, s und f, a den Charakter -j- 1, den Punkten 
«, « und £, s den Charakter — 1 1), so ist die Charakte- 
ristik des Functionensystems (/, 9), rp) gleich der halben 
Summe der Charaktere der sämmtlichen Schnittpunkte 
von 9), ip- 

Die Sätze und Begriffsbestimmungen, die wir hier gegeben 
haben, bleiben unverändert bestehen, auch wenn die betrachteten 
Curven aus mehreren in sich geschlossenen Zügen bestehen; 
auch können Doppelpunkte bei den Curven vorhanden sein; es 
muss nur von jeder Fortschrittsrichtung auf einer der Curven 



^) Kronecker versteht unter Charakter eines Punktes etwas Anderes. 
Nach seiner Definition (Monatsbericht der Berliner Akademie, 4. März 1869) 
ist nämlich der Charakter eines Schnittpunktes von ^ und \p die Charak- 
teristik eines Curvensystems , das man aus /, (f, ip erhält, wenn man / 
durch eine Curve ersetzt, die nur diesen einen Schnittpunkt von gj, ip um- 
schliesst. 



§. 103. Eingrenzung der complexen Wurzeln. 329 

völlig bestimmt sein, ob sie als positiv oder als negativ zu be- 
trachten ist, d. h. es muss jedes Stück einer Curve / oder q) 
oder il^ Flächentheile von einander trennen, in denen die Func- 
tionen / oder ^ oder t^ entgegengesetzte Vorzeichen haben. 

Auszuschliessen sind nur die Fälle, in denen eine der Curven 
durch einen Doppelpunkt der anderen hindurchgeht, oder in 
denen die Curven einander berühren , oder in denen die drei 
Curven/, 9), t durch einen Punkt gehen; denn in diesen Fällen 
würde die Bestimmung eines Punktes als Eintrittspuukt oder 
Austrittspunkt zweifelhaft werden. 

Erstrecken sich die Curven ins Unendliche, so muss man 
sie, um unsere Sätze anwendbar zu machen, durch willkürlich 
hinzugefügte Curvenstücke abschliessen , wie wir im nächsten 
Paragraphen sehen werden. 

§. 103. 

Anwendung der Charakteristiken auf die Eingrenzung 
der complexen Wurzeln einer Gleichung. 

Es sei jetzt 

3 = X -{- yi 

eine complexe Veränderliche und 

(1) F{2) = cp {X, y)-[-it (^, ^J) 

eine ganze rationale Function von s mit reellen oder complexen 
Coefficienten , und darin q) (x, y), ip (x^ y) reelle Functionen der 
reellen Veränderlichen x^ y. Wir setzen voraus, dass F{z) und 
F' {2) nicht zugleich verschwinden. F{z) verschwindet nur in 
den Schnittpunkten der beiden Curven cp und i^'. Die Ableitung 
von (1) ergiebt 

F(2) = q'{x) + irl>'{x) = - ^>'(y) + ^'{y\ 
also 

(2) ip'{x)=^\y\ q>' {y) = - i>' {X), 
und folglich 

(3) [cp, i'-] = cp' (X) t' (y) — cp' (1/) i^' (X) 

= cp'{xy + cp'iyf = xij'(xy + t'(yr. 

Hieraus folgt, dass die Functionaldeterminante [qp, t^J nie- 
mals negativ wird und nur da verschwindet, wo cp' (x) und cp' {y\ 
also auch ^' {x) und ^' {y) zugleich verschwinden. 



330 



Achter Abschnitt. 



103. 



Dies tritt aber nie in einem Schnittpunkte von cp und t^ ein, 
da sonst hier F (2:) und F' (z) zugleich verschwinden würden. 
Die positive Fortschrittsrichtung ist in jedem Theil der Curve cp 
oder ip völlig bestimmt durch das Vorzeichen der Function in 
den angrenzenden Flächentheilen; auch etwaige Doppelpunkte, in 
denen 9), q)' (x) und cp' (y) zugleich verschwinden, machen dabei 
keine Ausnahme. 

Da die Functionaldeterminante [q). i^] in allen Schnittpunkten 
der Curven (p, t^ positiv ist, so sind alle diese Punkte Austritts- 
punkte A (9?, 7p), und daraus folgt, dass die Curven (p und ^ nicht 
geschlossen sein können, sondern sich ins Unendliche erstrecken 
müssen, da sonst auf eine Austrittsstelle nothwendig eine Ein- 
trittsstelle folgen müsste. Im Uebrigen bestimmen auch hier die 
Curven (p, tp einen Binnenraum, in dem das Product q) ip negativ ist. 

Wir fügen nun zu den beiden Functionen qp, ip eine dritte 
Function/ hinzu, die, gleich Null gesetzt, eine geschlossene 
Curve darstellt, und bestimmen die Charakteristik des Func- 
tionensystems ganz in der früheren Weise, indem wir längs der 
Curve / fortschreiten 

(1) h = l[E(f;cp,7p)]- Aif- cp,t)] = UE(f;i'.<p)-^if;i^.^)l 

So ist z. B. in der Fig. 11 die Charakteristik Je = 2. 
Fig. 11. Fig. 12. 




Um unsere Sätze anwenden zu können, müssen wir die Curven 
cp, ip irgendwie durch willkürlich hergestellte Verbindungen, die 
aber alle ausserhalb / verlaufen sollen, zu geschlossenen machen. 
Die Charakteristik dieses Systems ist dann gleichfalls durch (1) 



§. 104. Bestimmung der Charakteristik. 331 

bestimmt. Als Beispiel ergänzen wir die Fig. 11 durch Fig. 12, 

in der diese abschliessenden Verbindungen gezeichnet sind. Die 

so hinzugefügten Schnittpunkte können theils Austrittspunkte 

Ä((p^ ijj)^ theils Eintrittspunkte E{(p^ip) sein. Wir wollen ihre 

Anzahlen mit 

A{(p,i>), E'(cp,ip) 

bezeichnen , während Ä ((p, i') die Zahl der ursprünglich vor- 
handenen Schnittpunkte bedeutet. Immer muss jetzt 

(2) Ä{cp,ii^)-^Ä' (9P, 1^) = E' (cp, i') 

sein. Wir theilen die Punkte Ä (^, 'i') in zwei Gruppen Äa (g?, i') 
Äe (g), tp), von denen die ersten ausserhalb, die anderen innerhalb 
von / liegen sollen. Dann haben wir folgende Charaktere der 
Schnittpunkte 



Äa (% i^) 


-1, 


A, (tp, ij) 


+ 1, 


Ä (9), t^) 


- 1, 


E' (qp, i,) 


— 1. 



Der doppelte Werth der Charakteristik ist dann, wenn wir 
der Einfachheit halber die Bezeichnung (g?, ^') weglassen (§. 101) 

(3) — Aa-\' A, — A -YE' ^ 2^-; 
dazu die Gleichung (2) addirt, ergiebt 

(4) li = A,, 

d. h. die Charakteristik ist gleich der Anzahl der im 
Inneren von / gelegenen Schnittpunkte von g), i\}. 

Damit haben wir also ein Mittel gefunden, um die Anzahl 
der Wurzeln der Gleichung 

F{b) = 0, 
deren geometrische Bilder im Inneren einer beliebig gegebenen 
Curve liegen, aus der Charakteristik zu bestimmen. Die will- 
kürlich hinzugefügten äusseren Verbindungen spielen hierbei gar 
keine Rolle mehr und können vollständig unterdrückt werden. 



^?3 



§. 104. 
Bestimmung der Charakteristik. 

Um den im Vorigen bewiesenen Satz anwendbar zu machen, 
müssen wir noch zeigen, wie wir die Charakteristiken wirklich 



332 



Achter Abschnitt. 



§. 104. 




+001 




bestimmen können. Denken wir uns zu diesem Zweck dieCurve/ 
so in Theilstrecken getheilt, dass in einer von ihnen nur ein 
Schnittpunkt mit der Curve q) oder ein Schnittpunkt mit der 
Curve il^ liegt, und bezeichnen wir mit a (Fig. 13) den Anfang, 
mit b das Ende einer solchen Strecke, mit § den in ihr liegenden 
Schnittpunkt von / mit g?, so wird der Punkt | ein Punkt 
E(f; (pi t^) sein, wenn das Product g? ip in a positiv ist, und ein 
Punkt Ä(f; qp, ^), wenn q) i) in a negativ ist; und damit ist die 

Möglichkeit gegeben, 
aus den Vorzeichen 
der Functionen qp, -^ 
in den Theilpunkten 
der Strecken die Cha- 
rakteristik vollständig 
zu bestimmen. Wie 
wir aber die Curve / 
in solche Theilstrecken 
eintheilen, das lehrt uns der Sturm' sehe Lehrsatz. Wir 
denken uns zu diesem Zweck x und y als Functionen einer 
Variablen t dargestellt, die längs der Curve / alle reellen Werthe 
von — 00 bis -j- cc (oder auch nur die Werthe eines end- 
lichen Intervalles) durchläuft. Dadurch gehen (p und t^ auch 
in Functionen der Variablen t über und man hat die Lage 
ihrer Wurzeln nach dem Sturm' sehen Lehrsatz zu unter- 
suchen. 

Ist z. B. wie in Fig. 14 die Curve / ein Kreis mit der 
Gleichung 

{X - «)2 + (y - ßf = Q^ 

so können wir setzen: 

1 —P 

1 -\-P' 
2t 



X 



a 



y 



ß = Q 



1 +^2' 

und t durchläuft einfach alle Werthe von — oo bis -f- cc , während 
der Punkt x, y sich über den ganzen Kreis in positivem Sinne 
bewegt, qp und t^ gehen, mit einer geeigneten Potenz von \ -\-P 
multiplicirt, in ganze rationale Functionen von t über, die die 
Anwendung des Sturm' sehen Satzes gestatten. 



§. 105. Fundamentalsatz der Algebra. 333 

§. 105. 

Gauss' erster Beweis des Fundamentalsatzes der 

Algebra. 

Gauss hat für den Hauptsatz der Algebra, dass eine Glei- 
chung n^'^^ Grades n Wurzeln hat, drei verschiedene Beweise 
gegeben. Der erste von diesen, der sich in seiner Doctordisser- 
tation findet, und den er später noch weiter ausgeführt und 
anders dargestellt hat, beruht, wenn auch in anderer Einkleidung, 
auf dem Gedanken, der dem Charakteristikenbegriff zu Grunde 
liegt ij. Danach gestaltet sich dieser Beweis in seinen Grund- 
zügen folgendermaassen. 

Es sei s = X -\- yi und 

(1) F{e) = cp (X, y) i-it (x, y) 

eine ganze rationale Function von s vom m*^'^ Grade mit reellen 
oder complexen Coefficienten , in der ;?" den Coefficienten 1 hat, 
also 

(2) F(2) = 5"* + «1 ^"-1 -f- «2 ^"-2 -}-... -j- «„. 

Wir setzen wieder voraus, dass F(s) und F' (s) keinen ge- 
meinsamen Theiler haben, und der Beweis, dass F(^) für n 
Werthe von s verschwindet, beruht nun darauf, dass, wenn wir 
für / einen Kreis von hinlänglich grossem Radius wählen, die 
Charakteristik des Functionensystems /, «p, il^ direct bestimmt 
werden kann und sich gleich n findet. Dann folgt nach §. 103, 
dass in dem so gewählten Kreise n Punkte ^ liegen, in denen 
F(z) verschwindet. 

Wir bedienen uns der Polarcoordinaten, und setzen, da 
ttj, «2? %i • • -i f*n aucli complex sein können, 

worin 2h- Pi-, • • • Pni Fk, positiv sind und die Winkel gi, q-i^ . . . g,i, %^ 
in irgend einem Intervall vom Umfang 2 % gewählt werden können. 



1) Gauss, Demonstratio nova theorematis omnem functionem alge- 
braicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel 
secundi gradus resolvi posse (1799). Beiträge zur Theorie der algebraischen 
Gleichungen (1849). Kronecker, Monatsberichte der Berliner Akademie, 
21. Februar 1878. 



334 



Achter Abschnitt. 



§. 105. 



(3) 



Hierdurch wird 
cp (x, y) = i2" cos w ^ + p^ ii"~ ' cos \{n — 1) ^ + gj 

-\- •••-{- Pn COS g„ 

ip{x, y) = Pt^sinw-Ö- +i;iPt"~'sin [(n _ 1)^ -f 5,] 

+ • • • + Pn sin g„, 

und wir bilden auch noch die nach &■ genommenen Ableitungen 

ll = — n P" sin n^ — (n — l)p, Pt""' sin [(n — 1) 0- -f q,] 

/^x Pn-i sin (^ + qn-i) 

^ = w P" cos nO- ^ (n - 1) i^^ P""' cos [(n _ 1) ^ + g,)] 

+ . • • +_Pn-lC0S(0- -f g„_i). 

Wir theilen jetzt die Kreisperipherie mit dem Radius P in 
4 n Theile ein von der Winkelgrösse 

4 ;^ 
indem wir bei ^ = — co anfangen. Die Theilpunkte sind also 
— oj, 03, 3 CO, 5 03, ... (8 n — 3) «, 

und die Intervalle mögen der Reihe nach mit 1, 2, 3, . . . 4n 
bezeichnet sein, so dass das mit v bezeichnete Segment die 

Grenzen (2 v — 3j w und 
(2v — l)(o hat. Die Fig. 15 
zeigt diese Eintheilung für 
n = 3. 

In den Intervallen 

1, 3, 5 ... (4 w — 1) 
ist cos n ■9", absolut genom- 
men, grösser als 1 : V'2, und 
abwechselnd von positivem 
und negativem Vorzeichen. 
In den Intervallen 

• 2, 4, 6 ... 4 w 
ist sin n 0" absolut grösser 
als 1 : V2 und gleichfalls abwechselnd von positivem und nega- 
tivem Vorzeichen. 

Mau kann aber P so gross annehmen, dass in den Intervallen 

1, 3, 5 ... (4 n — 1) das Vorzeichen von (p und -jä. ™^^ ^^^^ 



Fig. 15. 



5 w 



11(0 



13u) 





K-'"^^ 


^"'^^\ 




9to^ 


^ 


^ 


\3w 


7 

/ 






\ 2 


8\ 






/x2 


15 to^ 


. 


y 


^21w 




^^~~^-jf-_ 


^^^j^,-^ 





+ w 



-tu 



17a» 10 19,1, 



§. 106. Der Satz von Hurwitz. 335 

von cos n d; und in den Intervallen 2, 4, G ... 4 « das Vorzeichen 

von t^ und 5-^ mit dem von sin n d- übereinstimmt. 

a ir 

Da also q) in den Intervallen 2, 4, 6 ... 4m sein Zeichen 
ändert, so muss es in jedem dieser Intervalle durch Null gehen, 

und da die Abgeleitete -7^ ihr Zeichen nicht ändert, so kann 

es nur einmal in jedem durch Null gehen. 

Ebenso ist zu schliessen, dass t^ in jedem der Intervalle 
1, 3, 5 ... 4 n — 1 einmal und nur einmal durch Null geht. 
Wir haben also eine Eintheilung der Kreisperipherie, wie sie im 
vorigen Paragraphen zur Bestimmung der Charakteristik verlangt 
wurde, und da in den Theilpunkten 0, 5 ta, 9 g» , . . (4 « — 3) o? das 
Product q) i' positiv ist, so kommen auf der Kreisperipherie keine 
Punkte Ä(f; 9, 1^) vor und die Anzahl der Punkte £"(/; 9), ih) ist 
2w; die Anzahl der Wurzeln von F(0) ist also gleich m, Avas zu 
beweisen war. Ebenso führt das entgegengesetzte Umkreisen 
von / niemals auf einen Punkt Ä (/; ^, i') und die Anzahl der 
Punkte -£■(/; il>, (p) ist ebenfalls 2n. 

7t S 7t 

Die Punkte d- = — und Q^ =: -— der Kreisperipherie liegen 

in den Intervallen n -\- l und 3w -f- 1, haben also bei geradem 
n einen ungeraden und bei ungeradem n einen geraden Index. 
Es liegt also in diesen Intervallen bei geradem n je ein Schnitt- 
punkt von ip und kein Schnittpunkt von (p und bei ungeradem n 
je ein Schnittpunkt von cp und kein Schnittpunkt von t/». Es 
folgt hieraus: 

Theilt man den Kreis / durch die ij-Axe in zwei 
Halbkreise, so liegen auf jedem dieser Halbkreise 
ti Punkte E(f\ qp, ip) bei geradem m, 
n Punkte E{f; t, cp) bei ungeradem n. 
Diese Bemerkung giebt uns ein Mittel, um über die Ver- 
theilung der Wurzeln auf die beiden Halbkreisflächen aus dem 
Verhalten der Functionen q), t^ auf der y-kxe Schlüsse zu ziehen. 

§. 106. 
Der Satz von Hurwitz. 

In der schon früher (§. 99) erwähnten Abhandlung hat- 
Hurwitz die Bedingungen dafür aufgestellt, dass eine reelle 
Gleichung nur Wurzeln mit negativem reellem Theil habe. 



336 Achter Abschnitt. §. 106. 

Behalten wir der Symmetrie wegen den Coefficienten «o bei, 
den wir gleich 1 annehmen können, und den wir als positiv 
voraussetzen wollen, so sei die gegebene Gleichung 

(1) F{S) = «0 -^^ + «1 -^"~' -f • h «n = 0. 

Die «0, «1, . . ., ein sollen jetzt reelle Zahlen sein. Setzen 
wir für s; einen rein imaginären Werth y ?', so wird ß in folgender 
Weise zerlegt. Wir setzen: 

und dann ist 

(3) F{yi) = in(F,-iF,). 

Wir haben also nach der Bezeichnung des vorigen Para- 
graphen 

/^x ^ (0: y) '— ± Fl, t^ (0, y) = Z^ F2 bei geradem n 

(p (0, y) = + F2, ip (0, ij) = J^ Fl bei ungeradem n. 
Wenn nun alle Wurzeln von F negative reelle Theile haben 
sollen, so darf zunächst F^ und F.^ für kein reelles y zugleich ver- 
schwinden, weil sonst F eine reine imaginäre Wurzel hätte. Es 
müssen ferner alle Wurzelpunkte in dem Halbkreis liegen, der in 
unserer Fig. 15 durch die Punkte 4, 7, 10 bezeichnet ist. W^enn wir 
also die Begrenzung dieser Halbkreisfläche als /-Curve betrachten, 
so müssen auf ihr 2 n Punkte E{f\ qp, 1^) und 2 n Punkte E{f\ i/^, (p) 
liegen. Folglich müssen nach dem Schlusssatze des letzten Para- 
graphen auf dem geradlinigen Durchmesser 

n Punkte E{f\ cp, ifj) bei geradem n 
n Punkte F(f] i\ ip) bei ungeradem n 

liegen. Daraus aber ergiebt sich nach (4) für beide Fälle, dass 
auf dem Durchmesser n Wurzeln von Fi = liegen müssen, 
und dass in diesen Punkten F\ (y) F.j (y) positiv sein muss, 
damit es Punkte E(f; qp, i.') oder E(f] i', (p) sind. 

Da n solche Punkte vorhanden sein müssen und F^ nur 
vom n^^^ Grade ist, so kann F[(y) hier nicht zugleich mit F^(y) 
verschwinden. 

Es treten also hier die Voraussetzungen des Satzes §. 99, 3. 
in Kraft, wenn wir an Stelle der dort vorkommenden Functionen 
/ und hier Fi und Jg setzen. Um ihn anwenden zu können, 
' müssen noch die Determinanten C, und also zunächst die Coef- 
ficienten Cv der Entwickelung des Bruches F^-.F^ nach fallenden 
Potenzen von y berechnet werden. 



§. 106. 



Der Satz von Hurwitz. 



337 



Hier hängt aber die Function y F^ : F^ nur von y^ ab, und 
folglich kann die Entwickelung nach fallenden Potenzen von y 
auch nur die geraden Potenzen enthalten, d. h. es sind c^, Cj, 
C5, . . . = 0. Dann aber zerfällt die biquadratische Form T 
[§. 99, (6)] in die beiden Formen 



^ Co 



i,Ti 



'2(i + fe) 4i^2fc) ^ Caii + k + iyhi+lhk+h 

von denen die erste nur die Variablen ^0, ^2, ^4, • • •, die andere 
nur die Variablen ^j, f^, #5, . . . enthält. Für unseren Fall muss 
also jede dieser Formen definit, und zwar positiv sein. 

Wir setzen jetzt für ein gerades n 



(5-) C 



C01 ^2, . • ., Cn — 2 




C2, C4, . . 


• ., Cn 


C2, C4, . . ., C„ 

Cn — 2iCni • • v C2n—i 


, C" - 


C4, Cg, . . 


. ., Cn-f2 


Cni Cn + 2i • 


. ., C2„_2 


ungerades n 








Cq, C21 . . • .^ Cn — 1 




^2i C^i . . 


• •? c„_i 


C2, C4, . . . ., C„ 4. 1 
Cn — hCn + l: • • •■> C^n — i 


, C" - 


C4, Cj;, . . 


• "1 Cn-\-i 


Cn — 15 ^n + I1 


• • "1 Cin—Z 



(5^) C 



und erhalten nach §. 89, VII. den Satz: 

1. Damit die Gleichung F{z) = nur Wurzeln mit 
negativem, reellem Theil besitze, ist nothwendig 
und hinreichend, dass die Determinanten C", C" 
nebst allen ihren Hauptunterdeterminanten po- 
sitiv seien. 

Selbstverständlich genügt es (nach §. 89) festzustellen, dass 
eine Kette von Hauptunterdeterminanten von C", C" positiv ist. 

Zur Berechnung der Coefficienten Cq, Cg, C4, . . . ergiebt sich 
aber folgendes einfache Verfahren. 

Man bilde das Product 

^i(Co + C2 2/-2 + Q^-*H ). 

In diesem Product können keine negativen Potenzen von y 
vorkommen, und die Coefficienten der positiven Potenzen müssen 
mit den Coefficienten der entsprechenden Potenzen in y F.j (y) 
übereinstimmen. Daraus ergeben sich nach (2) die folgenden 
Gleichungen zur successiven Berechnung von Cq, C2, c^, . . . 

Web er, Algebra. I. 22 



338 



Achter Abschnitt. 



§. 106. 



(6) 



«1 




«0 


Co 














«3 




«0 


C-2 




«2 


Co 








«5 




«0 


Ci 




«2 


Cj 




«4 


Co 


«7 




«0 


Cß 




«2 


C4 




üi 


0-2 



— Cl^Co 



Hurwitz hat diesen Bedingungen noch eine andere Gestalt 
gegeben, die formell einfacher ist, obwohl sie die Berechnung 
höherer Determinanten erfordert. 

"Wir wollen hier, um die Uebersicht nicht durch allzu grosse 
Formeln zu erschweren, die Rechnung nur in einem Beispiel durch- 
führen, aus dem aber der Gang im Allgemeinen vollkommen zu 
ersehen ist. 

Wir setzen die zweite Hauptunterdeterminante Cq c^ — c,- von 
C in die Form 



1, 


0, 


0, 





0, 


1, 


0, 





0, 


Co? 


Ca, 


Ci 


0, 


0, 


Co, 


c-2 



1, 0, 0, 





0, Co, C2, 


Ci 


0, 1, 0, 





0, 0, Co, 


c-i 



und multipliciren sie in der letzten Gestalt mit 

«0, 0, 0, I 



«21 

«4, 



ao, 0, 

«2, «05 

«4, — a^i ^0 



= a, 



Dadurch ergiebt sich nach (6) 



«0, 



— a, 



21 



0, 

«1, 



0, 

«0) 



Ö4, «3, «21 
ttg, «5, ff 4, 






«1 

«3 



»0 



«1, «0» 

«3, «21 «l 
«5, «4, «3 



und die zuletzt angegebene Determinante muss daher positiv 
sein. Ebenso behandle man die Hauptunterdeterminanten von 
C", indem man z. B. 

i 1, 0, 0, 

Cqi C-2-. C4, Cg 

0, 1, 0, 
I Ol Co, C2, C4 



C2 Cfj — C4 — 



setzt, wofür man den Ausdruck erhält: 



§. 106. 



Der Satz von Hurwitz. 



339 



«1, «0, 0, 
%i ^21 ^'n ^0 

«5, «4, ft3, rt-3 
«71 «61 «5. «4 

was also ebenfalls positiv sein muss. 

Hieraus ergiebt sich der Hurwitz'sche Satz: 
2, Die nothwendige und hinreichende Bedingung 
dafür, dass die Gleichung _F = nur Wurzeln 
mit negativem, reellem Theil habe, besteht darin, 
dass ausser a^ die n ersten Glieder der Kette 
der Hauptunterdeterminanten J.i, Ä2, . . ., A^ der 
Determinante 

«1, «0, 0, 0, 0, . 
ttj, ag, «1, tto, 0, . 
%, a^■, 0^3, ttg, ctj, äq . 

öty, ctg, «5, «4, «3, ^2 . 



positiv sein müssen. 

Dieser Satz ist zunächst nur unter der Voraussetzung abge- 
leitet, dass F(s:) keine mehrfachen Wurzeln hat, oder dass die 
Discriminante dieser Function nicht verschwindet. Wir können 
uns aber von dieser Beschränkung leicht nachträglich frei machen. 

Wenn zunächst die in 2. vorkommenden Determinanten 
sämmtlich positiv sind, so ist die quadratische Form T eine 
positive, und dann können nach (§. 99, 1.) Fi und F2 keine 
gemeinschaftliche Wurzel haben. Es kann also F keine rein 
imaginäre Wurzel haben. 

Es kann aber F dann auch keine Wurzel mit positivem, 
reellem Theil haben, denn sonst könnte man die Coefficienten 
von / so wenig ändern, dass die Determinanten 2. positiv bleiben, 
dass Wurzeln mit positivem, reellem Bestandtheil bleiben, und 
dass die veränderte P'unction F keine mehrfachen Wurzeln mehr 
hat. Dann erhält man aber einen Widerspruch mit dem 
Satze 2. 

Ebenso kann man umgekehrt schliessen, dass, wenn i^(^) 
nur Wurzeln mit negativ imaginärem Theil hat, keine der Deter- 
minanten 2. negativ sein kann. 

Es bleibt also nur noch nachzuweisen, dass unter dieser 
Voraussetzung über die Wurzeln von F keine der Determinanten 2. 

22* 



340 



Achter Abschnitt. 



§. 106. 



«n 


«Ol 


0, 


«3, 


«2, 


«1, «0 


«51 


«4, 


«»1 «2 


«7, 


«6, 


«ö, «4 



verschwinden kann. Nehmen wir, um dies zu bew^eisen, an, es 
sei etwa 



Ä,= 



die erste verschwindende unter diesen Unterdeterminanten. Es 
hat hierin aj den Coefficienten 

«0 -^2i 

der nach Voraussetzung negativ ist. Wenn wir also F in F' 
= i^ -[- £ verwandeln, so können wir die Coefficienten von <D 
so bestimmen, dass bei hinlänglich kleinem positivem oder nega- 
tivem s die Function F' keine gleichen Wurzeln mehr hat, und 
dass die reellen Theile dieser Wurzeln negativ bleiben. Durch 
die Substitution F' für F möge A^ in Ä'i übergehen. 

Ordnen wir J.1 nach Potenzen von £, so verschwindet der 
Coefficient der ersten Potenz von e nicht identisch, und folglich 
können wir das Zeichen von s noch so bestimmen, dass Ä^ nega- 
tiv wird. So ergiebt sich auch hier ein Widerspruch gegen den 
Satz 2. 



Neunter Abschnitt. 
Abschätzung der Wurzeln. 



§. 107. 
Das Budan-Fourier'sclie Theorem. 

Die Functionen der Sturm' sehen Ketten lösen zwar voll- 
ständig und ausnahmslos das Problem der Bestimmung der Anzahl 
der Wurzeln einer Gleichung zwischen gegebenen Grenzen; aber 
ihre wirkliche Berechnung ist meist schwierig und oft unaus- 
führbar. Man kennt eine Reihe von Sätzen zur Abschätzung 
der Zahl der Wurzeln zwischen gegebenen Grenzen, die viel ein- 
fachere Regeln liefern, aber freilich auch die Frage nicht voll- 
ständig beantworten, sondern nur eine Maximalzahl geben, worüber 
die Anzahl der Wurzeln nicht hinausgehen kann. Diese Regeln 
sind oft für die Anwendung sehr nützlich und ausreichend, und 
sie dürfen daher hier nicht fehlen. 

Wir betrachten zunächst ein Verfahren, das von Budan 
herrührt, dann aber von Fourier benutzt und erweitert wurdet). 

Betrachten wir an Stelle einer Sturm' sehen Kette die Reihe 
der Ableitungen einer reellen Function f{x) vom w*^" Grade 
(1) f{x\f{xlf"{x\...,ßr.)^^^^ 

worin also /('»> {x) eine Constante ist, die wir von Null verschieden 
und positiv voraussetzen. Sie ist, von einem positiven Zahlen- 
factor abgesehen, der Coefhcient von x'^ in f{x). 



^) Budan, Nouvelle methode pour la resolution des equations nume- 
riques (1803 der Pariser Akademie vorgelegt). Fourier, Analyse des 
equations determinees. Paris 1831. Ueber das Geschichtliche dieser Frage 
vergleiche man Lagrange, Traite de la resolution des equations, Note VIII 
(Werke, Bd. 8). 



342 Neunter Abschnitt. §. 10 



Es seien wieder a und /3 > k zwei reelle Zahlen . die das 
Intervall («, /3j bestimmen, in dem die Anzahl der reellen "Wurzeln 
von f{x) gezählt werden sollen. 

Wir wollen zunächst annehmen, dass in dem Intervall (a, /3j 
nicht zwei Glieder der Reihe (1) zugleich verschwinden, und 
dass für x ■= a. x = ß kein Glied der Reihe verschwindet. 

Lassen wir nun x von a bis ß stetig wachsen, so kann in 
der Vorzeichenfolge der Reihe (1) nur dann eine Aenderung 
eintreten, wenn eine der Functionen durch Null geht. Wenn 
f^^^{x) für X = ^ durch Null geht, so geht /C'Ua:) , je nachdem 
f(^ + i)(x'^ positiv oder negativ ist, von negativen zu positiven oder 
von positiven zu negativen "Werthen über, und es geht also 
zwischen /'") und /"C + i) beim Durchgang durch | ein Zeichen- 
wechsel verloren. Dies gilt auch, wenn /('^ die Function f{x) 
selbst ist. Wenn aber /^'^ eine der Derivirten ist, so geht ihr 
eine Function f^^~^^ voran, und da ß^'~'^^ nach Voraussetzung für 
a; := I nicht Null ist, und f"'> beim Durchgang durch | sein 
Zeichen wechselt, so findet zwischen f^^'~'^> und ß^'> beim Durch- 
gang durch I entweder ein Verlust oder ein Gewinn von einem 
Zeichenwechsel statt. Wenn also ein inneres Glied der Reihe (1) 
durch Null geht, so bleibt die Anzahl der Zeichenwechsel unge- 
ändert, oder es gehen zwei Zeichenwechsel verloren. 

Geht aber/(a;) selbst durch Null, so geht ein Zeichenwechsel 
verloren. 

Daraus folgt das Theorem : 

I. Die Anzahl der zwischen « und ß gelegenen 
Wurzeln von f(x) ist höchstens so gross, wie die 
Zahl der zwischen « und ß verlorenen Zeichen- 
wechsel, und wenn sie kleiner ist, so ist der 
Unterschied eine gerade Zahl. 

Mit Benutzung einer Formel können wir auch sagen: 
Ist V(x) die Anzahl der Zeichenwechsel (Variationen), die 
die Reihe (1) für irgend einen Werth x darbietet, so ist die 
Anzahl der zwischen a und ß gelegenen Wurzeln von f(x) 

(2) F(«)- y{ß) - 2/^ 

worin Ji eine nicht negative ganze Zahl ist. 

Der Beweis des Satzes I. bedarf noch einer Ergänzung für 
den Fall, dass in der Reihe (l) mehrere auf einander folgende 
Glieder zugleich verschwinden. 



§. 107. Das Budan-Fourier'sche Theorem. 343 

Es mögen also für einen Werth | von x zwischen a und /i 
in der Reihe 

alle Glieder, mit Ausnahme des letzten, verschwinden, und das 
letzte /<*'+/*>(.'») möge etwa einen positiven Werth haben. 

Wir grenzen um | zwei Intervalle ö^, ^2 ab, so dass alle 
Werthe von x im Intervall d^ kleiner, im Intervall tfg grösser 
als ^ sind, und nehmen diese Intervalle so klein, dass die Func- 
tionen (3) ausser in | darin nicht verschwinden, also auch /(''+.") (a;) 
positiv bleibt. 

Da nun, wenn/(' + "^(aj) positiv ist, /(*" + "— i)(a;) mit x zugleich 
wächst, so ist 

y(v + .u-i)^^^ in ^1 negativ, 

in ^2 positiv. 

Daraus folgt, dass /(*' + "- 2) (^^^ in öi abnimmt, in öo wächst, 
also in beiden Intervallen positiv ist, und so schliessen wir 
weiter auf die Vorzeichenfolge in der Reihe (3): 

(4) /(^•)(^),/' + 'K^)./^'+'K^), • • .,/^ + "-^U^),/^ + '^(^) 
d„(-l)" -(-1)" (-1)-' ... - + 

^2, + + + + + 

d. h. in der Reihe (3) werden beim Durchgang durch ^ aus 
lauter Zeichenwechseln Zeichenfolgen, und es gehen in der Reihe 
(3) /u. Zeichenwechsel verloren. 

Ist /(" + "^ (I) negativ, so sind alle Zeichen in (4) die ent- 
gegengesetzten, und der Schluss bleibt sonst derselbe. 

Wenn nun v = , d. h. /(*'^ {x) die ursprüngliche Function 
/■(ic) selbst ist, die dann in | eine (/u. -|- 1) fache Wurzel hat, so 
findet also beim Durchgang durch | auch in der Reihe (1) ein 
Verlust von ^ Zeichenwechseln statt. 

Ist aber v > und die dem /("^ {x) vorangehende Function 
/(''-^^fic) von Null verschieden, so haben wir folgende Zeichen: 

1. ft gerade: 

a) /c-i) {x), p) ix), b) /(^-i) {x), /(") {X) 

öl, + + - + 

Ö2, + + - + 



344 Neunter Abschnitt. §. 107. 

2. iLt ungerade: 

aj p-'Kx),p\x), h) p-^Hx),pHx) 
öl, + - - - 

Es geht also bei geradem fi zwischen /^'"^^ und /w kein 
Zeichenwechsel verloren, bei ungeradem ^i geht ein Zeichenwechsel 
verloren oder es wird einer gewonnen. Es ist also der Verlust 
an Zeichenwechselu beim Durchgang durch ^ in der Reihe 

(5) p-'\p\r''^'\ .-rß'-'^ 

bei geradem fi gleich ^ , bei ungeradem ^ gleich ft ± 1 , also 
immer eine gerade Zahl und nie negativ. 

Wir können diesen Ergebnissen einen übersichtlichen ana- 
lytischen Ausdruck geben, der ihre Bedeutung besser erkennen 
lässt. 

Wir bezeichnen mit V(x) wrie früher die Anzahl der Zeichen- 
wechsel in der Reihe (1) für einen bestimmten Werth von x, 
jedoch mit der näheren Bestimmung, dass, wenn für einen Werth 
von X einige der Glieder der Reihen verschwinden, diese bei 
Abzahlung der Zeichenwechsel einfach übergangen werden. Wir 
können dann V(x) als eine Function von x auffassen, die sich 
aber nur um ganze Zahlen ändern kann, also unstetig ist für 
die Werthe von a;, für welche einige Glieder der Reihe (1) ver- 
schwinden. Wir wollen dann mit V(x — 0) und V{x -\- 0) die 
Werthe der Function V (x) unmittelbar vor und unmittelbar 
nach einer solchen Stelle bezeichnen. Dann zeigt die Betrachtung 
von (5), dass in allen Fällen 

(Q) F(| + 0) = 7(1) 

ist, und dass, wenn ^ eine ,a-fache Wurzel von f{x) ist, 

n) va -0) = F(^) + f. 4- 2 /^ 

worin h eine nicht negative ganze Zahl ist. 

Daraus ergiebt sich also, wenn wdr zunächst daran festhalten, 
dass für x = u und x = ß keine der Functionen (1) ver- 
schwindet, dass V(u) — F(/3) sich von der Summe aller Zahlen 
ft, d. h. von der Anzahl der im Intervall («, ß) gelegeneu Wurzeln, 
jede nach dem Grade ihrer Vielfachheit gerechnet, um eine 
gerade, nicht negative Zahl unterscheidet, und damit ist also 
das Theorem I. von seiner Beschränkung befreit. 



§. lOS. Die Newtou'sche Eegel. 345 

Wir können aber auch noch die Voraussetzung aufgeben, 
dass für « und ß keine der Functionen (1) verschwindet, wenn 
a und ß nicht unter den Wurzehi von f(x) vorkommen. 

Denn dann ist unser Theorem anwendbar auf zwei Werthe, 
von denen der erste etwas grösser als cc, der andere etwas kleiner 
als ß ist, und die dieselben Wurzeln einschliessen, wie a und /3; 
d. h. es ist, wenn wir mit 5 die Anzahl dieser Wurzeln bezeichnen 

F(«-f-0) _ F(/3-0) = 5 + 2Ji, 
und da 

V{u 4- 0) = F(«), V{ß - 0) = V{ß) + 2h\ 
so folgt 

F(«) - V(ß) = ä -f 2 (/. + 70, 
was wieder der Ausdruck unseres Theorems ist. 

Wenn aber « oder ß selbst zu den Wurzeln Yonf(x) gehört, 
dann ist unser Theorem nur dann richtig, wenn diese Grenz- 
werthe nicht mit zum Intervall gezählt werden. 

Das Budan-Fourier'sche Theorem giebt zwar nicht, wie 
der Sturm' sehe Satz, eine vollständig sichere Entscheidung über 
die Zahl der Wurzeln in einem Intervall, es kann aber doch in 
manchen Fällen den Sturm'schen Satz ersetzen; denn hat man 
das Intervall («, ß) so weit eingeschränkt, dass kein oder nur 
ein Zeichenwechsel von « bis ß verloren geht, so folgt mit 
Sicherheit, dass im ersten Falle keine, im zweiten eine und nur 
eine Wurzel im Intervall liegt. 

Die Abgrenzung der Wurzeln kann also durch die Budan'sche 
Reihe nur dann vollständig gegeben werden, wenn nicht beim 
Durchgang durch einen Werth | gleichzeitig mehrere Zeichen- 
wechsel verloren gehen. Dies Verhalten kann, wie klein auch das 
Intervall («, ß) gewählt sein mag, nicht mit Sicherheit erkannt 
werden, und man wird also, wenn nach einer angemessenen Ein- 
engung des Intervalles die Abgrenzung nicht gelungen ist, doch 
zu einem anderen Verfahren, in letzter Instanz zum Sturm'- 
schen Satze greifen müssen. 

§. 108. 
Die Newton'sche Regel. 

Eine Ergänzung der vorstehenden Regel, die eine weitere 
Annäherung an die genaue Festsetzung der Grenzen der Wurzeln 



346 Neunter Abschnitt. §. 108. 

gestattet, giebt die jetzt zu besprechende, von Newton her- 
rührende, aber erst von Sylvester bewiesene Vorschrift i). 
Es sei wieder 

(1) fix) = ciq ic" + tti a;"-i + • • • + «„-i x + «,, = 

die zu untersuchende Gleichung. Wir setzen, indem wir mit 
n(m) wie immer das Product 1. 2. 3 ... m und mit/(')(a:) die 
v^^ Derivirte bezeichnen, 

(3) F, (x) = ß {x) — /, + , (x) /.,-, W, 
mit dem Zusatz, dass 

(4) Fo = F=l, Fn=fl 

also, worauf es wesentlich ankommt, positiv sein sollen. 

Für die Abgeleiteten der Functionen /»., Fv erhalten wir aus 

(2) und (3) 

(5) f[.{x) = (n-v)f,. + u 

(6) f.F\.{x) = (n -v-1) (K/,. + i + Fv + i/.._,). 

Da es auf die positiven Zahlenfactoren nicht ankommt, so 
können wir die Budan"sche Reihe durch die Reihe der Func- 
tionen 

/i Jli J21 • • •■> Jn 
ersetzen. 

Die Newton'sche Regel macht nun von der Doppelreihe 

Gebrauch : 

^-N /' /i» /a» • • •? Jn 

^ ^ F F F. F 

Wenn wir zwei auf einander folgende Glieder dieser Doppel- 
reihe, wie 

für einen Werth von x betrachten, für den keine der vier Func- 
tionen verschwindet, so sind in Bezug auf die Zeichenfolge die 
nachstehenden Fälle möglich: 



1) Newton, Arithmetica universalis. Sylvester, Transactions of 
the R. Irish Academy, t. 24 (1871). Phil. Mag., 4. ser., t. 31. Yergl. auch 
Petersen, Theorie der algebi-. Gleichungen. Kopenhagen 1878, 



§. 108. Die Kewton'sche Eegel. 347 

a) ^ \ ^ ' , , . P P. 



b) "[" , "^ , • . ^ _T^' T'^^' 



1 


? 




+ - 

1 


• 


_L 


+ + 

+ ' 


_| L 

1 


— — 


-L- 

1 

5 


1 





c) '',''. , , PV. 

+ - -+ +- -^ 

Dies Verhalten bezeichnen wir mit folgenden Ausdrücken 
und Symbolen: 

a) Folge-Folge (Permanenz-Permanenz) P P, 

b) Wechsel-Wechsel (Variation-Variation) VV, 

c) Folge-Wechsel (Permanenz-Variation) P F, 

d) Wechsel-Folge (Variation-Permanenz) V P. 

Die zwei Sätze, die wir beweisen wollen, lauten : 

II. Die Anzahl der zwischen u und ß gelegenen 
Wurzeln von f{x) ist entweder genau so gross 
oder um eine gerade Zahl kleiner, als die 
Zahl der beim Uebergang von a zu ß in der 
Doiipelreihe (7) verlorenen Wechsel-Folgen. 

III. Die Anzahl der zwischen u und ß gelegenen 
Wurzeln von f {x) ist entweder genau so gross 
oder um eine gerade Zahl kleiner, als die 
Zahl der beim Uebergang von u zu ß in der 
Doppelreihe (7) gewonnenen Folge-Folgen. 

Von diesen beiden Sätzen, die nicht immer dieselbe obere 
Grenze für die Zahl der Wurzeln geben, wird man den anwenden, 
der die niedrigste Grenze giebt. 

Wir machen beim Beweis dieses Satzes die folgenden Vor- 
aussetzungen, von denen wir uns zum Theil später wieder 
befreien werden: 

1. f{x) hat keine doppelten oder mehrfachen W^urzeln. 

2. Von den Functionen fv(x) verschwinden nicht zwei be- 
nachbarte für denselben Werth von x. 



348 



Neunter Abschnitt. 



§. 108. 



3. Auch von den Functionen Fvipc) verschwinden nicht zwei 
benachbarte für denselben Werth von x. 

4. Eine Folge von 2. ist [nach Formel (3)], dass nicht 
fv{x) und Fr{x) für denselben Werth von x verschwinden. 

5. Für X ^= a und x = ß selbst soll keine der Functionen 
fy. Fv verschwinden. 

Der Beweis der Sätze II. und III. ist nun folgender: 
Lassen wir x^ stetig wachsend, von u bis ß gehen, so kann 
eine Aenderung in der Zeichenfolge nur dann eintreten, wenn 
eine der Functionen fy oder Fy durch Null hindurchgeht, und es 
kommt nur darauf an, den Effect zu untersuchen, den ein solcher 
Durchgang durch Null in den verschiedenen Fällen hervorruft. 
Nehmen wir zunächst an, es gehe eine der mittleren Functionen 
/, etwa /,, durch Null, wobei also < v < w. Je nachdem /v + i 
positiv oder negativ ist, wird fy wachsen oder abnehmen. Es 
wird also im ersten Falle fy (x — 0) negativ , fy(x -\- 0) positiv 
sein, und im zweiten Falle umgekehrt; ausserdem folgt aus (3), 
dass, wenn /, = ist, jPv-i und Fy+i positiv sind, und Fy das 
entgegengesetzte Vorzeichen von/v_i/,+i hat. Wir stellen die 
hiernach bleibenden Möglichkeiten tabellarisch zusammen, lassen 
aber in der Aufzählung solche Fälle weg, die durch gleichzeitige 
Vorzeichenänderung der drei Functionen /v_i, /,, /, + : aus den 
aufgeführten entstehen, da diese offenbar keine verschiedenen 
Resultate ergeben. Es bleiben uns hiernach nur zwei Fälle: 





v- 1, 


V, V -\- l 




V — 1, V, 


V + 1 


: /(^ - 0) 








/(^ + 0) 






— -♦ 




F 




-f- -f 




In diesen Fällen ist also 






X F F. F F 




PP, VP i 


• 




X -\- 


PV, PV 




VP, PP \ 





Es wird also weder ein VP noch ein PP verloren 
oder gewonnen. 

Wenn aber /(a;) selbst durch Null geht, so haben wir, wenn 
wir /i fx) positiv voraussetzen, was mit Rücksicht auf die vorher 
gemachte Bemerkung genügt. 



§• 108. 



Die Newtou'sche Regel. 



349 





1 


/(^ - 0) 

/(^ + 0) 


+ + 


F 


+ + 



Es geht also hier ein VP in ein PP über, d. h. es wird 
ein VP verloren, ein PP gewonnen. 

Wenn endlich Fv durch Null geht, wo natürlich < v < w 
sein muss, so ist das Verhalten folgendes: 

Wenn i\ ^ ist, so müssen nothwendig /v-i und /v + i 
gleiche Vorzeichen haben, da sonst Fv aus zwei positiven Gliedern 
bestehen würde, und nicht verschwinden könnte. Es ist ferner 
F'y{x) nach (6) vom selben Vorzeichen wie das Product/,._i/,.i^,.+ii 
und also hat Fy{x — 0) das entgegengesetzte, Fr{x -\- 0) das 
gleiche Vorzeichen, wie das Product. 

Auch hier können wir in der Aufzählung die Fälle weglassen, 
die aus den aufgeführten durch gleichzeitige Zeichenänderung 
in allen drei Functionen /,._i, /,., /,, + ! oder i\_i, K, -F,+i ent- 
stehen, und es bleiben also folgende Fälle: 



/ 


v-\, 


r, V -\- \ 

+ + 


F{x 0) 




— — 


F{x-]-0) 







/ 


V 1, V, V -[" 1 


F{x 0) 


+ + + 


F{x^Qi) 


_l_ — _l- 




- + + 



+ 



Die Zeichenwechsel sind in diesen vier Fällen 



X — 


pr,pv 


PP.PV 


VP, VP 1 VV, VP 


X -[- 


PP, PP 


PV,PP 


VV, VV VP, vv 



Im ersten Falle werden zwei PP gewonnen, im zweiten 
und vierten Falle tritt keine Aenderung ein, im dritten Falle 
gehen zwei VP verloren. 



9. 



50 Neunter Abschnitt. §. 109. 



Damit aber sind die Sätze II. III. bewiesen. 

Die Voraussetzungen 2., 3., dass von den Functionen /,. und 
Fv nicht zwei benachbarte für dasselbe x verschwinden sollen, 
können wir aufgeben. Denn wenn wir an der ersten Voraus- 
setzung festhalten, dass keine mehrfachen Wurzeln vorhanden 
sind, so können wir den Coefficienten a». so kleine Aenderungen 
ertheilen, dass erstens die Voraussetzungen 2., 3. befriedigt sind, 
und zweitens die zwischen a und ß gelegenen Wurzeln sich so 
wenig ändern, dass keine von ihnen aus dem Intervall heraus- 
tritt. Da die Wurzeln nur einzeln vorkommen, so können dabei 
reelle Wurzeln nicht in imaginäre übergehen. 

Ob der Satz bei richtiger Zählung der mehrfachen Wurzeln 
auch noch im Falle mehrfacher Wurzeln gültig bleibt, mag dahin 
gestellt bleiben. 

§. 109. 
Der C artesische Lehrsatz. 

Der Cartesische Lehrsatz, der auch nach Harriot^) 
benannt wird, giebt eine Regel zur Abschätzung der Zahl der 
positiven Wurzeln. Wir können ihn einfach als speciellen Fall 
des Bud an 'sehen Theorems betrachten, indem wir « = und 
/3 =: 00 oder wenigstens so gross annehmen, dass die Functionen 

(1) f{x\f{xlf"{x), ..,/W(^) 

für X > ß alle dasselbe Zeichen haben. Dies Zeichen stimmt 
überein mit dem Zeichen des Coefficienten der höchsten Potenz 
von X in f{x) und kann positiv angenommen werden. 
Ist 

f(^x) = «0-^" -j- «1 ^"~^ -|- a-iX'^-^ -\- ' • • -\- a„-i_x -f- a„, 
so erhalten die Functionen (1), von positiven Zahlenfactoren 
abgesehen, für x =^ die Werthe 

(2) ein, ön — 15 ^« — 21 • • r ^0? 

und daraus ergiebt sich also das Theorem: 

IV. Die Anzahl der positiven Wurzeln der Gleichung 
f(x) = ist gleich oder um eine gerade Zahl 



^) Harriot, Artis analj'ticae praxis ad aequationes algebraicas resol- 
vendas 1631. Gauss' Werke, ßd. III, S. 67. Lagrange, 1. c. 



§. 109. Der Cartesische Lehrsatz. 35]^ 

kleiner, als die Anzahl der Zeiclienwechsel in der 
Reihe der Coefficienten von f{x)^ wobei etwa ver- 
schwindende Coefficienten einfach zu übergehen 
sind und die Wurzel a; = 0, wenn sie vorhanden 
ist, nic.ht mitzählt. 

Um auch die Anzahl der negativen Wurzeln abzuschätzen, 
kann man entweder das Budan-Fourier'sche Theorem auf das 
Intervall ( — co, 0) anwenden, oder man ersetzt x durch — x^ 
d, h. man ändert die Vorzeichen von «1, «3, a-, , . . . und wendet 
dann das Theorem IV. an. 

In ähnlicher Weise wollen wir das Newton'sche Kriterium 
des §. 108 specialisiren. 

Wir bemerken dazu, dass 






und folglich 



o* 



F rm - J7(i; J n{v-l) n(n-v) n(n- v-l) 
^^■^^) - n(n)n(n) ^ 

[v{n — v) al-r — (v + 1) (n — v -(- 1) an_._i«„_,. + i] 

wird, dass ferner die Reihe der/^(a') für x = -\- cc nur Zeichen- 
folgen, für X = — CO nur Zeichenwechsel darbietet. 
Wenn wir also 

(3) Äy = v(n — v)a? — (v -^ l) {n — v -\- l)av-i«v + i, 

Af) = 1, An = 1 

setzen, so dass Ay, von einem positiven Factor abgesehen, mit 
Fn—v(Ö) übereinstimmt, so folgt, dass für x = die Doppel- 
reihe (7), §. 108, in umgekelirter Ordnung geschrieben, den Vor- 
zeichen nach übereinstimmt mit 

tto, ttii ^25 • • o ^n 

Aqi Ai^ A21 • . .1 An- 

Beim Uebergang zu ^; = -|- oo sind in der Reihe f {x)i 
/i (a:), . . ., fn (x) alle Zeichenwechsel und beim Uebergang zu 
X =^ — 00 alle Zeichenfolgen verloren gegangen, also in der 
Doppelreihe der /,., Fy für x ^ -{- co alle VP, für x = — qo 
alle PP. 

Danach können wir nach §. 108, II. III. folgende beiden 
Theoreme aussprechen: 



352 Neunter Abschnitt. §. 109. 

V. Die Zahl der positiven Wurzeln \o\\f{x) ist so 
gross oder um eine gerade Zahl kleiner, als die 
Zahl der "Wechsel-Folgen in der Doppelreihe (4)_ 

VI. Die Zahl der negativen Wurzeln von f(x) ist so 
gross oder um eine gerade Zahl kleiner, als die 
Zahl der Folge-Folgen in der Doppelreihe (4j. 

Die Summe der Anzahlen der VF und der FP ist aber 
gleich der Anzahl der Zeichenfolgen in der einfachen Reihe 

(5j A(j^ Ai, A<i^ . . ., A„, 

und wir erhalten also noch aus V. und VI.: 

VII. Die Anzahl aller reeller Wurzeln von f{x) ist so 
gross oder um eine gerade Zahl kleiner, als die 
Zahl der Zeichenfolgen in der Reihe (5). 

Die Gesammtanzahl der Zeichenwechsel und Zeichenfolgen 
in der Reihe (5_) ist so gross, wie die Zahl aller reellen und 
imaginären Wurzeln zusammengenommen, nämlich n. Denn der 
Fall, dass in der Reihe (.5) einige Glieder verschwinden, ist hier 
auszunehmen. Da überdies das erste und letzte Glied der 
Reihe (5) dasselbe Vorzeichen haben, so ist die Anzahl der 
Zeichenwechsel in dieser Reihe eine gerade Zahl. Wir können 
also zu VII., ohne damit etwas Neues zu sagen, noch das 
Theorem hinzufügen: 

VIII. Die Anzahl der imaginären Wurzeln von fix) ist 
mindestens gleich der Anzahl der Zeichen- 
wechsel in der Reihe (5). 

In der Fassung der beiden letzten Sätze ist es gleichgültig, 
ob einige der Coefficienten «i, «,? • . •• «n verschwinden, wenn nur 
keines der J., Null ist. 

Bei der cubischen Gleichung 

tto a;ä -f- «1 ic2 -)- tta ic -|- «3 = 
ist 

^-j = 2 {a'l — 3 «0 «2) 
^2 = 2 ial — 3 tti tto), 
und in der Reihe 

1, A^, A,, 1 

kommen also zwei Zeichenwechsel vor, wenn von den beiden 
Grössen A^. Ao eine oder auch beide negativ sind, und in diesen 
Fällen hat also die Gleichung zwei imaginäre Wurzeln. 



§. 110. Das Jacobi'sche Kriterium. 353 

Sind aber Ä^ und A^ positiv, so ist die Entscheidung aus diesem 
Satze allein nicht zu treffen; es ist dann nöthig, noch die Grösse 

B = d ÜQ a. — eil (h 
in Betracht zu ziehen, und das Zeichen von 

zu untersuchen (§. 68). 

Im Falle der biquadratischen Gleichungen hat man die drei 
Ausdrücke zu betrachten: 

Äi ^= S a^ — 8 «0 «2 1 

A.2 = 4 a| — dtti cCs , 

^3 = 3 a| — 8 «2 «4- 

Sind die Zeichen der Reihe nach 1 , so hat man vier 

imaginäre Wurzeln. Sind die Zeichen alle drei positiv, so können 
vier oder zwei oder keine imaginäre Wurzeln vorhanden sein; 
in allen anderen Fällen hat man zwei oder vier imaginäre 
Wurzeln. 

§. 110. 
Das Jacobi'sche Kriterium. 

Um die Anzahl der Wurzeln abzuschätzen, die zwischen 
zwei Grenzen «, ß liegen, hat Jacobi ein Kriterium aus dem 
Cartesischen Lehrsatz abgeleitet. Wenn nämlich 

(1) f(^) = 

die vorgelegte Gleichung «*^° Grades ist, von der entschieden 
werden soll, wie viele Wurzeln sie zwischen den beiden Grenzen 
«, ß hat, so setzt Jacobi ^J 

und bildet nun die Gleichung 

(3) (14- r /(t^^O ^ "^^ ^^^ = «'0 r + ^'i r-^ H h K 

worin die 60, 61, . . ., />„ ganze homogene Functionen n**=" Grades 
von « und ß und lineare Functionen der Coefficienten von f(x) 



') Observatiunculae ad theoriam aequationum algebraicarum perti- 
nerites. Crelle's Journal, Bd. 13. Gesammelte Werke, Bd. III. 

Weber, Algebra. I. 23 



354 Neunter Abschnitt. §. 111. 

sind. Wenn nun x von « bis /3 wächst, so geht ?/, gleichfalls 

wachsend, von bis co. So viele Wurzeln also fix) zwischen 

a und /3 hat, genau so viele positive Wurzeln hat qp [ij). 

Es folgt also aus dem Cartesischen Satz: 

IX. Die Anzahl der Wurzeln von/(:r) zwischen a und /3 

ist so gross oder um eine gerade Zahl kleiner, 

wie die Anzahl der Zeichenwechsel in der Reihe 

5o, &1, &2, • • •, &n- 

Während also bei dem Budan' sehen Theorem die Vorzeichen- 
wechsel in zwei Werthreihen abzuzählen und zu vergleichen 
sind, verlangt das Jacobi'sche Kriterium nur die Abzahlung 
der Vorzeichenwechsel in einer Werthreihe. 

Auf dieselbe Weise lässt sich auch die Newton' sehe Regel 
umgestalten, wenn man die Grössen 

B, = v(n — v) U — (v -\- l) {n — V -\- 1) /a-i&.+i 
in Betracht zieht, und man erhält so den Satz: 

X. Die Anzahl der Wurzeln vowfix) zwischen « und /5 
ist so gross oder um eine gerade Zahl kleiner, 
wie die Zahl der Wechsel-Folgen in der Doppel- 
reihe 

Oö, C'li t>2, . . ., o„, 

-^05 -^15 -^25 • • •? ^n- 



§• 111- 

Kleins geometrische Vergleichung der verschiedenen 

Kriterien. 

Um die Tragvveite der verschiedenen Kriterien unter ein- 
ander zu vergleichen, hat Klein eine geometrische Interpretation 
angewandt, die wir jetzt besprechen wollen. Wenn man nicht 
mit Räumen von mehr Dimensionen operiren und damit die 
geometrische Anschauung verlieren will, muss man sicli hierbei 
auf die ersten Fälle beschränken, und wir beginnen also mit den 
(Quadratischen Gleichungen 

(Ij ä;2 -f ax -f 6 = 0. 

Sehen wir a und h als rechtwinklige Coordinaten in einer 
Ebene an, so ist jeder Punkt dieser Ebene das Bild einer und 



§. 111. Geometrische Interpretation. 355 

nur einer quadratischen Gleichung, und umgekehrt hat jede 
quadratische Gleichung mit reellen Coefticienten einen Punkt der 
Ebene zum Bilde. 

Die Gleichung 

(2) «2 _ 4 j = 

stellt eine Parabel dar, auf der die Bilder der Gleichungen mit 
gleichen Wurzeln liegen. Die inneren Punkte, d. h. die in der 
Höhlung der Parabel liegenden, stellen die Gleichungen mit ima- 
ginären Wurzeln, die äusseren Punkte die Gleichungen mit reellen 
Wurzeln dar. 

Wir bilden nun nach §. 95 die Sturm 'sehe Kette 

(3) x-^ -\- ax ^h, 2x -[- a, a^ — 4 6, 

und untersuchen die Zeichenwechsel. Ist x constant und rt, h 
variabel, so ist 

a;2-|-a:r + & = 

die Gleichung der Parabeltangente in dem Punkte 

a = — 2x^ /> = a;2, 

und zwar ist x"^ -\- ax -\- h positiv in dem Theil der Ebene, der 
zugleich die Parabel enthält. 

Durch diese Tangente und durch die Parabel wird die 
Ebene in vier Felder getheilt, in denen in der Pieihe (3), wie in 
der Fig. 16 (a. f. S.) angedeutet ist, 0, 1, 2 Zeichen Wechsel vor- 
kommen. 

Wenn man also a; = « und x = ß setzt, so erhält man 
zwei solche Tangenten und eine Eintheilung der Ebene in vier 
Felder, worin die repräsentirenden Punkte für solche Gleichungen 
liegen, die zwischen a und ß keine, eine oder zwei Wurzeln 
liaben. In der Fig. 17 sind diese vier Felder durch die betreffenden 
Zifiern gekennzeichnet. 

Es ist der Unterschied zwischen solchen Punkten, von denen 
aus keine, eine oder zwei Tangenten an die Parabel gezogen 
werden können, die ihren Berührungspunkt zwischen « und ß 
haben. Die Fig. 17 also giebt die genaue und vollständige 
Unterscheidung der verschiedenen Fälle. 

Vergleichen wir nun hiermit den Budan 'sehen Satz, so 
haben wir die drei Functionen /(a;), /' (a;), /" (a;), also 

(4) x^ -\- ax -^ h, 2x -{- a, 1 

in Bezug auf die Zeichenwechsel zu untersuchen. 



356 



Neunter Abschnitt. 



§. 111. 



Die beiden geraden Linien 

x^ -^ ax -^ h = 0, 2x -{- a = 
tlieilen die Ebene in drei Felder, in denen die Reihe (4) die in 
der Fig. 18 angedeuteten Zeichenwechsel bietet. 



Fiff. 16. 




Fior. 17. 




Nehmen wir wieder zwei Werthe x = a und a; = /3, so 
ergeben sich sechs Felder, in denen der Verlust an Zeichen- 



Fig. 18. 




Fig. 19. 




wechseln in der Fig. 19 angegeben ist. In den mit und 1 
bezeichneten Feldern giebt also der Verlust an Zeichenwechseln 
die richtige Anzahl von Wurzeln. In dem Felde 2 dagegen 
ist die Entscheidung zwischen zwei und keiner Wurzel nicht 
getroöen. 



§. 111. Geometrische Interpretation. 357 



S 



Nehmen wir nun das Jacobi'sche Kriterium (§. 110). 
Danach müssen wir, um die Anzahl der zwischen a und ß 
gelegenen Wurzeln abzuschätzen, die Gleichung (1) erst trans- 
formiren auf 

(« + ßyy + «(« + ßy) (1 + !/) + h(l 4- yy = 0, 
oder 

(ß^ + aß + h)y'^ + [2aß + a(« + ^) + 2 &] ^ 
-f («2 _p rt « + 6) = 0, 

und es ist nun die Anzahl der Zeichenwechsel in den drei 
Functionen 

ii = 2 « /3 4- a (a + /3) + 2 & 
1)2 = «"- -\- aa -\- b 

abzuzählen. Der erste und der dritte dieser Ausdrücke stellen, 
gleich Null gesetzt, die beiden vorhin betrachteten Parabel- 
tangenten dar. Der mittlere, 2aß-\-a{rx.-\-ß)-\-2h, ver- 
schwindet für a = — 2«, b = a- und für « = — 2/3, b =: ß^ 
stellt also die Verbindungslinie der beiden Punkte «, ß dar, und 
zwar so, dass er auf die Seite, die den Schnittpunkt der beiden 

Fiff 20. Tangenten enthält, negativ wird [in diesem 

. Schnittpunkte selbst ist er gleich — (ß — «)2]. 

\ " Z Wir erhalten hier fünf Felder mit keinem, 

\i / einem oder zwei Zeichenwechseln, wie die 

1 \:^ 1 Fig. 20 angiebt. 

/ \ Man sieht aus dieser und der vorigen 

Figur, dass der Raum der Unentschiedenheit 
bei Anwendung des Jacobi'schen Kriteriums ein Theil von dem 
ist, der sich für das Budan-Fourier'sche Theorem ergiebt, und 
dass also ersteres in diesem Falle vor letzterem den Vorzug ver- 
dient, entgegen einer Bemerkung von Jacobi, der dem Budan- 
Fourier'schen Kriterium vor dem seinigen den Vorzug giebt. 
Ob dies auch bei Gleichungen höheren Grades noch richtig ist, 
bleibt freilich noch zu untersuchen ij. 

Um das Newton'sche Kriterium in der Form §. 110, X. auf 
quadratische Gleichungen anzuwenden, hat man noch B^^ Bi, B^ 



^) Vgl. F. Klein, Geometrisches zur Abzahlung der reellen Wurzeln 
einer algebraischen Gleichung in Dyck's Katalog mathematischer Modelle 
(München 1892). 



358 Neunter Absclinitt. §. 112. 

ZU bilden, von denen aber B^, Bo immer positiv sind, und daher 
durch 1 ersetzt werden können. Für B^ ergiebt sich aber 
(«2 — 4,1)) (a — /3)2 und man hat also die Anzahl der Wechsel- 
Folgen in der Doppelreihe 

&o, hl, 1)2 

1. 5„ 1 

abzuzählen, was in diesem Falle die genaue Anzahl der Wurzeln 
ergiebt. 

§. 112. 
Bestimmung einer oberen Grenze für die Wurzeln. 

Wir haben schon im dritten Abschnitt von dem Satze Ge- 
brauch gemacht, dass man immer eine positive Zahl finden kann, 
die grösser ist als die absoluten Werthe sämmtlicher Wurzeln 
einer gegebenen Gleichung. Es kommt aber jetzt darauf an, 
eine möglichst einfache und zugleich möglichst genaue Bestim- 
mung einer solchen oberen Grenze zu geben. 

Wir betrachten zunächst nur die reellen Wurzeln, und suchen 
also eine positive Zahl, die grösser ist als die grösste positive 
Wurzel einer gegebenen Gleichung f(x) = 0. 

Eine solche Bestimmung giebt uns das Budan'sche Theorem. 

Nehmen wir den Coefficienten der höchsten Potenz von x 
in f{x) gleich 1 (oder wenigstens positiv) an, so kann man die 
positive Zahl a immer so gross annehmen, dass 

(1) /(«),/'(«),/"(«), •••,/^"H«) 

alle positiv werden. Dann geht in der Reihe der Functionen 

/(^)>/'(4/"(^), --./'"K^) 
zwischen x ^^= a und ^ = x kein Zeichenwechsel mehr verloren, 
und es kann also auch nach dem Theorem I. (§. 107) keine Wurzel 
von f(x) zwischen a und oc liegen. 

Will man aus dem gleichen Satze für die negativen W^urzeln 
eine untere Grenze haben, so nehme man die positive Zahl ß so 
an, dass 

(2) (- 1)" /(- /3), (- 1)"-^ /' (- /3), . . , /(") (- ß) 

alle positiv werden, dann hat die Gleichung f{x) = sicher 
keine negative Wurzel unter — ß. 

Diese Bestimmung der Grenzen rührt schon von Newton her. 



§. 112. Obere Grenze der Wurzeln. 359 

Eine andere Bestimmung einer oberen Grenze, die für die 
Rechnung einfacher ist, hat Laguerre angegeben 1). 

Er benutzt statt der Ableitungen /(:r), /'(a;), /"(a;), . . . die 
Functionen /o (a;), /^ (x), /a (x), . . ., /„_i (x) , die wir schon mehr- 
fach, besonders in der Tschirnhausen-Transformation, gebraucht 
haben. 

Wir haben diese Functionen im §. 4 definirt durch 

f, (x) = 1 

/i (x) = X -\- eil 

/a (x) = X'- -\- ttiX -^ «2 

/„_i (X) = a;"-i + eil a:"-2 -]- a.2 x''-^ -j- . . . -f- «„_, 

f(x) = /„ (x) = X" + «1 x'-i + «2 ä:»-2 _| ^ an-, X + a,., 

und für sie die Recursionsformel aufgestellt: 

/v (a;) — xfy-i (x) = a,. 

Man hat nun, wie schon an der angeführten Stelle ge- 
zeigt ist, 

(3) fix) = {x-a) [x-^fo («) + X-^-fi («) H h/n-l («)] +/(«). 

Der Anblick dieser Formel zeigt, dass, wenn « eine Zahl 
ist, die die Functionen 

(4) /o («), /l («), /2 («), . . .. /n-1 («), /(«) 

positiv macht, kein positives x grösser als a existiren kann, was 
f{x) zu Null macht, da dann auf der rechten Seite von (3) lauter 
positive Glieder stehen. 

Wenn also ein positives cc so bestimmt ist, dass die Func- 
tionen (4) alle positiv sind, so ist dies eine obere Grenze für 
die positiven Wurzeln von f(x). 

Ebenso erhält man eine untere Grenze — ß für die negativen 
Wurzeln, wenn man die positive Grösse ß so bestimmt, dass 

(5) ./o (- ß). -/i (- /5), f-2 (- /3), . . . (- D" /(- ß) 

alle jiositiv werden. 

Diese Bestimmung der Grenzen ist zwar in der Rechnung 
einfacher zu handhaben, giebt aber doch unter Umständen minder 
genaue Grenzen als die Newton 'sehe Bestimmung. 



^) Laguerre, Nouvelles Anuales d. math., 2. ser., t. XIX, 1880. Journal 
de math., 3. ser., t. IX, 1883. 



360 Neunter Abschnitt. §. 113. 

Wenn man nämlich CS) fortgesetzt nach x differentiirt und 
dann x = a setzt, so erhält man unter der Voraussetzung, dass 
die Grössen (4) alle positiv sind, für die Derivirten /' {x\ f" {x\ . . . 
Ausdrücke, die für x = a aus lauter positiven Gliedern bestehen. 
Wenn also die Ausdrücke (4) positiv sind, so sind nothwendiger 
Weise auch die Derivirten (1) alle positiv, während das Um- 
gekehrte nicht nothwendig der Fall ist. 

Um eine obere Grenze für den absoluten Werth der ima- 
ginären Wurzeln, der auch für den Fall complexer Coefficienten 
noch gültig ist, zu finden, betrachten wir die Function 

worin die Coefficienten «i, «ai ..-,«»» reell oder imaginär sind. 
Wir bezeichnen den absoluten Werth einer complexen Grösse a 
wie früher durch |«| und haben dann, wenn wir annehmen, der 
absolute Werth von x sei grösser als 1, 

«1 + ^ H h ^~l , < I «1 I + I «2 I H h 1 «n I = «. 

Nehmen wir also x so an, dass sein absoluter Werth 
grösser ist als jede der beiden Zahlen 1 und «, so kann der 
Ausdruck 

nicht verschwinden, da der absolute Werth von x grösser ist, als 
der absolute Werth der Summe aller übrigen Glieder der rechten 
Seite. 

Wenn wir also, je nachdem a grösser oder kleiner als 1 
ist. einen Kreis mit dem Radius a oder 1 um den Mullpunkt als 
Mittelpunkt legen, so liegen ausserhalb dieses Kreises gewiss 
keine Wurzeln von f(x) mehr. 



§. ns. 

Abschätzung der imaginären Wurzeln. 

Wir haben im §. 103 gesehen, wie wir aus der Charakteristik 
eines gewissen Curveusystems die genaue Anzahl der complexen 
Wurzeln einer Gleichung bestimmen können, die im Inneren 
einer geschlossenen Curve liegen. Auch dies Kennzeichen lässt 



§. 114. Theorem von Rolle. 361 

sich vereinfachen, wenn man nicht mehr die genaue Anzahl der 
Wurzeln, sondern nur eine obere Grenze für diese Zahl finden 
will, was in vielen Fällen auch zur genauen Bestimmung aus- 
reicht. 

Es sei also, wie in §. 103 
(1) F(2) = cp (*•, y) -\- it (x, y) 

eine reelle oder complexe Function des complexen Arguments 
2 = X -\- yi] darin seien 9? und t^ reelle Functionen von x und«/, 
und es werde nun eine geschlossene Curve / gezeichnet. ^Yir 
haben dann den Satz: 

XL Wenn die Curve/ durch die Curve cp in 2m 
Segmente getheilt wird, in denen cp abwechselnd 
positiv und negativ ist, so ist die Zahl der inner- 
halb / liegenden Wurzeln von F{z) höchstens 
gleich m; und dasselbe gilt auch, wenn/ durch j^ 
in 2ni solcher Segmente getheilt wird. 

Der Satz ist eine unmittelbare Folge des Charakteristiken- 
satzes §. 103; denn danach ist 

Jc = \[E(f;cp, t) - Ä(f:cp,t)]- 

und wenn nun die Curve / von der g) -Curve in 2 m Punkten 
geschnitten wird, so ist 

m = l,[E(f- q>, i^) Jr Ä{f; <p. iOl 
also 

k = »>t — Ä (/: qp, ^). 

Darin ist aber nach dem erwähnten Satze h gleich der 
Anzahl der im Inneren von / liegenden Wurzeln von F, und 
Ä(f; g), t/>) ist eine jedenfalls nicht negative Zahl. Ganz ebenso 
kann man mit der Formel 

h = UE{f\^^ ^) - Ä(f;i',cp)] 
verfahren. 

§. 114. 
Das Theorem von Rolle. 

Wenn die Gleichung f(x) = zwei reelle Wurzeln « und ß 
hat, von denen die erste eine a-fache, die zweite eine &-fache 
ist, so können wir 



362 Neunter Abschnitt. §. 114. 

(1) f{x) = {x- af {X - ßff, {x) 

setzen. 

Ist nun a < /3, und liegt zwischen a und /3 keine Wurzel 
von/(a;j = 0, so wird/(a') und /i (a?) in diesem ganzen Inter- 
vall ein unverändertes Vorzeichen haben. Bilden wir von (1) 
die Ableitung, so ergiebt sich 

= a{x - /i) + h{x - a) + {x-a) (X - ß)f^^' 

Die rechte Seite dieses Ausdruckes wird für ic = « negativ, 
nämlich a(a — /3), und für x = ß positiv, nämlich b(ß — a), 
und muss also, während x von a bis ß geht, einmal, oder allge- 
meiner eine ungerade Anzahl von Malen durch Null gehen. Auf 
der linken Seite von (2) haben {x — cc) {x — ß) und f{x) ein 
unverändertes Vorzeichen, und also muss f {x) eine ungerade 
Anzahl von Malen durch Null gehen. Daraus folgt das Rolle'sche 
Theorem : 

XII. Sind w und ß zwei auf einander folgende 
Wurzeln von f (x) = , so liegen zwischen 
« und ß (ohne die Grenzen mitzurechnen) 
Wurzeln von f'{x) = in ungerader Anzahl, 
also mindestens eine. 

Wichtige Folgerungen ergeben sich hieraus für den Fall, dass 
die Gleichung /(a;) = nur reelle Wurzeln hat. Sind diese, 
der Grösse nach geordnet, a, jS, y, . . ., und ist u eine a-fache, ß eine 
J-fache, y eine c-fache etc. Wurzel, so hat /' (x) = in oc eine 
(a — 1 j-fache, in ß eine {b — l)-fache, in y eine (c — l)-fache Wurzel 
und zwischen « und /3, zwischen ß und y u. s. f. je mindestens 
eine reelle Wurzel. Die Gesammtzahl dieser Wurzeln ist aber 

a -\- b -\- c -{- • • • — l = n — 1, 

und da/'(x) vom {n — 1)*^^ Grade ist, so wird diese Minimalzahl 
auch nicht überschritten. Daraus folgt der Satz: 

XIII. Hat/(a;):=0 nur reelle Wurzeln, so hat auch 
f (x) = nur reelle Wurzeln, und von diesen 
sind die, die nicht mit mehrfachen Wurzeln 
von f (x) zusammenfallen, einfache Wurzeln, 
die von den Wurzeln von f{x) getrennt werden. 



§. 114. Theorem von Rolle. 363 

Wenn wir dies Theorem wiederholt anwenden, so können 
wir es folgendermaassen verallgemeinern : 

XIV. Hat f {x) nur reelle Wurzeln, so haben auch 
/'(ic), f ipc), f"'{x) ... nur reelle Wurzeln. Hat 
eine dieser Functionen /^(a:) eine «-fache Wurzel 
«, und ist a > 1, so ist a eine (a-|-T)-fache Wurzel 
von/(a;). 
Diese Sätze werden wesentlich verallgemeinert, wenn man 
eine lineare Transformation darauf anwendet i). 

Dies wird leichter ausgeführt, wenn man die homogene 
Schreibweise anwendet, also unter f{x, y) eine ganze homogene 
Function n^^^ Grades versteht. Bildet man für einen beliebigen 
Werth I : 7j die Polaren dieser Function (§. 66): 

F,{x,^) = ^{^f'{x)Jrnf'iy)] 
(3.) P,(^,|) =_^-l_^ ['^'f"{x,x) + n^]f"{x,y)-\-ri,f"{y,y)\ 

+ 3 1 7J 2/'" {X, y,y)-\-v '/'" (y^ y, y) j 

1 

so bleiben diese Functionen ungeändert, wenn man |, r] und x. y 
gleichzeitig durch eine lineare Transformation umformt, und für 
/ und seine Ableitungen die entsprechenden transformirten Func- 
tionen setzt. In Bezug auf die Realität der Wurzeln wird durch 
eine reelle lineare Transformation nichts geändert. Nun lässt sich 
aber, wenn |, r] reell sind, die reelle lineare Substitution so l)e- 
stimmen, dass die transformirten Werthe |' = 1, ?;' = werden, 
und dadurch gehen, wenn man noch y = \ setzt, die Polaren 
in die Derivirten der Function f{x) nach x über (abgesehen von " 
Zahlenfactoren). 

Daraus folgt, dass in den Sätzen XIII., XIV. die Deri- 
virten /'(a;), /"(a:) ... durch die Polaren Pi(a;, |), P2 (*'i ^) ••• 
für ein beliebiges, reelles |, t] ersetzt werden können. 

Wir machen hiervon die Anwendung auf die Gleichung, die 
man erhält, wenn man die {n — 2y^ Polare gleich Null setzt: 



^) Laguerre, Nouvelles Anuales de mathematiques, 2. Ser., Vol. 19, 
1880. 



364 Neunter Abschnitt. §. 115. 

(4) x^f" (I, I) + 2 X ijf" (I, n) + tßf" (n. n) = o. 

Hat/(a;, ^) = 0, wie wir voraussetzen, nur reelle Wurzeln 
so muss auch die quadratische Gleichung (4) reelle Wurzeln 
haben, d. h. es muss die Hesse' sehe Determinante 

<5) f"(^.^)f"(n-v)-f"{l^)' 

für alle reellen |, iq negativ sein. Sie kann nur dann ver- 
schwinden, wenn (4) zwei gleiche Wurzeln hat, und dies ist nach 
XIV. nur dann möglich, wenn f(x.y) die m*^ Potenz einer linearen 
Function ist. In diesem Falle verschwindet die Determinante 

(5) identisch. Wenn wir also von diesem Falle absehen, so folgt, 
dass für eine Gleichung mit nur reellen Wurzeln die 
Gleichung, die man durch Nullsetzen der Hesse'schen 
Determinante erhält, nur imaginäre Wurzeln hat. 

Wollen wir zur inhomogenen Darstellung zurückkehren , so 
können wir mit Benutzung des Eul er' sehen Satzes 

^/' (^) -f yf (y) = ^^/(^) 

(6) xf" (x,x) + yf" (X, y) = (n - l)f (x) 

^f'iy.x) + yf"(y.y) = {n - \)f{y) 

setzen, und damit /'(?/),/" (a;, i/), /"(?/, ?/) eliminiren. Man erhält 
so, wenn man y =z \ setzt, 

/'(!/) =nf(x)-xf'{x) 
m f"(^.y)= {n - l)f' (x) - xf" (x) 

f"(y,y) = n(n - \)fix) - 2(w - l)xf'{x) + x^f"(x), 
also wenn 

(8) (H - 1) H{x, y) = /" {X, X) r {y, y) - /" (x, y^- 
gesetzt wird: 

(9) Hix, y) = H{x) = nf{x)f" {x) - (n - 1)/' {x^. 
H{x) ist in Bezug auf x höchstens vom Grade 2 n — 4. 

§■ 115. 

Die Sätze von Laguerre für Gleichungen mit nur 

reellen Wurzeln. 

Von den zuletzt abgeleiteten Sätzen hat Laguerre eine 
Anwendung auf Gleichungen mit nur reellen Wurzeln gemacht, 
die wir noch kennen lernen wollen. 



§. 115. Sätze von Laguerre 365 

Es sei f{x) = eine Gleichung «*en Grades mit n reellen 
Wurzeln a, a^, «2 • . ., die wir von einander verschieden vor- 
aussetzen. 

Ist X eine veränderliche Grösse, so haben wir die schon 
mehrfach angewandte Formel [§. 14, fll)]: 



(1) ' (^) 



worin sich das Summenzeichen S auf die verschiedenen "Wurzeln 
«, «1, «2, . . . bezieht. Wenn wir hiervon nochmals die Ableitung 
nach X bilden, so folgt 

.o^ 1 _ f'{xy-f{o^)f"(x) 

^^ ^{x-a)^- f{xy- 

und wenn wir auf der rechten Seite die Function H [§. 114, (9)| 

einführen, 

1 _ f'(xy-Hix) 
^^ {X — a)2 ~~ nfixf 

Wendet man auf diese Formel eine lineare Transformation 
an , bei der dem Werth x = cc ein beliebiger anderer reeller 
Werth der neuen Veränderlichen entspricht, so erhält man eine 
allgemeinere Formel, die wir zunächst ableiten wollen. Wir 
führen homogene Variable ein, indem wir x durch x : y und « 
durch u : ß ersetzen. Dadurch wird (3) 

fn ß^- ^ / (xy - ,ß Hix, y) . 

W ^^^ß_yßy nf{x,yy 

nun wenden wir eine beliebige lineare Transformation an: 

X ^= ax' -\r hy\ a ^= a c/J -\- b ß\ 

^^^ y=cx'^chj', ß=ca'^dß\ 

oder aufgelöst: 

rx' =^ dx — hy^ 
(6) ry' ^ — ex -^ a y, r = ad — b c. 

xß — ya = r(x'ß' — y' «'). 
Wenn durch diese Transformation 

f(x,y) = (p{x\ij') 
wird, so wird 

rf (X) ^dtp' (x') - c cp' (y'), 

und wegen der Covarianteneigenschaft der Function H (§. 65) 

r^H(x,y) = ir{x\y'), 



366 Neuiiter Abschnitt. §. 115. 

wenn H' ebenso aus qp abgeleitet ist, wie H aus /. Hiernach 
folgt aus (4): 

^^ {x'ß'—y'K'p n(p(x',yy 

In dieser Formel können, da dies nur Sache der Bezeich- 
nung ist, bei x\ y\ «', /3', H' die Accente weggelassen und / an 
Stelle von cp gesetzt werden. Es bleiben die beiden willkürlichen 
Grössen c und d darin. 

Setzen wir der eleganteren Bezeichnung wegen noch c = — ly, 
(Z = I, so erhalten wir also: 

^""^ '^\xß - yc^J - nf(x,yy^ 

und in dieser Form bleibt sowohl die rechte als die linke Seite 
vollkommen ungeändert, wenn wir auf die Variablenpaare x^ y\ 
I, »j; «, /3 gleichzeitig eine beliebige lineare Transformation 
anwenden. 

Die Formel (8) ist eine identische; sie gilt für jede Func- 
tion f(x,y) und für alle Werthe der Variabelen x, y-, |, tj. Jetzt 
aber machen wir die Voraussetzung, dass f{x, y) nur reelle 
Wurzeln habe, dass also die a, ß reell seien, und wir setzen 
auch I, fj und x, y als reell voraus. Beide Seiten der Gleichung (8) 
sind dann wesentlich positiv. Wir bezeichnen ihren gemeinsamen 
Werth durch P, und bestimmen nun eine Grösse X : Y durch 
die quadratische Gleichung 

_ f Xrj - n y 

^ — \Xy - YxJ ' 
oder 

(!J) $ = {Xy — Yxy P — {X-q — r|)2 = 0. 

Diese Gleichung hat zwei reelle Wurzeln, die mau aus 

Xn-Yl = ±\'T{Xy - Yx) 

erhält. Ueber die Lage der Wurzeln dieser Gleichung können 
wir aber Folgendes aussagen: 

Setzen wir X =. x^ Y =^ y, ^o wird Q negativ. 

Setzen wir aber X = «, Y =^ ß, wenn a : ß irgend eine 
der Wurzeln von / = ist, so ist 

/X r] — rg y ^ / g/3— rju 
\Xy — YxJ \xß — yu 



§. 115. Sätze von Laguerre. 367 

also gleich einem Gliede der Summe 

\xß — y a) 

und daher kleiner als P. Daraus folgt, dass ^ für X : Y = a : /3 
positiv ist. 

Wenn wir nun die Werthe der sämmtlichen a : ß und x : y, 
der Grösse nach cyklisch geordnet, etwa auf einem Kreise an- 
ordnen, und den Werth X: F durch einen variablen Punkt dieses 
Kreises darstellen, und die betreffenden Punkte mit a, x, X 
bezeichnen, so geht ^ durch Null, wenn X von x aus nach vor- 
wärts oder nach rückwärts bis zu den nächst gelegenen Punkten, 
die wir mit «j und Wg bezeichnen wollen, geht. Sind also Xj, X.j 
die Wurzeln der Gleichung (9), so haben wir folgende Anordnung 
auf dem Kreise 

(10) «1, Xi, X, Xa, «2, 

und (Xj, X2) stellt ein Intervall dar, in dem zwar der 
beliebig gewählte Punkt x^ aber kein Wurzelpunkt der 
Gleichung /= liegt. Xj und X^ sind also den beiden 
nächst gelegenen Wurzeln «i, «j näher als der Ausgangs- 
werth X. 

Dies gilt, welche Lage auch der zweite willkürliche Punkt | 
haben mag. Es werden davon zwar die Punkte X^, X^ abhängig 
sein; immer aber werden sie in dem Intervall («,, x) und (x, a^) 
liegen. 

Es entsteht nun die Frage: wie ist der Punkt ^ zu wählen, 
damit Xj möglichst nahe an «, oder X^ möglichst nahe an a^ 
liege, oder vielmehr, da es auf die Kenntniss von | selbst nicht 
ankommt, welches ist der möglichst nahe bei «j gelegene Punkt 
Xi und der möglichst nahe bei «2 gelegene Punkt XgV 

Denken wir uns den Punkt X gegeben , so ist (9) eine 
(juadratische Gleichung für den Punkt ^; zu jeder Lage von X 
gehören also zwei Lagen von ^. Aber nur solche Werthe von 
Xi oder Xg sind in (10) zulässig, für die diese quadratische 
Gleichung reelle Wurzeln ergiebt. Also nur solche Werthe von 
Xj und X2 können vorkommen, bei denen die Discriminante 
von (9) in Bezug auf ^ positiv ist, und wir erhalten die Grenz- 
lagen von Xi und X2 , wenn wir die Discriminante von (9) 
gleich Null setzen. Die Coefficienten von |2^ 2|>y, 1^2 i,| (9^ 
sind aber 



368 Neunter Abschnitt. §. 115. 

f'{xy - f-H _ Y^y _ Y^ 

f(x)f(y) + xyH _ ^^ 

J-l^LL- {Xy — ra:)2 — X\ 

und die Discriminante erhält man, wenn man von dem Quadrat 
des mittleren das Product der beiden äusseren abzieht, nämlich, 
mit Benutzung der Relation xf'{x) -|- yf'{y) = vif'- 

und man erhält also die Grenzwerthe von X : Y aus der Gleichung 

(11) [X/ {X) -f Y/' (^)]2 + (n - 1) (A> - YxfR = 0, 

die in Bezug auf X : Z quadratisch ist. Hier steht H der 
Kürze wegen für H(x, y). 

Da H negativ ist, hat diese Gleichung zwei reelle Wurzeln, 
die man aus 



(12J Xf'{x) + Yf'iy) = ± {Xy - Yx) 1/(1 - n)H 
findet. 

Diese Formel umfasst mehrere besondere Resultate, die man 
erhält, wenn man die homogene Form verlässt. 

Nehmen wir zunächst ?/ = 0, also x : y unendlich und 
setzen Y = 1, so ergeben sich zwei Werthe Xj, Xg, zwischen 
denen die Gesammtheit aller Wurzeln von f{x) enthalten ist. 
Setzen wir 

f{x,y) = «0^" + a,x^'-Uj + a^x^'-^y'- -\ , 

so wird 

(13) H r= [2na^a.2 — (n — l)afja;2"-'' + • • -, 

und man erhält diese beiden W^erthe aus 



(14) na^X =^ — «1 + ]/(w — 1)^«!' — 2n{)i — Ija^a^. 

Lässt man x : y unbestimmt, kehrt aber zur inhomogenen 
Form zurück, indem man ?/ = 1, Y= 1 setzt und die Formeln 
(7) und (9) des §. 114 anw^endet, so erhält man aus (12) 

nf{x) 



(15) X— X= - 



f f.') ± V{n - Iff {xy - n {n - \)f{x)f" (x) ' 



und diese Werthe haben folgende Bedeutung; 



§. 115. Sätze von Laguerre. 369 

Liegt X zwischen zwei Wurzeln «i, ccg von /(rr), so liegt von 
den beiden durch (15) dargestellten VVerthen von X der eine 
näher an «i, der andere näher an a^^ aber beide noch innerhalb 
des Intervalles («i, «,)• 

Ist aber x grösser als die grösste, oder kleiner als die 
kleinste Wurzel von f{x), so liegen die sämmtlicheu Wurzeln 
zwischen den beiden Werthen von X, während x ausserhalb liegt, 
oder es liegt x zwischen den beiden Werthen von X, und alle 
W^urzeln von f{x) ausserhalb. Liegt x nahe an einer Wurzel, 
so giebt einer der beiden Werthe von X einen noch genaueren 
Werth dieser Wurzel. 

Wir nehmen als Beispiel (mit Laguerre) die Kugelfunc- 
tionen, von denen wir schon früher (§. 93) nachgewiesen haben, 
dass sie nur reelle Wurzeln haben, die alle zwischen — 1 und 
-f- 1 liegen. Die Function 

,j , , 1.3...(2n — 1) / n(n—l) , , \ 

^"(^> = 1.2...n r - 2(L-1) ^"-^ + • • •) 

hat die Eigenschaft, dass 

n (n -\- 1) 



P4i) = i, p;.(i) = 



2 

n(n — l)r» 4- 1)0< + 2) 



8 

ist. Man beweist dies leicht durch vollständige luduction, indem 
man in den ersten Fällen w = 2, 3 . . . die Formeln direct 
nachweist, und dann aus der Recursionsformel 

(1 — x^)P'n(x) 4- nxPn{x) — nFn-i{x) = 

durch zweimalige A})leitung die Richtigkeit für den Index n nach- 
weist, falls sie für den Index n — 1 vorausgesetzt wird. 

Wenn wir dann in (15) a; = 1 setzen, so erhalten wir einen 
W^erth von X, der kleiner als 1, aber noch grösser als die 
grösste Wurzel von P„ ist, nämlich 

x=. ^— 

w -f- 1 + (>? — 1) 

Für w = 7 z. B. ergiebt sich 

X = 0,94967 . . . 

Weber, Algebra. I. o± 



n{n 4- 1) 



370 Neunter Abschnitt. §. 115. 

Der genauere Werth der grössten Wurzel ist nach der 
Berechnung von Gauss (Gauss' Werke, Bd. III, S. 195): 

0,94911 . . .; 
X zeigt also erst in der vierten Decimale den Ueherschuss über 
den Werth dieser Wurzel. 



Ebenso wie durch X^, A'., ein Intervall bestimmt ist, in dem 
gar keine Wurzel der Gleichung liegt, so kann man auch ein 
Intervall bestimmen, in dem gewiss Wurzeln liegen. Auch hierbei 
geht man am besten von der homogenen Form aus und benutzt 
die lineare Transformation. 

Sei also wie vorher /(ä;,i/) eine Form n^^^ Grades mit lauter 
reellen Wurzeln; und seien ferner x : y, ^ : rj, !':■>?' drei reelle 
Werthe, von denen zwei willkürlich sind, und von denen der 
dritte durch die Relation 

.. [1/ (^) + vf m m' (^) + v'f (y)] 

^ ^ -H{^y-nx){i'y-ri'x) = 

von den beiden anderen abhängt. Die Gleichung (16) bleibt 
ungeändert, wenn wir die drei Grössenpaare x^y\ |,?^; |'. ^' 
gleichzeitig derselben linearen Transformation unterwerfen. Daher 
können alle Schlüsse, die wir aus einer speciellen Form dieser 
Gleichung ziehen, verallgemeinert werden. Die lineare Substitution 
lässt sich so bestimmen, dass für die neuen Variablen «/ = 0, 
1 = wird; dann ergiebt (16) für |', iq' die Gleichung 

ai(wao|' + «ii?') = [2nao«2 — 0« — 1)«!"]^'. 
oder also, wenn man «q = 1, t^' = 1 annimmt, 



2 9, 



w ^ _ (}{ — ^<h 



Es ist aber, wenn wir, wie oben, mit a die Wvirzeln von/ 

bezeichnen, 

af — 2 »2 = .S'(w2), «1 = — S (a) ; 
also wird 

^ .S(«j 

Dafür lässt sich auch setzen: 

S[a{u~ r)] = 0, 
und daraus ergiebt sich, da alle a reell sein sollen, dass die 



$. 115. Sätze von Laguerre. 37]^ 

Producte a(« — §') weder alle positiv noch alle negativ sein 
können, oder mit anderen Worten, es muss ein Theil der Wurzeln 
zwischen und |', ein anderer Theil ausserhalb dieses Intervalles 
liegen. 

Daraus folgt nun durch Anwendung der linearen Trans- 
formation allgemein, dass auf dem Kreise, der die Punkte 
«, X, ^, I' trägt, wenn |, |' durch (16) verknüi^ft sind, in 
jedem der beiden Theile, in die der Kreis durch ^ und 
I' getheilt wird, wenigstens eine der Wurzeln a liegt. 
Der Punkt x und einer der Punkte |, |' sind willkürlich; der 
dritte Punkt ist durch (16) bestimmt. 



24* 



Zehnter Abschnitt. 
Genäherte Bereclmung der Wurzeln. 



§• 116. 
Interpolation. Regula falsi. 

Mit der Abgrenzung der Intervalle, in denen nur je eine 
Wurzel einer algebraischen Gleichung liegt, ist die Möglichkeit 
gegeben, die reellen Wurzeln mit beliebiger Genauigkeit nume- 
risch zu berechnen, indem man das Intervall mehr und mehr 
einengt, z. B. fortgesetzt halbirt. Theilt man ein Intervall von 
der Grösse 1 fortgesetzt in zehn Theile, so liefert jeder neue 
Schritt eine weitere Decimalstelle. 

Wenn einmal erst eine Wurzel von allen übrigen abgesondert 
ist, so hat man bei der weiteren Einengung des Intervalles immer 
nur das Vorzeichen der Function f{x) selbst zu berücksichtigen. 
Die dazu nöthigen Rechnungen können sehr erleichtert werden 
durch die Anwendung der Interpolationsformel, die wir im ersten 
Abschnitt kennen gelernt haben. 

Wir haben nämlich in §. 10, (7) eine Formel hergeleitet, nach 
der man eine Function ii}^^ Grades, die wir jetzt mit (p{^) be- 
zeichnen wollen, bestimmen kann, wenn m -!- 1 auf einander 
folgende Werthe 9 (0), 9) (1 ),..., 9 (w) gegeben sind. Diese 
Formel ist, wenn 

(1) " 1 . 2 . 4 ... V 

A =A+i -A 



r2) 

gesetzt wird 



z^l^'-^) = zJ^-'^ - Jl"-^ 



§. 116. Regula falsi. 373 

(3) <pa) = cp(o)-\- z/o5? ^ ^oB'i' -] h ^-''s^- 

Der Werth der Formel liegt darin, dass die Reihe der 
Differenzen z/q, z/ö, z/ö . . . in vielen Fällen so rasch abnehmende 
Zahlenwerthe bietet, dass man sich mit einigen der ersten Glieder 
der Reihe (3) begnügen kann. 

Ist nun f{x) die zu untersuchende Function und (a, ß) das 
Intervall, in dem eine der gesuchten Wurzeln liegt, so setzen 
wir, indem wir unter m irgend eine geeignete ganze Zahl ver- 
stehen, 

m ' ' * 

und wenn wir also 

^x = ^x + J — ^x 



setzen, und die Formel (3) auf qp(^) =f(x) anwenden, 

(4) f(x)=f(a)^-^{x — a) ^j^ ^^ ^ + .-. 

Man könnte ebensogut auch von dem anderen Endpunkt ß 
des Intervalles ausgehen, und müsste dann in (3) 

x = ß-dt 
setzen. Man würde dann erhalten 

^x=f(x — d)-f(x) 

Z/x = ^x-d — ^x 



(5) fi,)=f(ß^-dl(,_ß) + p--ß>(--ß'^'> ^... 
Wenn man die Gleichung 

als Gleichung einer Curve in einem rechtwinkligen Coordinaten- 
system x, y deutet, so lassen sich die Verhältnisse geometrisch 
veranschaulichen. 

Wenn man z. B. die Gleichung (4) auf das Intervall von a bis 
(« 4- ö) anwendet und sich mit der Berücksichtigung der ersten 
Differenz begnügt, so heisst das in der Sprache der Geometrie, 
dass man den zwischen den beiden Curvenpunkten «, /(«) und 
« -|- d, /"(« -j- ö) verlaufenden Curvenbogen durch die Sehne 
ersetzt. Berücksichtigt man auch die zweite Differenz, so wird 



374 Zehnter Abschnitt. §. 116. 

der durch die drei auf einander folgenden Punkte mit den 
Abscissen «, « -j- ö, « -f- 2 ö gehende Curvenbogen durch den 
Bogen einer Parabel ersetzt, die durch dieselben Punkte geht 
und deren Axe der Ordinatenaxe parallel ist; und diese Parabel 
wird sich der Curve noch enger anschliessen als die Sehne. Je 
kleiner das Intervall d ist, um so weniger werden die höheren 
Differenzen von Einfiuss sein. 

Wie weit man also bei der Annäherung zu gehen hat, das 
hängt nicht nur von der Genauigkeit ab , mit der man f(x) zu 
kennen wünscht, sondern wesentlich auch von der Dichtigkeit 
der Werthe oc, « -)- d, « -f- 2 d . . . , für die die Function bekannt 
ist. Auf diesen Sätzen beruht die Einrichtung unserer Tabellen- 
werke, besonders der Logarithmentafeln, Es handelt sich dabei 
freilich nicht um ganze rationale Functionen; allein bei den 
stetigen Functionen überhaupt gelten hier dieselben Gesetze, 
Man findet in den Tafeln daher auch neben den Werthen 
/(a), /(« -[- öj, /(« -{- 2ö) . . . die Werthe der ersten oder der 
beiden ersten Differenzen angegeben. Bei den gebräuchlichen 
siebenstelligen Tafeln genügt die erste Differenz. In der zehn- 
stelligen Tafel „Thesaurus logarithmorum" von Vega sind auch 
die zweiten Differenzen angegeben und müssen bei ganz scharfen 
Rechnungen berücksichtigt werden. 

Unsere Interpolationsformeln lassen sich mit Nutzen an- 
wenden, um die Wurzeln der Gleichungen zu berechnen, oder, 
genauer ausgedrückt, die auf anderem Wege gefundenen Nähe- 
rungswerthe zu verbessern. 

Wir können die Aufgabe so formuliren , dass zu einem 
gegebenen, zwischen f(a) und /(« -|- Ö) gelegenen Werth von 
f(x) der zugehörige Werth von x gefunden werden soll. 

Wir Ijetrachten a; = « als einen ersten Näherungswert!!. 
Setzen wir nun 

f{x)-f{a) = A 
so ist, wenn die Function f(x) zwischen x = a, und x = a 4-6 
nur wächst oder nur abnimmt, z/ ein gegebener Werth von dem- 
selben Zeichen wie z/« =zf(ci -\- d) — /(«) und absolut kleiner 
als z/a- Setzen wir noch x — « = u, so giebt die Formel (4j 

/px . ZJaU . ^'a U(U — d) . 

(6) ^ = -r-^-w 2 +••• 

Bleiben wir zunächst bei der ersten Differenz stehen, so 
ergiebt sich als erste Correction 



§. 116. . Regula falsi. 375 

(7) ** = ^^' 

und wenn wir nun 

u = d — — \- ti 

'da 

setzen, so folgt aus (6), wenn man im zweiten Gliede w' weglässt, 

^=^^' + 2^ ' 

also als zweite Correction: 



(8) u' = ö 



2^'i 



Die erste Correction (7) erhält man dadurch, dass man den 
zwischen cc und a -\- d verlaufenden Curvenbogen durch die 
Sehne ersetzt, wie oben, die zweite Correction (8) dadurch, dass 
man den Bogen zwischen w, « -f- d, cc -\- 2 durch eine Parabel 
ersetzt, die durch dieselben Punkte geht, die aber jetzt ihre Axe 
mit der a;-Axe parallel hat. 

Nehmen wir als Beispiel die Gleichung 

f(x) = a;-' — 2 a; — 2 = 0, 

die zwischen 1,7 und 1,8 eine reelle Wurzel hat. 
Man berechnet 

X =z 1,7, f(x) = — 0,487, du = 0,719, z/;, = 0,108 

1.8, =r + 0,232, = 0,827, 

1.9, = 1,059. 
Da f{x) = sein soll, so ist 

z/ = 0,487 

zu setzen und die erste Correction zu a = 1,7 ist nach (7) 

u = 0,06773, 

die zweite Correction ergiebt nach (8) 

u' = 0,00164, 
also 

u -f w + u' = 1,76937. 

Der auf andere Weise berechnete genauere Werth ist 1,76929 ... 
Wir haben also ein in den ersten drei Decimalen genaues Re- 
sultat. Wir haben aber hier kein anderes Mittel, um die Genauig- 
keit von vornherein zu schätzen, als die Abnahme der Differenzen 
z/, z/',z^".. Ist z/' so klein, dass es ausserhalb der Grenzen 



076 Zehnter Abschnitt. §. 117, 



o 



der beabsichtigten Genauigkeit fällt, so giebt die Berücksichtigung 
der ersten Differenz ein genaues Resultat. Die hier aus einander 
gesetzte Vorschrift zur Wurzelberechnung wird die Regula falsi 
genannt. 

Die einfachste, für die erste Annäherung geeignete Form 
dieser Vorschrift ist die: 

Liegt zwischen a und /3 eine Wurzel x der Gleichung /(a;) = 
und ist /(«) = — a, /(/3) = &, so ist 
■ . ha -\- a^ 

ein genäherter Werth von x. Dies ist nur eine andere Schreib- 
weise für die Formel (7). 

§• 117. 
Die Newton'sche Näherungsmethode. 

Eine Methode, die zur genäherten Berechnung der Wurzeln 
einer Gleichung meist besser ist als die Interpolation, rührt von 
Newton her und wurde von Fourier ausgebildet und genauer 
untersucht. 

Die Methode besteht einfach in Folgendem. Es sei 

(1 f{x) = ^ ^ 

die aufzulösende Gleichung und es sei ein Werth x = a ge- 
funden, den man als eine gewisse Annäherung an eine Wurzel 
betrachten kann. Wir setzen in (1) 

X =^ a -\~ h, 
und erhalten 

f{a + h) =/(«) + hf («) + ^ /"(«) + • • • 

Wenn man nun h aus der Gleichung bestimmt 
/(«) + hf'{a) = 0, 
was voraussetzt, dass /' (a) von Null verschieden ist, so wird 

und wird also, wenn h eine kleine Zahl ist, da nur das Quadrat 
und höhere Potenzen von li vorkommen, einen kleinen Werth 
haben. Es wird also unter den geeigneten Voraussetzungen 

(2^ a' -a - i^ 



§. 117. Newton'sclie Näberungsmethode. 377 

als eine bessere Annäherung an den wahren Werth der Wurzel 
zu betrachten sein. 

Ersetzt man dann « durch a', so wird man in 

" -" /■(«') 

eine noch bessere Näherung erhalten u. s. f. 

Es bleiben hier aber noch folgende beiden Fragen zu beant- 
worten : 

1. Unter welchen Voraussetzungen ist a! wirklich ein besserer 
Werth als «? 

2. Wie kann man den Grad von Genauigkeit schätzen, den 
man so erreicht? 

Diese Fragen hat Fourier beantwortet; er macht aber dabei 
folgende Voraussetzung : 

Es ist eine Wurzel von f{x) in einem Intervall (a, /3) 
eingeschlossen, das keine zweite Wurzel enthält. 

In dem Intervall (a, /3) ist/'(a;) von Null verschieden 
und/"(a;) auch von Null verschieden. 

Was die letztere Voraussetzung betrifft, dass /" ix) im Inter- 
vall von Null verschieden ist, so ist sie nur gemacht, um ein- 
facher auszudrückende Bedingungen für die Anwendung der 
Methode zu erhalten. An sich ist ihre Brauchbarkeit bei genügen- 
der Einengung des Intervalles davon nicht abhängig. Wenn aber 
f(x) und f"{x) keinen gemeinsamen Theiler haben, also nicht 
zugleich verschwinden, so kann man die Fourier'sche Voraus- 
setzung durch Einengung des Intervalles immer erfüllen, und 
wenn /(ic) und/'(a:) einen gemeinsamen Theiler haben, so kann 
man diesen zuvor absondern und dann auf die einzelnen Factoreu 
von f{x) die Näherungsmethoden anwenden. 

Am einfachsten übersieht man die Verhältnisse in der Geo- 
metrie , wenn man y = f{x) als Gleichung einer ebenen Curve 
in einem rechtwinkligen Coordinatensystem deutet. 

Die Gleichung 

(3) 2/ =/(«) + (^ -«)/'(«) 

ist die Gleichung der Curventangente in dem Punkte «, /(«) 
und die Newton'sclie Näherungsmethode kommt also darauf 
hinaus, dass man die Curve in dem Interwall («, ß) in erster 
Annäherung durch die Tangente in einem der Endpunkte ersetzt, 
anstatt wie bei der Interpolationsmethode durch ihre Sehne. 



378 



Zehnter Abschnitt. 



117. 



Wenn der zweite Differentialquotient in dem Intervall (k, ß) 
verschwindet, also die Curve einen Wendepunkt hat, so kann der 
Fall eintreten, dass beide Endtangenten aus dem Intervall hin- 
ausführen; dann ist die Newton' sehe Methode also nicht an- 
wendbar (Fig. 21). Es kann aber auch, wenn das Intervall (oc, ß) 
schon genügend eingeengt ist, der andere Fall eintreten, dass 

Fig. 22. 
Fiff. 21. 





beide Tangenten nach inneren Punkten des Intervalles führen 
(Fig. 22). Indessen wird in diesen Fällen immer die Regula 
falsi eine bessere Annäherung geben. 

Wir wollen aber jetzt annehmen, dass f'{x) \\m\ f" (x) in 
dem Intervall («, ß) nicht verschwinden. Dann ändert die Curve 
den Sinn ihrer Krümmung nicht, und dann hat gewiss immer 



Fiff. 23. 



Fig. 24. 





eine der beiden Endtangenten ihren Schnittpunkt mit 
der x-Axe im Inneren des Intervalles. Dies trifft sicher zu, wenn 
die Tangente in dem Endpunkte des Intervalles genommen wird, 
in dem f(x) und f" [x) dasselbe Vorzeichen haben. Die 
beiden Fig. 23 und 24 veranschaulichen das Verhältniss bei 
positivem /' (x) und positivem und negativem /" {x). 

Es ist also im ersten Falle /3', im zweiten u' ein besserer 
Annäherungswerth, als ß und «. 



?■ 



Newton'sche Näherungsmethode. 



379 



Will man gleichzeitig die andere Grenze verschieben, um 
ein neues engeres Intervall zu bekommen, so kann man nach 
Fourier von dem anderen Endpunkte, also im Falle der Fig. 23. 
in a die zu b ß' parallele gerade Linie ziehen, und erhält den 
Punkt «' als unteren Grenzpunkt des neuen Intervalles. Es ist 
dann im ersten Falle 



« 



im zweiten Falle 



a 



a 



a 



fißy 



ß' = ß - 



ß - 



f(ß) 

f'iß)' 
f(ß) 



Fi 



S. '-io. 



f («) ' 
und («', ß') ist ein engeres Intervall, in dem die gesuchte "Wurzel liegt. 

Es ist kaum nöthig, die beiden 
anderen FrlUe, in denen f'(x) im Inter- 
vall negativ ist, noch besonders zu 
betrachten. 

Man kann aber auch, um zwei 
neue Grenzen zu erhalten, mit noch 
besserem Erfolge die Newton' sehe 
Methode mit derinterpolationsmethodc 
verbinden, wie die Fig. 25 zeigt. 

Man erhält dann als die beiden 
neuen Grenzen : 

f(a)(ß - a) _ afiß) - ßf(a) 

fiß) 




M 



« 



/ (P) - f («) 
ß' = ß - 



/(«J 



fM 
f'iß)' 



Wir fassen die Resultate in folgendem Satze zusammen: 

Ist ein Intervall («, ß) abgegrenzt, in dem f(x) 
einmal, f'(x) und f"{x) gar nicht ihr Zeichen 
wechseln, und ist ß der Endpunkt des Inter- 
valles, in dem f{ß) und f"{ß) dasselbe Vorzeichen 
haben, gleichviel, ob ß kleiner oder grösser als 
« ist, so erhält man ein engeres Intervall (a', ß') 
von denselben Eigenschaften, wenn mau 



(4) 



« 



a — 



/(«J iß - ^y-) 

fiß) -fi^y 



ß' = ß - 



fiß) 
./■' iß) 



setzt. 



380 Zehnter Abschnitt. §. 117. 

Um diese Resultate der geometrischen Ansc-hauimg ana- 
lytisch zu beweisen , nehmen wir an , es sei im Intervall /' (x) 
und /" (x) positiv, also « < ß. und 

/(«)<0, /(/3)>0. 

Wir beschränken uns auf die Betrachtung dieses einen 
Falles, da die drei anderen genau in derselben Weise zu be- 
handeln sind. 

Wir bilden die Function 

^ ^ p — X 

und deren erste Derivirte 

^ ^^-^ iß - xf 

Der Zähler dieses Ausdruckes 

^.(;rj = - f/3 - x)f'{x) ^f(ß) - fix) 

verschwindet für x = ß. und seine Derivirte ist 

i^' (x) = - (ß - x)f" (x), 

also im Intervall negativ. Daraus folgt, dass i'{x) im Intervall 
mit wachsendem x abnimmt und daher, weil es für den grössten 
W'erth X = ß verschwindet, positiv bleibt. Folglich ist auch 
^' (x) positiv und cp (x) wächst im Intervall mit wachsendem x 
beständig. Wir haben demnach 

(5) /M^</ia^4w,,,(,) 

a <. X <. ß. 

Setzen wir nun 

/(W -/(«)' ' '^ fißY 
SO wird 

und nach (5) folgt, dass diese Differenz positiv ist, also 

a < «' < ß' < ß. 
Setzt man dann in (b) 

X = a' und x ^ ß' 
und beachtet, dass 

^ '~fm-fw ' ' riß)' 



§. 117. Newtou'sche Näherungsmethode. 381 

SO ergiebt sich 

/(a')<0, /(^')>0- 

Es ist also die gesuchte Wurzel zwischen «' und ß' enthalten, 
und das Intervall (oc', ß') ist kleiner als («, ß). 

Setzen wir in diesen Ausdrücken a\ ß' an Stelle von «, ß, 
so erhalten wir ein neues, noch engeres Intervall u. s. f. 

Was die Convergenz dieses Verfahrens betrifft, so können 
wir uns darüber folgendermaassen vergewissern. Wir setzen 
nach (6): 

^ ^ /3 - « - ^^""'^''^ - (ß- a)f{ß) {/{ß) -f{a)\ 

Zähler und Nenner sind hier durch {ß — a)- theilbar, und 
wenn wir den gemeinsamen Factor (ß — oc)'- wegheben und ^, t] 
für a, ß setzen, so erhalten wir einen Ausdruck von der Form 

worin t^i und 1^2 ganze rationale Functionen der beiden Variablen 
I, ri sind. 

Ist X die im Intervall («, ß) gelegene Wurzel, so werden die 
beiden Functionen t^j und t^g nach unseren Voraussetzungen 
über f{x) nicht gleich Null, wenn 

(8) « ^ ^ < a,-, X <7i ^ ß. 

Die Function O (|, ri) ist für | = cc , 7j = /3, aber aucli für 
jedes andere Werthpaar in dem Intervall (a, /3), wofür /(|) 
negativ, / (7/) positiv ist, kleiner als 1, da jedes solche Intervall 
(^, rf) an Stelle von (a, ß) genommen werden könnte. 

Da nun ^(|, t]) eine stetige Function der beiden Veränder- 
lichen I, ri ist, so lange diese in dem Bereich (8) bleiben, so 
muss in diesem Bereich die Function ^(|, »/) einen Maximum- 
werth haben, und dieser muss kleiner als 1 sein, weil ^(|, ')]) 
auch noch in den Grenzfällen ^ = x^ ri = x kleiner als 1 bleibt. 

Es lässt sich also ein positiver echter Bruch ® angeben, 
so dass 

o (I, n)<® 

ist, so lange |, iq dem Bereich (8) angehören. Dann folgt aus (7) 

ß' - a' <{ß — a) &. 

Ebenso folgt, wenn wir auf dieselbe Weise von dem Intervall 
(«', ß') zu einem engeren Intervall (a", ß") fortschreiten, 



382 Zehnter Abschnitt. §. 117. 

ß" — «" < (ß' — «') 0', 

worin &' dieselbe Bedeutung für a\ ß' hat, wie & für «, ß. Da 
aber «', ß' dem Bereich (8) angehören, so ist 0' nicht grösser 
als und statt 0' kann auch & gesetzt werden. Es folgt also: 

ß" _ «" < (ß — «) &\ 
und so schliessen wir weiter 

^(.) _ «(v) < (/3 — a) ®\ 

Die Intervalle nehmen also mindestens so stark ab, wie die 
Glieder einer fallenden geometrischen Progression. 
Als Beispiel, mag die Gleichung dienen: 

^s _ 2 ä;2 — 2 = 0, 

die eine Wurzel zwischen 

a == 2,25 und ß = 2,36 
hat. 

Man erhält aus den Formeln (4) für 

ß' = 2,35931 . . ., cc' = 2,359298 . . ., 

so dass ein in der vierten Decimale genauer Werth der Wurzel 

2,3593 

ist. Für diesen Werth selbst ist, wie eine genauere Rechnung 
ergiebt, f{x) noch negativ, so dass er für a' genommen werden 
kann. Der nächste Schritt der Annäherung ergiebt 

2,359304. 

Auf demselben Princip, das der Newton'schen x'\.uflösungs- 
methode zu Grunde liegt, beruhen auch die Methoden von 
W. G. Homer und Joseph Hörn er, die wir hier nur erwähnen 
können. Bei beiden ist das Ziel eine zweckmässige Anordnung 
der Rechnung, und, besonders in der ersten, ein dem dekadischen 
Zahlensystem angepasster Algorithmus, nach Analogie der 
Divisionsregeln der niederen x\rithmetik. Ein schnelles und 
sicheres Rechnen nach diesen Methoden erfordert viel Uebung ^). 



1) W. G. Homer, A new method of solviug uumerical equations of 
all Orders, by continuous approximatiou. Communicated by Davies Gilbert. 
Philosophical Transactions 1819. Joseph Homer, Approximation to 
the roots of algebraic equations in a series of aliquot parts. Quarterly 
Journal of Mathematics, Vol. III, 1860. 



i 



§. 118. Bernoulli'sche Näheruugsmethode. 383 

§• 118- 

Die Näheruu gsmetliode von Daniel Bernoulli und 
verwandte Methoden. 

Die Methode zur genäherten Auflösung einer Gleichung, die 
von Daniel Bernoulli herrührt i), beruht darauf, dass, wenn 
man eine Reihe reeller Grössen hat, die Potenzen der grössten 
unter ihnen um so mehr die gleich hohen Potenzen der übrigen 
überwiegen werden, je höher die Potenzen sind. 

Sind a, ß, y . . . beliebige reelle oder complexe Grössen, 
so jedoch, dass der absolute Werth von a grösser ist, als der 
absolute Werth aller übrigen, dass also die absoluten Werthe 
der Brüche ß-.a.y.a... echte Brüche sind, so ist 

«'" 4- ß'" -|- y»' 4- . . . 

^ „m-l _|_ ßm — 1 1 ym — 1 -U . . . 



1 



a 



©■"+(! 



/+(§r+(0"""+--- 

und je grösser m wird, um so mehr wird sich dieser Ausdruck 
wie die zweite Darstellung zeigt, der Grenze a nähern. 

Sind «. /3, 7 . . . die Wurzeln einer algebraischen Gleichung, 
so ist die linke Seite von (1) der Quotient der m^^" und (m — l)*en 
Potenzsumme, und wir erhalten also den Satz: 

Der Quotient der w«*^"" und (ni — l)**"" Potenz- 
summe nähert sich mit wachsendem m der absolut 
grössten unter den W^urzeln. 
Nimmt man m negativ an. und setzt « absolut kleiner als 
/3, y . . . voraus, so folgt auf die gleiche Weise: 

Der Quotient der — w"'" und — (w. + 1)*^° 

Potenzsumme nähert sich mit wachsendem ni der 

absolut kleinsten unter den Wurzeln. 

Da man die Potenzsummen als symmetrische Functionen 

durch die Coefficienten berechnen kann, so braucht man nur ein 

hinlänglich grosses m zu nehmten, um einen angenäherten Werth 

der absolut grössten und absolut kleinsten Wurzel zu erhalten. 



^) I). Bernoulli, Commentationes Petropolitanae. Bd. III. 



384 



Zehnter Abschnitt. 



§• 118. 



Wenn aber unter den Wurzeln der Gleichung solche vor- 
kommen, die denselben absoluten Werth haben, und dieser der 
grösste oder der kleinste ist, so ist diese Methode nicht anwend- 
bar, also z. B. nicht auf reelle Gleichungen, bei denen ein Paar 
imaginärer Wurzeln vorkommt , das die reellen an absolutem 
Werth übertrifft. 

Wenn aber die grösste Wurzel zwar einzeln vorkommt, aber 
die nächstfolgende nicht viel übertrifft, so wird das Verfahren 
nur langsam einige Genauigkeit geben. 

Jacob i hat die Bernoulli'sche Methode nach einer Rich- 
tung ergänzt i). 

Nehmen wir an, es seien 

unter den Wurzeln a^i, x^, . . ., ar„ solche, deren absolute Werthe 
grösser sind, als die absoluten Werthe der folgenden aj^ + i, x^^i^ 
. . ., Xn und setzen 

Vm = a?»' + a;;'f H y Xu 



(2) 



so werden, wenn wir 

(3j {x — x^) {ii: — x^ .. . ix: — iCfc) ^ x^ -|- JLi x^-^ -) — • -\- A-^ 
setzen, die Coefficienten J.^, A^, . , . , ^^. den Gleichungen genügen 



(4) 



_Pm + 2fc-lH-i3)n + 2/c-2^l -)-i?m + 2^-3^ H hi^'» + fc-1 A = 0. 

Wenn man den Gleichungen (4) noch die Gleichung 

x^ -\- Ayx^-^ + A^x^-'' -] h ^fc = 

zugesellt und die Ai, A-,, . ■ .-, Ajc eliminirt, so ergiebt sich die 
Gleichung k^^^ Grades 



= 0, 



x^, 


r-fc — 1 


. . 1 


Pm + fc, 


Pin + fc — 1, • 


• • Pm 


jPm + fc + li 


i?m + k, 


• ■ Pm + 1 



Pm + 2k — li Pm-!r2k — 2i • ' 'Pm + k — l 



1) Observatiunculae etc. Werke, Bd. 3, S. 280. 



§. 118. Bernoulli'sche Näherungsmethode. 385 

deren Wurzeln x^, Xi, . . -^ x^ sind. Die Grössen Pm, Pm + ii • • ., 
können aber mit um so grösserer Genauigkeit durch die ent- 
sprechenden Potenzsummen aller Wurzeln ersetzt werden, je 
grösser m ist. 

So bekommt man z. B. für Je z= 2: 

2 1 PmPm + 3 Pm + TiPm + 2 , P'm + 2 Ihn + lPm + 3 ^ 

Pm + 1 — PmPm + 2 P»« + 1 PmPm^2 

eine Gleichung, die man anwenden kann, wenn bei einer reellen 
Gleichung ein Paar conjugirter Wurzeln den absolut grössten 
Werth haben. 

Wenn man die Bernoulli'sche Methode auf die Summe 
der negativen Potenzen anwendet, so erhält man, wie schon 
bemerkt, eine Annäherung an die absolut kleinste Wurzel. Man 
kann aber, durch Verlegung des Anfangspunktes, jede Wurzel 
zur absolut kleinsten machen , wozu freilich die Kenntniss eines 
bis zu einem gewissen Grade genäherten Werthes nöthig ist. 

Eine Formel, die für alle Fälle ausreicht, hat Fr. Meyer 
gegeben i). Es seien «i, «2, «3, . . ., «„ die Wurzeln der Gleichung 
f[x) = 0, die reell oder imaginär sein können. Man suche einen 
Punkt p in der a;-Ebene, so dass sich um p als Mittelpunkt ein 
Kreis beschreiben lässt, der nur einen der Punkte «1, Wg, . . ., a„ 
enthält, etwa den Punkt a, , dass also die absoluten Werthe von 

{^\ P ~ "1 P — "1 P — ^ 

\ ) , , . . . , 

P «2 P «3 P — «n 

echte Brüche sind. Solche Punkte existircn immer; sie müssen 
nöthigenfalls nach der Sturm'schen Methode gefunden werden. 
Wählt man ausserdem noch eine beliebige Function qp (a;), die 
mit f{x) keinen gemeinsamen Theiler hat, z. B. (p{x) = 1, und 
bildet die symmetrischen Functionen 

Ui(p (ai) a^(p{u.2) . . a„<jp(«„) 

-r tt; :r^ -r • • • i 



(ß) y = (j9 — «,)»' ^ (/) — «,r ' (P — ^-n) 

qP(«l) I <5P(«2) I , ^'(«nj 



(p — «,)'" (P — «2)'" (P — ««)'" 

so nähern sich diese mit wachsendem m der Grenze «i, und zwar 
um so schneller, je kleiner die absoluten Werthe der Brüche (.5) 
bereits sind. 



') Mathematische Annalen, Bd. 33. 

Weber, Algebra. I. 25 



Vm = 



380 Zehnter Abschnitt. §. 119. 

Die Richtigkeit hiervon zeigt sich sofort, wenn man die 
Formel (6) in der Weise schreibt: 

Wir wollen schliesslich noch auf die neueren Untersuchungen 
von Fr. Cohn hinweisen, in denen diese Methoden der näherungs- 
weisen Lösung algebraischer Gleichungen weiter ausgebildet und 
auch nach der functionentheoretischen Seite hin untersucht 
sind 1). 



§. 119. 
Die Näherungsmethode von Gräffe. 

Auf einem ähnlichen Gedanken, wie die Bernoulli'sche 
Näherung, beruht auch ein Verfahren, das von Gräffe an- 
gegeben und von E n c k e weiter ausgebildet ist 2) , und das sich 
besonders zu einer praktischen Durchführung der numerischen 
Rechnungen eignet. 

Sind, wie oben, a, ß.y . . . die Wurzeln einer Gleichung und 
ist « die absolut grosste unter ihnen, so dass keine der anderen 
der Wurzel « an absolutem Werth gleichkommt, so hat 



(i) lj7«'" -^ ß'" + y"" -\- ■ ■ • 

mit unbegrenzt wachsendem ni den Werth cc, zur Grenze; es ist 
sogar die Convergenz gegen a noch besser, als bei dem im 
vorigen Paragraphen betrachteten Quotienten 

«»" 4- /i"* -|- J"*" 4- • • • 

wie man erkennt, wenn man nach dem verallgemeinerten binomi- 
schen Lehrsatz: 



^) Fr. Cohn, Ueber die in recurrirender Weise gebildeten Grössen 
und ihren Zusammenhang mit den algebraischen Gleichungen. Mathe- 
matische Annaleu, Bd. 44 (1894). 

2) Gräffe, Die Auflösung der höheren numerischen Gleichungen, 
als Beantwortung einer von der Berliner Akadamie gestellten Preisfrage, 
Zürich 1837. Encke: Crelle's Journal, Bd. 22 (1841). 



§. 119. Gräffe'sche Näherungsmethode. 387 






setzt. 

Die absolut kleinste unter den Wurzeln erhält man nach 
demselben Princip als Grenzwerth von 

(2) 



T/-L + -L + -L + . . . 

und wenn ^ ein beliebiger Werth ist, so erhält man die dem 
Werth ij am nächsten liegende "Wurzel als Grenzwerth von 

(3) p -\ ^ 



Wenn man die Gleichung f{x) durch die Substitution 

1 1 

y = —^ V 



X X — p 

transformirt , so gehen die Ausdrücke (2), (3) aus dem Ausdruck 
(1) hervor, auf den wir uns daher jetzt beschränken wollen. 

Wendet man die Formel (1) auf eine reelle Gleichung an, 
so ist «"• -\- ß'"' -\- y^^ -\- • • • eine reelle Zahl; und wenn die 
absolut grösste Wurzel a reell ist, so ist auch die m*« Wurzel 
reell zu nehmen. Ist aber m eine gerade Zahl, so muss man, 
um über das Vorzeichen zu entscheiden, noch wissen, ob a positiv 
oder negativ ist. Nöthigenfalls wird darüber durch Einsetzen 
des gefundenen Näherungswerthes in die gegebene Gleichung 
entschieden. 

Ebenso wird man, wenn man die Formel (1) auf eine ima- 
ginäre Gleichung anwendet, entscheiden müssen, welche der ver- 
schiedenen 7)1^^^ Wurzeln die richtige Annäherung giebt. 

Die Ausdrücke 

s,„ = «'" -f /3'" 4- y» + . . . 

lassen sich besonders einfach dann berechnen, wenn man für m 
die auf einander folgenden Potenzen von 2, also m ^ 2, 4, 8, 16 . . . 
setzt, und liefern dann sehr gute Resultate. 

Es ist S.2 der negative Coefficient der {n — 1)*®"^ Potenz der 
Unbekannten in der Gleichung, deren Wurzeln die Quadrate der 

25* 



388 Zehnter Abschnitt. §. 119. 

Wurzeln von f{x) sind. Diese Gleichung wird aber leicht auf 
folgende Weise gebildet. 

Man fasse in f{x) die Glieder mit geraden und mit ungeraden 
Potenzen von x zusammen und setze demnach 

f{x) z= cp{x^) + xip{x^). 

Es ist dann 

/i {x) = (fixY — xi\>{xy- = 
die Gleichung, deren Wurzeln die Quadrate der Wurzeln von 
fix) sind. Behandelt man /i (a;) ebenso, so erhält man eine 
Gleichung, deren Wurzeln die vierten Potenzen der Wurzeln von 
fix) sind u. s. f. 

Die Ausführung dieser Piechnung ist sehr einfach und führt 
oft nach wenigen Schritten zu einer guten Näherung. 

Wir betrachten einige Beispiele. 

Zunächst nehmen wir die Gleichung 

(4) a;3 _ 2 a; — 2 = 0, 

die eine reelle positive und zwei imaginäre Wurzeln hat. Die 
reelle Wurzel ist grösser als 1,7, und da das Product aller drei 
Wurzeln gleich 2 und (1,7)3 > 2 ist, so ist der absolute Werth 
der beiden imaginären Wurzeln kleiner als die reelle W^urzel. 
Also ist die reelle Wurzel die absolut grösste und die Gräffe'- 
sche Näherungsmethode muss auf sie führen. Man bekommt nun 
die Gleichungen, deren Wurzeln die zweite, vierte, achte... Potenz 
der Gleichung (4) sind: 

x"" — 4a;2-f- ^x — 4 = 

x-' — 8ä;2 — 16:c — 16 = 

x- — 96rr^ — 16-^ = 

und 

X = 1/^96 = 1,7692 . . . 

ist bereits ein in den vier ersten Decimalen genauer Werth. 
Der nächste Schritt würde kein anderes Piesultat ergeben (weil 
die erste Potenz der Unbekannten in der letzten Gleichung fehlt); 
aber der darauf folgende ergiebt den in der sechsten Decimale 
genauen Werth 

32 



X = V85032960 = L769293 . . . 

Wir wollen noch ein zweites Beispiel einer Gleichung fünften 
Grades betrachten, das Gelegenheit bietet, mehrere der Sätze 
des vorigen Paragraphen anzuwenden. Das Beispiel ist, wie die 



§. 119. Gräffe'sche Näherungsmethode. 389 

früheren, der Theorie der complexen Multiplication der ellipti- 
schen Functionen entnommen. Es ist die Gleichung fünften 
Grades 

(5) a;-' — x-^ — 2x^ — 2x — l =0. 

Wir leiten daraus die Gleichung ab, deren Wurzeln die 
Quadrate der Wurzeln von (5) sind, indem wir in 
(a;5 _ a;3 _ 2xy — (2a;2 4- 1)2 = 
x^ durch X ersetzen. Dies giebt 

(6) ^5 _ 2 a;^ — 3 ä;3 — 1 = 0, 

und wenn wir dasselbe Verfahren zunächst noch zweimal anwenden, 
so erhalten wir die Gleichungen, deren Wurzeln die vierten und 
achten Potenzen der Wurzeln von (5) sind: 

(7) x'> — lOx^ -\- 9x^ — ix-^ — 1 = 0, 

(8) x'^ — S2x* -\- x'^ — 3ßx^- — 8x — l = 0. 

Die letzte dieser Gleichungen eignet sich zur Discussion. 
Sie hat nach dem Cartesischen Lehrsatz (§. 109) wenigstens eine 
positive Wurzel ; und da die linke Seite von (8) für x =: l 
negativ ist (= — 125), während sie für ein unendlich wachsen- 
des X positiv wird, so hat (8) eine reelle Wurzel, die grösser 
als 1 ist. 

Wenn wir für die Gleichung (8) die in dem Newton'schen 
Kriterium (§. 109) vorkommenden Functionen 

1, 4 a/ — lOttu«.,, 6«! — 12 üitts 
6a.f — 12 «2 ^4 1 4 af — 10 a^ «5 , 1 
bilden, so erhalten wir die Vorzeichen 

+ + - + - + 
und (8) hat also nach §. 109, Lehrsatz VIII. vier imaginäre 
Wurzeln. Die positive Wurzel ist jedenfalls grösser als 1, da die 
linke Seite von (8) für a: = und x = l negativ ist. 

Um niin zu entscheiden, welche der Wurzeln den grössten 
absoluten Werth hat, wollen wir in (8) x = l : 2 setzen, und 
dann nach §. 103, 104 untersuchen, wie viele Wurzeln im Inneren 
des Einheitskreises in der ^-Ebene liegen. Setzen wir also in 

^5 _[_ 8^* + 36^3 _ ^2 _|- 82^ — 1 

z = cosO- -|- i sin 'S-, so erhalten wir den reellen und imaginären 
Theil : 



390 Zehnter Abschnitt. §. 119. 

(p = cos 5 -O- -f 8 COS 4 ^ -|- 36 COS 3 -Ö- — cos 2 -O- -f 82 cos '& — 1 
t/; = sin 5 ^ 4- 8 sin 4 ^ + 36 sin 3 'S- — sin 2 ^ + 82 sin ». 

Es lässt sich nun zeigen, dass ip positiv ist, wenn < d^ < 7t 
und folglich negativ, wenn > d- > — tt, dass also der Einheits- 
kreis in zwei Segmente getheilt ist, in denen i^ entgegengesetzte 
Vorzeichen hat. Daraus folgt nach §. 113, XI., dass im Inneren 
des Kreises nur eine Wurzel liegen kann, und dies ist die reelle 
Wurzel, während die imaginären W^urzeln ausserhalb liegen. Es 
folgt dann daraus für die Gleichung (8), dass die reelle Wurzel 
den grössten absoluten Werth hat, und dass also dieser durch 
die Gräffe'sche Methode gefunden wird. 

Um nun diese Eigenschaft der Function tl^ nachzuweisen, 
setzen wir 2cos'9' = ^, und wenden die goniometrischen For- 
meln an: 

sin 5 ^ = sin & (1* — 3 |2 -f- 1) 
sin 4 ^ = sin d- (^-^ — 2 |) 
sin 3 ^ = sin d- (|2 _ i) 
sin 2 O- = sin & |. 
Dadurch erhalten wir 

1/. = sin ^ [^^ _!- |2 (8 1 -f 33) + (47 - 17 |)], 

woraus man sofort sieht, dass der Factor von sin-O- positiv bleibt 
so lange ^ zwischen — 2 und -j- 2 liegt. 

Die Gleichung (8) giebt nun selbst schon einen ziemlich 
guten Näherungswerth für die reelle Wurzel 

X = "^82 = 1,73471. 

Ein genauerer Werth, den man erhält, wenn man noch zwei 
Schritte weiter geht, ist 1,73469, der in der fünften Decimale 
noch richtig ist. 

Eine Einschliessung der gesuchten Wurzel in zwei Grenzen 
giebt diese Methode nicht. Das Kennzeichen, ob ein genügender 
Grad von Genauigkeit erreicht ist, besteht darin, dass, wenn .s„, 
Su' zwei auf einander folgende, zur Berechnung benutzte Potenz- 
summen der Wurzeln sind, diese sich mit genügender Genauigkeit 
verhalten, wie die /it*^ zur ft'^'^'^ Potenz einer Grösse, oder dass 
annähernd 

filog Su' — i^'logs,^ = 
ist. Man muss aber diese Prüfung bei mehreren auf einander 



§. 120. Cubische Gleichungen. 391 

folgenden Gliedern vornehmen, da in besonderen Fällen diese 
Relation scheinbar erfüllt sein kann und bei der späteren Rech- 
nung wieder aufhört. 



§. 120. 

Trigonometrische Auflösung cu bischer 
Gleichungen. 

Wir besprechen nun noch einige auf Gleichungen von 
speciellen Formen anwendbare Methoden der numerischen Auf- 
lösung. Das Ziel dieser Methoden ist, die allgemein verbreiteten 
Tafeln der trigonometrischen Functionen und der Logarithmen 
für die Auflösung von Gleichungen nutzbar zu machen. Wir 
wenden uns zunächst zur Betrachtung der cubischen Gleichungen, 
die wir immer in der reducirten Form 

(1) X-' -\- ax -^h = 0) 

annehmen, worin a und h reelle Zahlen sind. Da die Ver- 
tauschung von X mit — x gleichbedeutend ist mit der Ver- 
tauschung von h mit — 6, so können wir uns auf die Annahme 
beschränken, dass h negativ sei, und es bleiben dann noch drei 
verschiedene Fälle zu betrachten. Wir setzen 6 = — g und, je 
nachdem a positiv oder negativ ist, a = ^ e. Dann haben wir 
a) x'^ -{- ex — ^ = 

h) x^ — ex — <j = 0, It < "^ 

^ ■> A e^ g^ . 

c) X'' — ex — g = 0, _ > :^ . 

Die Grenzfälle, dass eine der Grössen e, (/, 4e"' — 27 g- ver- 
schwindet, schliessen wir aus. 

Um die Cardanische Formel anzuwenden (§.38), setzen wir 

wo das obere Zeichen im Falle a), das untere in den Fällen ]/) 
und c) gilt. In den Fällen a) und b) ist nur eine Wurzel reell. 
in dem Falle c) (dem Casus irreducibilis) sind alle drei Wurzeln 
reell. Die Cardanische Formel giebt 

(3) ^=\/£+VM+ y\ - vii. 



392 Zehnter Abschnitt. §. 120. 

"Wir verfahren nun so in den drei Fällen: 
a) Wir führen eiiien Winkel d' ein, den wir zwischen 0" und 
90" wählen können, durch die Gleichung: 



(4) |=\/|^cotg*, 



also 



VR= \/^ ^ 



27 siu'^' 



e (W . . , 1 , V/ . . 1 



^ = y ^\y cotg^ + --^ 4- U cotg^ - -. 



SVK "^ ' sin ■9- ' K * sin O- 



= VI(F-^-F'4> 



und wenn wir noch einen Winkel ff aus 

'S- 
(ö) tg- = tgg)» 

bestimmen, so ergiebt sich 



(6) :r = 2 ^1 cotg2^. 

Die Winkel -ö", g? und zuletzt x findet man aus den logarith- 
misch trigonometrischen Tafeln nach den Formeln (4), (5j, (6). 

Um die imaginären Wurzeln zu erhalten, ersetzt man tgg? 
durch 9 tg qp , wenn q eine imaginäre dritte Einheitswurzel 
bedeutet. 

bj Im zweiten Falle bestimmen wir den Winkel O', gleich- 
falls im ersten Quadranten, aus 

(7) ^ = \I^-J^ 
^ ' 2 K 27 sin^ 

yi2 = y|^cotg^ 



e fV/ . & , \V, ^ 



^= KT VK''*«T+ i/^^27' 
(S) ig- = tgq>\ 

(9) X —- ^ 




3 sin 2 (p 

c) Im letzten Falle endlich, wo drei reelle Wurzeln vor- 
handen sind, setzen wir 



§. 121. Trinomische Gleichungen. 393 

(10) | = y|:eos* 



X = W — (]/^cos d- -j- i sin d- -\- Ifcos-O- — ^sinfO-), 
oder nach dem Moi vre 'sehen Satze: 

fllj X = 2 y -^ cos — ^. 

Nimmt man 0- wieder im ersten Quadranten, so erhält man 
für die beiden anderen gleichfalls reellen Wurzeln 

e n -\- d- r.\ / e n — Q- 

cos — , — 2 \/ -r- cos 



3 3 ' K 3 3 

Alle diese Formeln sind für die logarithmische Rechnung 
eingerichtet. 



'O^ 



§. 121. 

Die Gauss'sche Methode der Auflösung trinomischer 

Gleichungen. 

Gauss hat eine Methode angegeben, um die Wurzeln einer 
Gleichung, die nur drei Glieder enthält, in einfacher Weise 
numerisch aufzulösen. Solche Gleichungen kommen häufig vor 
und umfassen als Specialfälle alle quadratischen und die redu- 
cirten cubischen Gleichungen. 

Es wird zunächst von einer solchen Gleichung, deren all- 
gemeine Form 

(1) a;'" + " -\- ax»" -(- & = 

ist, nur die positive Wurzel, wenn sie existirt, gesucht. Die etwaige 

negative ergiebt sich, wenn man x durch — x ersetzt. 

Nach den Vorzeichen von a, h hat man drei Fälle zu unter- 
scheiden, da, wenn beide Vorzeichen positiv sind, keine positive 
Wurzel vorhanden ist. Wir betrachten also, indem wir mit e 
und (j positive Zahlen bezeichnen, die drei Fälle: 

a) a;'» + " -j- ex"' — r/ = 0, 

c) X'"- + " — e X'"- -[- ^ = 0. 



394 Zehnter Abschnitt. §. 121. 

n den beiden ersten Fällen haben wir nach dem Cartesi- 
sehen Lehrsatz je eine positive Wurzel, im dritten können zwei 
oder keine positive Wurzel vorhanden sein. 
Wir setzen nun mit Gauss 



g»n + n ' 



und suchen die drei Gleichungen a), b), c) durch passende Sub- 
stitutionen auf die Form: 

sin2 -\- cos2 0=1 
zurückzuführen. Wir setzen : 

^m + n _ g^m siu 02 '" 

a) = sm 02, = cos 02, A = ^„^^„„ , 

■' g 9 COS02'" + 2m' 

sin 02" 
(2) h) gx—^— = ^m®\ ea:-"=cos02, l = —^^^—^^ 

c) — = sin 02. ^— — = cos 02, l = sin 02 »'cos 02«. 

Die letzte Gleichung ergiebt die Unterscheidung der beiden 
Fälle, in denen die Gleichung c) zwei oder keine positive 
Wurzel hat. 

Man erhält nämlich für das Maximum von sin 02"' cos 02" 
nach den Regeln der Differentialrechnung 



{m 4- w)"' + "' 

das für tg 02 = m : n erreicht wird. Wenn also X unter dieser 
Grenze liegt, so haben wir in c) zwei reelle Wurzeln, sonst 
keine. In den Formeln (2) ist A eine gegebene Grösse, und man 
hat nun aus den Tafeln den Winkel zu suchen, der diesen 
Gleichungen genügt. Wenn man noch gar keine Kenntniss über 
die ungefähre Lage dieses Winkels hat, so ist es zweckmässig, 
für die erste Annäherung eine etwa von Grad zu Grad fort- 
schreitende, auf zwei Decimalen abgekürzte Tafel zu benutzen, 
um den so gefundenen Werth mit Hülfe genauerer Tafeln zu 
verbessern. 

Gauss benutzt nicht die trigonometrischen Tafeln, sondern 
die von ihm zuerst eingeführten Additions- und Subtractions- 
Logarithmen. Wir wollen dies an einem der Fälle in der Kürze 



§. 121. Trinomische Gleichungen. 395 

zeigen. Die Einzelheiten für die praktische Anwendung der 
Methode sind in der Gauss'schen Abhandlung zu suchen i). 

Die Tafeln der Additions- und Subtractions- Logarithmen, 
wie sie zuerst von Gauss eingeführt und berechnet sind, und 
wie sie sich jetzt auch in den gebräuchlichen Tabellenwerken 
finden, geben zu drei Zahlen, die grösser als 1 sind: 

a, 6 = 1-! , c = 1 -\- a, 

' a 

die Brigg'schen Logarithmen: 

Ä, B, a 

Ist ein Winkel im ersten Octanten, so kann man setzen: 

(3) a = cotg 02, i = _i c = ---^, < < 45°, 
^ "^ * cos &- sm 02' 

und wenn im zweiten Octanten liegt: 

(4) a = tg 02, b = -^^— , c = — ^— , 45" < < 90°. 
^ -^ ° sin 02' cos 02 

Wir wollen dies auf den Fall b) anwenden; dabei ist zu 
unterscheiden, ob A kleiner oder grösser als 2'" ist, weil davon 
abhängt, ob im ersten oder zweiten Octanten liegt. Es sind 
also wieder zwei Fälle zu unterscheiden: 

a) A < 2'», 

Jjin />m Tjtn + n 

Ö" ~~ «"* + » C" ' 

ß) l > 2"\ 

f.in + n 

l = a'" + "&"' = a^C" := — ; — , 

-^ ' ' ea 

Im Falle «) würde man also 

(6) log k = tnB — n Ä 

setzen und danach aus der Tafel die zusammengehörigen Werthe 
von Ä und B aufsuchen. Hat man diese gefunden, so ergiebt sich 

(7) mlogx = Ä -\- \ogg — löge. 



1) Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen , zweite Ab- 
theilung (1849). Gauss Werke, Bd. III, S. 85. 



396 



Zehnter Abschnitt. 



§. 121. 



Um den Ge])rauch dieser Formeln an einem Beispiel zu 
erläutern, wollen wir die Gleichung betrachten: 

a;3 — 2x — 2 = 0, 
also e ^ ^ = 2, w = 1, m := 2, >l = | setzen. Die Formel (6) 
giebt also 

(8) 2A — B = 0,3010300 
und (7) 

(9) loga; = A. 

Um den ersten Näherungswerth von A zu finden, benutzt 
man einen kleinen Auszug aus der Tafel: 

A = 0, B = 0,301 

A = 0,1, B = 0,254 

A = 0.2, B = 0,212 

A = 0,3, B = 0,176 
Es ergiebt sich daraus: 



A 



2A — B 



Fehler 



0,2 ! 0,188 —0,113 

0,3 0,424 +0.123 

Man kann hierauf die Interpolationsmethode anwenden, um 
einen genaueren Werth von A zu erhalten, indem man den 
Gesammtfehler von 0,236 nach Verhältniss der Theilfehler auf 
beide Werthe von A vertheilt, also 

0,1 



0,2 + 



setzt. 



0,236 



0.113 



0,247 



Mit Hülfe einer siebenstelligen Tafel von Zach erhält man nun- 



A B \ 2A B 

1 1 


Fehler 


0,247 0,1948581 0,2991419 
0,248 0,1944969 0,3015031 


0,0018881 
-f- 0,0004731 



und durch abermalige Anwendung der Interpolation 

A = 0,2477996 
oder 

X = 1,769292. 

Eine etwas andere Anordnung der Rechnung ist den neuer- 
dings erschienenen ..Tafeln zur Berechnung der reellen Wurzeln 
sämmtlicher trinomischer Gleichungen" von Gundelfingen 
(Leipzig 1896j zu Grunde gelegt. 



§. 122. Imaginäre Wurzeln. 397 

Dort wird z. B. die Gleichung b) in die Form gesetzt 



Ist dann 



so folgt 



= — ic'« 4- 1. 

9 9 

=10^, - a;'« = 10^, 

9 9 



(10) 1 + 10^ = 10^ 

und 

,11) ^ ,^^ B+'\<>s<J ^ A + \<,z9-\«Se 

m -\- n m 

also 

(12) Ä ^ B = löge ** — logg. 

Die Tafeln von Gund elfin gen enthalten nun ausser den 
zusammengehörigen Werthen von A, B noch die Werthe von 
A — ^B für ein echtgebrochenes ^ von ^i = 0,05, ^ = 0,1, 
^ = 0,15, . . ., so dass man, wenn man die rechte Seite von (12) 
berechnet hat, aus der Tafel direct genäherte Werthe von 
A^ B findet, die dann nach (llj genäherte Werthe von logo; 
ergeben. 

Die Methode von Gauss ist auch auf Gleichungen mit mehr 
als zwei Gliedern ausgedehnt worden i). 



§• 122. 

Berechnung der imaginären Wurzeln einer 
trinomischen Gleichung. 

Gauss hat auch für die Berechnung der imaginären Wurzeln 
einer trinomischen Gleichung ein Verfahren angegeben, das wir 
hier noch kurz besprechen wollen. Wir machen die Annahme 
reeller Coefficienten , obwohl die Methode auch auf den allge- 
meinen Fall anwendbar ist. Wir wollen die Gleichung in die 
Form setzen: 

(Ij x"' + '' — ex'" — (/ = 0, 

brauchen uns aber hier niclit auf positive Werthe von e und g 
zu beschränken. 



1) A. Wiener, Schlömilch's Zeitschi ift, Bd. 31. R. Mehmke, ebenda, 
Bd. 36. 



398 Zehnter Abschnitt. §. 122. 

Wir setzen 

X = re'^^, 

und erhalten, indem wir den imaginären Theil in fl) für sich 

Null setzen, 

e sin m d- 

' sm (w -|- ^J '^ 

solcher Gleichungen erhalten wir aber noch zwei, wenn wir (1) 
mit :<;—'" und mit a:— '"""" multipliciren. Dies giebt 



{?.) 



»•n + rix 



— ^sin W'9' 



sin wO" 



(4) r»» = • ^ , 

^ ' e sin n -O- 

und von diesen drei Gleichungen folgt jede aus den beiden 
anderen. Wenn man r aus zwei von ihnen eliminirt, so ergiebt 
sich, wenn, wie oben > 

gesetzt wird, 

, , sin«'^'" sinmO-"* 

^' ' ' sin (w + wj '§•" + '« 

Man kann, da man von den beiden conjugirten Wurzeln 
nur die eine zu berechnen braucht, ^ auf den ersten Quadranten 
beschränken, muss aber dann unter Umständen auch r negativ 
annehmen. 

Wie man nun aus der Formel (5) mittelst der trigono- 
metrischen Tafeln den Winkel ■O- und dann aus einer der drei 
Formeln (2), (3), (4) den zugehörigen Werth von r berechnet, 
das wollen wir nun an dem vorhin betrachteten Beispiel 

a;o _ 2 a; — 2 = 
noch nachweisen. 

Hier wird die Gleichung (5) 

1 _ sin 2 ^»2 sin % 

^^ "2 "" sin 3 ^3 ' 

oder 

(7) 3 log sin 3 ^ — 2 log sin 2 -^ — log sin % = 0,3010300, 
woraus zunächst ersichtlich ist, dass der Winkel d- in dem Inter- 
vall von bis 60" liegt. Man findet zunächst nach wenigen 
Versuchen, dass -O- zwischen 33° und 34'' liegt, und wenn man 
dann für diese beiden Werthe die Differenz 
(8j 3 log sin 3 -^ — 2 log sin 2 -^ — log sin d- — 0,3010300 



§. 122. Imaginäre Wurzeln. 399 

berechnet, so erhält man zunächst auf drei Decimalen 

0,026, — 0,013, 
und hieraus ergiebt sich durch Interpolation der genauere Werth 

& = 33040'. 

Hierauf berechnet man die Differenz (8) mit etwas grösserer 
Genauigkeit, etwa auf fünf Stellen für einige Winkel in der 
Nähe der Werthe 30^40', von Minute zu Minute fortschreitend, 
und findet aus der Vorzeichenänderung, dass d- zwischen 

330 41' und 33042' 
liegt. Wenn man nun für diese beiden Werthe die Rechnung auf 
sieben Stellen durchführt, so ergiebt sich wieder durch Inter- 
polation der genauere Werth 

^ = 330 41' 20,6". 
Aus den Formeln (3) oder (4) sieht man, dass hier r negativ 
ist, und man erhält r sehr einfach aus einer dieser Gleichungen. 
Man findet die Brigg' sehen Logarithmen: 

log (—rj = 0,0266148 
log cos -O- = 9,9201547 — 10 
log sin ^ = 9,7440468 — 10. 
Also sind die beiden imaginären Wurzeln: 
— 0,884646 ± 0,.589740«. 



Elfter Absclmitt. 
Zettenbrüche. 



§. 123. 
Verwandlung rationaler Brüche in Kettenbrüche. 

Wenn man eine natürliche Zahl m durch eine andere n 
nach den gewöhnlichen Regeln dividirt, so erhält man einen 
Quotienten und einen Rest, der positiv und kleiner als der 
Divisor n ist. Bedeutet a den Quotienten und r den Rest, so ist 

(1) m ^= an -{- r. 

Alle Zahlen w, m', m". . . ., die denselben Rest geben, heissen 
restgleich oder congruent nach dem Modul n^ und man 
drückt dies nach Gauss durch das Zeichen aus: 

(2) m ^ m' (mod. n). 

Eine solche Formel wird eine Congruenz genannt. 
Wenn wir also das System der Zahlen 

r = 0, 1,2,...,« — 1 

betrachten, so ist jede beliebige (positive oder negative) ganze 
Zahl m einer und nur einer von diesen Zahlen nach dem 
Modul n congruent. Dieselbe Eigenschaft hat aber auch jedes 
System von Zahlen 

S = Wo, »?!, ^2, . . ., nin-i, 

die so ausgewählt sind, dass unter ihren Resten alle Zahlen r 
(und jede nur einmal) vorkommt. Es ist dann jede beliebige 
Zahl m einer und nur einer der Zahlen s nach dem Modul n 



§. 123. Volles Restsystem. 401 

congruent. Ein solches Zahlensystem wollen wir ein volles 
Restsystem für den Modul n nennen. Ein solches volles 
Restsystem bilden z. B. bei ungeradem n die Zahlen 

Die Zahlen r heissen die kleinsten (oder kleinsten posi- 
tiven) Reste, die Zahlen q die absolut kleinsten Reste, 

Durchläuft s ein volles Restsystem für den Modul w, und 
hat a mit n keinen Theiler gemein, so durchläuft auch as ein 
volles Restsystem für denselben Modul. Denn wären unter den 
Zahlen as zwei verschiedene, as-^^ und Ǥ2, die denselben Rest 
geben, so müsste ihre Differenz a (Sj — Sg) durch n theilbar sein, 
und da a mit n keinen Theiler gemein hat, so müsste s^ — s.j 
durch n theilbar sein, was nicht möglich ist, wenn s^, Sg zwei 
verschiedene Zahlen eines vollen Restsystems sind. 

Um nun die in (1) angedeutete Division fortzusetzen, wollen 
wir wj, n, r durch m, m^ , m^ bezeichnen, und dann wieder den 
Quotienten und den Rest der Division von m^ durch m.^ mit 
«1, m^ u. s, f. Setzen wir ausserdem noch «q für a, so ergiebt 
sich eine Reihe von Gleichungen: 

m = ÖQ wi^ -|- Wg 

Wi = tti m-i -\- m-^ 

(3) Wa = a.2 Wg -|- W4 



die sich so lange fortsetzen lässt, als keiner der Reste ver- 
schwindet, d. h. so lange, als keine der Divisionen aufgeht. 

"Weil aber 

Wj > m-i > m:i > ■ • • 

ist, so rauss, da es nur eine endliche Anzahl von positiven Zahlen 
giebt, die kleiner als mi sind, nach einer endlichen Anzahl von 
Theilungen die Division aufgehen. Wenn m„ durch Wv + i theilbar 
ist, so ist w?v + i der grösste gemeinschaftliche Theiler 
von m und w^. 

Denn m^ + i ist dann nach den Gleichungen (3) Theiler aller 
vorausgehenden m,„ und umgekehrt ist jeder gemeinsame Theiler 
zweier benachbarter m^. auch Theiler aller folgenden, also auch 
von Wv + i. 

Weber, Algebra. I. 26 



402 Elfter Abschnitt. §. 123. 

Wenn daher m und nii ausser 1 keinen gemeinsamen Theiler 

haben (wenn sie also theilerfremd oder relativ prim sind), 

so muss niv^i = 1 sein, und wir können die Gleichungen (3) so 

darstellen : 

... m 1 m.2 

m-, , «?s Wv-i ,1 

— = a, -\ '-, ■ • •, = «►■-! H 

171.2 ^^h *W'' ^^i- 

Dies giebt die Entwickelung des Bruches m : Wj oder m : n 
in einen Kettenbruch. Wir erhalten successive 

._. m . 1 m . 1 

^ '' n mj n ' ,1 



«1 H — 

m.2 W2 



m.o 



und endlich 

(6) T = «0 + 



«1 + 



«2 + 



+ 



«v-l + 



1 



m,, 



wofür wir, des bequemeren Druckes wegen, auch 

m / wii\ m / m.2 

n \ m.y) n \ m. 

ni _ , . 

setzen. 

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken: Jeder positive 
rationale Bruch lässt sich in die Form m : n setzen, so dass m 
und n relativ prim sind, und daher können wir jeden solchen 
Bruch in einen Kettenbruch von der Form (6) oder (7) ent- 
wickeln. Auch für negative rationale Brüche gilt dies, wenn wir 
für die Zahl «o auch negative Werthe zulassen. Die aj, «25 • • -i d^v—i-, Wy 
sind aber auch dann positive ganze Zahlen. Diese Zahlen sind 
vollkommen und unzweideutig bestimmt. Nur in einer Beziehung 
steht uns noch eine Willkür offen. 

Es ist nämlich nach der bis jetzt getroffenen Bestimmung 
der letzte der Theilnenner mv grösser als 1, da wir angenommen 



§. 124. Irrationale Zahlen. 403 

haben, dass niv + i der erste unter den Resten sein sollte, der 
gleich 1 ist. Demnach können wir, wenn civ eine positive ganze 
Zahl ist, entweder 

mv = a,., 
oder 

Mv = «v + Y 

setzen und erhalten daher die zwei Darstellungen durch Ketten- 
brüche : 

I. Es lässt sich also jeder rationale Bruch in einen 
Kettenbruch entwickeln, der nach Belieben eine 
gerade oder eine ungerade Anzahl von Theil- 
nennern hat. 

Die in den Formeln (5) vorkommenden Zahlen 

nii Wo nis 

W2' Wg' W4' ' 

nennen wir die Schlusszahlen des Kettenbruches, die Zahlen 
«0, «1, «25 • • • sollen die Theilnenner heissen (obwohl a^ nicht 
eigentlich als Nenner auftritt). 

Ersetzen wir m durch eine nach dem Modul n congruente 
Zahl m', so unterscheiden sich die beiden Brüche m : n und 
m' : n nur um eine ganze Zahl; die Kettenbruchentwickelungen 
unterscheiden sich also nur in ihren ersten Gliedern a^. 



§. 124. 
Kettenbruchentwickelung irrationaler Zahlen. 

Wenn x eine reelle irrationale Zahl ist, so wird es immer 
eine und nur eine ganze Zahl a^ geben, so dass x zwischen cif, 
und ÜQ -\- 1 liegt, a^ ist positiv, wenn x grösser als 1 ist, Null, 
wenn x ein positiver echter Bruch ist, und negativ, wenn x 
negativ ist. Setzen wir also 

1 1 

so ist x-^ ein positiver unechter Bruch, also wenn «j die zunächst 
unter Xi gelegene ganze Zahl ist, a^ positiv. "Wir setzen 

26* 



404 Elfter Abschnitt. §. 125. 

_ , 1 

Xi — «1 -j — , 

U/2 

_ I 1 

Xo ■ — Clt) —r~ 1 

_ , 2_ 

^n — 1 ^n — 1 I 5 

SO dass a^i, a:,, . . ., Xn positive unechte Brüche, «i, a.^^ . . ., «„_i 
ganze positive Zahlen sind. 

Nach der Bezeichnung des vorigen Paragraphen ist also x 
gleich dem Kettenbruch 

{^(lOf eil; U21 • • -i ein — 15 Xn). 

Diese Kettenhruchentwickelung lässt sich aber, wenn x 
irrational ist, unbegrenzt fortsetzen, d. h, wir können n 
beliebig gross annehmen. Es entsteht der folgende aus dem 
vorangehenden dadurch, dass man 

_ , J_ 

Xn ein -p 

J^n + 1 

setzt. Auch hier nennen wir die ganzen Zahlen «oi <^n ^21 ••1 ^n—i 
die Theilnenner, Xn die Schlusszahl. 

Die Kettenhruchentwickelung der rationalen Zahlen ist als 
Specialfall darin enthalten. 

§. 125. 
Die Näherungsbrüche. 
Wenn wir einen Kettenbruch 

(,ij X ■ (_CEo, ttj, Cl2i • • •: ^n — li Xn)^ 

worin wir Xn als eine variable Grösse ansehen können, in einen 
gewöhnlichen Bruch verwandeln, so erhalten wir im Zähler und 
im Nenner einen linearen Ausdruck in Xn- Es wird also 

(2^ X = ■'^nXn -\- -Cm — 1 

Vn ■^n "I Vn — 1 

worin P„, ^„, P«— i, Qn—\ ganze rationale Functionen der 
«05 %i «25 • • •! «n— 1 sind. Dass dies richtig ist, ergiebt sich für 
die ersten Werthe w = 1, 2, , . . durch unmittelbare Rechnung: 



§. 125. Näherungsbrüche. 405 

1 a^Xi -\- l 



ic = «0 + 






_ 1 _ («0 «l_-fl)^2-f «0 

Wenn wir die Formel (2) für n schon als bewiesen voraus- 
setzen, so erhalten wir, wenn wir 

_ , 1 

Xn O'n ~p 

setzen : 

(x w <J^w -j- Pn — l)^n + l ~r ^n 

(Qn^n -j- Qn — l)^n + l -\- Qn 

Das ist aber die Formel, die sich aus (2) durch 
Vertauschung von n mit n -\- 1 ergiebt, wenn wir das 
folgende Bildungsgesetz für die P„, Qn annehmen: 

,.jv -tn + i = ein -Ln "p -Ln — l 

Qn + 1 = ein Qn "f" Tn — !• 

Diese Formeln bestimmen vollständig die P„, Qn für n = 2, 
3, 4, . , ., wenn wir noch die Bestimmung hinzufügen: 

^0 = 0, (?, = 1. 



(4) 

Die Brüche 



Po Pi P2 

von denen der erste mit dem Nenner Null nur formell, der Ueber- 
einstimmung wegen, eingeführt ist, heissen die Näherungs- 
brüche des Kettenbruches (1), P„ der Zähler und Qn der Nenner 
des n*'^-^ Näherungsbruches. 

Das Bildungsgesetz (3) zeigt, dass, wenn die a ganze Zahlen 
sind, auch P„ und Qn ganze Zahlen sind. Sind die Theilnenner 
von üi an positiv, so sind die Nenner Qy^ ^21 Qsi - • - ^^1® positiv 
und wachsen mit n, und zwar, da es ganze Zahlen sind, ins 
Unendliche. Nur in dem l)esonderen Falle, wo a^ = 1 ist, ist 
Qy = Q^ =z \ und das Wachsen beginnt erst von Q^ an, und 
wir können also den Satz formuliren: 

IL Sind Qn-i, Qn die Nenner von zwei auf einander 
folgenden Näherungsbrüchen, so ist 

^ Qn-l ^ Qn, Qn = ^ für W = CO, 

wo die Gleichheit mit der unteren Grenze nur 



406 Elfter Abschnitt. §. 125. 

bei w = 1, mit der oberen Grenze Qn nur bei w = 2 
vorkommen kann. Es ist also, wenn w > 2 immer 

< ^„-1 < Qn- 

Die Pi, Pa, P3, . . . sind, wenn a^ positiv ist, gleichfalls alle 
positiv, wenn a^ negativ ist, so sind sie alle negativ, mit etwaiger 
Ausnahme von Pg = «0 «1 + 1 , was gleich Null sein kann. 
Die Qn sind von ao ganz unabhängig. In welcher Weise die P„ 
von «0 abhängen, können wir auf folgende Art erkennen. 

Nehmen wir die Zahlenreihe 

ttl, ü^f Oi^i Ö45 • • • 

als gegeben an und betrachten die Recursionsformel 

(5) Tn^\ = ein Tn -\- J-n — l, 

so ist dadurch T„ vollständig für alle n bestimmt, wenn T^ und 
Ti gegeben sind. 

Nehmen wir zwei specielle Fälle Qn und P„, die durch die 
Bedingungen 

(6) ^0 = 0, Q, = \ 

bestimmt sind, so erhält man die allgemeine Lösung der Glei- 
chung (5) in der Form 

(7) T„ = To P. + T: Qn 
und hierin ist also auch 

(8) Pn = Rn + «0 Qn 

enthalten. Wenn wir zwei Lösungen von (.5) betrachten, T„ und 
Sni also: 

J-n-'rl (^n J-n ~l -Ln — 1 

'S'n+ 1 = (In ^n "T ^n — li 

SO folgt durch Elimination von «„ 

J-n + l ^n — J-n^n+1 ^^ — (-'n'-'n — 1 -J-n—l^^nJi 

oder wenn wir 

J-nl^n + l — ^n-^n + l = ^n 

setzen, 

(9) ^n= - ^n-l = ^« -2 = ••• = (— l)"z/o- 

Für Tn = Rn und /S« =^ f^n ist aber ^0 = 15 [nach (6)], 
also nach (9) 

Pn Vn + l Qn-ti-n + l = ( l)"i 

oder, indem man n in n — 1 verwandelt und das Zeichen beider- 
seits umkehrt: 

(lOj Rn Qn-l — QnBn-l = (- If- 



§. 126. Unbestimmte Gleichungen. 407 

Wendet man dies auf zwei Functionen T„, Sn an, die durch 

Tn = To Rn -\- Ti Qni Sn = Sq i?„ -\- S^ Qu 

definirt sind, so folgt 

^n Sn — l — Sn ^n — 1 = ( 1)" (^0 Si — T^ So)^ 

also im Besonderen 

(11) Pn Qn-^ - QnPn-X = (" l)"- 

Diese Formel, von der wir noch mannigfache Anwendung 
machen werden, zeigt, dass die Zahlen P„, Qn ohne gemeinsamen 
Theiler sind, dass also die Näherungsbrüche P„ : Q^ nicht durch 
Heben reducirt werden können. 

Ist der Kettenbruch ein endlicher, ist also die Schlusszahl 
Xn—i = ci„—i eine ganze Zahl, so setzen wir die Bildung der 
Näherungsbrüche nicht weiter fort als bis zu 

-* n -tn— lötn— 1 ~T~ -tji — 2 

Qn Vn — if'n — 1 "h Qn — 2 

und die Formel (2) zeigt, dass dann der letzte Näherungsbruch 
mit dem Werthe des Kettenbruches übereinstimmt. 



§• 126. 

Lösung unbestim^mter Gleichungen mit zwei 

Unbekannten. 

Die zuletzt gefundenen Formeln führen zur Lösung einer 
Aufgabe, die in vielen Anwendungen vorkommt: 

Es seien a, ß zwei gegebene ganze Zahlen 
ohne gemeinsamen Theiler, es sollen zwei andere 
ganze Zahlen gefunden werden, die der Bedingung 

genügen: 

(1) ay — ßx ■= 1. 

Diese Aufgabe hat, wenn sie überhaupt lösbar ist, unendlich 
viele Lösungen, die alle aus einer von ihnen abgeleitet werden 
können. 

Ist nämlich Xq, y^ eine Lösung, also 

(2) «T/o — |3^o = 1, 
so folgt durch Subtraction von (1) und (2) 

(^(y — Vo) = /5 (^ — Xo), 
woraus zu schliessen ist, da a mit ß keinen gemeinsamen Theiler 



408 Elfter Abschnitt. §. 126. 

hat, dass x — Xq durch a theilbar ist; setzen wir demnach, indem 
wir mit h eine willkürliche ganze Zahl bezeichnen, 

so folgt 

und in dieser Form sind alle Lösungen von (1) enthalten. 

Wir brauchen also nur noch eine Lösung von (1) zu suchen, 
die wir immer auf folgende Weise erhalten. Wir setzen ß als 
positiv voraus, was die Allgemeinheit nicht wesentlich beschränkt, 
da wir eventuell x in — x verwandeln können, und entwickeln 
nach §. 123 die rationale Zahl a : /3 in einen Kettenbruch: 

a , >^ 

Hiervon bilden wir die I^äherungsbrüche 

-t -Li X2 -Ln — l JLn 

Q{i Vi Qi Qn — \ Qn 

so dass 

ß Qn' 

Da aber a, ß sowohl als P„. Qn ohne gemeinsamen Theiler 
sind, und da ß und Qn positiv sind, so folgt 

« = P„, ß — Qn. 
Da nun ferner nach §. 125 

-t« Qn—l Qn-Ln~l = ( — Ij" 

ist, so folgt, dass 

(3) x = {-\yPn-„ y={-\YQn-, 

ganze Zahlen sind, die der Gleichung (1) genügen, womit also 

die Aufgabe vollständig gelöst ist. 

Die Rechnung ist bei massig grossen Zahlen ziemlich einfach. 

Setzen wir z. B. a = 24335, ß = 3588, so erhalten wir 
zunächst nach §. 123 den Kettenbruch: 

24385 

= (6, 1, 3, 1, 1, 2, 6, 2, 1, 1, 4), 



3588 
:ungs 
1 6 7 27 34 61 156 997 2150 3147 



und die Näherungsbrüche 



0' 1' r 4' 5 ' 9 ' 23 ' 147' 317' 464 

5297 24335 



781 ' 3588 



§. 126. Unbestimmte Gleichungen. 409 

und da hier n =^ II, also ungerade ist, so hat man zu setzen: 

X = — 5297, y = — 781. 

Dies sind die absolut kleinsten Werthe von x, ij^ die der 
Gleichung (1) genügen. 

Die kleinste positive Lösung erhält man daraus, wenn man 
« und ß dazu addirt, also 

X = 19038, y = 2807. 

Hierauf wird auch die Lösung der allgemeineren Gleichung 
(4) ay — ßx = y 

in ganzen Zahlen x, y zurückgeführt. 

Zunächst ist klar, dass, wenn (4) überhaupt lösbar sein soll, 
jeder gemeinsame Theiler von os und ß auch Theiler von y sein 
muss. Ein solcher gemeinsamer Theiler wird dann durch Division 
weggeschafft. Wir nehmen also auch hier an, dass a und ß 
keinen gemeinsamen Theiler haben. Dann folgt ebenso wie 
oben, dass alle Lösungen von (4) aus einer von ihnen, Xq, t/qi 
erhalten werden in der Form 

X = X(, ^ ha, ij = ijo -\- h ß, 
worin h eine unbestimmte ganze Zahl ist. Setzt man dann in (4) 

^ = r I, y = yn^ 

und theilt durch y, so geht (4) über in 

an — /3| = 1, 
also in eine Gleichung von der Form (1), 

Die Lösung wird zu einer völlig bestimmten, wenn noch 
eine Bedingung gegeben ist, aus der h bestimmt werden kann, 
z. B. die, dass y zwischen und ß liegen soll, mit Einschluss 
der einen der beiden Grenzen. Wir wollen dies in folgendem 
Lehrsatze zusammenfassen : 

in. Die unbestimmte Gleichung 

ay — ßx = y 

hat, wenn a, ß, y ganze Zahlen und a und ß ohne 
gemeinsamen Theiler sind, immer eine ganz- 
zahlige Lösung X, y und nur eine, wenn noch die 
Bedingung 

^y<ß, 
oder 

0<y^ß 
hinzukommt. 



410 Elfter Abschnitt. §. 126. 

Nach dem oben Bemerkten giebt es aber auch immer 
Lösungen der Gleichung (4), wenn y durch den grössten gemein- 
schaftlichen Theiler von a und ß theilbar ist. Insbesondere 
können wir den Satz aussprechen: Der grösste gemein- 
schaftliche Theiler d zweier Zahlen «, ß lässt sich in 

der Form 

ax — ßy ^= 8 

darstellen, worin ic, y ganze Zahlen sind. 

Das Theorem III. lässt sich in folgender Weise verallge- 
meinern : 

IV. Sind ai,«o, «3, ... gegebene ganze Zahlen in 
beliebiger Anzahl, ohne einen allen gemeinsamen 
Theiler, m eine beliebig gegebene Zahl, so lassen 
sich immer die ganzen Zahlen a^i, x^^ x^^ . . . so 
bestimmen, dass 

wird. 

Besteht die rechte Seite von (5) nur aus zwei Gliedern, so 
fällt dieser Satz mit dem Theorem III. zusammen. Nehmen wir 
also die Möglichkeit, eine Formel (.5) zu befriedigen, als bewiesen 
an, wenn die rechte Seite aus weniger Gliedern besteht, so können 
wir, wenn 8 der grösste gemeinschaftliche Theiler von «2, «3, . . . 
ist, da 8 relativ prim zu «j sein muss, die beiden Gleichungen: 

8 = «2 y-2 + «3 2/3 + • • • 
m = Ui Xi -\- 8 X 

durch ganzzahlige x, x^, y^, ^3, . . • befriedigen. Dann ist aber 
die Gleichung (5) durch 

^11 ^2 ^ ^y^i X3 = X y^ . . . 
befriedigt. 

Das durch den Satz III. gelöste Problem wird in der Zahlen- 
theorie auch so ausgedrückt: 

V. Sind w, ß, y gegebene Zahlen, so soll eine Zahl y 
gefunden werden, die der Congruenz 

ay ^ y (mod ß) 

genügt. Diese Aufgabe hat immer eine Lösung, 
wenn y durch den grössten gemeinschaftlichen 
Theiler von a und ß theilbar ist. 



§. 127. Convergenz der Näherungsbrüche. 411 

Das letzte Theorem führte zur Lösung der folgenden 
Aufgabe : 

VI. Es ist eine Reihe positiver ganzer Zahlen 
m^ W.2, Wg, ... gegeben, deren keine zwei einen 
gemeinsamen Theiler haben. Es ist eine ganze 
Zahl z zu bestimmen, die bei der Theilung 
durch Wi, 7%, mg, . . . gegebene Reste rj, rj, r^, . . . 
g i e b t. 

Diese Aufgabe ist immer lösbar, und eine Lösung wird auf 
folgende Weise gefunden: 

Wir wollen mit 

m = nii «»2 **'3 • • • 
das Product der Zahlen m-^ m-i »% . . . bezeichnen und 

m = mi «1 = ni.2 «o =■ m^ oc^ . ■ . 
setzen , so dass nach unserer Voraussetzung «i = m2 Wg . . . 
relativ prim zu mi, ebenso «3 zu ^2 u. s. f. ist. Dann bestimmen 
wir nach V. die Zahlen Xi, x.2, x^, . . . aus den Congruenzen 
a.iXi^>\ (modmi), «2^2^**2 (mod ?%), 01^X3 ^r^ (mod mg), ... 
und erhalten, da «,, Wg, . . . durch Mi u. s. f. theilbar sind, die 
gesuchte Zahl in der Form 

rr = «1 Xi -\- a2 X2 -\- ci^ x^ -\- • • • 

Hierzu kann noch ein beliebiges Vielfaches von m gefügt 
werden. 

Die in diesem Paragraphen betrachteten Gleichungen ge- 
hören zu den sogenannten Diop hantischen Gleichungen, 
worunter man im Allgemeinen Gleichungen versteht, die eine 
grössere Zahl von Unbekannten enthalten, als nach den Regeln 
der Algebra daraus bestimmt werden können, worin aber die 
Unbekannten noch durch die weitere Forderung beschränkt sind, 
dass es ganze Zahlen sein sollen. 



§• 127. 
Convergenz der Näherungsbrüche. 

Wir nehmen jetzt an, dass die Reihe der Zahlen «1, «21 ^'si ••• 
eine unbegrenzte sei, und bilden die Differenz zweier auf einander 
folgender Näherungsbrüche : 



412 . Elfter Abschnitt. §. 127. 

/j\ ^n J^n — 1 __ ( • 1)" 

Diese Differenz hat also bei geradem n das positive, bei 
ungeradem n das negative Zeichen und nimmt, dem absoluten 
Werthe nach, mit unendlich wachsendem n unbegrenzt ab. Bilden 
wir noch aus (1) : 

(2) -Pn Pn-2^ (-1)" , (-1)" + ^ 



Vm ^n — 2 VnV» — 1 Vn — 1 xn — 2 

^ (-1)" /i L_Y 

Vn — 1 \Tn Vn — 2/ 

so folgt, da ^>i_2 < Qn ist, dass diese Differenz bei geradem n 
negativ, bei ungeradem n positiv ist. 

Hieraus folgt, dass die Reihe der Näherungsbrüche mit 
geradem Index 

V2 ^4 T6 

eine abnehmende, die Reihe der Näherungsbrüche mit unge- 
radem Index 



(4) 








Pl 

Öl' 


P. 


P. 


eine 


z u n e h ] 


mende 


ist. 








Nun 


ist 


nach §. 


125 

X 


-t n Xn 


+ Pn-1 


also 


V« "^n 


+ ^n-l' 


(5) 






Pn 


— X 


^\ f ^ 


(-1)" 



und da ^„, ^n— n ^n positiv sind, so sind alle Zahlen der Reihe (3) 
grösser als x, alle Zahlen der Reihe (4) kleiner als x. 

Der Unterschied (5) sinkt mit unendlich wachsendem n 
unter jede Grenze und ist, da a:„>a„, also QnXn-\- Qn-i> Qn + i 
ist, dem absoluten Werth nach kleiner als 

^n Vn + 1 

und um so mehr kleiner als 1 : Qf,. 

Die Zahlen der Reihe (3) nähern sich also abnehmend, die 
der Reihe (4) zunehmend der Grenze x. Der Ausdruck (6j giebt 
ein Maass für den Fehler, den man begeht, wenn man x durch 
den Näherungsbruch P„ : Q^ ersetzt. 



§. 128. Aequivalente Zahlen. 413 

Die Näherungsbrüche sind also angenäherte 
Ausdrücke von Irrationalzahlen durch rationale 
Brüche. 
Dass diese Näherungsbrüche bei gleichem Grade der An- 
näherung an die Irrationalzahl x die möglichst einfachen sind, 
das wird durch folgenden Satz ausgedrückt: 

VII. Es lässt sich zwischen den zwei rationalen 
Brüchen 

J^n -Ln — 1 

Qn Qn^l 

kein anderer rationaler Bruch einschieben, 
dessen Nenner kleiner als Qn oder auch nur 
gleich ^„ ist. 
Angenommen , es liege der rationale Bruch M : N zwischen 

den Näherungsbrüchen P„ : Qn und P„_i : Qn-i- Dann ist die 

Differenz 

Pji -c n — 1 

Qn Qn — l 

absolut grösser und vom selben Vorzeichen wie 

M Pn-l 

also 

^ ^ \Qn Qn-J^^ ^ \N Qn-J 

Multiplicirt man beiderseits mit NQn—i, so folgt nach (1) 

^ X- ir(ii/(?„_i - ivp„_o, 

und da rechts eine positive ganze Zahl steht, die also mindestens 
gleich ] ist, so folgt 

N > Qn. 



§. 128. 
Aequivalente Zahlen, 

Die Kettenbrüche führen uns auf die Betrachtung einer 
besonderen Art von linearen Substitutionen, die in der Algebra 
und Zahlentheorie überhaupt eine grosse Bedeutung haben, und 
die wir etwas näher betrachten wollen. 



414 Elfter Abschnitt. §. 128. 

Sind X und ij zwei Zahlen oder auch veränderliche Grössen, 
die in der Abhängigkeit von einander stehen 

worin a, /3, y, d ganze Zahlen sind, die der Bedingung 

(2j uö — ßy = e = ±l 

genügen, so nennen wir x und y mit einander äquivalent/j. 
Wir nennen sie eigentlich oder uneigentlich äquivalent, 
je nachdem £ = -[- 1 oder s = — 1 ist. Diese Beziehung ist 
eine gegenseitige, denn aus (1) folgt 

(3) X = ^ ^' 

Wenn zwei Grössen mit einer dritten äquivalent 
sind, so sind sie auch mit einander äquivalent. 

Denn ist 
^A u'0-^ß' 



I ? 



so folgt aus {\) 



y'^ + ö 

a!' z -^ ß" 
y"z-\- d" 



wenn 



a" ^ aa' -^ ß y\ ß" = a ß' ^ ß d\ 
y" = yu! + by\ ö" = y /?' + ö b\ 

(7) a"ö" — ß"y" = («5 — ßy) («' ö' — ß' y'\ 

oder 

(8j _ £" = £ £'. 

Die Substitution (5) heisst aus (1) und (4) zusammen- 
gesetzt. 

Es macht sich das Bedürfniss nach einer abgekürzten Be- 
zeichnung dieser Substitutionen geltend. Da es häufig nicht auf 
die Variablen, sondern nur auf die Substitutionszahlen «, /3, y, ö 
ankommt, so bezeichnet man die ganze Substitution (1) durch 
die Substitutionszahlen oder auch nur durch einen einfachen 
Buchstaben 

^^0 « = C; 0. 

^) Vgl. Dedekind, Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie 
der elliptischen Modulfunctionen. Crelle's Journal, Bd. 83 (1877). 



§. 128. Aequivalente Zahlen. 4|5 

und schreibt dann, wenn es nötbig ist, die Gleichung (1) so: 



y=S{x) = Q ^j {X). 



Die Zusammensetzung zweier Substitutionen bezeichnet man 
durch Nebeneinandersetzen der Zeichen, wobei aber auf die 
Reihenfolge zu achten ist, also 

oder 

(11) SS' = S". 

Die Formeln (6) enthalten die Vorschrift, nach der eine 
zusammengesetzte Substitution zu bilden ist. Man kann sie aus 
der Multiplicationsregel der Determinanten ableiten, muss aber 
beachten, dass im ersten Factor nacn Zeilen, im zweiten nach 
Colonnen summirt werden muss, wie eben die Formeln (G) 
zeigen. 

Ebenso wie man zwei Substitutionen zusammensetzt, kann 
man auch die Zusammensetzung von mehreren bilden: 

O öl U2 '^Z • ' ' 

Bei der Bildung der zusammengesetzten Substitution dürfen, 
im Allgemeinen wenigstens, die Componenten nicht vertauscht 
werden; wohl aber kann man nach Belieben zwei benachbarte 
zu einer zusammenfassen, dann wieder zwei u. s. f., d. h. es gilt 
zwar nicht das commutative, wohl aber das associative 
Gesetz. 

Dies folgt unmittelbar daraus, dass, wenn x durch x^^ x^ 
durch Xi, x-i durch x^ ausgedrückt ist, der Ausdruck von x durch 
x^ entweder dadurch gefunden werden kann, dass man zuerst 
Xi in X durch x^ und dann x^ durch x-i ausdrückt, oder dass 
man zuerst x-^ durch x^ ausdrückt und dies in dem Ausdruck 
von X durch Xi einsetzt. 

Nach (8) ist eine zusammengesetzte Aequivalenz eine eigent- 
liche oder uneigentliche, je nachdem sich unter -den Compo- 
nenten eine gerade oder eine ungerade Zahl von uneigentlichen 
findet. 

Wenn man die beiden Substitutionen 

(12) ("•^Y ( ^'■-'^) 



416 Elfter Abschnitt. §. 128. 

zusammensetzt, so erhält man, gleichviel welche von beiden man 

an die erste Stelle setzt, 

1,0^ 



(^^) >0. 1 

Diese Substitution ist nach (1) gleichbedeutend mit y = x] 
sie ändert nichts und wird die identische Substitution 
genannt und wohl auch kurz durch 1 bezeichnet. Demnach 
nennt man die beiden Substitutionen (12) zu einander reciprok 
und bezeichnet sie mit 

oder man setzt 



\ — £ 7, £ c/J Vy, 
Durch die Zusammensetzung mit der identischen Substitution 
(13) bleibt jede andere Substitution ungeändert. 

^Yir leiten hieraus sehr einfach den Beweis des Satzes ab: 

VlII. Alle rationalen Zahlen sind unter einander 

äquivalent, und zwar sowohl eigentlich als 

uneigentlich. 

Sind nämlich m : n und 7n' : n' zwei rationale Brüche und 

m und n sowohl als m' und n' ohne gemeinsamen Theiler. so 

können wir, wenn £, e' nach Belieben zt 1 sind, die Zahlen |u, v 

und ^'. v' nach §. 126 so bestimmen, dass 

mv — w fi = £. m' v' — n' {i' = b' 

wird, dass also 

^^ '~ w, vj^ "'" — \n\ v' 
zwei lineare Substitutionen sind. Es ist dann auch 

3IM'-^ = (^" l 

eine lineare Substitution, und 

»w, ^\ ^ M /5^ /m', ^'^ 
w, vj \y, dj V n\ v' 
woraus folgt: 

7)1 = um' -f- ßn\ n = ym' -\- Ö n', 
also 

a— -f- ß 
m n ' 



M=(".':''\. jif '-/»•>' 



n m' 



n ' 



§. 129. Aequivalente Zahlen. 417 

was ZU beweisen war. Die Aequivalenz ist eine eigentliche oder 
eine uneigentliche, je nachdem s = e' oder s = — b' ist. 

Jede Zahl ist mit ihrer entgegengesetzten und mit ihrer 
reciproken uneigentlich äquivalent, denn es ist 



— (-:;:) ^^). ^=C;;)'^)- 



§. 129. 
Entwickelung äquivalenter Zahlen in Kettenbrüche. 

Wenn von zwei äquivalenten Zahlen die eine irrational ist, 
so ist es die andere auch, und wenn die eine reell ist, so ist es 
auch die andere. Wir machen diese beiden Annahmen, setzen 
also in 

0) ^=^H «*-'^^=^ 

X als irrational und reell voraus, und wollen nun untersuchen, 
wie sich aus der Kettenl)ruchentwickelung von x die Ketten- 
bruchentwickelung von y herleiten lässt. 

Es sei also x in einen Kettenbruch mit der Schlusszahl ar,, 
entwickelt : 

worin wir n vorläufig unbestimmt lassen. 

Durch die Näherangsbrüche ausgedrückt, wird 

(3) ^ = ^-^- + ^"-\ P„ Qn-, - Qn Pn-1 = (" !)"• 

Wenn wir dies in (1) substituiren, so folgt 

worin nach §. 128, (10) und (6), (7j 

i?„ = « p„ -I- ß (^„, Bn-x = « P„-i + /5 (;>„_!, 

(6) RnSn-l — Sn Rn-l = (— 1 )" £■ 

Setzt man Sn in die Form 

Pn 



,_^, _.+,), 



Weber, Algebra. I. 27 



418 Elfter Abschnitt. §. 129. 

SO ergiebt sich, da sich P„ : Qn dem Werthe x bis auf jeden 
beliebigen Grad annähert und Qn j^ositiv ist, dass, wenn n gross 
genug gewählt ist, >S„ im Vorzeichen mit 

{yx -j- d) 

übereinstimmt. Da x irrational ist, so ist diese Grösse von Null 
verschieden, und wir wollen sie als positiv voraussetzen. Wäre 
sie negativ, so hätten wir, um sie positiv zu machen, nur die 
Vorzeichen der vier Zahlen «, ß, y, Ö gleichzeitig zu andern, wo- 
durch (1) ungeändert bleibt. 

Es wird also S» für hinlänglich grosse n positiv sein. Nun 
folgt aber aus (5) mit Rücksicht auf §. 125, (3): 

Sn-\-l = ttn Sn -J- Sn — i, 

woraus man schliesst, dass, wenn n so gross ist, dass >S'„_2 und 
die folgenden S positiv sind, Sn mit n zugleich wächst, also: 

(7) Sn > S„_, > 0. 

Wir entwickeln nun den rationalen Bruch i2„ : Sn in einen 
endlichen Kettenbruch 

-D 

(S) -/^ = (ho- h, bo, . . ., Öm-l), 

On 

und bezeichnen den vorletzten Näherungsbruch mit B' : S\ so 
dass wir die Relation haben: 

(9) BnS' — SnR' = (-1)'». 

Nach dem Satze I. in §. 123 können wir aber ni nach 
Belieben gerade oder ungerade voraussetzen, und wir wollen so 
darüber verfügen, dass 

(— 1)'" = (— !)«£ 

wird. Ausserdem ist, wie wir aus §. 125, IL wissen, 

no) Sn ^ S' ^ 0, 

worin aber das Gleichheitszeichen in der unteren Grenze nur für 
Dt = 1 und in der oberen Grenze nur für m = 2 und b^ = 1, 
also überhaupt nur, wenn S» = 1 ist, vorkommen kann, und 
dies kann man nach (7) vermeiden, wenn man n gross genug 
annimmt. 

Da aber nach §. 126, III. durch die Bedingungen (9), (10) 
die Zahlen S', R' völlig bestimmt sind, und ^„-1, Rn—i nach 
(6), (7) denselben Bedingungen genügen, so folgt 

O Oji i , Ja, ::= -"»» 1 • 



§. 130. Quadratische Irrationalzahlen. 419 

Hieraus ergiebt sich nun weiter, dass der Kettenbrucli mit 
der Schlusszahl Xn 

(11) (&0, &i, ^2, • . ., &W-1, Xn) 

den Werth hat 

!^n ^n ~I '^»» — 1 

also mit y übereinstimmt. 

Wenn man nun Xn weiter in einen Kettenbruch entwickelt 

SO erhält man aus (2) und (11): 

X = (f<05 ^l5 f'^2i • • •! Cin — 1') ^ni ^*n + l) Öf,j ^ gj • • •) 
y = (Oq, Ol) 0-2, . . ., &m-l» (f'nt ^n + li dn + i-i ' • ') i 

oder in Worten ausgesprochen den Satz: 

IX. Die Kettenbruchentwickelungen zweier äqui- 
valenter Zahlen stimmen von einem gewissen 
Theilnenner an mit einander üb er ein. 

Wir können noch hinzufügen, dass, wenn die Aequivalenz 
eine eigentliche ist (£ = -|- 1), die Zahl der den überein- 
stimmenden vorangehenden Theilnenner in beiden gerade, oder 
in beiden ungerade ist, und dass, wenn die Aequivalenz un- 
«'igentlich ist, diese Zahl in der einen gerade, in der anderen 
ungerade ist. 

Dass der Satz auch umgekehrt gilt, ist leicht einzusehen. 
Denn wenn zwei Kettenbrüche von einem gewissen Theilnenner 
an übereinstimmen, so können sie so geschrieben werden, dass 
sie dieselbe Schlusszahl haben. Nun ist der Werth eines Ketten- 
l)ruches aber immer äquivalent mit jeder seiner Schlusszahlen 
[§. 125, (2)]; also sind auch zwei Kettenbrüche mit 
gleicher Schlusszahl unter einander äquivalent. 

§. 130. 
Quadratische Irrationalzahlen. 

Einfache und schöne Gesetze ergeben sich, wenn man die 
Kettenbruchentwickelung auf die Bestimmung der Wurzeln einer 
«luadratischen Gleichung anwendet. Die Wurzel einer ganz- 
zahligen quadratischen Gleichung hat die Form 
(1) (o = x-{-y Vd, 

27* 



420 Elfter Abschuitt. .§. 130. 

worin x^ y, d ganze oder gebrochene rationale Zahlen sind. Wir 
können aber, ohne die Allgemeinheit zu beschränken, d als 
ganze Zahl und ohne quadratischen Theiler voraussetzen; 
denn wenn d einen Nenner hat, so können wir mit diesem 
Nenner erweitern und können die Wurzel aus dem quadratischen 
Nenner und aus einem etwaigen quadratischen Theiler des 
Zählers zu y rechnen; wir nehmen dann weiter an, dass d nicht 
gleich 1 ist, da sonst o rational wäre; d kann positiv oder 
negativ sein, und davon hängt es ab, ob cj reell oder 
imaginär ist. 

Wir wollen das Vorzeichen der Quadratwurzel Vd eindeutig 
bestimmen, was etwa dadurch geschehen kann, dass man bei 
positiven d auch Vd^ und wenn d negativ ist. — i Vd positiv an- 
nimmt oder, anders ausgedrückt, dass man Vd positiv reell 
oder positiv imaginär annimmt. 

Aendern wir das Vorzeichen der W^irzel, so erhalten wir 

(2) oV = X — y \Ul, 

was die zu a conjugirte Zahl genannt wird. Sie entsteht 
auch aus w durch Aenderung des Vorzeichens von y. Das Pro- 
duct der beiden Zahlen ca, w' 

03 G}' = x^ — y^d 
heisst die Norm von « (oder auch von oj'j. Die Norm eines 
Productes zweier quadratischer Irrationalzahlen ist 
gleich dem Product der Normen. 

Die Norm einer imaginären Zahl o) ist immer positiv. Bei 
reellen quadratischen Irrationalzahlen kann die Norm positiv 
oder negativ sein. 

Die Zahlen to und oj' sind die Wurzeln einer Gleichung mit 
rationalen Coefficienten : 

(3) 0}^ — 1 X a -\- (x^ — ^2 cl) = 0. 

Um sie in eine ganzzahlige Gleichung zu verwandeln, 
setzen wir 

(4) a:^.^y^d = -j, 2a; = -, 

worin* öS, &, c ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler sind, und 
erhalten aus (3) 

(5) c a^ = a -{- bo), 
also eine ganzzahlige primitive Gleichung. 



§. 130. Quadratische Irrationalzahlen. 421 

Die Zahlen a, 6, c sind durch (4) nur bis auf ein gemein- 
sames Vorzeichen bestimmt. 

Die Discriminante von (3) ist 

(6) * D = &2 _^ 4 a c = 4 c^ >/2 fZ, 

und soll auch die Discriminante der Irrationalzahl a 
heissen. D ist also eine ganze Zahl, die im Vorzeichen mit d 
übereinstimmt und die durch d theilbar ist; denn ist p ein Prim- 
theiler von cZ, der also in d nach Voraussetzung nur einmal auf- 
geht, so kann ^ nicht im Nenner von Icy aufgehen und muss 
also nach (6) in D aufgehen. Also ist auch Icij eine ganze 
Zahl und der Quotient D : d ist eine Quadratzahl. 

Um die Vorzeichen von a, &, c zu bestimmen , wollen wir 
festsetzen , dass die ganze von Null verschiedene Zahl 2cy 
positiv sein soll, dass also c und y im Vorzeichen überein- 
stimmen. Wenn wir nun 

V5= 2cyVd 

setzen, also VD ebenso wie Vd positiv reell oder positiv imaginär 
annehmen, so ergiebt sich nach (4) und (6) 

(7) " = -^^' "= "2^^ ' 

oder, was dasselbe ist 

/o. 2a , —2a 



Vi) — h VB-\-h 

Es ist daher nicht nur das Zahlensystem a, J,c durch 
(o eindeutig bestimmt, sondern auch umgekehrt to durch 
a, &, c. Setzen wir, um diese Zugehörigkeit auszudrücken 

(9 j w = [ «, 6, c } , 

so ist die conjugirte Zahl w' zu bezeichnen durch 

(10) «'= j_a, _&, _c}. 

Da eine gerade Quadratzahl durch 4 theilbar ist, eine 
ungerade, durch 4 getheilt, den Rest 1 lässt, so ergiebt sich 
aus (6), dass 

(11) D = oder = 1 (mod 4) 

sein muss. 

Wir wollen noch untersuchen, wie sich die Zahlen a, &, c, D 
ändern, wenn wir von « zu einer äquivalenten Zahl o^ über- 
gehen. Es sei also 



422 Elfter Abschnitt. §. 130. 

(12) Ol = =P-^, 03 = '- r^-, ad — ßf = s. 

Setzen wir _ _ 

a = X -{- tj Vd, (01=^1+ ?/i Yd, 

so folgt, wenn man in (12) den Nenner rational macht. 

^^^^ y^ "^ y2(x-^ — y^d)-{- 2ydx-^d^' 

_ ay(x^ - yUl) + {a8 J^ ßr)x-\- ßb 
^^^^ ^' ~ y^{x^ — yUT)-^2y8x -^8^- 

und wenn co^ der quadratischen Gleichung 

(15) c, öf = a, -j- ?>i toi 

genügt, nach (12) und (5): 

6i _ — 1aay-^h{a8-^ßy)-\-2cßb 
c7 ~ —ay^--\-hy8-{-c8'i ' 



Ci — «yä _|_ jyö + CÖ2' 

ferner nach (4j und (13): 

£yc:= (— « y2 _|_ 5 y ö -f- c 62) ?/i. 
Wir setzen hiernach 

— sa^ = — aa^ -\- haß -\- cß-, 

(16) ah,=—2aay^h(u8-{-ßy)^2cß8, 
£ Ci = — ay- -\- hy8 -\- c8-, 

und folglich 

(17) ?/ß = 2/iCi, 
so dass 2/i Ci positiv ist. 

Aus (16) ergiebt sich durch Auflösung 
sa = rtiö2 -\-hiß8 — Ci/32, 

(18) £b = 2a^y8 -]-hi(a8 -}- ßy) — 2c,aß, 

— s c ^= ciiy^ -\- b^uy — Cj «2, 

woraus zu schliessen ist, dass die durch (18) bestimmten Zahlen 
«1, 61, Ci keinen gemeinsamen Theiler haben. Ferner ergiebt sich 
noch durch einfache Rechnung, oder auch nach dem Multipli- 
cationssatze der Determinanten 

(19) &2 _|_ 4 tt c = &f 4- 4 «1 Ci = D. 

Aus (17) und (18) schliessen wir. dass die Zahlen «i, hi. c^ 
dieselbe Bedeutung für oy^ haben, wie a, h. c für oj. und dass daher 



§. 131. 



Reducirte Zahlen. 



423 



CJi 



2q 



= !«i, &i, c,} 



(20) 

zu setzen ist. 

Durch (19) ist dann der Satz bewiesen: 

Aequivalente Irrationalzahlen haben nicht nur 
dieselbe Irrationalität, sondern auch dieselbe Dis- 
criminante. 



§. 131. 
Reducirte Zahlen mit negativer Discriminante. 

Die bisherigen Betrachtungen sind gleichmässig auf die beiden 
Fälle der reellen und imaginären quadratischen Irrationalzahlen, 
also auf positive und negative Discriminanten anwendbar. Jetzt 



Fig. 26. 




aber müssen beide Fälle von ein- 
ander getrennt werden, und wir 
beginnen mit den negativen Dis- 
criminanten. Es handelt sich 
also um imaginäre Zahlen: 

(1) a = x-^yVd = ^-\-if}, 

worin | und r} reell sind; es ge- 
nügt, von den beiden conjugirten 
Zahlen ^ -\- irj, | — ir] die eine zu betrachten. Wir nehmen 
also rj positiv an und setzen folgende Definition fest: 

Eine complexe Zahl a = ^ -\- irj heisst bei positivem 
7} reducirt, wenn 

(2) -l^^^h t' + n'^i- 

Betrachtet man |, rj als rechtwinklige Coordinaten in einer 
Ebene, so wird jede Zahl a durch einen Punkt dieser Ebene 
veranschaulicht, und die Lage der Punkte, die den reducirten 
Zahlen entsprechen, wird durch das in der Fig. 26 schraffirte 
Feld (mit Einschluss der Grenzen), das wir das Grundfeld nennen, 
veranschaulicht. 

Aus den Bedingungen (2) folgt dann noch, was auch in der 
Figur leicht zu bestätigen ist, 

(3) V' ^ !• 

Geht man nun von einer Zahl a zu einer äquivalenten Zahl 
oji über, so ergiebt die Formel (12) des vorigen Paragraphen 



424- Elfter Abschnitt. §. 131. 

und diese Formel zeigt, dass t]^ dasselbe oder das entgegen- 
gesetzte Zeichen wie rj hat, je nachdem £ = -|- 1 oder = — 1 
ist, also je nachdem die Aequivalenz eine eigentliche oder eine 
uneigentliche ist. 

Beschränken wir uns also auf Zahlen mit positiv imaginärem 
Bestandtheile, so kommt nur die eigentliche Aequivalenz in 
Betracht, und wir beweisen jetzt den Fundamentalsatz: 

1. Jede imaginäre quadratische Irrationalzahl 

X -f- yVd mit positiv imaginärem Bestandtheil 

ist mit einer reducirten Zahl äquivalent. 

Verstehen wir unter « die dem ^ nächstgelegene ganze Zahl, 

so wird 09 — a der ersten der Bedingungen (2) genügen, dass 

nämlich — i^l — ^ ^ l i^^- 
Wenn nun 

(5) r2 = (I — a)2 -{- ri^ = {a — a) {co' — a) 

grösser oder gleich 1 ist, so ist co — a, was mit C3 äquivalent ist, 
bereits reducirt; anderenfalls setzen wir, indem wir eine Ketten- 
bruchentwickelung anwenden, 

(6) 09 = « , 

so dass auch Wi = |i -f- «^i mit 09 äquivalent ist. Die Zahl 09^ 
behandeln wir nun wieder ebenso wie 09, indem wir, wenn 09^ — oc^ 
noch nicht reducirt ist, 

(7) 09, = «, - 1 

setzen u. s. f. Betrachten wir die Reihe der nach Analogie von 
(5) gebildeten Grössen 

r^- = a, - a,y + 7],^ r:- = {^, - u,y + 7],\ . . ., 
so kommt es also jetzt nur darauf an, nachzuweisen, dass wir 
nach einer endlichen Zahl von Schritten dieser Art zu einem r| 
kommen, das gleich oder grösser als 1 ist. 
Nach (6) ist aber 

r-i = ('09 — a) (a' — u) = , ., , 

k + Vi 

und danach ergiebt die Vergleichung der imaginären Theile auf 
beiden Seiten von (6j: 



§. 131. Iieducirte Zahlen. 425 

Ebenso folgt die Reihe der Gleichungen 
(8) Y] = r^Yji, ^, ==rfj?2, y]2 = r^V3, ■ - ' 

Nun ist aber irj = yVd, und also nach der Formel (6), ^. 130 

2c 
und weil hier )j positiv ist, so ist c eine positive ganze Zahl. 
Weil aber äquivalente Zahlen dieselbe Discriminante haben, so 
folgt ebenso: _ _ 

Vd Vd 

worin c, Ci, Ca, . . . eine Reihe positiver ganzer Zahlen ist. 

Danach erhält man aus (8): 

(9_) Ci = >*- c, c-2 =^ »"j" Ci , C;) =^ r, C21 ... 

So lange aber die Zahlen r^, rf, . . ., r'i kleiner als 1 sind, folgt 

hieraus 

(10) C > Ci > Ca . . . > Cv + i, 

und weil es nur eine endliche Anzahl positiver Zahlen geben 
kann, die kleiner als c sind, so muss diese Reihe abbrechen, 
womit unser Satz 1. bewiesen ist. 

Die reducirten Zahlen, deren Bilder an der Begrenzung des 
Grundfeldes liegen, sind paarweise äquivalent, nämlich 

a) 03 = — 7 + ^>? und coj^ = co-\-l=^-\-irj 
{a und a' in der Figur), 

b) a = — ^ -\- 17] und a^ = = ^ -\- irj^ 

o 

wenn ^'- -\- rj'^ = l ist (b und b' in der Figur), Es gilt aber 
ferner der Satz: 

2. Von den Fällen a), b) abgesehen, sind keine zwei 

reducirte Zahlen äquivalent. 
Nehmen wir nämlich zwei nicht identische reducirte Zahlen an, 

(11) (o = ^ -{- r]i, «1 = ^1 + T^i i, 

und setzen voraus, was die Allgemeinheit nicht beeinträchtigt, 

(12) rj, ^ »j, 
so folgt aus der Formel (4j : 

7] 

also wegen (12): 

(U) (y| + dj2-f j;2^2^ 1, 



426 Elfter Abschnitt. §. 131. 

also auch, nach (3): 

also sind zwei Möglichkeiten : 

a) 7 = 0, ß) r=--±i. 

Im Falle a) ist «d = 1, also a == ö = + 1, aus (13) er- 

giebt sich rji = rj, ferner aus (4): 

li = I ± ß- 

Dies ist aber nur dann mit den Bedingungen (2) verträglich, 
wenn entweder |i := |, ß = 0. und also co^ mit cj identisch ist. 
oder wenn /3 = + 1 und ^i = — I = i t, ist, also in dem 
Falle aj. 

Im Falle ß) ist nach (14) (| + d)- ^ 1, und also entweder: 
d := 0, ßy = — 1 und ^- -)- ?j2 = 1, t^i = t;, ferner nach (4) 
li = + « — I , also , da 1^ ^= | ausgeschlossen ist , li = — |, 
« = 0, das ist der Ausnahmefall b), 

oder: ö= + 1, also (| + 1)2 _|- 7/2 ^ i^ und folglich nach 
(3) (I ± 1)2 ^ 1 Weil aber f| ± 1) nach (2) dem absoluten 
Werth nach mindestens gleich j sein muss, so folgt hieraus 
I = ~ I, 7]^ ^: |; mithin nach (13) t]^ = yj''^ z= ^^ und nach 
(2) 1^- ^= i, I, = + i, was sowohl unter dem Fall a) als unter 
dem Fall b) enthalten ist. 

Hiermit ist also der Satz 2. bewiesen. Dem fügen wir nun 
noch als dritten Satz hinzu: 

3. Zu einer gegebenen negativen Discriminante D 
giebt es nur eine endliche Anzahl reducirter 
Irrationalzahlen. 

Aus der Darstellung der Irrationalzahlen §. 130, (7): 

" = — 2T-' ^ = 2^' ^' = -YT 

und aus der Ungleichung (3) yf '^\ folgt 
oder 



-I) 



3 ' 

also giebt es, wenn D gegeben ist, nur eine endliche Zahl 
von Werthen der positiven ganzen Zahl c. Ferner folgt aus 
— i < ^ <C i: 

— c <h <.c. 



§■ 132. 



Reducirte Zahlen. 



427 



Also giebt es zu jedem ^Yertll von c nur eine endliche Zahl 
von Werthen für 6, w. z. b. w. 

Vereinigt man alle unter einander äquivalenten Zahlen zu 
einer Zahlclasse, so haben wir dann also nach 1. bewiesen: 

4. Die Anzahl der Classen von imaginären qua- 
dratischen Irrationalzahlen einer gegebenen 
Discriminante ist endlich. 



§. 132. 
Reducirte Zahlen mit positiver Discriminante. 



Wir haben nun eine ähnliche Untersuchung durchzuführen 
für ein positives d^ also für reelle quadratische Irrational- 
zahlen. Eine solche Zahl (o = x-{-yVd soll reducirt heissen, 
wenn sie folgenden Bedingungen genügt: 

0) ist positiv und grösser als 1, und die mit o) 
conjugirte Zahl a' ist negativ und dem absoluten 
Werthe nach kleiner als 1, 

oder in Zeichen: 

(1) <yVd — X < 1 <yVd -{- X. 

Deutet man in einer Ebene x, y als rechtwinklige Coor- 
dinaten. so dass die Punkte der Ebene die Bilder der Zahlen oj 

werden, so liegen also die Bilder 
der reducirten Zahlen in dem 
Theile der Ebene, der in der 
Fig. 27, die der Annahme rZ = 2 
entspricht, schraffirt ist. 

Wir nehmen hier eigentliche 
und uneigentliche Aequivalenz zu- 
sammen und beweisen zunächst die 
Sätze : 

1. Jede Zahl w ist mit einer reducirten Zahl 
äquivalent. 

Man sieht dies leicht ein, wenn man a in einen Kettenbruch 
entwickelt und bis zur Schlusszahl »„ geht: 

(2) a — («0, «1, «o, . . ., «„_„ &)„). 




428 Elfter Abschnitt. §. 132. 

Dann ist a mit «„ äquivalent, und «„ ist, sobald n grösser 
als ist, positiv und grösser als 1, Da oi« mit w äquivalent ist, 
so handelt es sich nur noch um den Nachweis, dass, wenn n 
hinlänglich gross ist, die zu con conjugirte Zahl co'^ negativ und 
absolut kleiner als 1 ist. Dies aber ersieht man aus nach- 
stehenden Formeln: Aus (2) folgt, wenn P^ : Qn die Näherungs- 
brüche sind, 

__ Pn f^n -]- J n — 1 
V« ^n ~r ^n~~\ 

oder durch Auflösung 

(3) «„ = — ^»-1" - Pn-i ^ _ ^1 _ (— 1)" 

QnCO Pn Qn Qn {Qn^^ — Pn) 

Verwandeln wir in dieser Gleichung Vd in — Vd, so geht 
gleichzeitig « in o?', C9„ in co» über und wir erhalten aus (3) 

/ Pn—l 

y- 4 , ' Qn — 1^ Pn — l Qn — 1 Qn — 1 

(4J W,j = 



Vn 



CO 



(5) «;, + 1 = ^ 



( — 1)" 



Qn(co' 



P 

~QnJ\ 



Wenn nun n hinlänglich gross angenommen wird, so unter- 
scheiden sich 

I -tn / -Ln — \ 

Qn Qn — 1 

beliebig wenig von der nicht verschwindenden Differenz co' — a 
= — 2y yd, wonach (4) zeigt, dass oj^ negativ ist. Aus (5) aber 
folgt, dass co'n -|- 1 positiv ist, da Qn — Qn—i als positive ganze 
Zahl mindestens gleich 1 ist, und 

1 

P7 



^"(-'-f) 



für ein hinlänglich grosses n beliebig klein wird; und dadurch 
ist. der Beweis des Satzes 1. geführt. 

Da die conjugirte Zahl von der conjugirten co' die ursprüng- 
liche Zahl CO ist, so folgt aus der Definition der reducirten 
Zahlen, 

dass CO und — 1 : co' gleichzeitig reducirt sind. 



§. 133. Reelle quadi'atische Irrationalzahlen. 429 

2. Ist C3 reducirt und für ein ganzzahliges « 

(6) „ = « -h i-, 

so ist oji dann und nur dann reducirt, wenn « die 
grösste in co enthaltene ganze Zahl ist, wenn also 

(7) a < w < a -f- 1- 

Ist die Bedingung (7) erfüllt, so ist «j positiv und grösser als 
1, und 

(8) co\ = , ^ 

a — a 

ist, da co' negativ ist, ein negativer echter Bruch; also ist oji 
reducirt. Dagegen kann «^ nicht reducirt sein, wenn a > co ist, 
da dann (Oj negativ ist, oder wenn « -^ 1 < co ist, da dann o^ 
kleiner als 1 ist. 

Setzt man (8) in die Form 

<9) - :^ = « + ^ 



Oll ' 1 



ta 



so ist, da — 1 : co' und — \ : co\ zugleich mit a und a^^ redu- 
cirt sind, u die grösste in — 1 : co\ enthaltene ganze Zahl, und a' 
ist nach (9) durch coi, also auch co durch a^ völlig bestimmt. 
Hieraus folgt: 

3. Entwickelt man eine reducirte Zahl co in einen 
Kettenbruch, so sind alle Schlusszahlen co„ wieder 
reducirte Zahlen, und durch eine dieser Schluss- 
zahlen co„ ist sowohl die folgende co„ + i als die 
vorangehende co„_i vollkommen bestimmt. 



§. 133. 

Entwickelung reeller quadratischer Irrationalzahlen in 

Kettenbrüche. 

4. Für eine gegebene Discriminante giebt es nur 
eine endliche Anzahl reducirter Zahlen. 

Die Richtigkeit dieses Satzes sieht man leicht ein, wenn man 
nach §. 130 die Irrationalzahl co in die Form setzt: 



430 Elfter Abschnitt. )?. 133. 

(1) „ = _^t^=__^, D = h-^iac. 

Die coiijugirte Zahl ist 

, b-VB -2a 

(2) CO = 



2c b-^VD 

Soll 03 reducirt sein, so ist 

(3) o<y^<i<y^. 

^ ■' 2c 2c 

Es muss also, da Vi) positiv ist, c positiv sein und 

(4) < Vn — b < 2c < Vi) -^ b. 

Eine zweite Form dieser Bedingungen erhalten wir aus der 
zweiten Darstellung 

(5J 0<V'JD — b<2a<Vl)-^b. 

Es sind also a, b, c positiv und b kleiner als als V-D. 

Bedeutet A die grösste in VD enthaltene ganze Zahl, also 

A<iZ)<A + l, 

so hat b einen der Werthe 1, 2, 3, . . ., A, jedoch mit der Be- 
schränkung, dass bei geradem D nur die geraden, bei ungeradem 
D nur die ungeraden unter diesen Zahlen für b zu nehmen sind. 
Es ist dann a und c so zu bestimmen, dass 

(6) ^-^ = -, 

und dass 

und a muss zwischen denselben Grenzen liegen. Nur einer von 
diesen beiden Grenzwerthen ist eine ganze Zahl, der andere kann 
für die untere Grenze durch die nächst grössere, für die obere 
Grenze durch die nächst kleinere ganze Zahl ersetzt werden. 
Es ist also für b nur eine endliche Zahl von Werthen zulässig; 
dann ist (J) — b^) : 4 nur auf eine endliche Anzahl von Arten 
in zwei Factoren zerlegbar, und von diesen Zerlegungen sind nur 
die beizubehalten, in denen beide Factoren der Bedingung (7) 
genügen. Ausserdem sind noch solche Combinationen wegzu- 
lassen, in denen a, b, c einen gemeinsamen Theiler bekommen. 
Darin liegt das Mittel, um für ein gegebenes D alle reducirten 
Zahlen wirklich zu bestimmen, und dann ist nach §. 130, (9) 



§. 133. Reelle (juadratische Irrationalzahlen. 431 

/«■v VD+]> 2c , , , 

<^> " = —2^- = W^b = '"' ''' "'• 

weil y und c hier positiv sind. Aus §. 132, 3. und §. 133, 4. or- 
giebt sich nun der folgende wichtige Satz: 

5. Die Kettenbruchentwickelung einer reducirten 
Zahl (o ist periodisch, 

d. h. wenn w in einen Kettenbruch 

(9) CO = («0, «1, «2, . . .) 

entwickelt wird, so kehren immer nach einer bestimmten Anzahl 
von Theilnennern dieselben Theilnenner in derselben Reihenfolge 
wieder, also, wenn die Periode aus v Gliedern besteht, so ist 

Kq = Cf,. = 0C2v ... 

W^ == «, .j. 1 = «2'-f 1 • • • 



und es genügt also, den ganzen Kettenbruch durch die Periode 
zu bezeichnen, etwa so: 

(10) 03 = [«0, «1, . . ., «.-l]. 

Dieser Satz ist offenbar gleichbedeutend damit, dass die 
Schlusszahl gj^ des Kettenbruches (9) mit a selbst identisch ist, 
und darin liegt auch der Beweis der Behauptung. Denn die 
Schlusszahlen oj,. gehilren als äquivalente Zahlen alle zur selben 
Discriminante , und daher ist nach 4. die Zahl aller möglichen 
Schlusszahlen nur eine endliche. In der Reihe der Schlusszahlen 
w, Mj, 02 . • . muss daher einmal eine schon dagewesene zum 
zweitenmal auftreten. Ist «,. die erste, die zum zweitenmal auf- 
tritt, so muss CO, = w sein, da sonst nach §. 132, 3. auch cl),._i 
zum zweitenmal auftreten würde. 

Es lassen sich also die sämmtlichen, zu einer Discriminante 
gehörigen reducirten Zahlen in Perioden anordnen: 

(11) W, Wi, «2, . . ., «.-1, 

so dass, wenn 

Kq, W], W2, . . ., w,. — 1 

die grössten darin enthaltenen ganzen Zahlen sind, 

OJ = [«,„ «1, . . ., «v-il 

«1 = I«], «2, • • •, «.-1, «oJ 



432 Elfter Abschnitt. §. 133. 

ist, womit die Kettenbruchentwickelung für jede von diesen 
Zahlen gegeben ist. 

Ist durch eine Periode das ganze System der zur Discri- 
minante D gehörigen reducirten Zahlen noch nicht erschöpft, so 
bildet man eine zweite Periode u. s. f. Da durch eine Zahl oj 
sowohl die in der Periode vorhergehende, wie die nachfolgende 
völlig bestimmt ist, so enthalten zwei verschiedene Perioden nie- 
mals eine gemeinschaftliche Zahl. 

Von diesen Perioden gilt nun der Satz: 

6. Reducirte Zahlen aus derselben Periode sind 
äquivalent, aus verschiedenen Perioden sind nicht 
äquivalent. 

Der erste Theil der Behauptung ist von vornherein klar, da 
reducirte Zahlen derselben Periode Schlusszahlen von einander 
sind; der zweite Theil ist durch den Satz §. 129. IX. bewiesen, 
dass äquivalente Zahlen, bei hinlänglich weit fortgesetzter Ketten- 
bruchentwickelung, schliesslich dieselben Schlusszahlen bekommen. 
Sind also beide Kettenbrüche periodisch, so müssen sie derselben 
Periode angehören. 

Hat man für eine gegebene Discriminante D nach den am 
Anfang des Paragraphen gegebenen Vorschriften das vollständige 
System der reducirten Zahlen entwickelt, so ist es leicht, diese 
Zahlen in Perioden zu ordnen und die Theilnenner « des Ketten- 
bruches zu finden. Es sei nämlich 

VB^h 2« 

(12) CO = -^- — = -j= 

eine von diesen Zahlen, 

(13) - _V5+^_ 2«, 



CO 



2c, VD — I, 



die ihr in der Periode unmittelbar folgende Zahl, so dass 



(14) « = « 



1 1 



«1 



03, ^ CD « 



ist, wenn « die grösste in « enthaltene ganze Zahl bedeutet. 
Nach (12) und (14j ist dann 

2c 



CO 



1 — 1 /^Fi I -I ^ ' 



Vi) _|_ J _ 2 c a 

und die Vergleichuug mit (13) giebt 

(15) tti = c, 6i = 2 ca — h. 



§. 133. Periodische Kettenbrüche. 433 

Wenn umgekehrt zwei der zu D gehörigen reducirten Zahlen 
{a, &, c], {tti, Ji, Cij, in der durch (15) dargestellten Beziehung 
stehen, worin « irgend eine ganze Zahl ist, so folgt die zweite 
der ersten in der Periode unmittelbar nach. Denn aus (15) 
folgt (14), und daher muss « nach 2. die grösste in co enthaltene 
Zahl sein. 

Die Zahl ca^ ist also aus a durch die Bedingungen (15) 
vollständig und eindeutig bestimmt. 

7. Man ordnet also die Zahlen ja, 6, cj, von einer 
beliebigen unter ihnen ausgehend, von links 
nach rechts in der "Weise, dass die letzte Zahl c 
der vorangehenden zugleich die erste Zahl a^ der 
folgenden wird, und dass die Summe der beiden 
mittleren Zahlen h -\- \ durch 2 c theilbar ist. 
Diese Anordnung ist nur auf eine Art möglich, 
und der Quotient 6 -f- ^i • 2c ist die Zahl a, die 
als Theilnenner im Kettenbrucli auftritt. 

Betrachten wir nun irgend eine primitive ganzzahlige qua- 
dratische Gleichung 

(16) A ^ BSl -f CSl^ = 0, 

in der A^ JB, C ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler sind, 
die der Bedingung 

B^ - 4.AC = B 

genügen, so sind die beiden Wurzeln ß, PJ dieser Gleichung 
quadratische, zur Discriminante B gehörige Irrationalzahlen, und 
wenn wir sie in Kettenbrüche entwickeln, so werden wir nach 
§. 132 endlich auf Schlusszahlen «j, «2 kommen, die zu den 
reducirten gehören, und die also in den oben besprochenen 
Perioden enthalten sein müssen. 

Es ist noch festzustellen, ob diese Schlusszahlen ojj, «2 in 
derselben oder in verschiedenen Perioden enthalten sind. 

Nach 6. sind sie dann und nur dann in derselben Periode 
enthalten, wenn Sl und Sl' mit einander äquivalent sind. Nennen 
wir solche quadratische Irrationalzahlen, die mit ihren conju- 
girten äquivalent sind, zweiseitige Zahlen i), so können wir 
also sagen, dass die Kettenbruchentwickelung der Wurzeln der 



*) „Zweiseitig" brauchen wir nach Üedekind's Vorschlag statt des 
Gauss'schen anceps oder des sonst üblichen ambig: Dirichlet-Dede- 
kind, Vorlesungen über Zahlentheorie. 4. Auflage, 1894, S. 139. 

Weber, Algebra. I. 28 



434 Elfter Abschnitt. §. 133. 

Gleichung (16) zu einer oder zu zwei verschiedenen Perioden 
führt, je nachdem die Wurzeln zweiseitig sind oder nicht. 
Welcher von beiden Fällen eintritt, kann man an der Periode 
selbst erkennen. 

Wenn nämlich co eine reducirte Zahl ist, und co' conjugirt 
zu oj, so ist auch — 1 : ö' reducirt (§. 132); und wenn Sl äqui- 
valent ist mit 03. so ist Si' äquivalent mit oj', also auch mit — 1 : oj'. 

Ist 

(o = [a, b, c], 
so ist nach (12): 

— — = [c, b a\. 

Oj 

Nach §. 132, (9) schliesst sich also — 1 : w' ebenso an — 1:«; 
an, wie «i an oj. Ist daher die Periode von a 

W, OJj, 039, • . •, Mv 1, 

SO ist die Periode von — 1 : w': 

— 1 — 1 — 1 — 1 



a»',_i' a3v_o wi ' a' 



Ist die Periode der Kettenbruchentwickelung von co 

(17 j [«0, «1, . . ., «v-i], 

so ist sie für — 1 : o?': 

(18) [«.-1, M,._2, • . ., «o], 

also die umgekehrte. 

Ist nun CO mit co', also auch mit — l: co' äquivalent, so müssen 
nach 6. diese beiden Perioden mit einander übereinstimmen, wenn 
man bei einem geeigneten Gliede beginnt, oder die Periode von 
CO muss umkehrbar sein. 

Das besagt: Es müssen sich in der Kettenbruchentwickelung 
für CO zwei Elemente so auswählen lassen, dass die Entwickelung 
gleich lautet, wenn man sie von der einen dieser Zahlen nach 
links oder von der anderen nach rechts fortschreitend liest. In 
Zeichen: es muss für irgend ein passend bestimmtes Je und für 
i = 0, 1, 2, . . ., i' — 1 

sein. Wenn die Periode umkehrbar ist, so ist auch umgekehrt 
(nach 6.) co mit — 1 : co', also auch mit co' äquivalent. Daraus 
also das Resultat: 

8. Zweiseitige Zahlen haben in ihrer Kettenbruch- 
entwickelung eine umkehrbare Periode und um- 



§. 134. Beispiele. 435 

gekehrt sind Zahlen, die in der Kettenbruch- 
entwickelung eine umkehrbare Periode haben, 
zweiseitig. 
Schliesslich wollen wir noch bemerken, dass durch die Eigen- 
schaft, in einen periodischen Kettenbruch entwickelbar zu sein, 
die reellen quadratischen Irrationalzahlen von allen anderen 
Zahlen unterschieden sind. Denn ist o? eine in einen Ketten- 
bruch entwickelte Zahl, und sind co„, co,^ zwei Schlusszahlen 
dieses Kettenbruches, so ist 

-t „ COn -\- P„_i Pm (^m ~r ^m — 1 

Qn^n -\- Qn — 1 Qm^im "T~ Qm — l 

Wenn nun der Kettenbruch periodisch ist, gleichviel, ob die 
Periodicität gleich von Anfang beginnt oder erst im Verlaufe 
der Entwickelung , so ist, für zwei verschiedene Werthe von n 
und m, COn = «m , und man erhält also durch Elimination von 
(o„ eine quadratische Gleichung für w, die man in die Form 
setzen kann: 

Pn — O Qn, P„-i — « ^n-1 ' 
Pm — tO Qm, P„j _ 1 — CO Q„i _ 1 



= 0. 



§. 134. 
Beispiele. 

Wir wollen einige Beispiele für die Bestimmung der redu- 
cirten Zahlen und Perioden hier durchführen, um die Anwendung 
der Methode zu zeigen ; die Beispiele lassen sich natürlich ganz 
nach Belieben vermehren. 

1. Z) = 29. 

Wir bestimmen zunächst nach §. 133 die sämmtlichen zu 
D gehörigen reducirten Zahlen. Die grösste in VJJ enthaltene 
ganze Zahl A ist hier = 5 ; also kann b nur die Werthe haben : 

& = 1, 3, 5, 
woraus 

ac = ' = /, !), 1. 

4 

Die Grenzen, in denen a und c liegen müssen, sind nach 

§. 133, (7) für die drei Werthe von b: 

3, 3; 2, 4; 1, 5. 

Man erhält also nur die einzige reducirte Zald: 

{1, 5, IJ. 

28* 



436 Elfter Abschnitt. §. 134. 

Die Periode Ijestelit aus einem einzigen Gliede, und der 
Kettenbruch für ca ist: 

5 +V29 .... , 
0} = = (^0, 5, 5 . . .). 

2. D = 116 = 4. 29. 

Hier ist A = 10 und b bat einen der Werthe 

6 = 2, 4, 6, 8, 10, 
also 

ac = 28, 25, 20. 13, 4; 

die Grenzen für a und c sind i 

5, G; 4, 7; 3, 8; 2, 9; 1, 10, 

also, da die Fälle, in denen a, h, c den gemeinschaftlichen Factor 
2 haben, noch wegzulassen sind, ergeben sich die reducirten 
Zahlen : 

{5, 4, 5}, {4, 6, 5), [5, 6, 4), {1, 10, 4J, ' (4, 10, 1), 

die sich so in eine Periode ordnen, wobei das erste Glied am 
Ende noch einmal zugesetzt ist: 

{4, 10, 1}, {1, 10, 4}, {4, 6, 5j, (5, 4, 5}, (5, 6, 4{, (4, 10, 1}, 

und für oj ergiebt sich die Kettenbruchperiode : 

5 + V29 = [10, 2, 1, 1, 2]. 

3. D = 76 = 4. 19, A = 8, 

& = 2, 4, 6, 8, 
ac = 18, 15, 10, 3. 
Grenzen für a und c: 

4, 5; 3, 6; 2, 7; 1, 8; 
also sind die reducirten Zahlen: 
{3, 4, 5j, {5, 4, 3J, {2, 6, 5}, {5. 6, 2j, {1, 8, 3}, {3, 8, 1}. 

Wir erhalten eine Periode: 
{3, 8, 1}, {1, 8, 3}, {3, 4, 5j, {5, 6, 2|, {2, 6, 5}, j5, 4, 3j, {3, 8, 1|, 
und die Periode des Kettenbruches für 4 -|-Vl9 wird 

[8, 2, 1, 3, 1, 2]. 

4. D = 37, A = 6, 

6 = 1, 3, 5, 
ac = 9, 7, 3; 
Grenzen für a, c: 

3, 3; 2, 4; 1, 5; 



§. 134. Beispiele. 437 

reducirte Zahlen: 

Periode: 

{3, 5, 1}, {1, 5, 3}, {3, 1, 3}, 13, 5, IJ ; 
Kettenbruch: 

5 4-V37 ^, ^ .. 

In allen diesen Fällen sind die Perioden umkehrbar. 

5. D = U8 = 4. 37, A = 12, 

?> = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 
ac = 36, 33, 28, 21, 12, 1; 
Grenzen für a, c: 

6, 7; 5, 8; 4, 9; 3, 10; 2. 11; 1, 12; 
reducirte Zahlen: 

{4, 6, 7}, {7, 6, 4}, {3, 8, 7}, (7, 8, 3} 

{3, 10, 4j, {4, 10, 3}, {1, 12, 1|. 

Hier erhalten wir drei Perioden von 1, 3 und 3 Gliedern: 

{1, 12, 1}, |1, 12, Ij, 

{3, 10, 4}, {4, 6, 7}, {7, 8, 3}, [3, 10, 4}, 

{4, 10, 3}, {3, 8, 7}, {7, 6, 4}, {4, 10, 3} 

und die Kettenbruchperioden 

[12], [2, 1, 3], [3, 1, 2]; 
von diesen ist die erste umkehrbar, die anderen beiden gehen 
durch Umkehrung in einander über. 

6. D = 136 = 4. 34, k = 11, 

h = 2, 4, 6, 8, 10, 
ac = 33, 30, 25, 18, 9; 
Grenzen für a, c: 

5. 6; 4, 7; 3, 8; 2, 9; 1, 10; 
reducirte Zahlen: 



{5, 4, 6j, [6, 4, 5}, [5, 6, .5}, [2, S, 9{, {9, 8, 2j 



{3,8,6}, (6, 8, 3J, {1,10,9}, {9,10,1}, {3,10,3}; 



Perioden: 
{5, 4, 6}, {6, 8, 3}, {3, 10, 3}, [3, 8, 6}, {6, 4, 5), {5, 6, 5}, (5, 4, 6}; 
{9, 10, 1}, {1, 10, 9}, |9, 8, 2), {2, 8, 9}, {9, 10, 1}; 
Kettenbruchperioden: 

[1, 3, 3. 1, 1, 1], [10, 1, 4, 1]. 
Wir haben also hier zwei verschiedene Perioden, die beide 
umkehrbar sind. 



438 Elfter Abschnitt. §. 135. 

§. 135. 
Die PelTsche Gleichung. 

Ist o eine zu der positiven Discriminante D gehörige redu- 
cirte Zahl, so erhält man durch die Kettenbruchentwickelung : 

Pn tön -\- Pn — 1 



(O 



und es ist «„ := oj immer dann, wenn n ein Vielfaches von der 
Gliederzahl v der Periode ist. Dann aber folgt aus (1): 

(2) QnOr^ = (Pn - Qn-l)C0 + Pn-,- 

Es genüge nun co der quadratischen Gleichung §. 130, (5): 
(3) c a^' = a -^ b CO, D = b^ -\- Aac, 

und aus dieser muss, da a, b, c ohne gemeinsamen Theiler sind, 
die Gleichung (2) durch Multiplication mit einer ganzen Zahl 
folgen. Bezeichnen wir diese ganze Zahl mit w, so ist also 

(4) Qn = UC, P„_i = Ma, Pn ^„_i = l*6. 

Setzen wir noch 

(5) Pn + Qn-1 = t, 

so folgt: 



(6) 



T> _ n _ t — üb 

1 n — \ U Cl. {^„ — 1 



2 
Nach §. 12.5, (11) ist 

Pn Qn — 1 QnPn — 1 ^^ ( 1/ i 

und daraus: 

(7) P — Du^ = (— 1)"4. 

Die Gleichung (7) heisst die Pell' sehe Gleichung. Die 
Aufgabe ist die, für ein gegebenes D alle ihre ganzzahligen 
Lösungen t, u zu finden. Da, wenn t, u der Gleichung genügen, 
auch ±t, +u ihr genügen, so können wir uns auf die Ermitte- 
lung ihrer positiven Lösungen beschränken. 

Die Formeln (4), (5) geben uns eine unendliche Zahl solcher 
Lösungen; wir haben nur für n ein beliebiges Vielfaches der 
Periodenzahl v zu wählen, für u den grössten gemeinschaftlichen 
Theiler von Q^ Pn—i^ Pn — Qn—ii oder auch einfach die Zahl 
^„ : c zu setzen, und t aus (5) oder auch, nachdem u bestimmt 
ist, direct aus (7) zu ermitteln. 



§. 135. Die Pell'sche Gleichung. 439 

Ist V ungerade, und n ein ungerades Vielfaches von v^ so ist 

(8) f^ — Du'- = — 4, 

ist aber v gerade, oder n ein gerades Vielfaches von v, so ist 

(9) P — B t(2 = 4. 

Die Gleichung (9) hat die selbstverständliche Lösung f ^= dz 2, 
M = ; in allen anderen Lösungen von (8) oder (9) sind t und 
u von Null verschieden und wir betrachten hier nur die positiven 
Lösungen. 

Wir wollen nun nachweisen, dass man aus einer beliebigen 
Gleichung von der Form (3) durch die Formeln (4), (5) alle 
Lösungen von (8) und (9) erhält. 

Nehmen wir also an, es sei ^, u irgend eine positive Lösung 
der Gleichung (8) oder (9), und o ^ {a, J, c{ eine zur Discri- 
minante D gehörige reducirte irrationale Zahl. Wir bestimmen 
durch die Gleichungen (6) P„, ^„, P„_i. Qn—i-, die offenbar ganze 
Zahlen werden, da t und u h entweder beide gerade oder beide 
ungerade sind. Aus der Gleichung (3j. der g> genügt, ergiebt sich 
dann (2), woraus wieder auf 

zu schliessen ist; und aus (8) oder (9j ergiebt sich 

(11) PnQn-, — QnPn-^=T 1, 

worin, wie auch in den folgenden Formeln, das obere oder das 
untere Zeichen gilt, je nachdem t, u die Gleichung (8) oder (9) 
befriedigt. Nun folgt aber aus (6) 

0- ( '^c-{- h) u- t 

Yn Vn — 1 — 1 

und weil (a, &, c\ eine reducirte Zahl ist, so ist 2c -f- 6 > Vi) 
[§. 133, (4)], also 

0—0 -> ^^^ — * _ ^' B — f^ _ + 2 

da aber u und t positive ganze Zahlen sind und D > 1 , so ist 
uVD -{- t > 2; also Qn — Q„-i > für das obere und > — 1 
für das untere Zeichen. 

Weil nun Qn — Qn—i eine ganze Zahl sein muss, so ist 
sie hiernach gleich oder grösser als Null, und wir haben 

Qn-l ^ Qn, 

wo das Gleichheitszeichen nur im Falle des unteren Zeichens, 
also im Falle der Gleichung (9) möglich ist. 



440 Elfter Abschnitt. §. 135. 

Ferner ist (da nach §. 133, (i) b < VD ist) 
n _t — ah t — uVD P — u'-B =f= 2 

Yn— 1 K > 



2 2 2(t^uVD) t-^uVn' 

also Qn-i Null oder positiv, und Null kann nur im Falle des 
oberen Zeichens, also im Falle der Gleichung (8) auftreten. 
Daraus schliessen wir 

(12) < Qn-l ^ <?«, 

wo das Gleichheitszeichen in der unteren Grenze nur im Falle 
der Gleichung (8j, also der oberen Zeichen, in der oberen Grenze 
nur im Falle der Gleichung (9), also der unteren Zeichen vor- 
kommen kann. 

Wir entwickeln nun den rationalen Bruch P„ : Qn in einen 
endlichen Kettenbruch 

p 

indem wir n nach §. 123, I. so annehmen, dass 

(- 1)" = :f 1 

wird. Bedeutet dann F' : Q' den vorletzten Näherungsbruch, 
so ist 

PnQ' - QnP' = T 1. 

und es ist nach §. 125, II.: 

wo das Gleichheitszeichen in der unteren Grenze nur für n = 1, 
also im Falle der oberen Zeichen, in der oberen Grenze nur für 
n = 2, also der unteren Zeichen vorkommen kann, ebenso wie 
in (12j. Daraus folgt nach §. 126, III.: 

Q = Qn — l-i P = Fn — l, 

und es ist also nach (10) 

(«0, «1, «21 • • •. ««-1. ") = «1 

d. h. [«01 '^ii '^'21 • • -1 «n-i] ist eine Periode des Kettenbruches für 
cj, aus der nach den Formeln (4), (5) die Lösung t, u von (7) 
hergeleitet wird. Damit ist bewiesen, dass wir auf diese Weise 
alle Lösungen der Gleichung (7) finden. 

Hieraus lassen sich noch einige wichtige Folgerungen ziehen. 

Sind t, u und f^, u-^ zwei Lösungen der Gleichung (8) oder 
(9j, wobei nicht ausgeschlossen ist, dass für die eine die Gleichung 



§. 135. Die Pell'sche Gleichung. 441 

(8), für die andere die Gleichung (9) gilt, so folgt in allen Fällen 
(13) P — ii'^D (^f2 — ul) — 8. 

Nehmen wir nun u>Ui an, so ist m^ — u( = {u — u{){u-[-Ui) ^. 2, 
und da J) ^ oder ^ 1 (mod 4) und kein Quadrat ist (§. 130), 
so ist D mindestens = 5. Nach (13) ist daher auch t > ij, 
und wir schliessen, dass, wenn u wächst, auch t wachsen muss, 
dass also, wenn u einen möglichst kleinen positiven Werth hat, 
auch t möglichst klein ist. Man kann also von einer kleinsten 
positiven Lösung reden, die wir mit T, U bezeichnen wollen. Man 
erhält sie, wenn man in den Formeln (4), (5) n möglichst klein, 
also gleich der Gliederzahl v der Periode setzt. Ist daher v 
gerade, so ist nur die Gleichung (9), nicht die Gleichung (8) 
lösbar; ist aber v ungerade, so ist sowohl (8) als (!)) lösbar. Da 
dies nur von der Discriminante Z), nicht von der besonderen 
Zahl « abhängen kann, so folgt: 

9. dass bei einer Discrimininante die verschiedenen 
Perioden entweder alle eine gerade oder alle 
eine ungerade Gliederzahl enthalten. 

Ist Z) gerade, also durch 4 theilbar, so muss auch t gerade 
sein, und die Gleichung (7) lässt sich Glied für Glied durch 4 
theilen. Ist D ungerade, so sind auch t, u entweder beide gerade 
oder beide ungerade; sind sie beide ungerade, so sind ihre Qua- 
drate, wie alle ungeraden Quadratzahlen, nach dem Modul 8 mit 
1 congruent, also muss D ^ b (mod 8) sein. Aber es ist nicht 
immer möglich, wenn D ^ b (mod 8) ist, die Gleichung (7) 
durch ungerade Zahlen zu lösen i). Ist D ^ 1 (mod 8) , so 
müssen t, u gerade sein. 

Die Beispiele des §. 1 34 geben , auf diese Weise behandelt, 
die folgenden kleinsten positiven Lösungen der Pell' sehen 
Gleichung, wobei der Factor 4, wo es möglich ist, weggehoben ist. 

52 _ 29,12 = — 4 
702 — 29.132 = — 1 
1702 _ i9 3()2_ 1 
62 — 37.12 ^ _ 1 
3.52 — 34.62 = 1, 



^) Vergl. Cayley, Note zur l'equation x"^ — Dy^=.±4:, D = 5 (mod 8)> 
Crelle's .Journal, Bd. 53. Mathematical papers, Vol. IV. Tafeln für die 
Lösungen der Pell' sehen Gleichung in der P'orm y'^ = a x^ -|- 1 hat 
Degen berechnet (Canon Pellianus, Havniae 1817). Auch in Legendre's 
Zahlentheorie (deutsch von Maser) findet sich eine solche Tafel. 



442 Elfter Abschnitt. §. 136. 

§. 130. 

Ableitung aller Lösungen der PelTschen Gleichung 
aus der kleinsten positiven. 

Ist t, u irgend eine Lösung der PelTschen Gleichung, so 

ist der Ausdruck 

P — Du'- 

4 ' 
der den Werth + 1 hat. die Norm der beiden conjugirten Zahlen 

Wir wollen sie die zu VT> gehörigen Einheiten nennen. 
Darunter sind auch die Zahlen + 1 enthalten (für u = 0). 
Sind also (f, , %), (^25 **2) irgend zwei (positive oder negative) 
Lösungen der Pell' sehen Gleichung 

^2 _ Bu'^ = ± 4, 
so haben die beiden Zahlen 

01 = 2 — ; ^' - — 2 

die Norm + 1, und das Gleiche gilt also auch von ihrem Product 

2 

«3 = H , 

und fg und u-,, sind, wie man sofort sieht, ganze Zahlen. 

Denn wenn D gerade ist, so sind f^, fg gerade, und wenn D 
ungerade ist, so sind ^1, Ui entweder beide gerade oder beide 
ungerade, und ebenso ^0, W9. Es ist also ©3 gleichfalls eine zu 
V-D gehörige Einheit, und es folgt, dass das Product zweier 
(und folglich auch mehrerer) Einheiten wieder eine Ein- 
heit ist. 

Ist & eine beliebige irrationale Einheit, so ist +0-^ die 
zu & conjugirte Einheit. Es gehören unter den von + 1 ver- 
schiedenen Einheiten immer vier zusammen, 

+ 0, ± &-\ 

unter denen eine positiv und grösser als 1 ist. Diese entsj^richt 













03 = 


= &, 


0. — 


Darin 


ist 


t. 




h 


<2 + 




D 

1 



§. 136. Die Pell'sche Gleichung. 443 

den positiven Werthen von i, u; eine zweite ist positiv und 
kleiner als 1 und die beiden anderen sind negativ. Ist J, U die 
kleinste positive Lösung der Pell'schen Gleichung, so ist 

^ T + DVD 
0= 

die kleinste unecht gebrochene zu Vi) gehörige positive Einheit. 
und wir können nachweisen, dass in der Form 4: 0", worin n 
eine ganze Zahl bedeutet, alle zu Vi) gehörigen Einheiten ent- 
halten sind. P"s genügt dazu, zu zeigen, dass der Ausdruck 0" 
für ein positives n alle Einheiten , die grösser als 1 sind, liefert. 
Dies ist aber sehr einfach; denn ist 0^ irgend eine von diesen 
Einheiten, so wird sie zwischen zwei auf einander folgenden 
Potenzen von liegen , da diese Potenzen mit dem Exponenten 
ins Unendliche wachsen ; also 

0" ^ 01 < 0"^\ 
mithin . 

1 ^ 01 0-« < 0. 

Da aber 0^0-" gleichfalls eine Einheit ist, so ist, wenn nicht 
das Gleichheitszeichen gilt, 0^ 0—" grösser als 1 und kleiner als 
ö, was gegen die Voraussetzung ist, dass die kleinste unecht 
gebrochene Einheit sei; es muss also 

0, = 0" 
sein, was zu beweisen war. 



Anmerkung, die Gauss'sche Theorie der quadratischen 

Formen betreffend i). 

Wir fügen, um die Verbindung unserer Betrachtungen mit 
der sonst bekannten Gauss'schen Theorie der quadratischen 
Formen herzustellen, einige Bemerkungen bei, die in unserem 
Zusammenhange nicht gerade erforderlich sind, und die daher 
auch übergangen werden können. 

Aus jeder quadratischen Irrationalzahl 

03 = {a, b, c\ 

können wir eine bestimmte primitive quadratische Form (nach 
der Gauss'schen Bezeichnung) 



^) Vergl. Disq. ar. art. 183 ff., D i richlet-Dedekind, Vorlesungen 
über Zahlentheorie. Vierte Auflage. §. 62, §. 72 ff. 



444 Elfter Abschnitt. §. 136. 

cp = (Ä, B, C) = (— a, \h, c) oder = (— 2 a, 6, 2 c) 
(je nachdem 6 gerade oder ungerade ist) ableiten, deren Deter- 
minante = i> : 4 oder = J) ist. Aus der conjugirten Zahl 

to' = { — a, — h, — c] 
erhalten wir dann die Form — 9), deren Coefficienten denen von 
cp entgegengesetzt sind. Die Zahlen o und a' sind die Wurzeln 
der Form «jp = oder — <p = 0. Ebenso sind — o und — w' die 
Wurzeln der zu cp entgegengesetzten Form cp' ^= {Ä, — B. C). 

Bei Gauss werden nun nur solche Formen derselben Deter- 
minante in eine Classe vereinigt, die eigentlich äquivalent sind, 
und es ist noch die Beziehung der Gauss 'sehen Classenzahl zu 
der Zahl der Classen der w oder zu der Anzahl der zu einer 
bestimmten Discriminante gehörigen Kettenbruchperioden fest- 
zustellen. Dazu führen folgende Sätze: 

1. Die beiden Formen cp und — cp sind dann und nur 
dann uneigentlich äquivalent, wenn die Glei- 
chung P — Dw2 = — 4 in ganzen Zahlen lös- 
bar ist. 

Diesen Satz wollen wir aus der Theorie der quadratischen 
Formen hier voraussetzen. Er kann entweder aus der Betrach- 
tung der Perioden der reducirten Formen oder auch ohne diese 
Theorie auf demselben Wege bewiesen werden, wie man die 
Transformation einer quadratischen Form in sich selbst auf die 
Lösung der Pell'schen Gleichung zurückführt. 

2. Wenn co mit o' eigentlich äquivalent ist, so ist 
cp mit — cp eigentlich äquivalent. 

Dies zeigen die Formeln §. 130 (15), wenn man darin a^ = — «, 
h^ ■= — b, c^ = — c, £ = 1 setzt. Ebenso ergiebt sich aus diesen 
Formeln : 

3. Wenn co mit co' uneigentlich ä(|uivalent ist, so ist cp 
mit sich selbst uneigentlich, also cp mit cp' eigent- 
lich äquivalent. 

Die beiden letzten Sätze gelten, wie man aus denselben 
Formeln erkennt, auch umgekehrt. 
Wir fassen jetzt die vier Formen 

= cp, — cp, cp', — cp' 
und die vier Zahlen 

ii = 03, — CO, co', — co' 



§. 137. Berechnung von Gleichungswurzeln. 445 

ZU je einem Complex O und Sl zusammen, die einander eindeutig 
zugeordnet sind. Ersetzen wir co durch eine äquivalente Zahl cj|, 
so erhalten wir einen Complex Sl^ und diesem entsprechend einen 
Complex 01, dessen Formen sich den Formen O so zuordnen 
lassen, dass je zwei entsprechende eigentlich äquivalent sind. 
Wir unterscheiden nun die beiden Fälle 

a. Wenn t- — D u- = — 4 lösbar ist, also die Anzahl der 
Periodenglieder des Kettenbruches für o ungerade, so ist cp mit 
— <p uneigentlich, also mit — cp' eigentlich äquivalent und 
repräsentirt zwei Gauss'sche Classen, oder, wenn (p mit sich 
selbst uneigentlich äquivalent ist, eine Anceps-Classe. Ebenso 
repräsentirt Sl zwei Classen von Zahlen w, oder, wenn co und co' 
äquivalent sind, nur eine. Hier ist aber co mit sich selbst 
uneigentlich äquivalent, folglich ist, wenn cj mit co' überhaupt 
äquivalent ist, auch uneigentliche Aequivalenz vorhanden, und 
dann gehört also (nach 3.) cp in eine Anceps-Classe. In dem 
Falle a. ist also die Gauss'sche Classenzahl gleich 
der Anzahl der Classen der Zahlen co. 

b. Wenn P — D u^ = — 4 lösbar, also die Anzahl der 
Periodenglieder gerade ist, repräsentirt O vier oder zwei 
Gauss'sche Classen, letzteres, wenn entweder q) mit — cp oder 
(p mit qp' eigentlich äquivalent, wenn also co mit co' überhaupt 
äquivalent ist. In dem Falle b. ist also die Anzahl der 
Gauss'schen Classen doppelt so gross als die Anzahl 
der Classen der co. 

§. 137. 

Genäherte Berechnung der reellen Wurzeln einer 
numerischen Gleichung durch Kettenbrüche. 

Auf die Theorie der Kettenbrüche gründet sich ein von 
Lagrange herrührendes Verfahren, um die reellen Wurzeln 
einer numerischen Gleichung mit beliebiger Annäherung zu be- 
rechnen, das sich jetzt mit wenig Worten aus einander setzen 
lässt. 

Es sei f(x) = eine reelle Gleichung, die wenigstens eine 
reelle Wurzel hat. Nach einer der verschiedenen Metboden des 
VIII. und IX. Abschnittes können wir dann immer eine ganze 
Zahl Uq finden, so dass zwischen üq und ao -\-l eine oder mehrere 



446 Elfter Abschnitt. §. 137. 

der Wurzeln von/(a;) liegen. Transformiren wir also /(a;) durch 
die Substitution 

in /i (iCj), so wird /i (rTi) eine oder mehrere Wurzeln haben, die 
grösser als 1 sind. Wir bestimmen also eine positive ganze 
Zahl tti, so dass zwischen a^ und «i -|- 1 eine oder mehrere der 
Wurzeln von /i (aji) liegen, und transformiren /i (a:i) durch die 
Substitution 

, 1 

in fiiXi). Die Gleichung f^ = Q hat dann wieder mindestens 
eine Wurzel, die grösser als 1 ist, und die also zwischen den. 
beiden positiven ganzen Zahlen a^ und a^ -{- \ liegt, u. s. f. 
Schliesslich wird man auf diese Weise dazu kommen, eine einzige 
Wurzel zu isoliren, und mau erhält in der Reihe der Näherungs- 
brüche 

(ao), («05 o,i\ («05 «15 «2), («Ol «15 «25 «3) . • • 
eine Reihe rationaler Zahlen, die abwechselnd über und unter 
einer der Wurzeln x liegen und sich dieser Wurzel unbegrenzt 
annähern. Ist man so bis zu dem Näherungsbruch 

(,«05 «15 «25 • • -5 «V — 1/ y-^ 

vorgedrungen, so unterscheidet sich dieser von dem wahren Werth 
von X um weniger als 1 : ^^. Die Grösse des Nenners giebt 
also unmittelbar ein Maass für die bereits erreichte Genauigkeit. 

In den gewöhnlichen Fällen wird man die Zahlen «q, «i, «3 . . . 
einfach dadurch erhalten, dass man auf die Zeichenwechsel der 
Functionen /, /i, /a . • . achtet. 

Um dies Verfahren an einem Beispiel zu erproben, nehmen 

wir die cubische Gleichung, die wir schon früher betrachtet 

haben : 

a;3 — 2 ic — 2 = 0. 

Sie hat eine Wurzel zwischen 1 und 2, also haben wir «0 = 1 
zu setzen. 

Man erhält, wenn man die oben angegebene Transformation, 
wirklich ausführt, die folgende Kette von Gleichungen: 

x^ — 2x — 2 = 0, «0 = 1 
3 a;3 _ ^2 _ 3 ^ _ 1 — 0, «1 = 1 



§. 138. Rationale >Yurzeln. 447 

•2x'^ — 4a;2 — 8 a; — 3 = 0, 

9x^ — 22x^ — 14 a; — 2 = 0, 

46a;3 _ 6a;2 — 32 a; — 9 = 0, 

a;3 — 94a;2 — 132 a; — 46 = 0, 

3561 a;- — 9083 a;^ — 191 a; — 1 = 0, 

also 

X = (1, 1, 3, 2, 1, 95, 2 . . .) 

und die Näherungsbrüclie : 



a.. 




3 


a-i 




2 


a^ 




1 


«5 




95 


«6 




2, 



1 


2 


7 


16 


23 


2201 


4425 


1 ' 


1 ' 


4 ' 


9 ' 


13' 


1244' 


2501 



Wenn wir die beiden letzten Brüche in Decimalbrüclie ver- 
wandeln, so erhalten wir für x die beiden Grenzen: 

1,7692926; 1,76929228, 

und der Fehler in der letzteren etwas zu kleinen Zahl ist 
kleiner als 

0,00000016. 

Dass man hier nach wenig Schritten ein gutes Resultat 
erhält, beruht auf dem Umstände, dass hier ziemlich früh ein 
grösserer Theilnenner 95 auftritt. In den meisten Fällen be- 
kommt man für die Theilnenner kleine Zahlen ; dann wachsen 
die Nenner der Näherungsbrüche langsam, und man erhält nur 
mühselig ein Resultat von grösserer Genauigkeit. 

Die Auffindung grösserer Theilnenner, z. B. 95, wird durch 
die Bemerkung erleichtert, dass, wenn eine Wurzel einer Gleichung 
einen grossen Werth hat, der negative Coefficient der zweithöchsten 
Potenz der Unbekannten eine , wenn auch nur rohe Annäherung 
an diese Wurzel giebt, wie z, B. in der vorletzten der obigen 
Gleichungen 94 an 95. 

§. 138. 

Rationale Wurzeln ganzzahliger Gleichungen. 
Reducible Gleichungen. 

Wir schliessen diesen Abschnitt mit einer Betrachtung über 
ganzzahlige Gleichungen, die, wenn sie auch nicht unmittelbar 
mit der Theorie der Kettenbrüche in Beziehung steht, doch hier 
am passendsten eine Stelle findet. 



448 Elfter Abschnitt. §. 138. 

Wenn man es mit Gleichungen zu thun bat, deren Coeffi- 
cienten rationale Zahlen sind, so wird man zunächst nach 
etwaigen rationalen Wurzeln suchen. Wenn die Gleichung 

fix) = «0 a;" -\- tti a;"-i -|- «2 a;""-^ + • • • + <^*n-i x -{- an = 
rationale Coefficienten hat, so können wir immer annehmen, dass 
diese Coefficienten ganze Zahlen sind; man hat nur nöthig, um 
den Fall gebrochener Coefficienten darauf zurückzuführen, die 
ganze Gleichung mit einem gemeinschaftlichen Vielfachen aller 
Nenner zu multipliciren. 

Wir können aber auch noch weiter annehmen, dass a^ = 1 
sei; denn setzen wir in dem Product aj;~^/(x) 

so wird die Gleichung 

x'l -\- a^x^-^ + ao«2^i~^ + • • • + «o~^a« = 0. 
Wir wollen also jetzt annehmen, dass in der Gleichung 
(1) X'' + öl x"-'^ -\- a.2 :r"-2 -|- . . . -f- ün-i X + a„ = 
die Coefficienten «j, «25 • • •> ^n ganze Zahlen sind. Eine ratio- 
nale Wurzel von (1) kann nicht eine gebrochene Zahl sein; 
denn nehmen wir an, es werde (1) befriedigt durch den Bruch 

P 

wo p und q ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler sind, und 
q positiv und grösser als 1 ist, so folgt durch Multiplication 
mit 5"—^ 

Es müsste also p" : q eine ganze Zahl sein, was unmöglich ist. 

Wenn nun die Gleichung (1) dadurch befriedigt werden kann, 
dass man für x eine ganze Zahl setzt, so muss diese ganze Zahl, 
wie die Gleichung (1) zeigt, nothwendig ein Theiler von a„ sein, 
und man hat also nur die verschiedenen Divisoren von a„, mit 
positivem und negativem Zeichen behaftet, versuchsweise in die 
Gleichung einzusetzen. 

Auf die Erage nach rationalen Wurzeln einer ganzzaliligen 
Gleichung kommt auch die allgemeine Frage zurück, ob eine 
ganze rationale Function 

f(x) = x" -\- «1 rr*»-! -\- «2 ^"~^ + • • • + ««-1 ^ + *«' 
deren Coefficienten «j, «21 . • •, <^» ganze Zahlen sind, durch eine 
rationale Function von niedrigerem Grade v: 



§. 138. Keducible Gleichungen. 449 

cp(x) = x^ -\- a^x"—'^ -f- a^x''—^ ~\~ ' ' ' ~\~ ^v—\X -\- cc^ 
mit rationalen Coefficienten «i, «2, • . ., «v theilbar sein kann. 
Wenn /(a;) durch (f{x) theilbar ist, so ist der Quotient -^ {x) 
wieder eine ganze rationale Function mit rationalen Coefficienten 
vom Grade w — v: 

i,(x) = X—' -I- ß^X^-'-^ -\ h ßn-v-xX^ /3„_,, 

und da /(.r) auch durch ^'(.r) theilbar ist, so können wir bei 
der Entscheidung unserer Frage v ■^\n annehmen. Ausserdem 
folgt aus §. 2 , dass die Coefficienten a und ß von (p und i/; 
ganze Zahlen sein müssen. 

Um nun über die Möglichkeit einer solchen Theilung zu 
entscheiden, nehme man die Function cp {x) mit unbestimmten 
Coefficienten a, und dividire f{x) durch cp{x) (nach §. 3). Es 
ergiebt sich dann ein Rest vom Grade v — 1, und wenn man 
dessen Coefficienten, die sammtlich rationale Functionen der a 
sind, gleich Null setzt, so erhält man v Gleichungen, denen diese 
Coefficienten genügen müssen. Man kann durch Elimination (§. 55) 
eine Gleichung herstellen, die nur noch eine dieser Unbekannten 
enthält, und die dann eine ganzzahlige Wurzel haben muss. Es 
wird aber oft zweckmässiger sein, diese Elimination nicht wirk- 
lich auszuführen , sondern direct zu versuchen , dem System der 
V Gleichungen durch ganzzahlige Werthe der a zu genügen. Die 
Auswahl der zu erprobenden Zahlen kann durch manchen Kunst- 
griff, der auf zahlentheoretischen Sätzen beruht, sehr eingeschränkt 
werden. 

Wir wollen beispielsweise eine Gleichung zehnten Grades 
aus der Theorie der elliptischen Functionen entnehmen, wo 
solche Aufgaben sehr häufig in der Weise vorkommen, dass die 
Zerlegbarkeit in Factoren bestimmten Grades theoretisch fest- 
steht, und wo es sich dann darum handelt, diese Factoren zu 
finden!). Eine solche Gleichung ist 

a;io _ 36a;s -f- 528 a;^ — 3897 a;* + 14354 a;2 — 21025 = 0. 

Wir fragen, ob die linke Seite in zwei Factoren fünften 
Grades zerlegbar ist. Wenn der eine der beiden Factoren 



*) Vergl. des Verfassers Werk: „Elliptische Functionen und algebraische 
Zahlen", Braunschweig 1891. Das hier behandelte Beispiel aus der Theorie 
der Transformation 478ten Grades ist aus der Abhandlung genommen: „Ein 
Beitrag zur Transformationstheorie der elliptischen Functionen etc." von 
II. Weber (1893). Mathematische Annalen, Bd. 43. 

Weber, Algebra. I. 29 



450 Elfter Abschnitt. §. 138. 

x^ -\- a x'^ -^ ß x^ -\- y X- -{- d X -\- E 

ist, so ist der andere, da in der gegebenen Gleichung keine 
ungeraden Potenzen vorkommen, 

x^ — ax* -^ ßx-' — yx^-^-dx — s, 
und es muss also sein : 

a;io _ 36a;8 _|_ 528 a:^ — 3897 a;^ -\- 14354 ic^ — 21025 

= {x'^ -^ ßx-' -\- dxy — (ttx* + yx^ -\- £)2. 
Setzt man entsprechende Coefficienten einander gleich, so 
folgt : 

1. «2 __ 2/3 = 36, 

2. ' /32-f 2d — 2ay = 528, 

3. y2^2cc£ — 2/30 = 3897, 

4. d-^ — 2y6 = 14354, 

5. £2 _ 21025, 

und es sind nun ganzzahlige Werthe von «, ß, y, 8, e zu suchen, 
die diesen fünf Gleichungen genügen. Zunächst erhält man aus 5.: 

£ = 1/2 1025 = 145 = 5 . 29, 
und man kann e positiv annehmen, weil das von x unabhängige 
Glied jedenfalls in einem der beiden Factoren positiv ist. Die 
Gleichung 4. ergiebt, wenn man rechts den Rest nach dem Modul 
145 nimmt, 

(4) Ö2 = — 1 (mod 145), 

und diese Congruenz hat die vier Lösungen 

d = ±U, ±17 (mod 145). 
Da ö nach 4. ausserdem gerade sein muss, so könnte d folgende 
Werthe haben : 

d = + 12, ± 128, ± 162. 

Weiter wird man vorläufig nicht gehen, da grosse Zahlwerthe für 
d von vornherein unwahrscheinlich sind. Diesen Werthen von d 
entsprechend erhält man aus 4. für y: 

y = — Ad, 7, 41. 

Wenden wir noch den Modul 5 an, so folgt: 

y^ = l, — 1, 1 (mod 5) 
und aus 3.: 

/3 = + 1, ±2, ±1 (mod 5) 
und aus 1.: 

«2=1^2, 1 + 1, 1 + 2 (mod 5). 



§. 138. Reducible Gleichungen. 451 

Daraus ergiebt sich, da nur 0, 1 und 4, nicht 2 und 3 nach 
dem Modul 5 mit einem Quadrat congruent sein können, dass 
in 8 die Zeichen so genommen werden müssen : 

d = — 12, -|- 128, — 162 

a = ± 2, 0, ±2 (mod 5). 

Die Gleichung 2. zeigt ngch, dass der mittlere Fall auszu- 
schliessen ist, da die rechte Seite nicht durch 5. theilbar ist. 
Dass auch d = — 12 ausgeschlossen werden muss, ergiebt sich 
aus der Gleichung 2., die für ö = — 12, y = — 49 die Congruenz 

ß^ = 6 (mod 7) 
zur Folge hat, die aber nicht lösbar ist. 
Es bleibt also nur noch übrig : 

d = — 162, y = 41. 

Aus 3. folgt für ß die Congruenz: 

n ß = 93 (mod 145) 
oder 

ß = — \ (mod 5), 2ß = — \ (mod 29), 
also 

ß= U (mod 145). 

Nimmt man /3 = 14 an, so folgt a = — 8, und alle Glei- 
chungen 1. bis 5. sind befriedigt. Es hat sich also damit die 
Zerlegung ergeben, die nachträglich leicht zu verificiren ist: 

a:i« — 36 a;« -f 528 a;^ — 3897^* + 14354 a;2 — 21025 = 
{X'- — 8x4 -f 14a:3 -f 41 a;2 _ i62a; + 145) 
(x= -\- 8x^ -f Ux^ — 41a;2 — 162a; — 145). 



29 = 



Zwölfter Abschnitt. 
Theorie der Einheitswurzeln. 



§. 139. 
Die Einheitswurzeln. 

Unter einer Einheitswurzel versteht man allgemein eine 
reelle oder imaginäre Zahl von der Beschaffenheit, dass irgend 
eine ihrer Potenzen mit einem ganzzahligen Exponenten gleich 1 
ist. Diese Einheitswurzeln haben wir schon im §. 36 kennen 
gelernt und durch trigonometrische und Exponentialfunctionen 
dargestellt. Wir haben ferner specielle Fälle, z. B. im §. 38 die 
dritten Einheitswurzeln, benutzt, die dort ohne trigonometrische 
Functionen ausgedrückt wurden. 

In allen tiefer gehenden Untersuchungen über algebraische 
Gleichungen ist nun eine genauere Kenntniss der Einheitswurzeln 
und ihrer Eigenschaften un erlässlich. Wir werden uns daher in 
diesem Abschnitt mit dem elementaren Theil der algebraischen 
Theorie der Einheitswurzeln eingehender beschäftigen, ohne von 
ihrer Darstellung durch trigonometrische Functionen Gebrauch 
zu machen. Wegen der geometrischen Anwendung auf die Con- 
struction der regulären Vielecke, auf die wir schon im §. 36 
hingewiesen haben, wird die Theorie der Einheitswurzeln auch 
die Kreistheilungstheorie genannt. Sie ist im Wesentlichen 
eine Schöpfung von Gauss i). 

Wenn die n^^ Potenz einer Zahl r gleich 1 ist, wenn also 
die Gleichung 

(1) r^ = 1 



^) Gauss, Disq. ar. Sectio VII. 



§. 139. Einheitswurzeln. 453 

für ein ganzes positives n befriedigt ist, so heisst r eine w*® 
Einheitswurzel oder eine Einheitswurzel vom Grade n. 
Es sind also alle n^^"^ Einheitswurzeln, und nur diese, Wurzeln 
der Gleichung w*^° Grades 

(2) f(x) = rc" — 1 = 0. 
Es ist 

(3) f(x) = nx»-\ 

und folglich hat/(aj) mit/'(a;) keinen Theiler gemein; also hat 
f{x) keine mehrfachen Wurzeln, und es giebt n und nicht mehr 
von einander verschiedene w*® Einheitswurzeln. 

Ist r eine w*® Einheitswurzel, so ist es auch jede ganze 
Potenz von r, denn aus r» = 1 folgt r^^ = 1, wenn Je eine be- 
liebige positive oder negative ganze Zahl ist (auch A; = nicht 
ausgeschlossen); also ist auch r^ eine w*^ Einheitswurzel. Da es 
aber nur n Einheitswurzeln vom Grade n giebt, so sind die 
Potenzen r^ nicht alle von einander verschieden. Hierüber gilt 
nun Folgendes: 

Wenn sich zwei Zahlen /;, l' um ein Vielfaches von n unter- 
scheiden, wenn also 

(4) h' = 1 (mod n) 
ist, so ist auch 

(5) r^ = r^'. 
Denn ist h' = Je -{- h n, so ist 

woraus, da r" = 1 ist, die Gleichung (5) folgt. 
Es sind also in der Reihe der Zahlen 

(6) 1, r, r\ r\ . . ., r"-^ 

gewiss alle von einander verschiedenen r'' enthalten; aber es 
müssen nicht umgekehrt die Grössen (6) alle von einander ver- 
schieden sein. 

Nehmen wir an, es seien fc und Je' = Je -\- ^ zwei Zahlen 
der Reihe 

0, 1, 2 . . . « — 1, 
und 



»•fe y1c + fi 



so folgt, dass r" = 1 sein muss. Es kann also in der Reihe (6) 
kein früher dagewesenes Glied wiederkehren, ehe das erste Glied 



454 Zwölfter Abschnitt. §. 139. 

1 zum zweiten Male vorkommt, und wenn ft die kleinste posi- 
tive Zahl ist, für die r" = 1 ist, so sind die Zahlen: 

(7) 1, r, r^ . . ., r/^-i 

alle von einander verschieden. 

Es muss dann /i ein Theiler von n sein. Denn durch 
Division lassen sich die ganzen Zahlen h, ft' so bestimmen, dass 

n = hfl -{- ^'; < ß' <z fi- 
Dann ist aber auch, wie aus 

IfV, —— lyh fl YJX' 

hervorgeht , r"' = 1 , d. h. da [i die kleinste positive Zahl sein 
soll, für die r" = 1 ist, fi' = 0, und folglich n durch fi theilbar. 

Es ist also r zugleich ft*® Einheitswurzel, aber 
nicht Einheitswurzel von noch niedrigerem Grade. 

Man nennt die Zahl r eine primitive w*® Einheits- 
wurzel, wenn sie nicht zugleich Einheitswurzel eines 
niedrigeren Grades ist. 

Aus dieser Definition folgt, dass die Zahlen der Reihe (6), 
wenn r eine primitive w^'* Einheitswurzel ist, alle von einander 
verschieden sind, und dass sämmtliche n*®"^ Einheitswurzeln 
darunter enthalten sind, dass sie aber nur einen Theil der »t*^° 
Einheitswurzeln ausmachen, wenn r eine imprimitive w*® Einheits- 
wurzel ist. 

Jede Einheitswurzel, deren Grad ein von n verschiedener 
Theiler von n ist, ist zugleich imprimitive w*® Einheitswurzel. 

Ist r zugleich n*® und m*^ Einheitswurzel, so ist es 
auch fi*^ Einheitswurzel, wenn fi der grösste gemein- 
schaftliche Theiler von n und m ist. 

Denn nach §. 126 kann man die ganzen Zahlen x^ y so be- 
stimmen, dass 

mx -\- ny = ^ 
wird, und folglich ist 

Dem entspricht der andere Satz: 

Sind ri, rg . . . Einheitswurzeln der Grade Wj , Mj • • -i 
so sind sie alle zugleich Einheitswurzeln des Grades m, 
wenn m irgend ein gemeinschaftliches Vielfaches von 
nj, W2 . . . bedeutet. 



§, 140. Primitive «te Einheitswurzeln. 455 

§. 140. 
Primitive Einheitswurzeln. 

Dass primitive Einheitswurzeln für jeden Grad n existiren, 
haben wir im vorigen Paragraphen noch nicht bewiesen. Wir 
müssen dies zunächst nachholen und werden dabei auch die 
genaue Zahl der primitiven Einheitswurzeln feststellen. 

Sei der Grad n in zwei Factoren a, b zerlegt, die zu ein- 
ander relativ jirim sind, also 

n = ab^ 

und sei a eine «**=, ß eine 6*® Einheitswurzel. Dann ist das 
Product 

(1) r = aß 

eine w*^ Einheitswurzel. Sind «', ß' zwei andere a*^ und J*® Ein- 
heitswurzeln, so ist r' = a' ß' auch eine w*^ Einheitswurzel, und 
es ist zu zeigen, dass / von r verschieden ist, wenn nicht gleich- 
zeitig a = «' und ß = ß' ist. 

Da nämlich a, b relativ prim sind, so kann man nach §. 126 
die ganzen Zahlen x, y so bestimmen, dass 

(2) ax ^bij =\ 
ist; und dann folgt aus (1) 

a = r'^y, ß = r«^'. 

Demnach ist « und ß durch r vollständig bestimmt, und 
wenn a' ß' auch gleich r sein soll, so muss a = a\ ß = ß' sein. 

Lässt man also in (1) a alle a*^°, ß alle J*«° Einheitswurzeln 
durchlaufen, so erhält r genau ab = n verschiedene Werthe, 
und es folgt: 

I. dass in der Form uß alle n*^" Einheitswurzeln 
darstellbar sind, 

und weiter: 

IL dass r dann und nur dann eine primitive n*® 

Einheitswurzel ist, wenn et eine primitive a*® 

und ß eine primitive b^^ Einheitswurzel ist. 

Denn erstens sei (i der kleinste positive Exponent, für den 

r" = 1 ist ; dann ist auch a" /3'" = 1 und daraus folgt nach (2), 

wenn man beiderseits zur Potenz by und ax erhebt, 

a'' = 1, r = 1. 



456 Zwölfter Abschnitt. .§. 140. 

Wenn nun ^ < n ist, so kann es nicht zugleich durch a 
und durch b theilbar sein, und also können auch a und b nicht 
beide die kleinsten positiven Exponenten der Potenzen von ex. und 
ß sein, die gleich 1 werden, d. h. also, wenn r nicht primitive 
w*® Einheitswurzel ist, so sind auch cc und ß nicht zugleich 
primitive «*« und J*^ Einheitswurzeln, oder wenn u und ß primi- 
tive a^^ und b^^ Einheitswurzeln sind, so ist ihr Product r primi- 
tive w*® Einheitswurzel. Auf der anderen Seite ist klar, dass, 
wenn a oder ß Einheitswurzel von niedrigerem Grade als a oder 
b ist, auch r Einheitswurzel von niedrigerem als dem n^^^ Grade 
sein wird. 

Zerfällt n in mehrere Factoren a, &, c . . ., von denen je 
zwei zu einander relativ prim sind, und sind a, /3, y . . . Einheits- 
wurzeln der Grade a, b, c . . ., und setzt man 

(3) r = aßy..., 

so schliesst man durch mehrmalige Anwendung der vorigen Sätze, 
dass in (3) alle w*'*'' Einheitswurzeln, und jede nur einmal, ent- 
halten sind, und ferner, dass r dann und nur dann primitive 
M*® Einheitswurzel ist, wenn a, ß, y . . . primitive Einheitswurzeln 
der Grade a, b, c . . . sind. 

Bezeichnen wir jetzt die Anzahl der primitiven n^^^ Einheits- 
wurzeln durch q) (w), so folgt aus dem hier Bewiesenen 

(4) (p (n) = cp{a)cp (6) (p(c) . . ., 

wenn 

n = abc . . ., 

und a, b, c . . . Zahlen sind, die, je zwei und zwei, zu einander 
relativ prim sind. 

Nun kann man jede Zahl n auf eine und nur auf eine Weise 
in ein Product von Primzahlpotenzen zerlegen 

n z= p'^ p^i 2^2^ • • 1 
worin 2?, p^, p2 • ■ • verschiedene Primzahlen und ti, Tt-^, 7I2 ... 
positive Exponenten sind, so dass aus der Formel (4) folgt: 

(5) cp (n) = cp {p'') cp (_pfi) ep (p^^) . . ., 

und dass es also nur noch darauf ankommt, zu entscheiden, ob 
und wie viele primitive Einheitswurzeln des Grades j)'^ existiren. 
Diese Frage ist aber sehr einfach zu entscheiden. W^enn 
nämlich q eine Einheitswurzel vom Grade p^ ist, so ist der 
niedrigste Grad, zu dem q als Einheitswurzel gehört, ein Theiler 
von p'^, also eine Potenz von 2^, und wenn er also nicht gleich 



§• 140. Primitive nte Einheits wurzeln. 457 

p'' ist, ein Theiler von i^^^^S d. h. jede nicht primitive Einheits- 
wurzel vom Grade p"^ ist zugleich Einheitswurzel vom Grade 
p'^-'^. Da es aber p"" Einheitswurzeln vom Grade p"^ und nur 
pn—i Einheitswurzeln vom Grade p''—'^ giebt, so müssen 

pyt — ^Ä-i ^= p"(\ \ 

primitive Einheitswurzeln des Grades p"^ vorhanden sein. Daraus 
erhält man nach (5) die Anzahl aller primitiven n^^"^ Einheits- 
wurzeln 

(6) q>{n) = nn{\ -1^, 

worin das Productzeichen 77 sich auf alle von einander ver- 
schiedenen in n aufgehenden Primzahlen bezieht. Nur für den 
Fall w = 1 passt die Formel (6) nicht mehr; in diesem Falle 
ist 9) (1) = 1 zu setzen. Die Zahl (p {n) ist also niemals gleich 
Null. Da es hiernach für jeden Grad n wenigstens eine primi- 
tive Einheitswurzel r giebt, so lassen sich alle 'n}^^ Einheitswurzeln 
durch die Potenzen von r darstellen: 

(7) 1, r, r2, r\ . . ., r"-i. 

Ist r'^ irgend eine Potenz von y, so wird dann und nur dann 
yitm __ i ggjjj^ wenn hm durch n theilbar ist. Ist also n = n' n" 
und n' der grösste gemeinsame Theiler von Je und n, so muss m 
durch n" theilbar sein, und n" ist der Exponent der niedrigsten 
Potenz von r^, die gleich 1 wird, d. h. r^ ist eine primitive n"*® 
Einheitswurzel. Es folgt hieraus der Satz: 

III. Ist r primitive w*® Einheitswurzel, so ist r^ dann 
und nur dann primitive w*« Einheitswurzel, wenn 
k relativ prim zu n ist. 

Nehmen wir k aus der Reihe der Zahlen 1, 2, 3 ... w, so 
ergiebt sich der Satz der Zahleutheorie, dass q)(n) gleich der 
Anzahl der Zahlen ist, die nicht grösser als n und rela- 
tiv prim zu n sind. Dies ist die ursprüngliche Definition des 
in der Zahlentheorie allgemein gebrauchten Zeichens q) (n). 

Ist k relativ prim zu n, so kann man eine ganze Zahl x so 
bestimmen, dass kx ^ 1 (mod n) wird. Sind dann r, rj zwei 
w*® Einheitswurzeln, so kann nur dann r^ = r^ sein, wenn r =r rj 
ist, wie sich durch Erheben zur Potenz x ergiebt. Daraus folgt 
nach III.: 



458 Zwölfter Abschnitt. §. 141. 

IV, Ist h relativ prim zu n und durchläuft r die 
Reihe der primitiven n^^^ Einheitswurzeln, so 
durchläuft r^ dieselbe Zahlenreihe, wenn auch 
in anderer Ordnung. 

Endlich führen wir noch den Satz an : 

V. Ist n eine Primzahl, so ist jede n^ Einheits- 
wurzel mit Ausnahme von 1 primitive w*® Einheits- 
wurzel. 



§• 141. 

Gleichungen für die primitiven Einheitswurzeln 

^ten Grades. 

Alle n*^'^ Einheitswurzeln sind, wie wir gesehen haben 
Wurzeln einer Gleichung /„ (x) = 0, wenn 

(1) f^{x) = x--l 

ist; wenn wir die Function fn{x) von allen Factoren befreien, 
die sie mit anderen Functionen derselben Form/„, (a;) gemein hat, 
was durch rationale Operationen geschieht (§. 6), so erhalten wir 
eine Gleichung X« = 0, der die primitiven w*^"^ Einheitswurzeln 
und nur diese genügen, und X„ hat die Form 

(2) Xn = x" -{- tti a;"-! H • -{- a... 

Der Grad v ist gleich (p (n) und die Coefficienten a^, a^^ . . ., a» 
sind rationale Zahlen. 

Beim Aufsuchen der gemeinschaftlichen Factoren von /„ und 
/„j können wir uns für % auf die Theiler von n beschränken. 
Wie man die Function X^ einfach bilden kann, werden wir gleich 
noch näher sehen. Wir beweisen aber zunächst einen allgemeinen 
Satz über diese Functionen. 

Die M*^'^ Einheitswurzeln umfassen alle primitiven /tt***" Ein- 
heitswurzeln, worin fi irgend ein Theiler von n ist, n selbst und 
1 eingeschlossen, da als primitive erste Einheitswurzel eben die 
Einheit 1 selbst zu betrachten ist. Lassen wir also /u, alle Divi- 
soren von n durchlaufen und beachten, dass zwei verschiedene X^ 
niemals einen gemeinschaftlichen Theiler haben, und dass sowohl 
/„ (ic) als X|U keine mehrfachen Factoren enthalten, so folgt: 

(3) /„(^) = 77X„, 



§. 141. Einheitswurzeln. 459 

worin sich das Productzeichen TT auf alle Theiler ^ von n 
bezieht. 

Daraus erhalten wir nebenbei einen Beweis des zahlen- 
theoretischen Satzes: 

(4) n = Ucp (u), 

wenn wir den Grad der Functionen auf der rechten und der 
linken Seite von (3) einander gleich setzen. 

Andererseits schliessen wir nach dem Gauss' sehen Theorem 
(§. 2), dass die Coefficienten der sämmtlichen X^ ganze Zahlen 
sind. Denn kämen darunter auch gebrochene Zahlen vor, so 
könnte das Product nicht lauter ganzzahlige Coefficienten ent- 
halten, wie es doch nach (3) und (1) sein muss. 

Alle Functionen /„ (x) haben den Theiler x — 1, und wenn 
wir die Theilung ausführen, so ergiebt sich 

(5) x^ — l ^ ^^_^ ^ ^^_^ _^ Vx^l. 

CO — 1 

Hieraus schliessen wir, dass, wenn r irgend eine primitive 
oder nicht primitive w*® Einheitswurzel ist, mit alleiniger Aus- 
nahme von r = 1, immer 

(6) 1 + r -f- rH- • • • + »*""' = 0, 

während für r = 1 die Summe auf der linken Seite von (6) 
offenbar den Werth n hat. 

Wenn n eine Primzahl ist, so giebt es ausser 1 keine im- 
primitiven n^^^ Einheitswurzeln, und daher ist, wenn n eine Prim- 
zahl ist, was wir dadurch andeuten wollen, dass wir p dafür 
setzen, 

(7) Xp = xP--" + xP-^ H 1-^+1- 

Ebenso einfach lässt sich X„ bilden, wenn n eine Prim- 
zahlpotenz ist, also 

oder, wenn wir zur Abkürzung p^—^ = p' setzen: 

n = p' p. 
Die w*^° Einheitswurzeln bestehen in diesem Falle aus den 
primitiven n^^^ Einheitswurzeln und aus den y*®" Einheitswurzeln, 
und es ist also 

(8) X„ = ^'^zlI = a:^'(P-i) -|- ^i>'(P-2) _^ \- xp' -{- 1. 



460 Zwölfter Abschnitt. §. 141. 

Ist jp' > 1, also 3r > 1, so fehlt in dieser Gleichung das 
Glied mit der (y — 1)^'^'' Potenz der Unbekannten, dessen Coeffi- 
cient der negativen Summe der Wurzeln gleich ist. Wir haben 
also den Satz: 

VI. Die Summe aller primitiven n^'''' Einheitswurzeln 
ist, wenn n eine höhere Potenz einer Primzahl 
ist, immer gleich Null. 

Zur allgemeinen Bildung von X„ wollen wir ein recurrentes 
Verfahren anwenden; wir nehmen X„ als schon gebildet an, 
bezeichnen mit 2^ eiiie iii *^ nicht aufgehende Primzahl, mit |)' 
wie oben die (jr — l)*'' Potenz von jj, und bilden nun X„p'p, 
worin natürlich p' auch gleich 1 sein kann. 

Bezeichnen wir mit r die primitiven w*'^'^ Einheitswurzeln, 
mit « jede Einheitswurzel des Grades 2^p\ und mit «' jede Ein- 
heitswurzel des Grades p', so erhält man die sämmtlichen primi- 
tiven Einheitswurzeln des Grades npp\ wenn man von den 
sämmtlichen ra, die ra' wegnimmt (§. 140, IL). Die ra sind aber 
die Wurzeln der Gleichung: 

weil die Grössen 

(r ayp' = rPP', 

von der Reihenfolge abgesehen, mit den r selbst übereinstimmen 
(§. 140, IV.). Ebenso sind die roc' die Wurzeln der Gleichung 

Xn(xP') = 0, 

und daraus ergiebt sich 

Hiervon macht auch der Werth n = 1 keine Ausnahme, 
wenn wir unter Xj die Function x — 1 verstehen. Danach 
können wir Xn in allen Fällen verhältnissmässig einfach bilden. 
Wir betrachten einige besondere Fälle. 

Nehmen wir an, es enthalte n nur zwei von einander ver- 
schiedene Primzahlen p^ q und sei also 

n = p j)' q q\ 
dann ergiebt die Formel (8) und (9): 

(iC" — 1) \XP^ — l) 



Xn 



\xp — ly Uä — ij 



§. 141. Einheitswurzeln. 461 

eine Formel, die sich leicht durch vollständige Incluction folgender- 
maassen verallgemeinern lässt. 

Bezeichnet man mit /i^ alle Zahlen, die aus n entstehen, 
wenn man n durch eine gerade Zahl verschiedener Primtheiler 
von n dividirt (n selbst eingeschlossen), mit ^2 die Zahlen, die 
aus n entstehen, wenn man n durch eine ungerade Zahl solcher 
Primtheiler dividirt, so ist 

nm X - ^ ^'^'"^ - ^^ 

(10) A„ — — 

n(x''^ — 1) 

Der Beweis ergiebt sich aus (9) für npp', wenn man an- 
nimmt, die Richtigkeit sei für n schon bewiesen. 

Bedeutet r jede der primitiven n^^^ Einheitswurzeln, so sind 
bei ungeradem n die — r die primitiven 2n*^^ Einheitswurzeln 
(§. 140, L, IL). Demnach ist bei ungeradem n 

(11) X,n(x)= Xn{-x). 
Ist n eine Potenz von 2, so ist nach (8): 

(12) X„ = ^-^ = 0:2 + 1. 

Setzen wir in der Formel (8) a; = 1 , so erhält X» den 
Werth jj, wenn n eine Potenz von p ist. Dagegen ergiebt die 
Formel (9), wenn n > 1 ist, für Xnpp' den Wertli 1 (für n = 1 
würde auf der rechten Seite Zähler und Nenner = 0). 
Wir erhalten also den Satz: 
VII. Die Function X» erhält für x = 1 den Werth p, 
wenn n eine Potenz der Primzahl p ist, und 
den Werth 1, wenn n mehr als eine Primzahl 
als Theiler hat. 

Ist p eine in n aufgehende Primzahl und 

w = jj n\ 
so ist 

(13) ^[[, ~ ^ = x^'<-p-^'> + a;"'(P-2) -] 1- a;"' -f 1, 

und diese Function verschwindet, wenn cc gleich irgend einer 
primitiven w*«° Einbeitswurzel oc gesetzt wird. Sie ist daher 
durch X„ theilbar, und es muss also eine ganze Function F„ 
von X geben, die nach §. 2 ganzzahlige Coefficienten hat, so dass 

(14) x»'0^-i> + iC'^'CP-« -] 1_ a;"' + 1 = Xn Yn 



462 Zwölfter Abschnitt. §. 142. 

wird. Ist nun u! irgend eine n"^^ Einheitswurzel, also «'"' = 1, 
so folgt aus (14) 

(15) Xn{y!)Yr.{a:)=i,, 

also eine Zerlegung der Primzahl j; in zwei Factoren, die ganze 
Functionen einer Einheitswurzel von beliebigem Grade w' sind. 

§• 142. 

Die Discriminante der Kreistheilungsgleichung. 

Die Einheitswurzeln vom Grade n lassen sich in transcen- 
denter Form darstellen durch 



IniU 



Inli , . . 1 xK 



(1) r = e " = cos 1- i sin 

■' n n 

Diese Einheitswurzel ist primitiv oder nicht primitiv, je 
nachdem Tx, th eilerfremd zu n ist oder nicht. Die einfachste 
unter den primitiven erhält man für /^ = 1, nämlich 

,„. — Itc , . . Itc , , . 

(2) ro = e " = cos h * sm — ^:^ a -]- ot. 

n ^ n ' 

Der Winkel 2 7t : n ist der w^^ Theil der ganzen Kreisperi- 
pherie. Die verschiedenen Theilpunkte, die man erhält, wenn man 
Fiff. 28. diesen Winkel von einem beliebigen Anfangs- 

punkte an auf der Peripherie aufträgt, be- 
stimmen das dem Kreise eingeschriebene 
reguläre «-Eck. 

Die Theilpunkte lassen sich construiren, 

wenn man r und damit a und b (oder auch 

nur eine dieser beiden Grössen) kennt. Insbesondere ergiebt sich 

für die Seite s des regulären w- Eckes, wenn der Radius c des 

umgeschriebenen Kreises gleich 1 angenommen wird, 




2sin^=y2(l-cos^) 



Die übrigen Grössen r stehen in derselben Beziehung zu den 
anderen Theilpunkten. Wiegen dieser geometrischen Bedeutung 
nennen wir die Gleichung X„ = 0, deren Wurzeln die Grössen (1) 
sind, die Kreistheilungsgleichung. 

Wir bestimmen jetzt die Discriminante der Kreistheilungs- 
gleichung Xn = 0, beschränken uns aber auf den Fall, dass n 
eine ungerade Primzahl ist. 



§. 142. Discriminante der Kreistheilungsgleichung. 463 

Es ist dann 

(3) Xn = a;"-i -f a;»-2 -\ h ^ + 1, 

und da nur die eine imprimitive w*^ Einheitswurzel 1 existirt, 
so ist 

(4) f„{x) = a:- - 1 = (:r - 1) X„, 
also 

(5) Mx) = nx—^ ^ X„ 4- (:r - 1) X;. 

Ist nun D die Discriminante von X„, so ist nach §. 50, (5) 



n — X 



(6) i) = (_l) 2 77X;(r), 

worin sich das Productzeichen 77 auf alle Wurzeln r der Gleichung 
X„ = erstreckt, und worin, da n ungerade ist, 

n(n — 1) n — 1 

(- 1)~^ = (- 1)^ 

gesetzt werden konnte. 
Es ist aber nach (5) 

(7) wr"-! = (r — l)X;(r), 

und da das Product aller r gleich 1 ist (weil es gleich dem von 
X unabhängigen Gliede in X„ ist), und da 

n{x -r) = n{r -x) = X„, 
also 

j7(r-l) = X„(l) = n, (§. 141) 

so folgt aus (6) und (7) 

n — 1 



(8) i) = (— 1) 2 w"-2. 

Die Wurzeln von X„ sind,, wenn r eine von ihnen ist, alle 
in der Form enthalten 

und wenn wir also das Differenzenproduct 

(9) p — (r — y2) (r — r^) . . .{r — r"-i) 

^"^2 yS") _ _ ^^2 ^n — 1"V 



/^n — 2 yn — 1\ 

einführen, so ist (§. 50) 

Es ist also auch nach (8) 

« — 31 / n — 1 

(10) P = w"2~l/(— 1)2 n, 



464 Zwölfter Abschnitt. §, 142. 

wodurch P, abgesehen vom Vorzeichen, bestimmt ist. Es ist P 
reell, wenn w ^ 1, und imaginär, wenn n ^ — 1 (mod i) ist, 
also reell für n = 5, 13, 17, 29, 37, . . ., imaginär für n = S, 1, 
11, 19, 23, 31, . . . Das Vorzeichen, das -wir in (10) der Wurzel 
zu geben haben, hängt davon ab, welches r wir in dem Ausdruck 
(9) gewählt haben. 

Wählen wir ein bestimmtes r, z. B. r ^= r^, so können wir 
das Vorzeichen in (10) noch bestimmen. Um dies auszuführen, 
theilen wir die binomischen Factoren von P, 

r* — r", V ■< ^, 
deren Anzahl |(n — Ij {n — 2) beträgt, in zwei Classen. Die 
Differenzen der einen Classe bilden das Product 

/ n — 1 n + 1\ 

ai) Q = (r — r"-i) (r2 — r"-^) . . . \r~^ — r'^J, 

das also alle die Factoren enthält, in denen ^ -\- v = n ist. 

Die übrigen Factoren lassen sich in Paaren von folgender 
Form zusammenfassen 
(12) P = (r" — r") fr"-" — r«-'). 

Die Anzahl der Factoren in Q ist ^(n — 1), und also ist 
die Anzahl der Paare P 

l^ / (n — l){n — 2) _ n — l \ _ {n — 1) {n — 3) 
YV 2 ~2 )~ 4 ' 

und diese Zahl ist immer gerade, da einer der beiden Factoren 
n — 1, w — 3 durch 4 theilbar ist. 
Nun ist, wenn 

r = e ** 
ist, 



P 



I ^ /, 2 Jt (u. — v) 7 \ 
r"-'' + r'-." =z — 2 M — cos ^-^ ^ fc j. 



d. h. P ist immer negativ. Folglich ist das Product aller P eine 
positive Grösse. 
Es ist ferner 



n — 1 



2-jih . 4 jr A; . (n — \)7ili 



(13) Q = (2i) 2 sin sin • • sin 

und das Vorzeichen hiervon ist von Je abhängig. Nehmen wir 
aber 7j = I, also r = r^, so sind alle die Winkel 

2 jr 4 :;r (n — 1) Jt 

n '' n '' ' n 



§. 142. Discriminante der Kreistheilungsgleichung. 465 

zwischen Null und ii gelegen und die Sinus alle positiv. Wir 
schliessen hieraus nach (10), dass in diesem Falle 

n — 1 n — 3 _ 

(14) 1^ = i~^' n'^Vn 

ist, und yn positiv zu nehmen ist. 

Das Vorzeichen des Productes der H hängt von der Wahl 
von r nicht ab, sondern nur von der Beschaffenheit von n. Es 
ist daher von Interesse, das Product ^, 'dessen Vorzeichen von 
der Wahl von r abhängt, für sich zu bestimmen. Wir erhalten 
es auf folgende Weise: 

Multiphciren wir den Ausdruck (11) mit 

n — 1 n* — 1 

r . r"^ . r^ . . . r "^ = r ^ 
und sodann mit 

_ n -1 _ n^ — 1 

Y — 1 V — 2 A. — 3 *. 2 ^ 8 

SO erhalten wir 

r ^ Q = (r2 — 1) (H — 1) . . . (r»--' — 1) 

_n2 — 1 

r » Q = (l — r"-2) (1 _ r»-") ... (1 — r). 

Da nun die Exponenten 2, 4, . . ., w — 1, w — 2, w — 4, . . ., 1 
zusammen alle Zahlen 1, 2, . . ., n — 1 umfassen, so ergiebt sich 
durch Multiplication dieser beiden Ausdrücke: 

n— 1 n— 1 



Q^ = (- 1) ^ n(r -!) = (_ 1)2 ^, 
also 

(15) Q = ±r^ Vn. 
Die Vergleichung mit (13) ergiebt 

(16) 2 2 sin sin • • • sin ^^ = + Vn. 

n n n ~ 

Das Vorzeichen in dieser Formel hängt, wie in (15), noch 
von jfc ab; es ist aber das positive, wenn ^ = 1 ist. Im Uebrigen 
wollen wir über dies Vorzeichen, das weiterhin noch genauer 
untersucht werden wird, noch einen wichtigen Satz ableiten. 

Nach der Definition (11) ist Q eine ganze rationale Function 
von r, die, wenn man sie nach Potenzen von r ordnet, ganze 
rationale Zahlencoefficienten erhält. Setzen wir also 

Weber, Algebra. I. gQ 



466 Zwölfter Abschnitt. §. 143. 

SO wird 

worin F das Zeichen für eine rationale Function ist, deren 
Coefficieuten von 1: nicht abhängig sind. Setzen wir nun für /,• 
der Reihe nach die Werthe 

Ä- =1, 2, . . . w — 1, 

so stellt r\ alle Wuraeln der Kreistheilungsgleichung A'„ = 
dar, und die Summe 

iQ = F(r,) + F(r:-) + • • • + F(r^^~^) 

ist eine symmetrische Function der Wurzeln dieser Gleichung; 
sie lässt sich also rational durch die Coefficienten der Gleichung, 
d.h. durch rationale Zahlen ausdrücken und ist mithin selbst eine 
rationale Zahl. Andererseits ist aber nach der Formel (15) 



wenn /; eine ganze Zahl bedeutet, nämlich die Anzahl der Fälle, in 
denen in (15) das positive Zeichen zu nehmen ist, vermindert um 
die Anzahl der Fälle, in denen das negative Zeichen gilt. Beides 
ist aber nur dann mit einander verträglich, wenn ä = ist; 
und damit ist der folgende Satz bewiesen : 

1. Durchläuft Ä; die Reihe der Zahlen 1, 2, 3, ..., w — 1, 
so gilt in der Formel (16) ebenso oft das positive 
wie das negative Zeichen. 

Es braucht kaum besonders erwähnt zu werden, dass man 
für k auch ein anderes volles Restsystem von w, mit Ausschluss 
der durch n theilbaren Zahl, nehmen kann. 



§. 143. 
Primitive Congruenzwurzeln. 



Parallel mit der Theorie der Einheitswurzeln geht eine 
Theorie der sogenannten binomischen Congruenzen, ohne die in 
der Theoi'ie der Kreistheilungsgleichungen weitere Schritte nicht 
gemacht werden können, deren Grundzüge passend hier ein- 
geschoben werden, wo sich die Analogie mit der Theorie der 
Einheitswurzeln deutlich zeigt. 



§. 143. Primitive Congrueuz wurzelu. 4ß7 

Es sei also jetzt n eine Primzahl und 

(1) f(x) = «0 X'" -f «1 x"'-^ + • • • -f «m-1 X -\- a,n 

eine ganze Function von rr, deren Coefficienten a ganze Zahlen 
sind, und a^ nicht durch n theilbar. Setzen wir für x eine solche 
ganze Zahl «, dass /(«) durch 7i theilbar wird, so sagen wir 
(nach Analogie der Gleichungen), a sei eine Wurzel der Con- 
gruenz m^^"" Grades: 

(2) f(x) = (mod n). 

Wird « um ein Vielfaches von n vermehrt, so bleibt es 
Wurzel der Congruenz (2). Solche nach dem Modul n con- 
gruente Wurzeln gelten nicht als verschieden. Unter dieser 
Voraussetzung können wir den Satz aussprechen: 

1. Eine Congruenz m*^° Grades für einen Primzahl- 
modul kann nicht mehr als m verschiedene 
Wurzeln haben. 

Der Satz ist richtig für »i= 1, denn die Congruenz aoX-\-a^O 
(mod n) hat nur eine Wurzel, nämlich, wenn «o so bestimmt wird, 
dass «0 ^0 ^ 1 (mod m) ist, « ^ — aa'o (mod n). Wir nehmen 
unseren Satz also jetzt als bewiesen an für den Grad m — 1 
und leiten seine Richtigkeit für den Grad m daraus her. Nach 
§. 4 können wir, wenn zunächst a beliebig ist, setzen 

(3) /W-/W ^^(^) 

worin /, (x) eine ganze Function vom (m — 1)*^'' Grade ist, die, 
wenn « eine ganze Zahl ist, ganzzahlige Coefficienten hat. Wenn 
also /(aj ^ ist, so folgt aus (3) 

(4) f(x) = {x — u) /i (x) (mod n). 

Jede Wurzel ß der Congruenz (2) muss also der Bedingung 
(ß — u) /i (ß) ^ (mod )/) genügen. Also ist entweder ß — a 
oder /i (ß) durch n theilbar. 

Nun giebt es nach Voraussetzung höchstens ni — 1 Werthe 
/3, für die /i (/3) durch n theilbar wird; giebt es also noch eine 
w*« Wurzel von (4), so muss diese gleich a sein. 

Wenn also eine Congruenz von der Form /(;r) ^ (modw) 
mehr Wurzeln hat, als ihr Grad beträgt, so schliessen wir, dass 
die Congruenz identisch ist, d. h. dass alle Coefficienten von f(x) 
durch n theilbar sein müssen. 

30* 



468 Zwölfter Abschnitt. §. 143. 

Dieser Satz ist, wie man sieht, ganz analog dem alge- 
braischen Satze, dass eine Gleichung nicht mehr Wurzeln haben 
kann, als ihr Grad angiebt. Es lässt sich aber nicht der andere 
Satz übertragen, dass jede Gleichung auch wirklich so viele 
Wurzeln hat. Eine Congruenz m*°'^ Grades kann weniger, selbst 
gar keine Wurzeln haben. Um so bemerkenswerther ist eine 
besondere Congruenz, bei der die Zahl der Wurzeln immer dem 
Grade gleichkommt, auf Grund eines Lehrsatzes, der der 
Fermat'sche Lehrsatz genannt wird, und den wir hieu so 
formuliren. 

2, Die Congruenzen 

(5) a;» — X ^0, a;"-i — 1 = (mod n) 

haben, wenn n eine Primzahl ist, so viele Wurzeln 
als ihr Grad beträgt, nämlich n und 7i — L 

Beide Behauptungen sind nicht wesentlich verschieden, denn 
die erste der Congruenzen (5) hat alle Wurzeln der zweiten und 
ausserdem die Wurzel 0, die der zweiten nicht genügt. Ebenso 
hat die zweite alle Wurzeln der ersten, mit Ausnahme der 
Wurzel 0. 

Da es nun für den Modul n überhaupt nur n verschiedene 
Zahlen giebt, so ist also zu beweisen, dass für jede ganze Zahl 
a die Congruenz besteht 

(6) a" ^ a (mod n). 

Diese Congruenz ist richtig für oc = und a = l. Wir 
beweisen sie also wieder durch vollständige Induction, indem wir 
aus der als richtig vorausgesetzten Congruenz (6) die Richtig- 
keit von 

(7) (a -|- 1)" = a 4- 1 (mod n) 

ableiten. Dies ist aber aus dem binomischen Satz zu schliessen, 
wenn man beachtet, dass alle Binomialcoefficienten, mit Aus- 
nahme des ersten und des letzten, die gleich 1 sind, nämlich 

n(n — 1) n(ti — 1) (m — 2) 

**' rv2 ' 1.2.3 '*•• 

durch n theilbare ganze Zahlen sind (§. 12). Demnach ist 

(a -f 1)" = K» -|- 1 (mod «), 

also folgt die Formel (7) aus der Formel (6). 
Die Differenz 

x(x — 1) (a; — 2) ... (x — n -\- 1) — x"* ~\- x 



§. 143. Primitive Congruenzwurzeln. 469 

ist eine Function, höchstens vom n — 1*^^ Grade. Sie ist aber 
für n Werthe von x, nämlich für a? = 0, 1, 2, . . ,, w — 1 con- 
gruent mit Null, und daher haben wir identisch 

x{x — 1) (^ — 2) . . . (x — n -{- 1) ^ X" — X (mod n). 

Daraus ergiebt sich der "VVilson'sche Lehrsatz: 

1 . 2 . 3 . . . (w — 1) = — 1 (mod n), 

wenn man die Coefficienten der ersten Potenz von x beiderseits 
vergleicht. 

Wir beschränken uns jetzt auf die zweite der Congruenzen (5) 

(8) ^"-1 = 1 (mod n) 
und beweisen zunächst den Satz: 

3. Ist a ein Theiler von n — 1, so hat die Congruenz 

(9) X'' ^ l (mod n) 
genau a verschiedene Wurzeln. 

Denn es ist, wenn n — l = ab ist, 

a;"-i — 1 = (x" — 1) (x"^^-'^ -f- a;«(''-2) 4- p a:« + 1), 

und da jede Wurzel der linken Seite Wurzel entweder des einen 
oder des anderen Factors auf der rechten Seite sein muss, so 
folgt, dass, wenn x" — 1^0 weniger als a Wurzeln hätte, der 
zweite Factor mehr Wurzeln haben müsste, als sein Grad angiebt 
entgegen dem Satz 1. 

Ist a eine durch n nicht theilbare Zahl, und a die kleinste 
positive Zahl, für die a" ^ 1 (mod n) wird, ist ferner h irgend 
eine positive ganze Zahl, für die cc^ ^ 1 (mod n) ist, so ist a 
nothwendig ein Theiler von h, insbesondere also a ein Theiler 
von 71 — 1. 

Denn setzen wir h = qa -{- a\ worin q eine ganze Zahl und 
a' < a ist, so ist auch «"' ^ 1; also muss a' = sein, weil a die 
kleinste positive Zahl sein sollte, wofür diese Congruenz befriedigt ist. 

Eine Wurzel « der Congruenz (9) von der 
Eigenschaft, dass keine niedrigere als die a*^ 
Potenz der Einheit congruent wird, heisst eine 
primitive Wurzel dieser Congruenz, oder primi- 
tive a*^ Congruenzwurzel der Primzahl w, und eine 
primitive Wurzel g der Congruenz (8) nennen wir 
auch kurz eine primitive Wurzel der Primzahl n. 



470 Zwölfter Abschnitt. §. 143. 

Wir wollen beweisen, dass für jede Primzahl n primitive 
Wurzeln existiren und ihre Anzahl bestimmen, und gehen dabei 
denselben Weg, wie bei den Einheitswurzeln. 

Es seien a und h zwei Theiler von n — 1 , die unter sich 
relativ prim sind, und a eine a*% ß eine &*^ primitive Congruenz- 
wurzel von n. Setzen wir ab = c, so ist y = a/3 eine primi- 
tive c*^ Congruenzwurzel, und umgekehrt lässt sich auch jede 
primitive c*® Congruenzwurzel in der Form aß darstellen. 

Denn es ist erstens: (ußy=(/S ß''^l (mod n), und zweitens: 
wenn (a/3)'' = c/J' ß^' ^ 1 (luod n) ist, so ist auch aJ'^' ß^^' ^ 1, 
also c/J'^ ^ 1, also hb durch a theilbar, also auch h durch a 
theilbar, und ebenso schliesst man, dass Ji durch &, also auch 
durch ab = c theilbar sein muss, d. h. aß ist primitive c*® 
Congruenzwurzel. 

Ist umgekehrt y eine primitive c*^ Congruenzwurzel, so 
bestimmen wir die positiven ganzen Zahlen x, y so, dass 

(10) ay -\- bx ^ 1 (mod c) 

wird, indem wir zunächst x aus bx =1 (mod a), und dann y 

aus y ^ (mod b) bestimmen. Dann ist y relativ prim 

zu 5, und X relativ prim zu a. Hiernach ist 

y ^ y^^yax ■= aß (mod m), 

und y^^ ^ a ist primitive a*® Congruenzwurzel, y"^ = ß primi- 
tive b^^ Congruenzwurzel (weil «'' = y''^'* nur dann ^1 sein 
kann, wenn h durch a theilbar ist). 

Es ist noch zu zeigen, dass die Producte aß alle von ein- 
ander verschieden sind, d. h. dass die Congruenz 

(11) aß = a'ß' (mod n), 

wenn a, «'; /3, ß' primitive a*^ und b^^ Congruenzwurzeln sind, 
nur befriedigt werden kann, wenn 

a ^ «', ß ^ ß' (mod n) 

ist. Dies folgt aber nach (10), wenn man (11) in die Potenz 

hx ^ \ (mod a) 

erhebt, woraus sich « ^ aJ ergiebt, und dann auch ß ^ ß'. 

Bezeichnen wir also die Anzahl der primitiven a^^^ Con- 
gruenzwurzeln mit cp (a), so folgt aus dem Bewiesenen 

(12) cp{e)^cp(a)cpib). 



§. 143. Primitive Congruenzwurzeln. 471 

Es bleibt noch übrig, wenn p eine Primzahl und ppi eine 
in « — 1 aufgehende Potenz von ^ ist, (p(ppi) zu bestimmen. 

Ist ci eine nicht primitive Congruenzwurzel vom Grade p'', 
und 2J^~^ = Pii so ist, wenn «'' die niedrigste nach dem Modul 
Ol mit 1 congruente Potenz von cc ist, h ein Theiler von pp^^ 
d. h. eine Potenz von jj; da h aber kleiner als pj)^ sein soll, so 
ist es auch ein Theiler von p^ , und folglich ccPi ^ 1 (mod n), 
also: eine nicht primitive Congruenzwurzel des Grades |)jjj ist 
zugleich eine Congruenzwurzel des Grades pi- Umgekehrt ist 
jede Congruenzwurzel des Grades ])i zugleich eine imprimitive 
Congruenzwurzel des Grades ppi. Da nun die beiden Con- 
gruenzen xpp^ ^ 1, xp^ ^ 1 so viele Wurzeln haben, als ihr Grad 
beträgt, so bleiben ^^Ji — 2^i primitive Congruenzwurzeln 
der ersten übrig, und es ist also 
(13) fPiPlh) =lh{p - !)• 

Die Function (p{a) hat also dieselbe Bedeutung, wie im §. 140, 
und es ist damit zugleich die Anzahl der primitiven Wurzeln 
der Primzahl n gleich q)(n — 1) gefunden. Wir sprechen also 
noch den Satz aus: 

4. Eine Primzahl n hat (p{n — 1) primitive Wurzeln. 
Damit ist die Existenz von primitiven Wurzeln für jede 

Primzahl nachgewiesen und zugleich ihre Anzahl bestimmt. Zur 
Auffindung der primitiven Wurzeln haben wir freilich keine 
andere allgemeine Methode als das Probiren, was durch einige 
Kunstgriffe etwas abgekürzt werden kann. 

Ist g eine primitive Wurzel der Primzahl >«, so sind die 
Reste der Potenzen 

(14) h 9, (A 9\ -^ : g''-' 

alle von einander verschieden, da, wenn ^'" ^ ^"' + ." wäre, g'' ^ 1 
sein müsste, was nicht möglich ist, so lange ii positiv und kleiner 
als n — 1 ist. Es muss also unter den Resten der Reihe (14), 
unter denen der Rest nicht vorkommt, jede der Zahlen 

(15) 1, 2, 3, . . ., n - 1 

und jede nur einmal enthalten sein, oder mit anderen Worten: 

5. Ist a eine durch n nicht theilbare Zahl, so 
giebt es eine und nur eine Zahl « aus der Reihe 
der Zahlen 0, 1, 2, . . ., m — 2, durch die die Con- 

gruenz 

(16) ^" = a (mod n) 



472 Zwölfter Abschnitt. §, 143. 

befriedigt wird. Dieselbe Congruenz wird aber 
auch befriedigt, wenn als Exponent eine mit a 
nach dem Modul w — 1 congruente Zahl gesetzt 
wird, und man findet in jedem vollen Restsystem 
nur eine solche Zahl «. 
Der Exponent a heisst der Index von a in Bezug auf die 
Basis ^, und es wird geschrieben 

(17) a ^ inda (mod n — 1). 

Man hat also für jede durch n nicht theilbare Zahl 

(18) g^^" ^ a (mod n). 
Aus den beiden Formeln 

(19) ^inda + indö ^ ^ J^ gm ind a ^ (j^ni (^modw) 

ergiebt sich der Satz : 

6. Der Index eines Productes ist gleich der 
Summe der Indices der Factoren; der Index 
der m^^'^ Potenz von a ist gleich dem m fachen 
des Index von a. 

Diese Sätze sind ganz analog den entsprechenden Sätzen, 
die sich auf die Rechnung mit Logarithmen beziehen, und die 
Analogie lässt sich noch weiter verfolgen. So wird z. B. der 
Uebergang von einer Basis g zu einer anderen Basis g' durch 
die Formel 

.3 .3.9' 

(20) inda ^ ind?;' inda (mod n — 1) 

vermittelt. 

Wir wollen noch den leicht zu beweisenden Satz anführen, 
dass unter den durch n nicht theilbaren Zahlen a die und 
nur die j^rimitive Wurzeln sind, deren Indices relativ prim zu 
n — 1 sind. 

Für praktische Rechnungen bedient man sich zweckmässig 
sogenannter Indextabellen, die den Logarithmentafeln entsprechen. 

Man nennt in der Congruenz (17) a den Index und a den 
Numerus, und stellt am besten zwei Tabellen auf, von denen die 
eine zu jedem Index den Numerus, die andere zu jedem Numerus 
den Index giebt, wo die zweite durch Umstellung aus der ersten 
gewonnen wird. Dabei ist zu beachten, dass für die Indices der 
Modul n — 1, für die Numeri der Modul n in Betracht kommt 
und congruente Zahlen als gleichwerthig gelten. So erhält man 
z. B. für n = 13 und die Basis 2 



§. 143. Primitive Congruenzwurzeln. 473 



1 


012 3 456789 10 


11 


N 


1 2 4 8 3 6 12 11 9 5 10 


7 



N 



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 



Index gleich oder n — 1 ist, den Index — - — haben; in 



014295 11 38 10 7 6 

Im Canon Arithmeticus von Jacobi (1839) sind für alle 
Primzahlen im ersten Tausend Indextabellen zusammengestellt. 
In kleinerem Umfange nach Berechnungen von Ostrogradsky 
in der „Theorie der Congruenzen" von Tschebyscheff (deutsch 
von Schapira, Berlin 1889). 

Es ist noch zu bemerken, dass der Index von 1 immer gleich 

ist, und dass der Index von — 1 (oder von n — 1) immer gleich 

^ \ 

— - — ist. Denn da ( — \f den Index oder n — 1 hat, so 

muss • — 1, da es nicht den Index hat, und das Doppelte seines 

Index gl( 

Formeln : 

(21) ind 1 = 0, ind(— 1) = (mod n — 1). 

Ist n eine Primzahl, und m nicht durch n — 1 theilbar, so 
giebt es immer wenigstens eine durch n nicht theilbare Zahl A", 
so dass Z;'" nicht mit 1 congruent ist. Denn ist m' der Rest von 
m nach dem Modul n — 1, so ist Ä;'" ^ Ä;"'' (mod w), und die 
Congruenz x'"' ^ 1 hat weniger als n — 1 Wurzeln. Folglich 
giebt es eine durch n untheilbare Zahl 7j, die nicht Wurzel 
dieser Congruenz ist. Nun durchläuft aber 1;x zugleich mit x 
ein volles Restsystem nach dem Modul n (§. 123), und wir 
haben daher 

2:^;"' = ZQix)»" (mod w), 
oder 

ßm — 1) Zx"' = (mod n). 

Daraus ergiebt sich für jeden durch n — 1 nicht theilbaren 
Exponenten m 

(22) Ä Ux'" ^ (mod w), [m nicht ^0 (mod n — 1)], 
wenn x ein volles Restsystem für den Modul n durchläuft. 

Ist aber m durch n — 1 theilbar, so ist x'^ für jedes durch 
n untheilbare x mit 1 congruent, und wir erhalten direct 

(23) Ux"^ = — 1 (mod w), [m = (mod n — 1)]. 



474 Zwölfter Abschnitt. §. 144. 

Diese Sätze lassen sich auch dadurch beweisen, dass man x 
durch eine Potenz einer Primitivwurzel g darstellt, und zeigen 
eine weitere Analogie der Potenzreste mit den Einheitswurzeln. 



§• 144. 

Multiplication und Theilung der trigonometrischen 

Functionen. 

Wir haben schon auf den Zusammenhang hingewiesen, der 
zwischen der Theorie der Einbeitswurzeln und der geometrischen 
Aufgabe der Theilung der Kreisperipherie besteht. Die Ver- 
allgemeinerung dieser Aufgabe führt auf die Theilung eines 
beliebigen "Winkels. Auch diese Aufgabe führt auf algebraische 
Gleichungen, von denen wir die für die Dreitheilung schon früher 
für die allgemeine Auflösung der cubischen Gleichungen benutzt 
haben (§. 120). 

Wir beginnen jetzt mit der Aufstellung der allgemeinen 
Formeln. 

Nach dem Moi vre' sehen Satze (§. 36 j ist, wenn n eine 
beliebige positive ganze Zahl und cp ein beliebiger Winkel ist, 

(1) cos n(p -{- i sin n (p = (cos (p -\- i sin g))", 

und wenn wir auf der rechten Seite den binomischen Satz an- 
wenden, so folgt durch Trennung des Reellen vom Imaginären 

cos 11 (p = cos qp»» — B^^^ cos" "2 (psin- q) 

-\- 5(»"cos"-*QPsin4(p — • • •. 

(2) . -r . H^ ^ 

' sin w qp , -r,, . o • „ 

— ; — = n cos"~"^ OD — i>-,"^ cos"~3 qp sm2 qp 

sm qp T ö 

-\- 5^») cos"-^ qp sin* qp — • • •, 

worin B["' wie früher die Binominalcoefficienten sind, und die 
Summen auf der rechten Seite so weit fortzusetzen sind, als keine 
negativen Exponenten von cos qp vorkommen. Da nun sin^ qp 
= 1 — cos- qp ist, so lassen sich diese beiden Ausdrücke rational 
durch cos qp darstellen ; wir setzen 

(3) 2cosqp = X, 
und führen die Bezeichnung ein 

(4) 2cosn(p = Än(x), —. — - = Bn(x), 
^ ^ ^ ^ ^ sin qp 



§. 144. Trigonometrische Functionen. 475 

worin also An(x) und B^ix) ganze Functionen von x sind, An{x) 
vom Grade w, Bn(x) vom Grade n — 1. Wir wollen das allgemeine 
Gesetz dieser Functionen ermitteln. Wir stellen sie für die ersten 
Werthe w = 1, 2, 3, . . . auf, und leiten dann eine Recursionsformel 
zur Berechnung der höheren Functionen ab. Man findet 

Ai (x) = X, -Bi (x) = 1 

(5) ^2 [x) = a;2 — 2, 1?, (x) = x 

A3 (x) = x-^ — Sx, B^^x) = x^ — \. 
Nun ist aber nach bekannten Formeln 

cos (n -j- 1) g? -|- cos (n — 1) g? = 2 cos q) cos n cp 
sin (n -\- l)(p -\- sin (w — 1) ^ = 2 cos qp sin n g?, 
woraus für An und J5„ die Recursionsformeln folgen: 

A„^l(x) == X An (X) — An-i (X), 
^ ^ Bn + i(x) = xBn (X) — Bn-i (x). 

Daraus kann man A„, B„ für jedes beliebige n berechnen, 
wenn diese Functionen für n = 1 und n = 2 bekannt sind. So 

findet man 

A^(x) = a:* — 4a;2 -f 2 

A^ (x) = x'^ — bx^ -^ öx 

Ae (x) = X'- — ex* -\- 9x^ — 2 

Bi (x) = x^ — 2x 

B, {x) = X* — 3x-^ ^ l 

B(,{x) = x-^ — 4. x^ -\- 3 X, 
und so kann man fortfahren. Man kommt durch Induction zu 
folgendem allgemeinen Gesetz: 

n wn-.-> „ n., r. = = n 



(7) An{x) = i:{-\y-^B[-'^x--^\ 



n — V 



2' 



y Yl 1 

(8) Bn{x) = 2; (- \y B':-'-'' x—^^-\ ^ V ^ ^— , 

wo die Summen mit v =: beginnen, und so lange fortzusetzen 
sind, als die Exponenten von x nicht negativ werden. 

Da sich diese Formeln in den ersten Fällen als richtig 
erweisen, so ist, um sie allgemein zu beweisen, nur noch der 
Nachweis nöthig, dass sie die Formeln (6) verificiren. Bilden 
wir zu diesem Zweck 

An-^{x) = i f-iy - '^~^ , Bl" — ''x-'^-\ 

^'^ ^W V 1 



476 Zwölfter Abschnitt. §. 144. 

und setzen v — 1 an Stelle von v, so folgt 

(9) An-, {x) = -i (- 1)^ ^"^^ JB';s:'^x—'^+\ 

^ n — V 

. _ _ n+ 1 
1 < v<~^ 

Wenn wir JB[ü\ = annehmen, können wir auch hierin v 
von an wachsen lassen. 

Die Werthe, die v in der Formel (7) annimmt, unterscheiden 
sich dann von denen in der Formel (9) nur wenn n ungerade 
ist, weil dann der Werth v = (n -|- 1) • 2 in (9), aber nicht in 
(7) vorkommt. Wir können aber diesen Werth in (7) zufügen, 
wenn wir einen Binomialcoefficienten JB[X+ii in dem der untere 
Index den oberen übertrifft, gleich annehmen. Dann er- 
giebt sich 

(10) xÄn(x) — Än-i(x) 

^^ n — V ^ ^ — 2 

Nun ist aber, wie sich aus §. 7 (9) ergiebt, 

n — V n ^ V -\- 1 

auch in den beiden Grenzfällen v = 0, y=^(n-J-l):2, und 
somit stimmt also (10) mit dem überein, was sich aus der 
rechten Seite von (7) durch Vertauschung von n mit n -f- 1 
ergiebt. 

Noch einfacher ergiebt die Formel (8) 

xBJx) - Bn-,{x) = i (- lyx—'^^' (J5t"-*-^) + -Bl-"/"'0. 
und da 

ist, so ist damit auch (8) allgemein bewiesen. 

Der Uebersicht halber setzen wir die P'ormeln etwas aus- 
führlicher her: 

(11) An{x) = x'' — wa:»-2 

n{n — ?,) n(».-4)(n-5) 

+ 1.2^ 1.2.3 "" + 



§. 144. Theilung des Winkels, 477 

(12) -B„ (x) = a;"-i — {n — 2) a;"-^ 
(^-3) (^-4) _ (n-4)(n-5)(n-6) 

"T" 1.2 1.2.3 ^i-- 

Nehmen wir coswgj und iinncp als gegeben an, so dient 
die Gleichung w*^"^ Grades 

(13) -^nix) — 2 cos n 9? = 

zur Bestimmung der Unbekannten x = 2 cos g). Die Bedeutung 
der n Wurzeln dieser Gleichung ergiebt sich daraus, dass der 
Cosinus sich nicht ändert, wenn der Winkel um ein Vielfaches 
von 2 7t wächst. Demnach genügt der Gleichung (13) jeder 
Werth 

(14) a;==2cos(9. + ^), 

wenn v eine beliebige ganze positive oder negative Zahl bedeutet. 
Man erhält aber alle von einander verschiedenen Werthe von 
(14), wenn man v ein volles Restsystem in Bezug auf n durch- 
laufen lässt, also z. B. V = 0, 1, 2, . . ., n — 1 setzt, und man 
sieht auch leicht, dass diese n Werthe alle von einander ver- 
schieden sind, wenn man von dem besonderen Falle absieht, 
dass (p ein Vielfaches von 7i:n ist. Denn zwei Cosinus sind nur 
dann einander gleich, wenn die Summe oder die Differenz der 
Winkel ein Vielfaches von 2 jr ist. 
Die Gleichung 

(15) sin ng) = sin cp Bn (x) 

bestimmt, wenn JBn{x) nicht gleich Null ist, sin cp eindeutig 
durch X. 

Suchen wir in der Gleichung (13) das von x unabhängige 
Glied, so ergiebt sich mit Benutzung von (6) für ein gerades n 

n 

2( — 1)^ — 2 cos w 9, 

und für ein ungerades n 

— 2 cos n (p , 

und wenn man dies dem positiven oder negativen Product der 
Wurzeln gleichsetzt, so erhält man für ein gerades n 

(16) 2"-^ JI cos (qp -| j =:r (— 1)2 _ cosng), 

und für ein ungerades n 



478 Zwölfter Abschnitt. §. 144. 

'' / 2v TT \ 

(17) 2"-^ TT cos f 9? H \ = cos ncp, 

und diese Formeln gelten, da rechts und links stetige Functionen 
von g? stehen, auch noch für den zunächst ausgeschlossenen Fall, 
wo 9 ein Vielfaches von 7t : n ist. 

Hierin können wir unter demProductzeichen vm für r setzen, 
wenn m irgend eine zu w theilerfremde Zahl ist, weil dann vm 
zugleich mit v ein volles Restsystem nach dem Modul n durch- 
läuft. Sondern wir den Werth v = ab, und lassen dann v 
sowohl die positiven als die negativen Zahlen durchlaufen, die 
absolut kleiner als n : 2 sind, so erhalten wir aus (17) die für 
jedes ungerade n gültige Formel 

JL / , 2vm7i\ / 2vmTc\ cos nw 

(18) 2«-i JI ^cos [cp + -^^) cos [cp ^— j - 



'' 2 



cosqo 



Setzen wir hierin (p = und ziehen die Quadratwurzel, so 
ergiebt sich 

(19) 2"-?n cos^ü^ = +l, 



«-1 n 

1, 



2 

worin einstweilen das Vorzeichen noch unbestimmt bleibt. 

Wenn wir aber in (18) cp in 7i:2 übergehen lassen, so erhält 
die rechte Seite, die sich unter der unbestimmten Form : 

u — 1 

darstellt, den Grenzwerth (—1) ^ w, und wir erhalten Avieder 
die Formel, die wir im §. 142 für eine Primzahl n abgeleitet 
haben, allgemein für jedes ungerade n 

^ — ^ V 2vm7C I T /~ 

(20) 2 2 n sin ^ = + Vn, 

«-1 

^' 2 

und für m = l ist das positive Zeichen zu nehmen. 

Die Function Bn, die in Bezug auf x vom {n — ly^"" Grade 
ist, verschwindet nach (4), wenn n (p, aber nicht (p ein Vielfaches 
von 7C ist, also für 

(21) X =^ 2 cos — , 
^ ■' n 

worin li eine ganze, nicht durch n theilbare Zahl ist. Nehmen 
wir zunächst n gerade an, so erhalten wir alle in (21) enthaltenen 
verschiedenen Werthe, wenn wir für m eine beliebige zu n 
theilerfremde Zahl setzen und 



§. 144. Theilung des Winkels. 479 

(22) h = m, 2 m, 3 m, . . ., {n — 1) m 

annehmen; denn es ist nur dann 

h 7C h' n 

cos — = cos — , 
n n 

wenn entweder h -\- h' oder h — li' ein Vielfaches von 2 n ist, 
was nicht eintreten kann, wenn h und h' beide aus der Reihe 

(22) genommen sind. 

Unter den VVerthen (21) ist einer, nämlich der dem Werth 
]i = nm : 2 entsprechende, gleich Null und die übrigen sind paar- 
weise entgegengesetzt. Hiernach ergiebt sich für ein gerades n 

(23) B„ (_x) = x h (x^- — 4 cos2 "^^^^ • 

Wenn n ungerade ist, so ist Br.{x) nur von x'^ abhängig; 
also sind je zwei der Werthe (21) entgegengesetzt gleich (für h 
und h -\- n). Wenn man, indem man wieder m zu n relativ prim 
voraussetzt, 

h = 2m, im, 6m, . . ., (n — l)m 

annimmt, so erhält man in (21) weder zwei gleiche, noch zwei 
entgegengesetzte Werthe, und es ergeben sich alle von einander 
verschiedenen Werthe von x^. 

Es wird also für ein ungerades n 

(24) Bnix)=n (x^ - icos^^J^^. 

Setzen wir in dieser Formel 

• „ N „2vm7t , . ^2vmn 
X = 2 cos op, :r2 = 4 ( 1 — sin2 m), cos^ = 1 — sm^ 

so können wir sie so darstellen: 

(25) —. — -^ = (—1)2 2"-i n (sm^o) — sin2 ), 

^ sing) ^ ^ „_A ^ n J 

woraus wieder für (p = die Formel (20) folgt. 

Da coswqp bei ungeradem n verschwindet, wenn 

2vm7t 



cos g) = + sin 



n 



ist, so haben wir damit für diesen Fall auch die Factoren- 
zerlegung der Function Än(x) gefunden. Es ist für ungerades n 



480 Zwölfter Abschnitt. §. 145. 

»■ / ^ VW, 7t\ 

(26) Än(x) = X n (x-^ — 4sm2^ V 

Die Grössen 

.r.^ • « 2 vmjr 

(27) « = sm2 

sind also die Wurzeln einer algebraischen Gleichung vom Grade 

(n — 1) : 2 

0n(x) = 0, 

und wir erhalten die Function ^„(x), wenn wir an Stelle der 
Variablen x- in der Function Än(x) : x eine neue Variable 4 a; 
setzen und durch 2"~^ dividiren. Es wird daher [Formel (11)] 

(28) 0n(x) = n(x-a) 

= X2 -jx. + \^ 16^^ ' 

und für (25) können wir schreiben 

(29) smjr^ ^ »^ 2«-i /7 (sin2 (p — «). 
^ '^ sin 9? ^ ^ ^ 



§. 145. 
Vorzeichenbestimmung. Quadratische Reste. 

Wir haben im vorigen Paragraphen zwei Formeln abgeleitet, 
in denen noch Vorzeichen zu bestimmen waren, nämlich 

(1) r^ h cos ^^^ = ± 1, 

(2) 2 2 TT sm = -\- 1/w, 

worin w relativ prim zu der ungeraden Zahl n ist, und v die 
Reihe der Zahlen 

00 1, 2, . . , ^ 

durchläuft. Wir wollen das Zeichen v für die Zahlen dieser 
Reihe hier festhalten. 

Jede beliebige ganze Zahl giebt bei der Theilung durch n 
als Rest eine der Zahlen v oder oder [n — v. Statt n — v 
können wir, wenn wir auch negative Reste zulassen, — v wählen, 
und wenn wir also von den durch n theilbaren Zahlen absehen, 



§. 145. Quadratische Reste. 481 

SO bleibt eine der Zahlen +v als Rest. Wir nennen diese den 
absolut kleinsten Rest (zum Unterschied von dem kleinsten 
Rest im gewöhnlichen Sinne, der aus den Zahlen l, 2, ..., n — 1 
genommen ist). 

Es sei nun also m eine zu n theilerfremde Zahl; wir be- 
trachten die Reihe der Zahlen 

(mv) m, 2m, 3 m, . . ., — ^ — w, 

und bilden zu jeder den absolut kleinsten Rest q: 

(q) ±^1, +^2, ±n^ ' • •, ±VL(n-lV 

unter diesen Zahlen q kommen nicht zwei gleiche und auch 
nicht zwei entgegengesetzte vor; denn wenn die Summe oder die 
Differenz zweier Zahlen (p), also Q -^ q' oder q — q' gleich Null 
wäre, so müsste für zwei verschiedene Zahlen v, v' aus (v) 

w(v i v') 
durch n theilbar sein, also müsste auch v + v' durch n theilbar 
sein, was unmöglich ist, da jede der Zahlen v, v' kleiner als 
n : 2 ist. 

Die Gesammtheit der Zahlen (q) stimmt also, vom 
Vorzeichen und von der Reihenfolge abgesehen, mit 
der Gesammtheit der Zahlen (v) überein. 

In den Formeln (1) und (2) können wir aber, wegen der 
Periodicität von Sinus und Cosinus, vm durch q ersetzen, und da 
cos ( — g)) = cos <jp ist, §0 können wir in der Formel (1) mv 
auch durch v ersetzen, d. h, das Vorzeichen ist von m nicht 
abhängig. Um es zu bestimmen, berücksichtigen wir, dass der 
Cosinus eines Winkels im ersten Quadranten positiv, im zweiten 
Quadranten negativ ist, dass also das Vorzeichen in (1) positiv 
oder negativ ist, je nachdem von den Winkeln 

2v7t 

n' 

eine gerade oder eine ungerade Anzalil im zweiten Quadranten 

liegt, oder je nachdem eine gerade oder eine ungerade Anzahl 

von Zahlen v zwischen -- und ^ liegt. 

Wir bezeichnen, wenn x irgend eine nicht ganze Zahl ist, 
mit E{x) die grösste ganze Zahl, die kleiner als x ist, so dass 
X zwischen E{x) und E{x) -j- 1 liegt. Die Anzahl der ganzen 

Weber, Algebra. I. 31 



482 Zwölfter Abschnitt. §. 145. 

Zahlen, die zwischen zwei Zahlen x und y liegt, ist dann gleich 
jE'(i/j — E{x), und wir haben also zu untersuchen, ob 



Kf)-K!) 



eine gerade oder eine ungerade Zahl ist. Wir müssen vier Fälle 
unterscheiden, wie sich aus der folgenden Zusammenstellung 
ergiebt, w^orin Tc eine nicht negative ganze Zahl bedeutet: 



n 



n 



n 



= 8 A: + 1, J^d") = 4 h e(^j) = 2 h 

= 87.- + 3. i;(|.) = 4/.-+l, £(J) = 27^, 
= 8/.- +5, ^(|-) = 4Ä-+2, e(^j^ = 2Tc-^1, 

w = 8/^ + 7, e{~'\ = ih^3, Efj\ = 2h-{-l. 

Es ist also in (1) das positive Zeichen zu nehmen, wenn n 
von der Form BZ: -j- 1 oder 8Ä; -j- 7, das negative, wenn n von 
der Form 8A' -j- 3 oder 8fc -f- 5 ist. In den ersten Fällen ist 

w2 — 1 

— eine gerade, in den beiden letzten eine ungerade Zahl, 

o 

und demnach erhalten wir die genaue Formel (1): 

(3) 2^ n cos ^-"^^ = (- l)-y- . 

In der Formel (2) hängt das Vorzeichen von ni ab; es ist 
positiv oder negativ, je nachdem unter den Zahlen (q) eine 
gerade oder eine ungerade Anzahl negativer vorkommt. 

Wir setzen nun, um die Abhängigkeit des Vorzeichens von 
m und n in der Bezeichnung auszudrücken, für (2) 

(4) 2. f_^^"'-^- = (^)W. 



1, 



2 



worin 



ist. 

— j ist von einer anderen Seite her und in 

speciellerer Fassung von Legrendre in die Zahlentheorie ein- 
geführt und von Jacobi verallgemeinert worden. Wir wollen 



§. 145. Quadratische Reste. 433 

es das Legendre'sche Symbol nennen. Seine Bedeutung für 
die Zahlentlieorie wird sich gleich ergeben; zunächst haben wir 
den Satz : . 

^y gleich -|- 1 oder gleich — 1, je nach- 
dem die Anzahl der negativen unter den absolut 
kleinsten Resten von mv eine gerade oder eine 
ungerade ist. 
Für m = 1 gilt, wie wir schon gesehen haben, das positive 
Zeichen in der Formel (2); also haben wir, wie auch die 
Formel (4) direct zeigt, 

a) = +^- 

Verwandeln wir m in — m, so ändert sich in allen Factoren 
des Productes auf der linken Seite von (4) das Vorzeichen; da 

die Anzahl der Factoren — - — beträgt, so ergiebt sich 






und für m 

' JN n — 1 



4 

Setzen wir 2 m für m und benutzen die Formel 

. ^vmn ^ . Ivmn 2vm7c 

= 2 sin cos , 

n n 

«2—1 



sm - 






n 


so folgt aus (3) 




f). 


/2m 




\ n 


und für m 1 




6. 


i 



m=^->)^(T> 



tl«— 1 

8 , 



Aendert man m um ein Vielfaches von w, so bleiben alle 
Factoren des Productes (4) ungeändert, und daraus folgt: 

7. Es ist 

/m\ /m'\ 

VW ~ \n/ ' 

wenn m ^ m' (mod n). 

Wir setzen jetzt nicht nur w, sondern auch m als ungerade 

und positiv voraus und wenden die Formel (29) des §. 144 an, 

in der wir n durch ni ersetzen : 

31* 



484 Zwölfter Abschnitt. §. 145. 

srnrntp ^ ^ »^-il 2^-1 n (sin2 (p - /3), 
^ sm 9 ^ 

worin /3 die säramtlichen Wurzeln der Gleichung ^,„(a;) = 
durchläuft, die den Ausdruck 

(6) ß = sm2 -?^ 

haben. Ist nun m' eine zu « theilerfremde Zahl, so durchläuft 

2 vin' 71 

CJ) « = sm2 

^ ■' n 

die sämmtlichen Wurzeln der Gleichung 0„(a:) = 0, und wenn 

wir in (.5) 

2v m' 71 

(8) f = ^r- 

setzen und das Product in Bezug auf alle v nehmen, so folgt: 
1^ . 2 V mm' 71 

^^'^ n (m — 1) (>i— 1) (m— 1) (n — 1) u ß 

n sm 

Die rechte Seite dieser Formel ist aber von m' ganz unab- 
hängig. Der Werth der linken Seite ist also derselbe, als ob 
w' = 1 wäre, und wenn man für die Producte die Werthe aus 
(4j setzt, so folgt 

/mm'\ /m'\ /niX . /1\ 

\ n J ' \n J \w/ ' \n/ ' 
oder 



/mm'\ 



i-' = if)(" 



Hier war zunächst vorausgesetzt, dass m und m' positiv und 
ungerade seien. Nach 3. und 5. aber bleibt 8. auch noch richtig, 
wenn m oder m' negativ oder gerade ist, wenn nur m und m' 
relativ prim zu n sind. 

Nehmen wir wieder m ungerade und positiv an, so folgt 
jetzt aus (4) und (9) 

/m\ (»1 — 1) (n — l) (m — 1) (n — 1) a ji 

(10) r-^J = (- 1) — 4 2 — 2 nn{a- ß). 

Wenn wir hierin m mit n vertauschen, so ändert in dem 
Doppelproduct auf der rechten Seite jeder Factor sein Vorzeichen; 
alles Andere bleibt ungeändert. Die Anzahl dieser Factoren ist aber 



§. 145. Quadratische Reste. 435 

n — 1 m — 1 



2 2 

und daraus folgt 

^- (»; = (->> ' \mh 

— ) ist ffleich ( — ), wenn von den beiden 

\nj ^ \mj 

ungeraden Zahlen m^ n wenigstens eine von 

— j ist entgegen- 
gesetzt zu (— ), wenn beide Zahlen von der 

\mj 

Form 4fc -|- 3 sind 
Dieser berühmte Satz ist unter dem Namen des Reciproci- 
tätsgesetzes bekannt. Der hier scegebene Beweis rührt von 
Eisenstein her. Man kann mit seiner Hülfe und nach 5. und 6. 

den Werth des Symbols ( — ) sehr schnell ermitteln, indem man 

so verfährt, als ob es sich um die Bestimmung des grössten 
gemeinschaftlichen Theilers von m und n handelte. 

Aus 8. und 9. ergiebt sich noch ein letzter Satz, der gilt, wenn 
n und n' zwei positive ungerade zu m theilerfremde Zahlen sind: 

(?) © = (w)- ; 

Seine Richtigkeit ergiebt sich, wenn m ungerade und positiv 
ist auf Grund der Congruenz 

(11 j (n — 1) in' — 1) 

= (nn' — 1) — (w — 1) — (n' — 1) = (mod 4), 
wenn man auf beide Seiten von 10. die Formel 9. und dann 8. 
anwendet, und wenn m gerade oder negativ ist, aus 4. und 6. 

(fyi\ 
— ) auf ein Product von 
nj 

Werthen (— ) zurückführen, worin p, q Primzahlen sind. Die 

— ) geschieht aber leichter nach 9. ohne diese 

Zerlegung. 

Wir wollen nun noch eine andere Bedeutung des Symbols 

— ] kennen lernen, für den Fall, dass j) eine ungerade Prim- 



486 Zwölfter Abschnitt. §. 145. 

zahl ist, durch die ursprünglich das Symbol von Legend re ein- 
geführt ist. 

Wenn wir alle durch 2^ nicht theilbaren ganzen Zahlen x 
ins Quadrat erheben, und die Reste der Division durch j3 auf- 

ü — 1 

suchen, so erhalten wir im Ganzen nur ^—^ — verschiedene 

Reste, denn erstens geben die Quadrate congruenter Zahlen die- 
selben Reste, und zweitens geben die Quadrate entgegengesetzter 
Zahlen auch dieselben Reste. Wir bekommen also gewiss alle 

Reste, wenn wir die - — ;- Zahlen v 

(v) 1, 2, 3, . . •, ^-=^ 

ins Quadrat erheben. Auf der anderen Seite ergeben auch die 
Quadrate dieser Zahlen v lauter verschiedene Reste; denn es 
kann, wenn v und v' verschiedene von ihnen sind, niemals 

v^ — V'2 T= (v — v') (v + v') 

durch 2^ theilbar sein, weil sowohl v — v' als v -\- v' kleiner als 

2? ist. Von den Zahlen 

(s) 1, 2, 3, . . ., jj - 1 

kommt also die Hälfte unter den Resten von x'^ vor, die Hälfte 
nicht. Die ersteren Zahlen und alle mit ihnen nach p con- 
gruenten heissen die quadratischen Reste von p, die anderen 
die quadratischen Nichtreste von ^. 

Wenn nun m quadratischer Rest ist, so ist die Congruenz 

(12) a;2 ^ m (mod p) 

möglich, und aus 7. und 8. folgt 



f ) - (f ) - (f )^ - + - 



I = -|- 1 , wenn m quadratischer Rest von 

p ist. 

Es ist aber in §. 142, 1. der Satz ausgesprochen, dass, wenn 

— j 

ebenso oft das positive wie das negative Zeichen hat, und daraus 
ersieht man, dass das negative Zeichen gilt, wenn m quadratischer 
Nichtrest ist, es folgt also: 



§. 145. Quadratische Reste. 487 

11. Ist p eine ungerade Primzahl, und m durch p 

nicht t heilbar, so ist ( — j = -|- 1 oder = — 1, 

je nachdem m quadratischer Rest oder qua- 
dratischer Nichtrest von p ist. 

Darin sind alle Hauptsätze über die quadratischen Reste 
enthalten, z. B, nach 8, der Satz: 

12. Das Product zweier quadratischer Reste oder 
zweier Nichtreste ist ein Rest; das Product aus 
einem Rest und einem Nichtrest ist ein Nicht- 
rest. 

Nach dem Fermat'schen Satze (§. 143) ist für jede durch 
p nicht theilbare Zahl m 

wP-i — 1 = (>w 2^ — l) \ni~^ + l) = (mod m). 

Es muss also einer der beiden Factoren 

p — 1 p — 1 

m~2~ _ 1, nf^^ -\- 1 

durch 2) theilbar sein, und es kann auch nur einer von ihnen 
sein, weil sonst auch ihre Diöerenz, die gleich 2 ist, durch p 
theilbar sein müsste. Wenn nun die Congruenz (12) möglich 
ist, so ist 



w 2 ^ xP~^ ^ l (mod p), 

woraus folgt, dass alle quadratischen Reste, deren Anzahl 
\(p — 1) ist, Wurzeln der Congruenz 

i> — 1 
X ^ ^1 (mod p) 

sind. Da aber diese Congruenz nach §. 143 nicht mehr als 
^(t, — 1) Wurzeln haben kann, so sind die quadratischen Nicht- 
reste Wurzeln der Congruenz 



X ^ ^ — 1 (mod p), 

und hieraus folgt der für jede durch p nicht theilbare Zahl ni 
gültige Satz von Euler 

(13) m 2 = i^—j (moAp), 

oder in Worten : 



488 Zwölfter Abschnitt. §. 145. 

13. Die durch p nicht theilbare Zahl ni ist quadrati- 
scher Rest oder Nichtrest von p, je nachdem 

m 2 — 1 oder m ^ -}- 1 
durcli p theilbar ist. 

Wir können noch hinzufügen, dass die quadratischen Reste 
in jedem Indexsysteme gerade Indices haben, die Nichtreste 
ungerade. 

Hieraus lassen sich noch einige weitere bemerkenswerthe 
Folgerungen ziehen. Wir bezeichnen mit a die quadratischen 
Reste, mit b die Nichtreste der ungeraden Primzahl p, so dass 
die Anzahl der a und der h je l{p — 1) beträgt. Mit 11 (a) 
und n(^lj) bezeichnen wir die Producte der sämmtlichen a und 
der sämmtlichen b. Die a und b zusammen enthalten alle 
Zahlen 1, 2, .... ^:* — 1, und es ist daher nach dem Wilson'- 
schen Satze (§. 143) 

(14) n(a) n{b) = — 1 (mod jj). 

Ist b„ ein fester Nichtrest, so durchläuft b,^a nach 12. die 
sämmtlichen Nichtreste b. wenn a die sämmtlichen Reste durch- 
läuft und daraus ergiebt sich nach 13. 

(15j n(b) = b^^ n(a) = — n{a) fmod p). 

Ferner ist, da jedes a dem Quadrate einer der Zahlen 
1, 2, . . ., \(p — 1) congruent ist 

(16) n{a) = (l, 2, 3. . • ., ^-^)' (mod p). 

Die in dem Wilson' sehen Satze vorkommenden Zahlen 
1, 2, . . .• p — 1 kann man aber auch durch die Zahlen 
+ 1, ib2, . . ., -^\{p — Ij ersetzen, und daraus ergiebt sich 

i;, 2, • . ., -^^) = (_ 1)^- (mod pl 



2 

und es folgen also aus (15j und (16) die Formeln 



P + i 



(17) n{a)=i-\)^, n(b) = {-l)^ (modp). 



DRITTES BUCH. 



ALGEBRAISCHE GROSSEN. 



Dreizehnter Abschnitt. 
Die Galois'sche Theorie. 



V §. 146. 
Der K ö r p e r b e g r i f " f . 

Ein System von Zahlen wird ein Zahlkörper genannt, 
wenn es so in sich vollendet und abgeschlossen ist, dass die vier 
fundamentalen Rechenoperationen (die vier Species), die Addi- 
tion, die Subtraction, die Multiplication und die Divi- 
sion, ausgeführt mit irgend welchen Zahlen des Systems, aus- 
genommen die Division durch Null, immer auf Zahlen führen, die 
demselben System angehören. Dieser Begriff, der eine Eintheilung 
der Zahlenarten nach einem natürlichen Gesichtspunkte giebt, ist 
von Dedekind eingeführt (Dirichlet-Dedekind, Vorlesungen 
über Zahlentheorie, 2. Aufl. 1871, §. 159). Er ist für die Algebra 
von der grössten Bedeutung, und es ist nicht gleichgültig, "dafür 
einen bezeichnenden und ausdrucksvollen Namen zu haben. Das 
Wort Zahlkörper ist von Dedekind nach zahlreichen Ana- 
logien gebildet, in denen das Wort Körper (corpus, corps) in ähn- 
licher Weise eine Vereinigung von zusammengehörigen Dingen, 
der eine gewisse Vollständigkeit zukommt, bedeutet. 

Der Begriff des Zahlkörpers kann erweitert und auf alle 
Grössen übertragen werden, mit denen nach den Regeln der vier 
Species gerechnet werden kann, insbesondere also auf rationale 
Functionen irgend welcher Veränderlichen. 

Wir nennen also einen Functionenkörper ein System von 
Functionen von einer oder mehreren Veränderlichen von der 
Beschaffenheit, dass in diesem System die Rechnungen mit den 
vier .Species unbegrenzt ausgeführt werden können und immer 



492 Dreizebiiter Abschnitt. §. 146. 

auf eine bestimmte Function desselben Systems führen (immer 
mit Ausnahme der Division durch Null). Die Veränderlichen 
können ganz von einander unabhängig sein; es ist aber auch 
der Fall nicht ausgeschlossen, dass gewisse Beziehungen zwischen 
ihnen festgesetzt sind, die beim Rechnen zu berücksiclitigen sind. 

Eine Function eines Functionenkörpers gilt nur dann als 
Null, wenn sie identisch, d. h. für alle in Betracht kommenden 
Werthe der Veränderlichen verschwindet. 

Da wir vorläufig unsere Betrachtungen nicht einschränken 
wollen, so werden wir ietzt von Körpern schlechtweg sprechen, 
und die Objecte, mit denen die Rechnungen auszuführen sind, 
die sowohl Zahlen als Functionen sein können, als Grössen 
oder auch als die Elemente des Körpers bezeichnen i). 

Ein Körper ist dann also ein System von Grössen von der 
Vollständigkeit, dass in ihm die Grössen addirt, subtrahirt, multi- 
plicirt und dividirt werden können. 

Wenn alle Grössen eines Körpers in einem zweiten Körper 
enthalten sind, so heisst der erste Körper ein Theiler des 
zweiten. 

Ist ein Körper fl ein Theiler eines Körpers Sl\ so werden 
wir auch sagen, Sl' ist ein Körper über Sl. 

Streng genommen, bildet die einzige Zahl „Null" für sich 
einen Körper. Diesen wollen wir aber der Kürze wegen ein- für 
allemal ausnehmen. 

Dann ist das nächstliegende Beispiel eines Körpers der In- 
begriff aller rationalen Zahlen. 

Dieser Körper ist ein Theiler von jedem anderen Körper; 
denn jeder Körper enthält wenigstens eine von Null verschiedene 
Grösse ra, also auch den Quotienten co : o = 1, d. h. die Zahl 1, 
also auch, da alle ganzen Zahlen durch Addition und Subtraction 
von Einern entstehen , alle ganzen Zahlen ; und aus den ganzen 
Zahlen kann man wieder durch Division alle Brüche ableiten. 

Andere Beispiele von Zahlkörpern sind: der Inbeg riff al ler 
complexen Zahlen von der Form x -\- yi, worin * =V — 1, x 
und y alle rationalen Zahlen bedeuten; ferner der Inbegriff' aller 
(rationalen und irrationalen) reellen Zahlen, oder der In- 
begriff aller überhaupt existirenden complexen Zahlen x -{- yi. 



1) Vergl. des Verfassers Abhandlung: „Die allgemeinen Grundlagen 
der Galois'schen Gleichungstheorie". Mathematische Annalen, Bd. 43. 



§. 147. Adjunction. 493 

Als Beispiel eines Functionenkörpers mag der Inbegriff aller 
ganzen und gebrochenen rationalen Functionen einer Veränder- 
lichen (mit Einschluss der Constanten) dienen, wobei man die 
Constanten Coefficienten auf einen beliebigen Zahlkörper, etwa 
auf den der rationalen Zahlen beschränken oder auch ganz un- 
beschränkt annehmen kann. 

Wir wollen hier nicht weiter die Beispiele häufen, da die 
genaue Untersuchung von Körpern besonderer Art eine der 
Hauptaufgaben unserer späteren Ausführungen sein wird. 



v§. 147. 
Adjunction*. 

Wenn einem Körper irgend welcher Grössen, den wir mit £1 
bezeichnen wollen, irgend eine Grösse a hinzugefügt wird, die 
nicht in ihm enthalten ist, so entsteht ein neues Grössensystem 

ß, a, 
das aber kein Körper sein wird; um daraus einen Körper abzu- 
leiten, muss man alle Grössen hinzufügen, die sich durch die 
Verbindung von « mit den Grössen von Sl mittelst der Grund- 
rechnungsarten ableiten lassen. So erhält man einen erweiterten 
Körper Sl\ der zugleich a und Si enthält, und der durch a und 
Sl völlig bestimmt ist. Wir wollen ihn den Körper ß, a nennen. 

Dies Hinzufügen einer neuen Grösse a zu einem Körper Si 
heisst Adjungiren, und man sagt, der Körper £1' entsteht aus 
iß durch Adjunction von a. 

Zu £1' kann man wieder eine Grösse a' adjungiren, und 
erhält einen dritten Körper ß", der dann ß, « und «' ent- 
hält u. s. f. Man kann aber auch gleichzeitig zwei oder mehrere 
Zahlen zu £1 adjungiren, und erhält so denselben Körper £l'\ 
wenn man gleichzeitig a und a' dem £i adjungirt. Man kann 
auch einem Körper einen zweiten Körper adjungiren und erhält 
so einen Körper, der zugleich die Zahlen der beiden Körper 
enthält. In dem obigen Beispiel würde man durch Adjunction 
des Körpers £1, a' zu dem Körper £1' = £1^ a wieder denselben 
Körper £1" erhalten. 

Adjungirt man einem Körper einen seiner Theile, so entsteht 
kein neuer Körper. 

So erhält man z. B., wenn man zum Körper der rationalen 



494 Dreizehnter Abschnitt. §. 148. 



Zahlen, der mit 9t bezeichnet sein mag, die Zahl i = V — 1 
adjungirt, den Körper der complexen Zahlen x-\- yi, mit ratio- 
nalen X, y. den wir ^ nennen wollen. Durch Adjunction einer 
Variablen u zum Körper 9t erhält man den Körper, der aus allen 
ganzen und gebrochenen rationalen Functionen von u mit ratio- 
nalen Coefficienten besteht, durch Adjunction von u und i zu 9t 
den Körper der rationalen Functionen von ii, deren Coefficienten 
Zahlen in ^ sind u, s. f. 

Es sei schliesslich noch bemerkt, dass ein Körper von 
Grössen vielfach auch, nach Krone cker's Vorgang, ein Ratio- 
nalitätsbereich genannt wird. Es ist bisweilen nützlich, den 
Ausdruck Rationalitätsbereich für einen Körper dann zu brauchen, 
wenn damit ausgedrückt werden soll, dass bei einer bestimmten 
Aufgabe die Grössen dieses Körpers als bekannt oder rational 
betrachtet werden sollen. 



v§. 148. 
Functionen in einem Körper. 

Wir haben oft Veranlassung, ganze Functionen einer Ver- 
änderlichen X 

(1) f{x) = a, a;'" + «1 a;"»-! H • + a,n-iX + a,„ 

zu betrachten , deren Coefficienten einem bestimmten Körper Sl 
angehören, und die wir in Si enthaltene Functionen, oder 
kurz Functionen in Sl nennen wollen. Sie sind nicht zu ver- 
wechseln mit Functionen, die etwa dem Körper Sl angehören, 
wenn Sl ein Functionenkörper ist. 

Im dritten Abschnitt haben wir gesehen, dass, wenn die 
Coefficienten a^, «i, . . ., «,„ bestimmte Zahlenwerthe haben , m 
Wurzeln «i, «2, . . ., «m von f{x) existiren, die gleichfalls be- 
stimmte Zahlenwerthe haben, unter denen aber mehrere einander 
gleiche vorkommen, wenn die Discriminante z:/(a) der Function (1) 
verschwindet. Sind die Coefficienten a von f(x) unabhängige 
Variable, so giebt es für jedes bestimmte Werthsystem der a ein 
bestimmtes Werthsystem der «. und die « ändern sich stetig mit 
den a (§. 44j. So lange wir also die Veränderung der a auf ein 
hinlänglich enges Gebiet beschränken, in dem solche Werthe nicht 
vorkommen, für welche die Discriminante ^ (a) verschwindet, so 



§. 148. Functionen in einem Körper. 495 

sind die m Grössen a als Functionen der a vollständig bestimmt 
und von einander unterschieden, wenn der Wertli einer jeden von 
ihnen für irgend ein bestimmtes Werthsystem der a gegeben ist. 

Sind die a nicht unabhängige Veränderliche, sondern selbst 
wieder Functionen von anderen Veränderlichen, so bleibt alles 
dies gültig, so lange nur die Aenderungen der a nach der 
Stetigkeit erfolgen. 

Wir können also hiernach in allen diesen Fällen von den tn 
Wurzeln einer Gleichung m*^" Grades sprechen, die als Zahlen 
oder als algebraische Functionen ihrer Coefficienten aufzu- 
fassen sind. 

Wenn nun Sl ein beliebiger Körper, und f{x) eine Function 
in ü ist, so sind zwei Fälle möglich. 

Die Function /(a;) ist entweder zerlegbar oder nicht zerlegbar 
in Factoren niedrigeren Grades, deren Coefficienten dem Körper 
il angehören. Im ersten Falle heisst die Function /(a;) redu- 
cibel, im zweiten irreducibel in Sl. Man spricht bisweilen 
auch, wenn der Körper Sl als bekannt und feststehend betrachtet 
werden kann, wenn es z. B. der Körper der rationalen Zahlen 
ist, schlechtweg von reduciblen oder irreducibeln Functionen, 
ohne die Bezeichnung „im Körper Sl" ausdrücklich hinzuzufügen. 
Dass aber an sich die genaue Präcisirung des Körpers, auf den 
sich die Reducibilität bezieht, oder der als Rationalitätsbereich 
betrachtet wird, sehr wesentlich ist, ergiebt sich aus folgenden 
Bemerkungen. 

Eine lineare Function ist selbstverständlich in jedem Körper 
irreducibel. Multiplicirt man mehrere Functionen der Form (\) 
mit einander, so entsteht eine Function derselben Form, die aber 
dann natürlich reducibel ist, da sie wieder in die Factoren zer- 
legt werden kann, aus denen sie entstanden ist. 

Eine Function f(x)^ die in Sl irreducibel ist, kann in einem 
erweiterten Körper ß', der aus Sl durch irgend eine Adjunction 
entsteht, reducibel werden; so wird jede Function /(ajj reducibel 
in dem Körper ß', der aus Sl durch Adjunction einer Wurzel a 
von f(x) = entsteht; denn es kann von f(x) ein linearer 
Factor x — « abgesondert werden. In dem Körper, der aus 
allen Zahlen besteht, ist jede Function mit Zahlencoefticienten 
reducibel. 

I. Eine irreducible J'unction f(x) kann mit einer 
anderen Function F(x)^ deren Coefficienten 



496 Dreizehnter Abschnitt. §. 148. 

demselben Körper Sl angehören, keinen gemein- 
samen T heiler haben, wenn nicht F(^x) durch 
f(x) theilbar ist. 

Dieser Satz, der uns in der Folge noch sehr wichtige Dienste 
leisten wird, ist fast selbstverständlich; denn der grösste gemein- 
schaftliche Theiler zweier Functionen F(x) und f(x) lässt sich 
durch rationale Rechnung finden, und ist daher auch in Sl ent- 
halten. Da nun aber/(a;) keinen in Sl enthaltenen Theiler hat 
als sich selbst oder eine Constante (d. h. eine in Sl enthaltene 
Grösse), so muss also dieser grösste gemeinschaftliche Theiler 
entweder eine Constante oder f(x) selbst sein. 

Es folgt aus diesem Satze, dass eine irreducible Function 
niemals mehrfache Factoren haben kann; denn sie müsste sonst 
mit ihrer Ableitung f'{x) einen gemeinsamen Theiler haben; 
also müsste f'(x) durch f{x) theilbar sein, was unmöglich ist, 
da der Grad von /' (x) niedriger ist als der von f{x). 

Wir können dem Satze I. auch den folgenden Ausdruck 
geben : 

II. Ist /(:r) irreducibel, und verschwindet F(x) für 
eine Wurzel von /(a;) = 0, so verschwindet es 
auch für alle anderen Wurzeln von /(o;) = 0. 
Insbesondere können wir daraus schliessen: 

III. Ist F(x) von niedrigerem Grade, als die irre- 
ducible Function f{x)^ und verschwindet F(x) 
für eine Wurzel von /(ic), so muss F(x) identisch 
verschwinden, d. h. alle Coefficienten von F(x) 
müssen Null sein. 

Auch ganze rationale Functionen von mehreren Variablen, 
f{x^ i/, *, . . .), deren Coefficienten dem Körper Sl angehören, 
heissen Functionen in Sl. Auch diese werden als reducible 
und irreducible Functionen bezeichnet, je nachdem sie zer- 
legbar oder nicht zerlegbar sind in mehrere Factoren, die selbst 
Functionen in Sl sind , und wenigstens einige der Variablen 
a;, ?/, ^, . . . wirklich enthalten. 

Hier ist aber auf einen Unterschied aufmerksam zu machen. 

Unter den Functionen von mehr als einer unabhängigen 
Veränderlichen giebt es solche, die überhaupt nicht in Factoren 
niedrigeren Grades, die rational von den Veränderlichen ab- 
hängen, zerlegbar sind, die also in dem aus allen Zahlen be- 



§. 149. Algebraische Körper. 497 

stehenden Körper irrediicibel sind, und wieder andere, die zwar 
zerlegbar sind, aber nur in solche Factoren. deren Goefficienten 
nicht in Sl enthalten sind, und endlich drittens Functionen, die 
in mehrere Functionen in Sl zerlegbar sind; nur die letztere 
Alt werden wir reducibel in Sl nennen, während die der zweiten 
Art als zerlegbare^ die der ersten Art als unzerlegbare 
Functionen bezeichnet werden. Ist z. B. Sl der Körper der 
rationalen Zahlen, so ist x^ — y'^ = {x — y) (x -\- y) reducibel 
in Sl. Die Function x- — 2])- ist zwar in die Factoren 
X -\- y V2 , X — y yl zerlegbar , aber diese Factoren sind nicht 
Functionen in Sl. Die Function x"- A^ iß -\- 1 endlich ist über- 
haupt nicht zerlegbar. Eine in einem Körper Sl irreducible, aber 
zerlegbare Function wird in einem erweiterten Körper reducibel. 
Die fundamentalen Sätze über irreducible Functionen haben 
wir in §. 20 kennen gelernt. Bei jenen Ausführungen war zwar 
zunächst, dem dortigen Standpunkte entsprechend, der Körper 
aller Zahlen als Rationalitätsbereich vorausgesetzt, in dem der 
Unterschied zwischen unzerlegbaren und irreduciblen Functionen 
wegfällt. Benutzt ist aber immer nur die Reducibilität oder 
Irreducibilität einer Function, und die besondere Natur des Kör- 
pers Sl kommt nicht in Betracht. So ist also darin der Beweis 
des Satzes enthalten : 

IV. Eine reducible Function in Sl kann nur auf 
eine Art in irreducible Factoren zerlegt werden, 
wenn man rationale Functionen, die sich nur 
durch einen constanten Factor unterscheiden, 
als nicht verschieden betrachtet. 



^ §. 149. 
Algebraische Körper. 

Ist Sl ein beliebiger Körper, und F{x) eine Function in ü, 
so heisst die Gleichung 
(1) Fix) = 

eine Gleichung in Sl. Diese Gleichung heisst reducibel oder 
irreducibel, je nachdem die Function F{o^ reducibel oder irre- 
ducibel ist. Durch Adjunction einer Wurzel a einer solchen 
Gleichung zu Sl entsteht (wenn a nicht selbst schon zu ß gehörtj 

Weber, Algebra. I. 32 



498 Dreizehnter Abschnitt. §. 149. 

ein neuer Körper Sl\ den wir einen algebraischen Körper 
„über" Sl oder auch, wenn Zweifel über die Bedeutung aus- 
geschlossen sind, kurz, einen algebraischen Körper nennen 
wollen. Wir brauchen für einen solchen Körper das Zeichen 

Sind /3, y, . . , Wurzeln von anderen Gleichungen in Sl oder 
auch andere Wurzeln derselben Gleichung, so erhalten wir durch 
gleichzeitige Adjunction von «, /3, y, . . . gleichfalls algebraische 
Körper über ü, die wir mit 

bezeichnen. Wir werden gleich sehen, dass diese Erweiterung 
des Begriffes algebraischer Körper nur eine scheinbare ist, und 
bleiben also zunächst bei der Adjunction einer Grösse a, also 
bei der Betrachtung von Sl(cc) stehen. 

Die Gleichung (1), deren Wurzel cc ist, kann reducibel sein. 
Unter den irreducibeln Factoren von F(x) ist aber wenigstens 
einer, der für x = k verschwindet, den wir mit/(ä;) bezeichnen 
wollen; diese Function /(a;) ist, wenn wir den Coefficienten der 
höchsten Potenz von x gleich 1 annehmen, völlig bestimmt, weil 
nach dem vorigen Paragraphen x = a nicht die Wurzel von zwei 
verschiedenen irreducibeln Gleichungen sein kann. 

Die Gleichung f{x) = hat also die Form 

(2) x"" -\- a^x''-^ + a^x''-^ + • • • + «n-i^; -\- ein = 0, 
worin a^, «2? • • -i <^n Grössen in ß sind. Ist n der Grad dieser 
Gleichung, so nennen wir n auch den Grad des Körpers Sl(a). 

Alle Grössen & des Körpers £1(k) lassen sich ableiten durch 
Addition, Subtraction, Multiplication und Division aus oc und aus 
Zahlen in Sl; sie lassen sich also darstellen als rationale Func- 
tionen von « mit Coefficienten in ü, oder in der Form 

(3) ® = f^. 

worin % (x) und t/^ [x) Functionen in Sl sind. Da aber ip (a) von 
Null verschieden sein muss, so ist ^p{x) nicht durch f(x) theilbar, 
und dsb f(x) irreducibel angenommen ist, so ist ijj(x) relativ 
prim zu f{x). 

Danach können wir nach §. 6, Satz IL die Functionen Q(x), 
(p(x) in ß, und zwar (p (x) höchstens vom Grade n — 1, so 
bestimmen, dass 

(4) Q ix)f{x) + qp (X) ip{x) = x {X) 



§. 150. Mehrfache Adjunction. 499 

wird, und vv'enn wir also hierin a; = a setzen, so dass /(«) = 
wird, so folgt 

(5) ^^ = w («). 

Bezeichnen wir die Coefficienten von 9? (x) , die, wie wir ge- 
sehen haben, Grössen in Sl sind, mit Cq, Cj, . . ., Cn—i-, so kann 
also jede Grösse in Sl(u) in der Form dargestellt werden: 

= Co + Ci « -}- Ca «2 -^ . . . -|- Cn-i «"-1. 

Diese Darstellung ist nur auf eine Art möglich; denn ist 
gleichzeitig 

(6) = Co 4- cI« + C2a2 -^ L (■■;_, K"-i, 

so verschwindet die Function (}i — l)*^"^ Grades 

Co — Co -f (Ci — c'i)x + (C2 — Ca) a;--^ -J- • • • -f (c„_i — c;_i)-^"~^ 
für :c = «. Das ist aber nach dem Satze III. des vorigen Para- 
graphen nur möglich, wenn 

ff f 

Cq ^=: Co, C| =^ Ci, . . ., C„_i = Cn — 1 

ist. 

Wenn wir den Körj^er Sl als den gegebenen, seine Grössen 

als rational , den Körper Sl (a) als den daraus abgeleiteten 

betrachten, so bezeichnen wir eine rationale Function in Sl auch 

kurz als eine rationale Function, und können demnach auch 

sagen : 

Der Körper Sl(a) besteht aus allen rationalen 

Functionen von a. 

y §. 150. 
Gleichzeitige Adjunction mehrerer algebraischer 

Grössen. 

Es soll jetzt zunächst nachgewiesen werden, dass man die 
gleichzeitige Adjunction mehrerer algebraischen Grössen durch 
die Adjunction einer einzigen ersetzen kann, mit anderen 
Worten, dass jeder Körper ü(«, ß, y, . . .) angesehen werden 
kann als ein Körper Sl{a). 

Es seien also «, /3, y, . . . algebraische Grössen in beliebiger 
Anzahl und 
(1) Ä(x) = 0, B{x) = 0, C{x) = 0,... 

Gleichungen in ii, deren Wurzeln a; = c«, x = ß, x = y, . . . 
sind. Keine dieser Gleichungen soll eine mehrfache Wurzel 



500 Dreizehnter Abschnitt. §. 150. 

haben, eine Voraussetzimg, durch die die Allgemeinheit nicht 
beschränkt wird. Dagegen ist nicht ausgeschlossen, dass unter 
diesen Gleichungen dieselbe mehrmals vorkommt, wenn etwa a, ß 
verschiedene Wurzeln einer Gleichung sind. 

Wir haben im vorigen Paragraphen gesehen, dass sich jede 
Grösse eines Körpers Sl(a) als ganze rationale Function 
in Sl von « darstellen lässt. Setzen wir in diesem Satze an 
Stelle des Körpers Sl den Körper Sl{ß, y. . . .), so folgt, dass jede 
Zahl in Sl(a, /3, y, . . .) als ganze rationale Function von « mit 
Coefficienten aus Sl(ß. y^ . . .) dargestellt werden kann; und 
wenn wir dieselbe Schlussweise in Beziehung auf die Coefticienten 
wiederholen, so ergiebt sich: 

Jede Grösse des Körpers £i{ci, /3, >^, . . .) kann als 
ganze rationale Function in Sl von «, /3, y, . . . dar- 
gestellt werden. 

Wir bilden eine lineare Function der «, ß, y, . . . 

t = XU -{- yß -\- 2y -\ , Y 

und beachten, dass jede der Gleichungen (1) nicht nur eine, 
sondern mehrere W' urzeln hat, deren Zahl gleich dem Grade der 
Gleichung ist. Ist also «', ß', y', . . . irgend eine von a, /3, y, . . . 
verschiedene Combination von je einer Wurzel von jeder der 
Gleichungen (1), so setzen wir: 

^' = xu'-{-yß' + ^y' + --. 

und bilden auf die gleiche Weise |", |"', . . . Die Anzahl der so 
gebildeten Grössen | ist, wenn a der Grad von A(x)^ h der 
Grad von B(x), c der Grad von C(x) ist u. s. f., 

m z= ah c . . . 

Die Differenzen ^ — |', | — |", |' — |", . . . sind lineare 
Functionen von x, y, z, . . . und keine von ihnen ist identisch 
Null, da wir angenommen haben, dass keine der Gleichungen (1) 
gleiche Wurzeln habe. Wir können also nach dem in §, 43 
bewiesenen Satze für x, y, z, . . . solche rationale Zahlen 
setzen, dass keine von diesen Differenzen verschwindet, dass also 
die m W^erthe |. |', |", . . . alle von einander verschieden sind. 

Nun ist jede rationale Function, die in Bezug auf die Wurzeln 
jeder der Gleichungen (1) symmetrisch ist, rational durch die 
Coefficienten dieser Gleichungen ausdrückbar, d. h. es ist eine 
Zahl in Sl. Dazu gehören auch die Coefficienten der Function 
m^^"^ Grades von t: 



§. 151. Primitive und imprimitive Körper. 501 

(2) F{t) = (t-^){t- r) {t - r') . . ., 

und F{t) = ist also eine Gleichung in ß, die keine gleichen 
Wurzeln hat, und deren eine Wurzel | ist. 

Ist ferner eine Grösse in Sl («, /3, 7, . . .), also eine ganze 
rationale Function von «, /3, y, . . ., und bezeichnen wir mit 
0', &", . . , die Grössen , die aus dieser rationalen Function 
hervorgehen, wenn die Variablen durch «', ß', y\ ... oder 
r/J\ ß". y" . . . u. s. f. ersetzt werden, so ist 

/ &' 0" \ 

^«n*-^ + rr^ + ^^r + ■■■) = *' <" 

als symmetrische Function der « und der /3, . . . eine ganze 
rationale Function (m — l)*^"^ Grades von t in ü, und wenn 
man < = | setzt, so folgt 

und ist also in ß (|) enthalten. Da umgekehrt auch jede 
Grösse in Sl(^) zugleich in ü(«, /3, y, . . .) enthalten ist, so sind 
beide Körper identisch, d. h. es ist 

Damit ist aber unsere Behauptung erwiesen. 

j §. 151. 
Primitive und i m p r i m i t i v e Körper. 

Nach dem zuletzt bewiesenen Satze beschränken wir uns 
jetzt auf die Betrachtung algebraischer Körper ß (a) , worin « 
die Wurzel einer Gleichung in il ist. Die Gleichung möge, von 
mehrfachen Factoren befreit, mit 

(1) F{x) = 

bezeichnet und vom Grade m sein. Ihre Wurzeln seien 

(2) «, «1, «2, . . ., a„i_i. 

Es kann Fix) in Sl reducibel sein; dann wird es einen und 
nur einen irreducibeln Factor f(x) von F(x) geben, so 
dass et eine Wurzel der Gleichung 

(3) fix) = 

ist. Der Grad von f{x) sei n und die Wurzeln von (3), die alle 
unter den Wurzeln (2) enthalten sind, seien 

(4) w, «1, «2, . . ., a„_i. 



502 Dreizellliter Abschnitt. §. 151. 

Der Grad des Körpers Sl(oC) ist dann nach der in §. 149 
gemacliten Festsetzung gleichfalls n. 

Jede der Grössen (4) giebt zu einem algebraischen Körper 
Anlass, und so entstehen die Körper 

(5) wQ(a), Si(a,l . . , Sl{a„_^). 

die wir die mit £l(u) conjugirten Körper nennen. Es kann 
sein, dass diese Körper alle oder theilweise identisch sind, sie 
können aber auch alle von einander verschieden sein, wovon 
später Näheres. 

Nach §. 149 erhalten wir jede Grösse in ü(«), wenn wir 
in einer ganzen rationalen Function % (t) in Sl. höchstens vom 
Grade (n — 1), für die Variable t die Zahl « setzen. 

Setzen wir für t in x (0 die verschiedenen Grössen (4), so 
erhalten wir n Grössen, eine aus jedem der conjugirten Körper 

(6) = %(«), 01 = %(;«:), . . .. 0n-i = ;tK-i), 
und diese heissen die mit conjugirten Grössen. 

Jede symmetrische Function dieser Grössen ist zugleich eine 
symmetrische Function der Wurzeln der Gleichung (3). und 
mithin in Sl enthalten. 

Unter diesen symmetrischen Functionen wollen wir zwei, die 
häufig vorkommen, durch besondere Namen und Bezeichnungen 
hervorheben; es ist die Summe 

(7) S{0) = -f 01 + 0, J L 0„_,, 

die wir die Spur von nennen, und das Product 

(8) iS^(0) = 010-3 ... 0„_i. 

das die Norm von heisst. Conjugirte Zahlen haben hiernach 
dieselben Spuren und Normen. 
Das Product 

(9) (t — 0) (t - 0,) . . . (t — 0n-l) = ^(t) 

ist eine ganze rationale Function n^^"^ Grades von t in Sl und 
ihre Wurzeln sind und die mit conjugirten Grössen. Daraus 
ergiebt sich der Satz: 

1. Jede Grösse in Sl(u) ist Wurzel einer Gleichung 
w*^"^ Grades in ß, deren übrige Wurzeln die mit 
conjugirten Grössen sind. 

Die Berechnung der Function 0{t) aus f{x) ist nichts 
Anderes, als die von einem anderen Gesichtspunkte im vierten 



§. 151. Primitive und imprimitive Körper. 503 

und sechsten Abschnitt betrachtete Tschirnhausen-T rans- 
formation. 

Wir haben nun die Function 0{t) auf ihre Irreducibilität 
zu untersuchen. 

Wenn die Function 0(f) reducibel ist, so hat sie einen irre- 
ducibeln Factor g? (t)^ in dem wir den Coefficienten der höchsten 
Potenz von t gleich 1 annehmen können, und jeder solche Factor 
verschwindet wenigstens für einen der Werthe 0, 0i, . . ., 0„_i. 

Es sei also 

d. h. die Gleichungen q>[x(xy] = und f(x) = haben eine 
gemeinsame Wurzel. Da aber f(x) irreducibel vorausgesetzt ist, 
so muss ^[%(x)] nach dem Theorem IL, §.148 für alle Wurzeln 
cc, «1, K,, . . ., w„_i von f(x) = verschwinden, d. h. es ist 

gp (0) = 0, 9 {&,) = 0. cp (0.,) = 0, ... 9 (0„_i) = 0. 

Wenn also die mit conjugirten Werthe alle von einander 
verschieden sind , so ist (p (t) mit (t) identisch , d. h. (t) ist 
irreducibel. Sind aber unter den mit conjugirten Werthen nur 
«1 von einander verschiedene vorhanden, etwa 0, 0i, 02,..., 0„j_i, 
so ist 

(10) Cp (t) = (t-0)(t-0,) ■■■(i — 0n._l), 

und jeder andere irreducibele Factor von 0{t) ist, da er wenig- 
stens für einen der conjugirten Werthe 0, und folglich für alle 
verschwinden muss, mit q)(t) identisch. Es ist also 0(t) eine 
Potenz von (p (/), etwa 

(11) oit) = cp{tr 

und 

(12) n ■= iii n^. 

Daraus ergiebt sich also der Satz: 

2. Die Function 0{t) ist entweder irreducibel 
oder sie ist eine Potenz einer irreducibeln 
Function. Die n mit einer Zahl in £l{a) conju- 
girten Zahlen sind entweder alle von einander 
verschieden, oder sie zerfallen in Wi Systeme 
von je «2 unter einander gleichen Zahlen. Im 
ersten Falle ist ^{t) irreducibel, im zweiten 
die ^2*® Potenz einer irreducibeln Function 
ij^ten Grades in ß. 



504 Dreizehnter Abschnitt. §, 151. 

Eine Grösse in ß(a), die von allen ihren conjugirten 
Zahlen verschieden ist, und die also einer irreducibeln Gleichung 
n^^^ Grades genügt, heisst eine primitive Grösse des 
Körj^ers. Nach dem Satze §. 43, 1. lassen sich unendlich viele 
solche primitive Grössen bestimmen, sogar so, dass die Coeffi- 
cienten von = i{u?) rationale Zahlen sind. Man braucht nur 
über die Coefficienten von % so zu verfugen, dass unter den con- 
jugirten Grössen % {a) keine gleichen vorkommen. 

3. Jede Grösse co des Körpers ii(a) kann rational 
durch eine beliebige primitive Grösse des 
Körpers ausgedrückt werden. 

Denn sind ö, (ö^, co.,, . . ., cj„_i die zu w conjugirten Zahlen, 
ebenso 0, 0^, 0-2, . . ., 0„-i die zu conjugirten und 
0(i) = (^ _ 0) (i _ 0J . . . (^ _ 0„_,), 



so ist 





^'^ V^ — ^ ^ — 01 ^ t — &r,-x) ^^ 



eine ganze rationale Function n — l*^'^ Grades von t, deren 
Coefficienten Zahlen in £1 sind, und daraus ergiebt sich, wenn 
man i = setzt. 



CO 



worin ^'(0) von Null verschieden ist. 

Es ist hiernach der Körper £l(&) mit dem Körper 
Sl (a) identisch. 

4. Ist nicht primitiv, so kann nicht jede Grösse 
in iß(a) rational durch ausgedrückt werden. 
Der Körper ß(0) ist ein Theiler des Körpers 
Sl(ci) und der Grad von Sl(0) ist ein Theiler 
des Grades von ß(a). 

Denn jede Zahl des Körpers ü(0) genügt einer Gleichung 
in Sl vom Grade ^^j, wenn n^ ein Theiler von n und kleiner als 
n ist. Also kann eine primitive Grösse des Körpers ß(«), die 
einer irreducibeln Gleichung w*^"^ Grades genügt, nicht in Sl(0) 
enthalten sein. 

Der Körper Sl{u) heisst primitiv, wenn er ausser 
den Grössen in Sl keine imprimitiven Grössen ent- 
hält, imprimitiv, wenn er noch andere imprimitive 
Grössen enthält. 



§. 152. Normalkörper. 505 

Aus dieser Definition ergiebt sich zunächst, dass ein Körper 
dessen Grad eine Primzahl ist, nothwendig primitiv ist; denn 
eine imprimitive Grösse & in Sl (a) genügt einer Gleichung 
deren Grad ein von n verschiedener Theiler des Grades n von 
Sl(cc) ist. Wenn dieser Theiler gleich 1 ist, so ist in ü ent- 
halten. 

Wir wollen jetzt noch einige der wichtigsten Eigenschaften 
der imprimitiven Körper kennen lernen. 

Hat Sl(u) einen von Si verschiedenen Theiler £i\ der seiner- 
seits Si als Theiler enthält (ist also il' ein Körper über ü), und 
ist ß eine Grösse, die dem Körper Sl', aber nicht Sl angehört, so 
ist der Körper Sl (ß) ein algebraischer Körper über Sl und zugleich 
ein Theiler von Sl' und von Sl (a), und nach dem, was wir vorhin 
bewiesen haben, ist der Grad n^ des Körpers Sl (ß) ein Theiler von 
n. Ist nun durch Sl (ß) der Körper Sl' nicht erschöpft, so nehmen 
wir eine Grösse y in Sl', aber nicht in Sl(ß); dann ist der Körper 
Sl{ß, y) ein Theiler von Sl' und von Sl(a,) und hat seinerseits 
Sl{ß) zum Theiler. Der Grad von Sl(ß, y) ist also grösser als 
der von Sl{ß) und kleiner als der von Sl (</,). Ist damit Sl' noch 
nicht erschöpft, so fahren wir so fort, müssen aber endlich zum 
Abschluss kommen, da die Grade der Körper Sl(ß), Sl(ß, y), . . . 
immer wachsen und doch kleiner als n bleiben. Daraus folgt: 

5. Jeder Theiler von SI(k), der den Körper ii ent- 
hält, ist ein algebraischer Körper Sl{ß) über Sl. 
Der Grad von Sl(ß) ist ein Theiler des Grades 
von Sl(ci), und wenn beide Körper den gleichen 
Grad haben, so sind sie identisch. 

Wir können daher unsere Definition auch so fassen: 

6. Ein algebraischer Körper über Sl ist primitiv, 
wenn er ausser Sl und sich selbst keinen Kör- 
per über Sl zum Theiler hat. 



y §. 152. 

Normalkörper. Galois'sche Resolvente. 

Ist Sl(cc) ein algebraischer Körper, so sind die conjugirten 
Körper 

Sl((x), Sl(c6^), . . ., ß(«^_a) 



506 Dreizehnter Abschnitt. §.152. 

alle von gleichem Grade, und wenn also einer von ihnen im 
anderen enthalten ist, so sind beide identisch. 

Ein Körper, der mit allen seinen conjugirten Körpern iden- 
tisch ist, heisst ein Normalkörper. In den Normalkörpern 
herrschen viel einfachere Gesetze, und der grosse Fortschritt, den 
die Algebra Galois verdankt, beruht im Wesentlichen darauf, 
dass beliebige Körper auf Normalkörper zurückgeführt werden. 
Die Normalkörper heissen daher auch Galois'sche Körper. 

Wenn ein Körper ^^^^ Grades SI(q) die Eigenschaft hat, 
dass die zu q conjugirten Zahlen q^. pg. . . ., p^-i alle in Si{Q) 
enthalten sind, so ist SI{q) ein Normalkörper; denn dann sind 
die Körper ü(pi), ^(q2), • . ••, ^(Qu—i) auch alle in SI(q) ent- 
halten und also alle mit Sl (q) identisch. 

Wir wollen eine Gleichung eine Normalgleichung oder 
auch eine Galois'sche Gleichung nennen, wenn sie 
irreducibel ist, und die Eigenschaft hat, dass alle 
ihre Wurzeln rational (in Sl) durch eine von ihnen 
ausgedrückt werden können. Dann ist ein primitives Ele- 
ment eines Normalkörpers fi^^^ Grades Wurzel einer Normal- 
gleichung ju.t«'^ Grades. Aber es gilt auch das Umgekehrte, 
dass nämlich, wenn q eine Wurzel einer Normalgleichung ist, 
Sl (q) ein Normalkörper gleichen Grades ist. Denn ist Qq die 
Wurzel der Normalgleichung, durch die alle anderen rational 
ausgedrückt sind, so ist sicher SI(qo) ein Normalkörper. Mit 
diesem ist aber Sl (q) conjugirt und also identisch. Es folgt 
daraus noch, dass bei einer Normalgleichung jede Wurzel nicht 
nur durch eine bestimmte unter ihnen, sondern durch jede 
beliebige rational ausdrückbar ist. 

Man kann nun auf folgendem Wege beliebige algebraische 
Körper auf Normalkörper zurückführen. 

Es sei 

(1) F{x) = 

eine beliebige reducible oder irreducible Gleichung in Sl vom 
m^^^ Grade, von der wir nur voraussetzen wollen, dass sie 
keine mehrfachen Wurzeln habe. Ihre Wurzeln seien 

(2) a, «1, . . ., ß,„_i. 

Man erhält daraus in algebraische Körper 

(3) Sl{a), i^(«l), . . ., ß(«^_i), 

und man kann offenbar die Function F(x) so wählen, dass unter 
den Körpern (3) irgend welche gegebene algebraische Körper 



§. 152. Normalkörper. 507 

über Sl vorkommen. Wir nennen den aus allen Grössen (2), 

d. h. aus allen Wurzeln der Gleichung (1) abgeleiteten Körper 

über Sl 

(4) ■ N= Sl (a, «1, . . ., a,„_i) 

den Galois'schen Körper der Gleichung F{x) = 0. 

Ist F(x) irreducibel, so sind die Körper (3) die mit Sl(oi) 
conjugirten Körper, In diesem Falle soll der Körper N die 
Norm eines jeden der Körper Sl(a,)^ ^(^1), . • ., iß(a,„_i) 
heissen. 

Ist Sl (a) ein Normalkörper, so ist er mit seiner Norm iden- 
tisch. Im allgemeinen Falle ist nachzuweisen, dass N ein 
Normalkörper ist. Wir wählen ein primitives Element q des 
Körpers N (nach §. 150, 151) und können dann den Körper N 
auch durch SI{q) bezeichnen. Ist ^ der Grad von N, so genügt 
Q einer irreducibeln Gleichung fi^^^ Grades 

(5) 9(t) = 0, 

von der zu zeigen ist, dass es eine Normalgleichung ist. Zu 
diesem Zweck bemerken wir zunächst, dass die eine Wurzel q 
dieser Gleichung eine rationale Function der «, «i, . . ., «,„_! ist, 
weil sie in N enthalten war. Setzen wir, um dies anzudeuten, 

Q = Q («, «1, . . ., «^_i), 

und bilden nun alle verschiedenen Anordnungen der Ziffern 

0, 1, 2, . . ., m — 1, 
deren Anzahl 11 (m) beträgt: 

(6) (0, 1, 2, . . ., m - l), (0', 1', 2\ . . ., (m - 1)'), 

(0", 1", 2", . . ., (m - 1)"), . . ., 
worin die Ziffern mit einem, zwei etc. Accenten dieselben sind, 
wie die ohne Accent, nur in anderer Reihenfolge, und bilden 
hieraus die Functionen 

(7) Q = ^(«0, «1, . . ., «,„_i), q' = ^(«0-, «r, . . ., o{f,„_iy), 

Q ' '=^ Q («0", «1", . . ., «(,„_!)"), . . ., 

unbekümmert darum, ob darunter etwa unter einander gleiche 
vorkommen oder nicht. 

Wenn wir in allen den Anordnungen (6) ein und dieselbe 
Vertauschung vornehmen , z. B. mit 1 , so ändert sich die 
Gesammthcit dieser Anordnungen nicht, sondern nur ihre Reihen- 
folge wird eine andere. Denn erstens kann durch eine solche 
Vertauschung nichts Anderes entstehen, als Anordnungen der 



508 Dreizehnter Abschnitt. §. 153. 

Ziffern, und zweitens können nicht zwei verschiedene Anordnungen 
durch eine und dieselbe Vertauschung in dieselbe Anordnung 
übergehen. 

Es werden also aucli durch jede solche Vertauschung die 
Functionen (7) nur unter einander permutirt werden. Bilden 
wir also das Product 

a (t) = (t - Q)(t - q') {t - q") . . . 
für eine Veränderliche t, so bleiben seine Coefficienten , die 
gewiss Functionen von a, «j, . . ., «„i_i sind, ungeändert, wenn 
diese Grössen irgendwie permutirt werden (§. 21 j; d. h. es sind 
symmetrische Functionen der Wurzeln der Function F{x), und 
also ist G(t) eine Function von t in Sl. Alle Wurzeln von G(t) 
sind Grössen in X, da sie durch die « rational ausgedrückt sind. 
Xun haben G{t) und g{t) eine Wurzel gemein. Da aber 
fj(t) irreducibel ist, so muss G(t) durch g{t) theilbar sein; also 
sind auch alle Wurzeln von g(t) in N enthalten, d. h. N ist ein 
Normalkörper, w. z. b. w. 

Jede Gleichung g(t) = heisst eine Galois'sche Resol- 
vente der Gleichung F(x) = 0, und eine Galois'sche Resol- 
vente ist also durch folgende Bestimmung definirt: 

Eine Gleichung g(t) = ist eine Galois'- 
sche Kesolvente einer gegebenen Gleichung 
F(x) = in iß, wenn 1) g(t) irreducibel ist, 
wenn 2) alle Wurzeln von F(x) rational durch 
eine Wurzel p von g{t) ausdrückbar sind, und 
3) eine Wurzel von g (t) rational durch die 
Wurzeln von F(x) ausdrückbar ist. 
Denn nach 2) ist N in £1(q) enthalten, und nach 3) ist 
einer der mit il(Q) conjugirten Körper, SI[q-^), in N enthalten. 
Die Grade von N und SI(q) können also nicht verschieden sein 
und folglich ist N =^ fl (q). 

Jede Galois'sche Resolvente ist eine Nor- 
malgleichung, und eine Normalgleichung ist 
ihre eigene Galois'sche Resolvente. 

4 §. 153. 
Die Substitutionen eines Normalkörpers. 

Es sei jetzt SI(q) ein Normalkörper (i^^^ Grades und q eine 
seiner primitiven Zahlen, ferner 



§. 153. Substitutionen eines Normalkörpers. 509 

(1) 9{t) = ^ 

die irreducible Gleichung ji*^"^ Grades, deren eine Wurzel t= q 
ist. Die zu q conjugirten Elemente seien 

(2) Q, Qv Q2, • . ., Qu-i. 

Da nach der Definition des Normalkörpers die Grössen (2) 
alle in ^(q) enthalten sind, so können wir &i{t), ©iCOi • • -i ®«-i(0 
als ganze rationale Functionen in Sl. höchstens vom Grade ^ — 1, 
so bestimmen, dass 

(3) pi = ©1(9), p2 = ©2(9), • • ., Qu-i = 0u-ii9) 

wird. Ist CO eine beliebige Grösse in SI(q), so kann man die 
mit (o conjugirten Grössen so darstellen: 

(4j (o = (p{Q), oji = qp (^1), . . ., oj„_i ^ 9)(().,_i), 

worin qp (t) eine rationale Function in Sl ist. 

Da nun g(t) irreducibel ist, so gilt der Satz §. 148, IL, den 
wir jetzt so aussprechen : 

1. Wenn eine rationale Function 0(f) in Si eine 
Wurzel mit g{t) gemeinsam hat. so verschwin- 
den alle conjugirten Grössen 

Wenn in einer der Functionen 0k (q). durch die nach (3) 
die Wurzeln von (1) ausgedrückt sind, q durch eine andere 
Wurzel Qh ersetzt wird, so entsteht daraus wieder eine der 

Wurzeln; denn ist 

g [0, (Q)] = 0, 
so ist nach 1. auch 

</[0,(p,)] = O, 

und die Reihe der Grössen 

(5) Qh^ 01 (Qh), 02{Qh\ ■ ■ ; 0u-l(Qh) 

stimmt, von der Anordnung abgesehen, mit der Reihe 
(6) P, 01 (Qh 02((>), •••, &u-i{q) 

überein. Dies wird erwiesen sein, wenn wir zeigen, dass in (ö) 
keine zwei gleichen Werthe vorkommen. Bezeichnen wir der 
Uebereinstimmung halber mit 0^ (p) oder (q) die Wurzel q 
selbst, so folgt aus der Gleichheit zweier der Grössen (5) 

nach dem Satze 1. 

(8) 0,(9) = 0,(9). 



510 Dreizelinter Abschnitt. §. 153. 

was aber, wenn i von h verschieden ist, nicht möglich ist. Also 
sind zugleich mit den Grössen (6) auch die Grössen (5) unter 
einander verschieden. 

Wir können dies als Satz zusammenfassen : 

2. Vertauscht man q mit p;,, so geht zugleich jede 
mit Q conjugirte Grösse in eine bestimmte andere 
über, und niemals zwei verschiedene in dieselbe. 

Wenn wir in allen Functionen von q statt q eine andere 
Wurzel Qa setzen, so führen wir eine Substitution aus. Wir 
bezeichnen diese Substitution mit 

ö« = (9, Qa), a = 0, 1, 2, . . ., ^ — 1, 

wobei unter (Jo oder 6 die sogenannte identische Substitution 
(9, q) verstanden wird, die darin besteht, dass q durch sich 
selbst ersetzt wird, also alle Zahlen in Sl (q) ungeändert bleiben. 
Wenn wir in einer beliebigen der Wurzeln (3) 

Qh = ®h (q) 
die Substitution ö« ausführen, so geht Qh in eine andere Wurzel 
Qjc Über, die bestimmt ist durch 

(9) Qu = &h (Qa) = &h @a {q) = ®U {9). 

Es ist also Qu dieselbe Function von Qa, wie Qh von q. 

Eine beliebige Grösse co = qp ((>) des Körpers ^{q) geht 
durch die Substitution ö« in oj^ = 9 {Qo) über. Drücken wir « 
durch Qhi und co« durch Qu aus: 

« = ^' (p/Ol «n = "^ (Pfe)' 

SO sieht man, dass ca in Oa übergeht durch die Substitution 

(10) 6a = {Qh, Qlc) = [Qh, &h&a(Q)], 

und dies ist nur ein anderer Ausdruck für die Substitution (q, Qa). 
Hierin ist Qh eine beliebige Wurzel von g{t) und das zu- 
gehörige Qu ist nach (9) durch ö« bestimmt. Man kann aber bei 
gegebenem ö« auch Qu beliebig annehmen, und das zugehörige Qh 
bestimmen, indem man in @h(Qa) den Index h die Werthe 
0, 1, 2, . . ., (u. — 1 durchlaufen lässt, wobei jede Wurzel Qu ein- 
mal zum Vorschein kommt. Also: 

3. Jede Substitution öa kann in der Form (Qh, Qu) 
dargestellt werden, worin entweder Qh oder Qu 
eine beliebig gegebene der fi Wurzeln q ist, 
während die andere durch ö„ völlig bestimmt ist. 



§. 154. Zusammensetzung von Substitutionen. ,511 

Die Anzahl aller von einander verschiedenen Substitutionen 
6a ist also, die identische Substitution mit gerechnet, gleich dem 
Grade des Körpers SI(q)^ den wir oben schon mit }i bezeichnet 
haben. Jede dieser Substitutionen führt die Gesammtheit der 
Grössen des Körpers SI(q) in sich selbst über, so dass jede in 
eine bestimmte andere übergeht, und niemals zwei verschiedene 
Grössen in die gleiche [Formel (7), (8)]. 

Wir nennen daher die öa die Substitutionen des Kör- 
pers ^(q)- 

Wenn co = cp (q) im Körper SI{q) ungeändert bleibt, wenn 
Q durch Qa ersetzt wird, wenn also 

<P(Q) = ^ (Qa) 

ist, so sagen wir, co erlaubt oder gestattet die Substitution 
{q, Qa) oder ö«. 

Die Grössen co, die ausser der identischen Substitution keine 
Substitution ö^ gestatten, sind die primitiven Elemente des Kör- 
pers ^(q)- 

4. Eine Grösse, die alle Substitutionen 6^ gestattet, 
ist nothwendig ein Element von Si. 

Denn eine solche Grösse ist mit allen ihren conjugirten 
Grössen identisch, und genügt also nach §. 151 einer Gleichung 
ersten Grades in Si. 

I 

V §• 154. 
Zusammensetzung der Substitutionen. 

Wenn wir in irgend einer Function von q die Wurzel q 
zuerst durch q„ und dann q^ durch q,, ersetzen, so ist der Erfolg 
derselbe, als ob wir gleich von vornherein q mit q^ vertauscht 
hätten. Setzen wir also 

(1) Ö = (q, Qa), ö' = {Qu, Qhh ö" = (q, Q,,), 

so ist es für das Ergebniss gleichgültig, ob wir in allen Zahlen 
des Körpers SI{q) zuerst die Substitution ö und dann die Substi- 
tution ö' ausführen, oder ob wir für einmal die Substitution ö" 
machen. 

1. Wir nennen daher ö" aus 6 und ö' componirt 
oder zusammengesetzt, und bezeichnen diese 
Beziehung durch die symbolische Gleichung 

(2) 6 6' = 0". 



512 Dreizehnter Abschnitt. §. 154. 

Da wir nach dem Satz 3. des vorigen Paragraphen in der 
Bezeichnung einer Substitution {Qh, Qj^) das erste oder das zweite 
Element beliebig wählen können, so lassen sich (>„, p^ so aus- 
wählen, dass ö, ö' zwei beliebig gegebene unter den ^ Substi- 
tutionen des Körpers SI(q) sind; 6" ist aber dadurch völlig 
bestimmt. Ebenso ist aber auch, wenn ö und ö" gegeben sind, 
ö' eindeutig bestimmt. Denn wählen wir q beliebig, so ist Qa 
durch 6 völlig bestimmt und q,> durch ö", womit auch ö' = ((>„, qj^) 
gegeben ist. Ist endlich ö' und ö" gegeben, so ist 6 eindeutig 
bestimmt, da zunächst Qi durch ö" und dann Qa durch ö' be- 
stimmt ist. Wir haben daher: 

2. Von den durch die symbolische Gleichung 66' = ö" 
verbundenen drei Substitutionen des Körpers 
SI(q) können irgend zwei beliebig gegeben sein, 
während die dritte dadurch eindeutig be- 
stimmt ist. 

Wir haben die Composition der Substitutionen symbolisch 
durch das Zeichen der ]\Iultiplication ausgedrückt. Es ist hier 
aber wohl auf die Reihenfolge der Factoren oder Componenten 
zu achten, weil ö ö' von ö'ö verschieden sein kann, d. h. bei der 
die Composition ausdrückenden symbolischen Multiplication gilt 
nicht das commutative Gesetz der gewöhnlichen Multiplication; 
wohl aber gilt das associative Gesetz, das sich in folgendem 
Satz ausspricht: 

3. Sind 6, ö', ö" irgend drei der [i Substitutionen des 
Körpers SI(q), so ist 

(3) (6ö')6" = 6{6'6"). 

Der Beweis ist sehr einfach; denn nach dem Satze 3., §. 153 
können wir ^„, qj,, Qc so bestimmen, dass 

(4j 6 = (q, Qa), ö' = (Qa, Qb), ö" = (Qy, Q^), 

und dann ist 

(5 6' = (q, Q,,), (6 6') 6" = (q, Qi)(Qi„ Qc) = (q, Qc), 

6' 6" = (Qa, Qc), Ö (Ö' Ö") = (q, Qa) (Qa, Qc) = (Q, Qc)- 

Wir bezeichnen daher kurz die aus den drei Substitutionen 
(J, ö', ö" zusammengesetzte Substitution mit 

öö'ö", 
und können überhaupt aus beliebig vielen Componenten eine 
bestimmte Substitution 

6 6'6"ö"' . . . 



§. 155. Permutationsgruppen. 513 

dadurch zusammensetzen, dass wir nach einander immer zwei 
benachbarte unter den Oomponenten zu einer Substitution ver- 
einigen, bis das ganze symbolische Product sich auf eine ein- 
zige Substitution zusammengezogen hat. Denn wir können nach 
§. 153, 3. setzen 

und erhalten immer 

v(9, Qa)iQa, Qh)iQh, Qc)Qc, Qe) = (Q, Q e), 

was offenbar auf eine beliebige Anzahl von Componenten aus- 
gedehnt werden kann. 

Auf Grund der Eigenschaften 1., 2., 3. nennen wir die Ge- 
sammtheit der ft Substitutionen des Normalkörpers a(Q) eine 
Gruppe, und zwar eine endliche Gruppe vom Grade ^. Sie 
heisst auch die Gruppe der Substitutionen des Körpers 
Sl (9). 

Mit der allgemeinen Theorie der Gruppen werden wir uns 
in späteren Abschnitten eingehend beschäftigen. 

^ §. 155. 
Permutationsgruppen. 

Im §. 152 haben wir gesehen, wie man zu einer beliebigen 
Gleichung in Sl vom Grade m 

(1) Fix) = 0, 

von der nur vorausgesetzt wird, dass sie keine gleichen Wurzeln 
hat, einen Normalkörper Sl (q) bestimmen kann, dem alle Wurzeln 
von (1) angehören. Wenn also die Wurzeln von (1) mit 

(2) a, «1, a.^, . . ., a,„_i 
bezeichnet werden, so ist 

(3) a = x{qI «1 = Xi (Qh • • o «m-i = Xm-i(Q\ 
und die % sind rationale Functionen in Sl. 

Setzen wir aber für q eine mit q conjugirte Grösse Qi, 
führen wir also eine Substitution ö = (q, q^) aus, so geht jede 
Wurzel a in eine bestimmte andere über, und niemals zwei ver- 
schiedene in dieselbe; denn wenn 

F(a) = F[x(Q)] = 

ist, so ist nach §. 153, 1.: 

Weber, Algebra. I. 33 



514 Dreizelinter Abschnitt. §. 155. 

d. h. x(Qi) ist aucli eine Wurzel der Gleichung (1). Dass aber 
nicht zwei verschiedene Grössen des Körpers Sl (q) durch eine 
Substitution 6 in die gleiche Grösse übergehen können, haben 
wir im §. 153 schon allgemein gezeigt. 

1. Eine Substitution 6 ruft also unter den Wurzeln 
a eine gewisse Permutation hervor, indem jeder 
der Indices 0, 1, 2, . . ., w — 1 durch einen be- 
stimmten anderen ersetzt wird. 

Dies führt uns also darauf, die Permutationen von m Ziffern 

0, 1, 2, . . ., m — 1 
und ihre Eigenschaften im Allgemeinen genauer zu studiren. 

Geht die Ziffer in Oo: 1 in ai, 2 in a^ u. s. f., tn — 1 in 
ttm-i über, so muss 

(4) (Iqi dl- dl') • • ., Ö5m — 1 

irgend eine andere Anordnung der Ziffern 0, 1, 2, . . ., m — 1 sein. 
Den Uebergang von der einen zu der anderen Anordnung be- 
zeichnen wir durch ein Symbol, wie 

_ /O, 1, 2, . . ., m — r 

(5) ^a = [ 



und nennen diesen Uebergang eine Permutation 

Die A 
menten ist 



Die Anzahl aller möglichen Permutationen von m Ele- 



77 (m) = 1 . 2 . 3 . . . w, 
worunter auch die identische Permutation 

/O, 1, 2, . . ., m - 1\ 

VO, 1. 2, . . ., m — 1/ 

die jedes Element an seiner Stelle lässt, mitgezählt ist. 

Das Symbol (5) ändert seine Bedeutung nicht, wenn man 
die einzelnen Paare 



0, 1, 2, . . ., m — 1 






tt05 ^l5 ^21 . . ., Cltn — 1 






anders anordnet. Ist also 






Oo, Ol, 0.2, . . ., 0,n — i 






irgend eine Anordnung der Ziff"ern 0, 1, 2, . . 


., m — 


• 1, so können 


wir für (5) auch setzen : 







§. 155. Permutationen. 5]5 

^05 ^1) ^25 • • '5 ^»n — 1 



(6) -„ — , ,, 

was mit (5) völlig gleichbedeutend ist. 

Hieraus lässt sich der sehr wichtige Begriff der Zusammen- 
setzung von Permutationeji ableiten. Ersetzen wir einen 
Index a durch einen Index 6, dann h durch c, so ist der Erfolg 
derselbe, als wenn sogleich a durch c ersetzt wird. Wenn wir 
also zwei Permutationen nach einander ausführen, so ist das 
Ergebniss eine bestimmte Permutation, die wir in folgender 
Weise darstellen können. Sind 

7t = (^' ^' . . ., wi — r\ ^ = (^' ^' ..., w— 1\ 

irgend zwei Permutationen , so können wir nach (6) die zweite 
auch so schreiben : 



\Oao5 ^ap • • -1 '^(i^i_-y/ 



und wenn wir also beide nach einander ausführen, zuerst TCa-, 
sodann ^r^, so entsteht eine dritte Permutation, die wir aus 7ia 
und Tii, zusammengesetzt (componirt) nennen, und die wir als 
symbolisches Product von 7ta und tii darstellen : 

(7) n,7i^ —[ \. 

Es ist bei dieser Zusammensetzung meist nicht die Ver- 
tauschung gestattet, da n.iny im Allgemeinen nicht mit Ttiitu 
übereinstimmt. Aber es gilt das associative Princip, was sich in 
der symbolischen Gleichung 

(8) {Tta'nh)'^c = '^ai^h^c) = ^a^b^c 

ausspricht. Davon überzeugt man sich durch folgende einfache 
Ueberlegung. 

Wird irgend ein Index p durch Tta in q, dieser durch 71^ in 
r, und r durch tCc in s verwandelt, so geht p durch TCa^Ch in r, 
und q durch tiitVc in s über; mithin wird jj sowohl durch (7ta7C,j)7tc 
als durch TCai'^b^c) in s verwandelt. Nichts anderes aber besagt 
die Formel (8). 

Zu jeder Permution Tta giebt es eine bestimmte entgegen- 
gesetzte (inverse) Permutation, die darin besteht, dass die durch 
Tta hervorgerufene Veränderung wieder rückgängig gemacht wird, 
die also, mit Tt^ zusammengesetzt, die identische Permutation 



516 Dreizehnter Abschnitt. §. 155. 

hervorbrinfft. Wir bezeichnen diese Permutation mit tt—''- und 
wir haben, wenn TCa den Ausdruck (5) hat, 

^^^ "^^ ~ Vo, 1, . . ., m - i; 

Denn nach der Vorschrift der Zusammensetzung in (7) ist 
^ ^-1 _ /O, 1, . . ., m - Ix 

Vo, 1, . . ., m — i; 



Ebenso ist aber auch 



a 






was wieder die identische Permutation ist. Es ist also die zu 
n~^ entgegengesetzte Permutation wieder die ursprüng- 
liche Permutation jr«. 

Ist TtaTCj) = 7lci so ist 

c a ' 

denn es ist 7ta^b^r^^~^ die identische Permutation. 

Bezeichnen wir die identische Permutation mit tZq, so ist also 

(10) ^a^~^ = ^~'^^a = ^o; 

und 7t ist sich selbst entgegengesetzt (wodurch nicht aus- 
geschlossen ist, dass es noch andere sich selbst entgegengesetzte 
Perrautationen giebt). Durch die Composition mit der identischen 
Permutation wird keine andere Permutation geändert, also 

(11) TC^Tla ^ TtaTCff = TCa- 

2. Ist Ttc aus TTa uud Ttfj Zusammengesetzt, also 

(12) TtaTtf) = 7t c^ 

so ist nicht nur 7t c aus TCa und jr^, sondern auch 
7ia aus 7t,j und 7tc, und Jt^ aus ;r„ und Ttc völlig und 
eindeutig bestimmt. 
Denn es folgt aus (12) 

(13) 7t a = 7tc7t-^^ 7t}, = 7t -'^ Ttc. 

3. Ein aus der Gesammtheit aller n{m) Permu- 
tationen von m Elementen herausgegriffenes 
System 

Q = TT, JT , TT , 7t" . . ., 

das so in sich abgeschlossen und vollendet ist, 
dass je zwei und folglich auch beliebig viele 
Permutationen von Q durch Zusammensetzung 



§. 156. Galois'sche Gruppe. 517 

immer wieder eine Permutation desselben Systems 
ergeben, heisst eine Permutationsgruppe. Unter 
dem Grad einer Permutationsgruppe verstehen 
wir die Anzahl der Permutationen, die sie ent- 
hält. 

Die Gesammtheit aller J7(/w) Permutationen bildet eine 
solche Gruppe. Ebenso ist die einzige identische Permutation 
eine Gruppe für sich. Was zwischen diesen beiden extremen 
Fällen von Gruppen noch liegen kann, das wird uns in den 
folgenden Abschnitten beschäftigen. 

Als einfaches Beispiel möge hier nur noch die Gruppe der 
cyklischen Permutationen, kurz die cyklische Gruppe, 
angeführt werden, die man erhält, wenn man in irgend einer 
Anordnung von Ziffern (1, 2, 3, . . ., n) jede Ziffer durch die 
folgende und die letzte durch die erste ersetzt, und wenn man 
diese Permutation so oft wiederholt, bis man zu der ursprüng- 
lichen Anordnung zurückkommt. Der Grad der cyklischen Gruppe 
ist gleich der Anzahl der Ziffern; z. B. bei den drei Ziffern: 

/l, 2, 3\ /l, 2, 3\ /l, 2, 3\ 
V2, 3, 1/ U 1, 2/ Vi, 2, 3/ 

Es giebt besondere Gruppen, die uns später noch mehr 
beschäftigen werden, die nur aus solchen Permutationen bestehen, 
bei deren Zusammensetzung ausser den oben erwähnten auch 
noch das commutative Gesetz gilt, bei denen also immer Tt-^ n^ 
= Ti^Tii ist, und in Folge dessen die Analogie mit der Multi- 
plication eine viel vollständigere ist. Solche Gruppen, zu denen 
die cyklischen Gruppen gehören, heissen commutative oder 
Abel' sehe Gruppen. 

Wenn die sämmtlichen Elemente einer Permutationsgruppe 
^1 in einer Ginippe Q enthalten sind, so heisst ^i ein Theiler 
von Q, und Q durch Qj^ theilbar. 



§. 156. 
Galois'sche Gruppe. 

Wenn wir in den Wurzeln «, «j, a^^ • • -5 «m-i einer Gleichung 
F(x) = 0, wie sie durch §. 155, (3) als Grössen des Norm.al- 
körpers Sl (q) vom ^^^'^ Grade ausgedrückt sind, eine der ^ Substi- 



518 Dreizehnter Abschnitt. §. 156. 

tutionen 6 des Normalkorpers ausführen, so vollzieht sich unter 
diesen Wurzeln eine gewisse Permutation, wie schon oben gezeigt 
ist. Es entspricht also jeder Substitution ö eine gewisse Permu- 
tation 7t der m Zifiern 0, 1, 2, . . ., m — 1. Zwei verschiedene 
Substitutionen ökt öt führen auch zu zwei verschiedenen 
Permutationen Tth, n-k. 

Denn nach §. 152 ist q eine rationale Function von a, «i, .,., 
«„i_i, die wir durch 

Q =z Q{a, «1, . . ., «,„_i) 

bezeichnen wollen. Wenn wir hierin 

«« = %s{q) 
setzen, so folgt 

(1) Q = ^bJQ)^ 7a (?)••• %m-i{Q)\ 

und nach §. 153, 1. ist also für jeden Index h 

Wenn nun die Substitutionen ö/i, 6u dieselbe Permutation 
unter den « hervorrufen, so ist für jeden Index s = 0, 1,..., m — 1 

Xs (Qh) = Xs (Qi), 
und daraus folgt nach (2), dass auch ö/, = ö^ sein muss. 

Wird durch die Substitution 6^ die Permutation tc^ unter 
den Wurzeln von F(x) = hervorgerufen, so sagen wir, dass 
die Permutation Tth der Substitution ö^ entspricht. 

Jeder Suljstitution entspricht eine bestimmte Permutation, 
und die Anzahl dieser Permutationen ist also, die identische 
Permutation mitgerechnet, die der identischen Substitution ent- 
spricht, gleich fi. 

Wenn den Substitationen 6h und ö^ die Permutationen Tth und 
jTfe entsprechen, so entspricht der zusammengesetzten Substitution 
öh öfc die zusammengesetzte Permutation 71^ ttj;. Denn die Permu- 
tationen sind das Ergebuiss der entsprechenden Substitutionen 
auf ge-^dsse Grössen des Körpers ^{q)i und dabei ist es gleich- 
gültig, ob wir zwei Substitutionen nach einander oder mit einem 
Male die aus beiden zusammengesetzte Substitution ausführen 
(nach §. 154). Wir haben also den Satz: 

I. Es entsprechen den ^i Substitutionen des Kör- 
pers Sl (q) 

(3) Ö, 01, 02, . . ., Öu_i, 

^ Permutationen von in Ziffern 

(4) 7C, Tti^ Tto, . . ., ^n,-i 



§. 156. Galois'sche Gruppe. 519 

in der Weise, dass der aus zwei Substitutionen 
zusammengesetzten Substitution die aus den ent- 
sprechenden Permutationen zusammengesetzte 
Permutation entspricht 
Daraus folgt aber, dass die Permutationen (4) eine Gruppe 
bilden. Wir bezeichnen diese Gruppe mit P und nennen sie die 
Galois'sche Gruppe der Gleichung F(x) = 0, oder auch 
die Galois'sche Gruppe eines jeden der Körper £l{a), 
i^(«l), . . ., ß(a„,_i). 

Diese Gruppe steht zu der Gruppe der Substitutionen des 
Körpers SI(q) in der durch den Satz I. ausgedrückten Beziehung, 
weshalb die beiden Gruppen isomorph genannt werden. 

Um die charakteristischen Eigenschaften der Galois' sehen 
Gruppe zu finden, haben wir nur die Sätze §.153, 1. bis 4. etwas 
anders auszudrücken. Wir sagen von einer Function der m 
Wurzeln, die bei irgend einer Permutation ungeändert bleibt, sie 
gestatte diese Permutation, und erhalten so: 

a) Jede rationale Gleichung in ü, die zwischen den 
m Wurzeln von F(x) besteht, bleibt richtig, wenn 
die Wurzeln irgend einer Permutation der 
Galois'schen Gruppe unterworfen werden. 

b) Jede rationale Function in ü von den m Wurzeln 
van F(x), die sämmtliche Permutationen der 
Galois'schen Gruppe gestattet, ist eine Zahl in Si. 

Denn drücken wir die Wurzeln von F{x) als rationale Func- 
tionen von Q aus, so geht eine Function der Wurzeln « in eine 
Function (p(Q) über. Hat man zuvor eine Permutation der Ga- 
lois'schen Gruppe ausgeführt, so erhält man eine der conjugirten 
Zahlen (p(Qa)i die aus (p{Q) durch eine Substitution ö,, = (q, Qo) 
entsteht. Ist nun (p(Q) = 0, so sind nach dem Satz §. 153, 1. 
auch alle conjugirten (p (Qa) = 0, womit a) bewiesen ist ; und 
sind die conjugirten Grössen (p(Qa) alle einander gleich, so ist ihr 
gemeinsamer Werth nach §. 153, 4. in Si enthalten, wodurch b) 
bewiesen ist. 

Zu a), b) kommt noch als Drittes: 

c) Wenn irgend eine Permutation n der Wurzeln 
von F(x) auf alle rationalen Gleichungen in Sl^ 
die zwischen den Wurzeln bestehen, anwendbar 
ist, so gehört Jt der Galois'schen Gruppe an, und 



520 Dreizehnter Abschnitt. §. 156. 

die Galois'sche Gruppe kann daher auch erklärt 
werden als der Inbegriff aller Permutationen, 
die auf sämmtliche rationale Gleichungen zwi- 
schen den Wurzeln anwendbar sind. 

Denn nach §. 43 kann man q als rationale (z. B. lineare) 
Function der m Grössen a, «j, «2, . . ., a^_i so annehmen, dass 
alle n(m) Werthe , die man durch die 11 (m) Permutationen 
der a daraus erhält, von einander verschieden sind. Ist dann 
g(t) ■= die Galois'sche Resolvente von F(x) = 0, deren 
Wurzel dieses q ist, so ist 

9(9) = 0. 

Hierauf können wir, wenn q durch die Wurzeln a aus- 
gedrückt ist, nach Voraussetzung die Permutation 7t anwenden 
und erhalten also, wenn dadurch q in Qa übergeht, g(Qa) = 0; 
d. h. Qa ist auch eine Wurzel der Resolvente, und die Permutation 
7t entspricht also einer Substitution (p, Qa) des Körpers ^{q)i 
d. h. 7t gehört zur Galois' sehen Gruppe. 

Daraus schliessen wir noch auf folgenden wichtigen Satz: 

d) Ist P eine Gruppe von Permutationen der mWur- 

zeln «, der die Eigenschaften a) und b) zukommen, 

so ist P die Galois'sche Gruppe der Gleichung 

F(x) = 0. 

Denn zunächst gehört nach c) jede Permutation von P der 

Galois" sehen Gruppe an, und P ist also gewiss ein Theiler von 

dieser. 

Wenn aber P nur v Permutationen umfasst, so mögen 
diese mit 

(5) JTi, «21 . . -i ^v 

bezeichnet sein. Wenden wir diese Permutationen auf ^ an, so 

möge sich ergeben: 

(6) Qi, 92) • • V Qv. 

Wenden wir eine der Permutationen (5), etwa tc^, auf eine 
der Grössen (6), etwa auf Qi an, so ist der Erfolg derselbe, als 
ob 7ti7tk auf Q angewandt worden sei; das Ergebniss dieser Per- 
mutation soll Qi sein. Nun liegt aber in der Voraussetzung, dass 
P eine Gruppe sei, dass auch die componirte Permutation 7ti7tk 
zu P gehört, dass also Qi unter den Grössen (6) enthalten sei. 
Zugleich ist ^j- nach §. 153, 2. von q'^ verschieden, sobald Qi von 
Qh verschieden ist. Daraus folgt, dass die Grössen 



§. 156. Galois'sche Gruppe. 521 

(7) q\, q'^, . . ., ^'v 

mit den Grössen (6), von der Ordnung abgesehen, übereinstimmen. 
Das Product 

g'{t) = (t-QO (t — Q,)...(t - 90 

bleibt also durch die Permutationen der Gruppe P ungeändert, 
und ist folglich, da wir die Eigenschaft b) von P voraussetzen, 
eine rationale Function von t in £1. Zugleich ist g'{t) ein Theiler 
von g(t) und muss daher, da g{f) irreducibel ist, mit g{t) über- 
einstimmen, also ist V nicht kleiner als der Grad der Galois'- 
schen Gruppe und P ist mit der Galois'schen Gruppe identisch. 
Wählen wir, wie oben, die Grösse q als rationale Function 
der « so, dass die 11 (m) durch die Permutationen der a sich 
ergebenden Grössen 

alle von einander verschieden sind, so ist 

G(t) = {t - Q) {t — Q') (t-Q") ... 

eine Function in Sl. Nun ist jede von den Grössen q, q', q" . . . 
eine primitive Grösse des Normalkörpers iV = Sl (a, «j, .... a,„-i), 
und jede von ihnen ist also die ^Yurzel einer Galois'schen 
Resolvente fi*^° Grades. Je ^ von diesen Grössen sind die Wur- 
zeln von einer solchen Gleichung. Es muss also G (t)^ was keine 
gleichen Wurzeln hat, in lauter irreducible Factoren ju.*^° Grades 
zerfallen, und daraus ergiebt sich noch, dass ,u ein Theiler 
von n(ni) ist. Zugleich ist ft der Grad der Galois'schen 
Gruppe von F{x). 

Hat der Grad der Galois'schen Resolvente einer Gleichung 
^ten Grades den grössten Werth 11 (m), so sagen wir, mit einem 
von Kronecker herrührenden Ausdruck, die Gleichung hat 
keinen Affect. Sie hat einen um so höheren Affect, je niedriger 
der Grad ^ der Galois'schen Resolvente ist. Den Quotienten 
n{m):^^ der immer eine ganze Zahl, höchstens gleich /7(m) 
und mindestens gleich 1 sein muss, wollen wir den Grad des 
Affe et es nennen, der also bei einer Gleichung ohne Afiect den 
Werth 1 hat. Wenn der Affect den möglichst hohen Grad J7(m_) 
hat, dann sind die Wurzeln der Gleichung selbst im Rationalitäts- 
bereich Sl enthalten, die Gleichung also gelöst. 

Wenn durch Adjunction einer algebraischen Grösse zu ^ 
die Galois'sche Resolvente reducibel wird, so entsteht eine neue 
Resolvente niedrigeren Grades, und der Grad des Affects der 



522 Dreizehnter Abschnitt. §. 156. 

Gleichung F(x) = vergrössert sich. Man nähert sich also 
dadurch der Lösung der Gleichung. 

Die Galois'sche Auffassung der Aufgabe, eine Gleichung 
F(x) = zu lösen , besteht darin , dass durch auf einander 
folgende Adjunction von algebraischen Grössen möglichst einfacher 
Art die Gruppe allmählich verkleinert, oder der Affect erhöht 
werden soll, bis er seineu höchsten Grad erreicht hat. 

Die allgemeine Gleichung w*«^ Grades hat in 
dem Körper Sl, der aus den rationalen Func- 
tionen der Coefficenten a^, ctg? • • •) o,m besteht, 
keinen Affect. 
Denn die als unabhängige Variable betrachteten Coefficienten 
«1, a.2, . . ., a,n können auch dargestellt werden als die symme- 
trischen Grundfunctionen der Wurzeln a, a^, «21 • • «i «m— i- Ist 
dann g(t) ein rational durch die a ausgedrückter, irreducibler 
Factor von G(t), der für t = q verschwindet, so erhält man, 
wenn man a» und q durch die « darstellt, in ^(p) = eine 
identische Gleichung. In dieser können aber die a beliebig per- 
mutirt werden, wodurch sich die a nicht ändern, während q in 
jede der Wurzeln q, q\ q" . . . von G(t) übergehen kann. Es 
verschwindet also g (t) für alle Wurzeln von G (t) und muss 
folglich mit G{t) übereinstimmen 1). 

^) Evariste Galois ist im Jahre 1832, kaum 20jährig, im Duell ge- 
fallen. Die erste Andeutung über die Theorie, die heute seinen Namen 
trägt, findet sich in einer 1830 im „Bulletin des sciences mathem." von 
Ferussac erschienenen Abhandlung „Analyse d'un memoire sur la resolu- 
tion algebrique des equations". Ausführlichere Mittheilungen enthält der 
berühmte, am Vorabend seines Todes geschriebene Brief an Auguste 
Chevalier, der in der „Revue encyclopedique" vom September 1832 
veröffentlicht ist. Erst im Jahre 1846 hat Liouville die sämratlichen 
schon veröffentlichten Arbeiten von Galois nebst einigen Untersuchungen 
aus dem Nachlass, darunter die wichtigste: „Mem. sur les conditions de 
resolubilite des equations par radicaux" in Bd. XI seines Journals ab- 
drucken lassen. Eine deutsche Ausgabe von Maser ist 1889 erschienen 
(Berlin, bei Springer). Interessante biographische Mittheilungen finden 
sich in der „Revue encyclopedique" vom September 1832, die Liouville 
nicht mit abgedruckt hat und die auch in der deutschen Ausgabe fehlen. 
Eine ausführliche Biographie von M. P. Dupuy findet sich in den „Annales 
de l'ecole normale superieure". Von weiteren Schriften, die zum Verständ- 
niss oder zur Weiterbildung der Galois' sehen Theorie beigetragen haben, 
seien noch erwähnt: J. A. Serret („Cours d'algebre superieure", IL Aus- 
gabe, 1854, IV. 1879); Betti („Annali di scienze fisiche e matematiche") 
(1853); C. Jordan, „Traite des substitutions" (1870). E. Netto, „Sub- 
stitutionentheorie" (Leipzig 1882). 



§. 157. Transitive und intransitive Gruppen. 523 

§. 157. 
Transitive und intransitive Gruppen. 

Aus der Galois' sehen Gruppe P können wir ein sehr ein- 
faches Kennzeichen dafür herleiten, ob die Gleichung F{x) = 
reducibel oder irreducibel ist. 

Nehmen wir an , es sei F {x) vom Grade m reducibel und 
fix) ein Factor von F{x) in Sl vom Grade n, und n sei kleiner 
als m. Es mögen die Wurzeln von /(ic) 

(1) a, «1, «2, . . ., a„_i 
sein, die übrigen Wurzeln von F{x) 

(2) «„, «„_i_i, . . ., «,„_i. 

Ist a' irgend eine der Grössen (1), a" eine der Grössen (2), 
so kann in der Gruppe P keine Permutation vorkommen, durch 
die «' in «" übergeführt wird; denn nach Voraussetzung ist 

/(«') = 0. 
und wenn nun in P eine Permutation vorkäme, durch die «' 
durch «" ersetzt würde, so müsste wegen der Eigenschaft §. 156, a) 
auch / («") = sein, was unserer Annahme widerspricht. 

Es werden also durch die Permutationen von P die 
Wurzeln (1) von /(ic) nur unter einander permutirt. 

Wenn umgekehrt die Gruppe P die Eigenschaft hat, dass 
ihre Permutationen einen Theil der m Wurzeln a wie das System 
(1) nur unter einander vertauschen, so gestattet das Product 

[x — a) {x — «i) . . .{x — a„_i) = /(^j 
alle Permutationen von P, und ist also nach §. 156, b) in £1 ent- 
halten ; d. h. F{x) ist reducibel. 

Man nennt eine Permutationsgruppe transitiv, wenn sie 
wenigstens eine Permutation enthält, die ein beliebiges Element 
in ein beliebiges anderes überführt; im entgegengesetzten Falle, 
wenn also die Elemente so in zwei oder mehr Partien zerlegt 
werden können, dass durch keine Permutation der Gruppe ein 
Element der einen Partie in ein Element der anderen übergeht, 
heisst die Gruppe intransitiv. Demnach können wir das Be- 
wiesene in dem Satze zusammenfassen : 

1. Die Gleichung F(ä;) = ist reducibel oder irre- 
ducibel, je nachdem die Galois'sche Gruppe in- 
transitiv oder transitiv ist. 



524 Dreizehnter Abschnitt. §. 158. 

Wenn ein Theil der Elemente so zusammenhängt, dass durch 
Permutationen aus P jedes Element dieses Theiles in jedes 
andere übergehen kann, so nennen wir die Elemente dieses 
Theiles transitiv verbunden. Die verschiedenen transitiv ver- 
bundenen Systeme, die durch alle Permutationen von P nur 
unter einander permutirt werden, heissen die Systeme der 
Intransitivität. 

§. 158. 
Primitive und imprimitive Gruppen. 

Es sei jetzt f{x) = eine irreducible Gleichung n*^"^ Grades, 
also ihre Galois'sche Gruppe P transitiv. Die Wurzeln von 
f{x) seien 
(1) a, a^, «2, . . •, «n-i- 

Wenn der Körper i^(a) imprimitiv ist (§. 151), und @ = %(a) 
ein imprimitives Element, dessen conjugirte Werthe in s Systeme 
von je r unter einander gleichen zerfallen, so dass 

n = rs 

und r >> 1, s <;; w ist, so lassen sich die Werthe (1) in s Reihen 
von je r Elementen zerlegen, die wir mit 

jA. CC, OCj, . . ., CC^ j^ 

/o"! -^ = P, Pii . . ., Pr — 1 



S = <5, Öl- . . ., ö,._i 

bezeichnen wollen, so dass 

= Z(w) = x(«i) • • • = zK-i) 
(3-, 01 = Xiß) = Xißi) ■ ■ ■ = Xißr-l) 

0,_, —xiö) = %(öi) • • • = Z((3r-i) 
die conjugirten Werthe von & sind. Nach §. 151 ist dann 
(t -&)(t-0^).,,(t- 0,_,) = q^it) 

eine irreducible Function in il vom Grade s in Bezug auf ^, 
deren Wurzeln die Werthe (3) sind. 

Es ergiebt sich nun aus (3), dass die Gruppe P so beschaffen 
sein muss, dass alle ihre Permutationen die Elemente der ein- 
zelnen Reihen Ä, B, . . . S nur unter einander vertauschen und 
ausserdem die ganzen Reihen Ä, B, . . . S mit einander ver- 



§. 158. Primitive und imprimitive Gruppen. 525 

tauschen, so dass niemals an Stelle von zwei Elementen derselben 
Reihe zwei Elemente verschiedener Reihen treten. Denn wenn 
etwa durch eine Permutation jr von P, a und «i in ß und ö 
übergeführt würden, so würde folgen, da man die Permutation n 
[nach a), §. 156] in der Gleichung %{c() = %{u^) ausführen darf, 
dass auch %{ß) = %{<5) sein müsste, was der Annahme wider- 
spricht, dass die Werthe (3) von einander verschieden sind. 
Permutationsgruppen P, die diese Eigenschaft haben, dass näm- 
lich die permutirten Elemente sich so in Reihen A, B, ... S 
von gleich vielen Elementen zerlegen lassen, dass durch keine 
Permutation von P zw^ei Elemente derselben Reihe in Elemente 
verschiedener Reihen übergehen, heissen imprimitiv. Die ein- 
zelnen Reihen A, B . . . S heissen die Systeme der Im- 
primitivität. Permutationsgruppen, bei denen eine solche 
Zerlegung der Elemente nicht möglich ist, heissen primitive 
Gruppen. 

Es kann sehr wohl vorkommen, dass eine Gruppe in mehr- 
facher Art imprimitiv ist, dass sie ganz verschiedene Systeme 
der Imprimitivität besitzt. So ist z. ß. die Gruppe der cykli sehen 
Permutationen von sechs Elementen (1, 2, 3, 4, 5, 6) in doppelter 
Weise imprimitiv und hat die Systeme der Imprimitivität 

^ = 1, 3, 5, 5 = 2, 4, 6 
und 

J. = 1, 4, ^ = 2, 5, C = 3, 6. 

Nachdem also der Begriff der primitiven und imprimitiven 
Gruppen festgestellt ist, können wir dem oben Bewiesenen den 
Ausdruck geben: 

1. Ein imprimitiver Körper hat eine imprimitive 
Gruppe. 

Es ergiebt sich aus der Imprimitivität der Gruppe für die 
imprimitiven Körper ein wichtiges Resultat. 

Wir wollen mit 

eine rationale symmetrische Function der r Veränderlichen 
ic, iC], . . ., Xr-i bezeichnen und setzen 

CO = 1^ (a, «1, . . ., «r-l) 

... «1 = i' (ß, ßl, • • o ßr-l) 

(4) 

«,_i = t (ö, öl, . . ., <3r-l); 



526 Dreizehnter Abschnitt. §. 158. 

dann ist zu beweisen, dass co rational durch ausgedrückt 
werden kann, d. li. im Körper Sl (0) enthalten ist. Es ist 
nämlich 

ro) .©C~^ + ^ + - + ,-^"^) = ^W 

eine ganze rationale Function von t, deren Coefficienten rationale 
Functionen der «, «i, . . ., k„_i sind, die ungeändert bleiben, 
wenn irgend eine Permutation der Gruppe P vorgenommen wird, 
weil durch diese Permutationen die co entweder ungeändert 
bleiben, oder in derselben Weise wie die mit einander permu- 
tirt werden. Nach §. 156, b) sind diese Coefficienten also in Sl 
enthalten. Setzen wir dann in (5) für das unbestimmte t den 
Werth ein, so folgt, da cp' (0) von Null verschieden ist, 

Wenden wir dies an auf die Coefficienten des Productes 

(7) (u — a) {u — Mj) . . . {u — c/.r-i) = (p (u, 0), 

wo II eine Variable bedeutet, so ergiebt sich, dass diese Function 
r*^'' Grades, deren Wurzeln die w, «j, . . ., a^-i sind, rational 
durch ausgedrückt werden kann. 

Es ist also die Grösse «, die ursprünglich Wurzel einer 
Gleichung n*^° Grades in Sl ist, zugleich Wurzel einer Gleichung 
r^"'"- Grades, deren Coefficienten rational von der Wurzel einer 
Gleichung s^^° Grades abhängen. Eine Gleichung /(^) := 0, deren 
Wurzel u diese Eigenschaft hat, nennt man eine imprimitive 
Gleichung. 

Wir können das Bewiesene auch so ausdrücken: 

2. Der imprimitive Körper Sl(a) vom n^^"^ Grade geht 

durch Adjunction des Körpers s**" Grades Sl' 

= fl{&) zu Sl in einen Körper £1' (a) vom r^^" Grade 

über. 

Wir wollen noch untersuchen, ob die Imprimitivität der 

Gruppe ein ausreichendes Kennzeichen für die Imprimitivität des 

Körpers ist, ob man also in einem Körper Sl(a) mit imprimitiver 

Gruppe immer imprimitive Elemente finden kann. 

Sei also jetzt f (x) = eine irreducible Gleichung »*«■* 
Grades mit imprimitiver Gruppe, und seien (1) die Wurzeln 
dieser Gleichung, die so in die Pteihen (2j zerlegt sind, dass die 



§. 158. Imprimitive Körper. 527 

Elemente dieser Reihen durch die Permutationen der Gruppe 
nicht von einander getrennt werden. 

Wir wählen irgend eine symmetrische Function i/; (ic, a^i, . . ., Xr—i) 
so, dass die Werthe 

y = t^ (a, «1, . . ., dr-i) 

Vi =t (ß. ßu ' ' •, ßr-l) 



(8) 



ys-i = ^ (ö, öl, • . ., ö,._i) 
alle von einander verschieden sind. 

Um die Möglichkeit hiervon einzusehen, können wir z. B. 

ll^it.Ä) = (t—a) (t — U^) . . . (t—Kr-i), 
t{t,B) = (t-ß) {t-ßO . . . (t-ßr-,\ 



(9) 



setzen, und dann lässt sich (nach §. 43, 1.) für t ein solcher 
rationaler Werth finden, dass diese Grössen alle von einander 
verschieden ausfallen. Diese Werthe können also für die y in (8) 
genommen werden. 

Wenn wir nun unter u eine unabhängige Variable ver- 
stehen und 

(10) (p (u) = (u — y)(u — yi)... (ii — ys-i) 

setzen, so ist (p (n), da seine Coefficienten durch die Permutationen 
der Gruppe ungeändert bleiben, eine Function in Sl, deren Wur- 
zeln die Grössen y sind. Sie ist überdies irreducibel, denn 
aus der vorausgesetzten Transitivität der Gruppe folgt, dass, 
wenn eine rationale Function von y für einen der Werthe (8) 
verschwindet, sie auch für alle anderen verschwinden muss. 

Ist CO irgend eine symmetrische Function der «,«!,..., a^_i, 
so schliessen wir aus der Betrachtung des Ausdruckes 



(p{u) (^ 



" +:7^^ + --- + 



u — y ' u — iji ' ' u — ys-i/' 

der eine ganze rationale Function von m in ß ist, ganz wie oben, 
indem wir u = y setzen , dass w rational durch y dargestellt 
werden kann, und demnach kann auch die Function 

(11) t(t,Ä) = iP{t,y), 

deren Wurzeln die Grössen «, «i, , . ., a,._i sind, rational durch 

y ausgedrückt werden. 

Auch die Gleichung ^ (t, Ä) = ist irrreducibel in 



528 Dreizelinter Abschnitt. §. 158. 

dem Körper Sl(y); denn ist tpiit^y) ein rationaler Theiler von 
1^ (t, 2/), und ist 

^1 («, y) = 0, 
so können wir wegen der Transitivität der Gruppe auf diese 
Gleiclmng eine Permutation anwenden, durch die ce in eine 
beliebige Grösse der Reihe Ä übergeht, wodurch y ungeändert 
bleibt; es ist also jede Wurzel von t^ (t, y) zugleich Wurzel von 
i/^i (f, y) und also sind beide Functionen identisch. 

Es ist also die Gleichung n*®"^ Grades /(a;) = imprimitiv 
in dem oben festgesetzten Sinne, d. h. eine Wurzel ex, dieser 
Gleichung kann betrachtet werden als Wurzel einer Gleichung 
r*^° Grades, deren Coefficienten von der Wurzel y einer Glei- 
chung s*®"* Grades abhängen. 

um zu beweisen, dass dann auch der Körper ß(a) (in dem 
Sinne des §. 151) imprimitiv ist, haben wir noch nachzuweisen, 
dass es in £i (a) Grössen giebt, die einer irreducibeln Gleichung 
5*^^^ Grades genügen. 

Wir werden nachweisen, dass y selbst eine solche Grösse 
ist, dass also y rational durch « allein darstellbar ist. 

Dies ist aber sehr einfach zu schliessen. Nach (11) ist 

(12) rp («, y) = 0, 

während il^{a,y^)^ . . ., 7/^(a,2/s_i) von Null verschieden sind. Denn 
wäre etwa ^' (a, ^j) = 0, so wäre a eine Wurzel der Gleichung 
r**" Grades xp (t, y^) = 0, deren Wurzeln ja die von a verschie- 
denen Grössen /3, /3i, . . ., ßr—i sind. Es haben also die beiden 
Gleichungen 

(13) t («, w) = 0, (p (u) = 

eine und nur eine gemeinsame Wurzel u = y. Der grösste 
gemeinschaftliche Theiler dieser beiden Functionen ist daher in 
Bezug auf u linear, und er giebt y rational durch die Coeffi- 
cienten von (p(u) und ip(a^u)^ also rational durch a. Damit 
ist die Umkehrung von 1. bewiesen: 

3. Ein primitiver Körper hat eine primitive 
Gruppe. 



Vierzehnter Abschnitt. 

Anwendung- der Permutationsgruppen auf 

Gleichungen. 



• §. 159. 

Wirkung der Permutationsgruppen auf Functionen von 
unabhängigen Veränderlichen. 

Für ein tieferes Eindringen in die Algebra ist nach den 
Ergebnissen des vorigen Abschnittes ein genaueres Studium der 
Permutationsgruppen erforderlich. Wir stellen zunächst einige 
allgemeine Sätze darüber auf, die für das Folgende die Grund- 
lage bilden ij. 

Es sei 

(1) M|, U21 . . -, Um 

ein System von einander unabhängiger Zeichen (Veränderliche) und 

(2) rp (Wi, 1(2, . . ., Um) 

eine ganze rationale Function von ihnen mit Coefficienten aus 
einem beliebigen Körper. 

Als gleich sind zwei solche Functionen t/; nur dann zu 
betrachten , wenn in den nach Potenzen und Producten der u 
geordneten Ausdrücken entsprechende Glieder die gleichen Coeffi- 
cienten haben. 



') Für die Theorie der Permutationen sind besonders hervorzuheben: 
Cauchy, „Journal de l'Ecole polytechn. X. cah. (1815J" (mehrere Abhand- 
lungen). C. Jordan, „Traite des substitutions et des equations alge- 
briques", Paris 1870. Netto, „Substitutionentheorie und ihre Anwendung 
auf die Algebra." Leijjzig 1882. 

Weber, Algebra. I. g^ 



530 Yierzelinter Abschnitt. §. 159. 

Wenn wir die Indices der Variablen m, oder was damit 
gleichbedeutend ist, die u selbst einer Permutation 7t unterwerfen, 
so kann die Function t^ sich ändern oder sie kann ungeändert 
bleiben. Bleibt sie ungeändert, so sagen wir, sie gestatte die 
Permutation n. Gestattet sie alle n(m) überhaupt möglichen 
Permutationen, so ist sie symmetrisch und kann durch die sym- 
metrischen Grundfuuctionen ausgedrückt werden (§. 48). Der 
andere extreme Fall ist der, dass die Function für alle 77 (m) 
Anordnungen lauter verschiedene Werthe annimmt. Im All- 
gemeinen werden gewisse Permutationen die Function il) unge- 
ändert lassen, andere werden sie ändern. Wir stellen nun den 
Satz auf: 

1. Der Inbegriff aller der Permutationen der 
Wi, tt2, •••1 ^mi die eine ganze Function ip(iii^ u^,..., Um) 
ungeändert lassen, ist eine Gruppe von Per- 
mutationen. 

Um ihn zu beweisen, nehmen wir an, es sei n eine der Per- 
mutationen, die t^ ungeändert lässt, was wir durch 

ausdrücken. Da nun die ti unabhängige Variable sind, so muss 
diese identische Gleichung richtig bleiben, wenn die Variablen 
irgend einer Permutation -n' unterworfen werden. Wenn aber %' 
auf Tpn angewandt wird, so ist das Ergebniss dasselbe, als wenn 
die zusammengesetzte Permutation %%' auf ^ angewandt wird. 
Es folgt also: 

und wenn nun 
ist, so folgt: 

d. h. wenn die Function ip durch die Permutationen it und n' 
ungeändert bleibt, so bleibt sie auch durch nie' ungeändert, 
wodurch nach der Definition der Gruppe der Satz, den wir aus- 
gesprochen haben, bewiesen ist. 

Wir haben darin ein Mittel, um Permutationsgruppen zu 
bilden, indem wir irgend eine Function von m Variablen nehmen, 
und alle Permutationen aufsuchen, die eine solche Function un- 
geändert lassen. Dass man auf diese Weise alle Permutations- 
gruppen bilden kann, wird sich nachher ergeben. 



§. 159. Permutationeu. 531 

2. Ist 

eine Gruppe von Permutationen von m Ele- 
menten und^Tj eine beliebige unter ihnen, so 
stimmt das System 

Pl = 7t 7ti, 71 Tt^^ 71 Tti^ 71 ' 7li^ . . ., 

von der Reihenfolge abgesehen, vollständig mit 
P überein. 

Denn die in P^ enthaltenen Permutationen, deren Anzahl 
ebenso gross ist, wie die der Permutationen P, sind wegen der 
Gruppeneigenschaft von P (§. 155, 3.) jedenfalls alle unter den 
Permutationen von P enthalten. Ausserdem sind die Permu- 
tationen von Pj (nach §. 155, 2.) alle von einander verschieden, 
und also ist P mit P,, von der Reihenfolge abgesehen, identisch. 
Ebenso kann man auch zeigen, dass 

P. = TC^Tl^ 71-^71 ^ JCj 3t , 71-^71 ^ .. . 

mit P identisch ist. 

Hieraus ergeben sich die folgenden Sätze: 

3. Jede Permutationsgruppe enthält die identische 
Permutation. 

Denn unter den Permutationen von P, muss auch ^r^ selbst 
vorkommen und wenn 71^^71-^ = 71^ ist, so ist (nach §. 155, 2.) tcq 
die identische Permutation. 

4. Eine Permutationsgruppe P enthält zu jeder 
Permutation auch die entgegengesetzte. 

Denn in Pi muss nach 3. die identische Permutation vor- 
kommen. Ist aber 7C7t^ die identische Permutation, so ist 
71 = 7i~'^. Hierin kann jt^ jede Permutation aus P sein. 

Wenn an Stelle der Variablen iti, w.2i - • 1 ^m bestimmte 
Grössen a^, «o, . • ., ß»i, seien es Zahlenwerthe oder Grössen 
irgend eines Körpers, gesetzt werden, so verliert der Satz 1. 
seine allgemeine Gültigkeit. Nehmen wir z. B. m = 3 und 
setzen zwischen den drei Grössen «i, «3, oc-^ die Relation 2 «3 
= «)-]- «2 fest, indem wir sie sonst nicht weiter beschränken, 
so bleibt die Function «2 — «3 uugeändert nur durch die iden- 
tische Permutation und durch die Permutation 



1, 2, 3\ 

2, 3, 1/ 



34 = 



532 Vierzehnter Abschnitt. §. 159. 

Diese l)eiclen Permutationen aber bilden keine Gruppe, weil 
die Wiederholung der letzteren 



'O 



/l, 2, 3\ 

U 1- V 
nicht darunter vorkommt. 

Für diese Functionen gilt nun der folgende Satz: 

5. Ist P eine Permutationsgruppe von m Ziffern, 
und sind «j , «2- . . ., «», beliebige von einander 
verschiedene Grössen, so giebt es rationale Func- 
tionen der a, sogar mit rationalen Coefficienten, 
die sich nicht ändern, wenn auf die Indices von 
« eine Permutation der Gruppe P angewandt 
wird, und die sich ändern, wenn eine nicht zu P 
gehörige Permutation angewandt wird. 

Um ihn zu beweisen, nehmen wir eine Function 

wie wir sie schon im §. 156 betrachtet haben, die 17 (m) ver- 
schiedene Werthe erhält , wenn die a auf alle mögliche Arten 
vertauscht werden. 

Bezeichnen wir die Werthe. die q durch Anwendung der 
Permutationeu einer Gruppe erhält, mit 

(1) Q- 9i, ■ • •, Qu-u 

so werden nach dem Satze 2. diese Grössen nur unter einander 
vertauscht, wenn auf alle zugleich eine Permutation tTj aus der 
Gruppe P ausgeübt wird. Denn die Anwendung der Permutation 
TT^ auf die sämratlichen Functionen (1) hat denselben Erfolg, wie 
die Anwendung der in P^ enthaltenen Permutationen auf q. 
Nach 2. ist aber P^ mit P, von der Pteihenfolge abgesehen, 
identisch. 

Bedeutet also t eine Variable, so bleibt die Function 

(2) t = it — Q) (t — Q,) . . . {t — Qa-i) 

uugeändert, wenn irgend eine Permutation aus P angewandt 

wird. Wenn nun durch eine nicht in F enthaltene Permutation 

die Grössen (l) in 

(3) q', q\, . . ., q'u-1 

übergehen, so kommt wenigstens q' sicher nicht unter den 

Grössen (1) vor, und folglich ist 

jp, = (t - q') (t — Q\) . . . (f - p:._i) 



§. 160. Transpositionen und Cyklen. 533 

mit ifj nicht identisch. Man kann daher dem t einen solchen 
rationalen Werth geben, dass i/> von allen nach Art von i/^^ ge- 
bildeten Functionen verschieden ist. 

Selbstverständlich gelten diese Betrachtungen auch, wenn an 
Stelle der a unabhängige Variable treten. 

Eine Function, die alle Permutionen einer Gruppe P ge- 
stattet, während sie sich bei allen nicht zu P gehörigen Permu- 
tationen ändert, heisst eine zur Gruppe P gehörige Function. 

Zu der Gruppe Pq, die alle Permutationen von m Ziffern 
umfasst, gehören die symmetrischen Functionen. Man nennt 
diese Gruppe daher auch die symmetrische Gruppe. 

Eine Function ^, die zu der aus der einzigen identischen 
Permutation bestehenden Gruppe gehört, kann zu einer ein- 
deutigen Bezeichnungsweise der Permutationen dienen; denn es 
giebt nur eine Permutation ;r', durch die q in q' übergeht. Wir 
können also für diese Permutation das Symbol 

^' = {q, 9') 

benutzen, so dass durch 

{q, qI (p, 9'h (q, Q") ■ • • 
alle Permutationen der m Ziftern eindeutig bezeichnet sind. 



V §. 160. 

Zerlegung von Permutationen in Transpos.itionen 

und in Cyklen. 

Wir haben schon im zweiten Abschnitt bei Gelegenheit der 
Determinanten die Zusammensetzung beliebiger Permutationen 
aus einer Reihe von Transpositionen, d. h. Vertauschung nur 
zweier Ziffern, erwähnt. Solche Transpositionen bezeichnen wir 
durch Nebeneinanderstellen der betreffenden Ziffern, z. B. durch 
(1, 2) die Vertauschung der Ziffern 1 und 2. 

Eine Transposition, zweimal wiederholt, führt zur Identität, 
so dass jede Transposition sich selbst entgegengesetzt ist. Ist nun 

eine beliebige Permutation von m Ziffern, so ist 

71 (m, a,n) = Jt] 



534 Vierzehnter Abschnitt. §. 160. 

eine Permutation, die m — 1 imgeändert lässt, die also durch 

/l, 2, . . ., m - 1\ 

\&1, ho, . . ., brn-l ) 

dargestellt werden kann und also eine Permutation von höclistens 
m — 1 Ziffern ist. Da nun auch 

ist, so folgt hieraus durch vollständige Tnduction 

1. dass man jede Permutation fund zwar auf un- 
endlich viele verschiedene Arten) in Transposi- 
tionen zerlegen kann. 

Und daraus folgt weiter: 

2. Wenn eine Permutationsgruppe von m Ziffern 
alle Transpositionen mit einer festen Ziffer, z.B.: 

(1. 2), (1, 3), . . ., (1, m) 
enthält, so ist sie mit der symmetrischen Gruppe 
identisch. 
Denn eine solche Gruppe enthält, wie man aus der Zu- 
sammensetzung 

(2, 3) = (1, 2) (1, 3) (1, 2) 

erkennt, auch alle anderen Transpositionen, und nach 1. lassen 
sich daraus alle Permutationen der symmetrischen Gruppe zu- 
sammensetzen. 

Eine Permutation vt heisst cyklisch, wenn sich die Ziffern 
so in eine Reihe ordnen lassen, dass durch ti jede Ziffer in die 
folgende und die letzte wieder in die erste übergeht, also z. B. 



/l, 2, . . ., m — 1, m\ 
V2, 3, . . ., m 1 /' 



solche cyklische Permutationen bezeichnet man einfacher, indem 
man die Ziffern des Cyklus neben einander setzt, durch 

(1, 2, 3, . . ., m). 
Dabei ist es gleichgültig, mit welcher Ziffer man anfängt; 

man könnte also auch 

(2, 3, . . ., w, 1) 

dafür setzen. Es gilt nun der folgende Satz: 

3. Jede Permutation n lässt sich, und zwar nur 

auf eine Weise, in eine Reihe von cyklischen 

Permutationen zerlegen, so dass keine zwei 

dieser Cyklen eine Ziffer gemeinschaftlich haben. 



§. 160. Transpositioneu und Cyklen. 535 

Ist nämlich 

(1) . = C' 2- •••■"'), 

SO fange man mit einer beliebigen Ziflfer, etwa mit 1 an, und 
setze die Reihe 

(2) 1, «1 = &, ab = c . . . 

so lange fort, bis man auf eine Ziffer zum zweiten Male stösst. 
Die zuerst wiederkehrende Ziifer muss 1 sein, da zu jeder Ziffer 
die in der Reihe (2) vorangehende durch (1) eindeutig bestimmt 
ist. Dann bilden die Ziffern 

(3) (1, 6, c . . 

einen ersten Cyklus. Sind dadurch noch nicht alle m Ziffern 
von (1) erschöpft, so greift man aus den übrigen eine heraus 
und verfährt ebenso, bis alle m Ziffern von (l) in den Cyklen 
untergebracht sind. Da in jedem solchen Cyklus zu jeder Ziffer, 
die vorangehende sowohl als die nachfolgende, durch (1) völlig 
bestimmt ist, so sind auch die Cyklen selbst eindeutig bestimmt. 
Bei der Bezeichnung von 7t durch die Cyklen können aber nicht 
nur die verschiedenen Cyklen beliebig angeordnet, sondern man 
kann auch in jedem Cyklus mit einer beliebigen seiner Ziffern 
anfangen. Eine Ziffer, die nicht geändert wird, bildet für sich 
einen eingliedrigen Cyklus. 

Wir wählen ein ganz beliebiges Beispiel, wodurch das Ver- 
fahren sofort klar wird: 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\ _ q 7 o o r x a^ 
, 6, 7, 1, 4, 5, 8, 2) - (1' ^' '' ^' '' '' '^ '^ 



^i = \S 



n., 



; 1; 3,' 6,' 7 1: 1 4) = («■ *■ '' '• «) (^' 2) (3) 



"' = (2: 3; 6, 5; l: i: I; d = («• -• *• »> f^- 2. •'■ 6)- 

Das Nebeneinandersetzen der Cyklen ist mit einer Compo- 
sition in dem bisherigen Sinne gleichbedeutend, nur ist zu be- 
merken, dass Permutationen, die gar keine gemeinschaftliche 
Ziffer enthalten, bei der Composition immer vertauscht werden 
können. 

Eingliedrige Cyklen, die nichts ändern, werden in der Be- 
zeichnung auch oft weggelassen. 



536 Yierzehnter Absclinitt. §. 160. 

Da im Allgemeinen, wenn % und x irgend zwei Permutationen 
von m Ziffern sind, v. % von it, y. verschieden ist, so ist auch 

von X verschieden. Ist x in seine Cyklen zerlegt, so kann man 
x' nach dem folgenden Satze sehr einfach aus x ableiten. 

4. Man erhält die Permutation ti^'^-ati dadurch, 
dass man in den Cyklen von x die Permutation 
TT ausführt. 

Um diese Piegel zu beweisen, sei. in Cyklen zerlegt 

X = («, /3, r . . .) («', /3'. y' ...).. . 
und es sei 

^ ^ /«. /3, 7, . . ., «', /3', y\ . . .\ 

\K.-r, /3;r, 7^, . . .. C/4, ß'n- ri-r, • . •/ 

Durch 7C'~'^ geht «^ in a über, durch x geht a in /3 über 
und durch tt vnrd /3 in ß^ übergeführt. Durch 7i-'^7t7i geht also 
«^ in /3;^ über. Da dieselbe Betrachtung auf ß„, y^, . . . u. s. f. 
anwendbar ist; so folgt: 

7t-'^y,7t = Ca-r. /3;r, 7Tt, • . •) (c4, /3^, y^, • • .) • • •' 
und dies ist der Inhalt des Satzes 4. 

Aus der gleichzeitigen Betrachtung der Zerlegung der Per- 
mutationen in Cyklen und in Transpositionen ergiebt sich ein 
Beweis für die Eintheilung der Permutationen in zwei Classen, 
die wir schon im zweiten Abschnitt bei den Determinanten 
kennen gelernt haben. 

Bedeutet x eine Transposition und ti eine beliebige Permu- 
tation , so ist in der zusammengesetzten Permutation T:;r die 
Anzahl der Cyklen um eins grösser oder um eins kleiner als in 
7t. Die beiden Ziffern, die durch t mit einander vertauscht 
werden, können entweder in demselben Cyklus von tc vorkommen 
oder in zwei verschiedenen Cyklen. Nehmen wir an, es sei ein 
in rr vorkommender Cyklus y = (1, 2, . , , a, a -\- l . . . b) und 
es enthalte r zwei Ziffern, die in y vorkommen, etwa r == (1, a), 
flann ist 

ry = ri, a -f- 1, . . . 6j (2, 3, , , , a), 

d, h. y wird durch Zusammensetzung mit r in zwei Cyklen 
zerlegt, während die übrigen Cyklen durch t nicht berührt 
werden. 



§. 160. Permutationen erster und zweiter Art. 537 

Wenn aber die beiden Ziffern von t in zwei verschiedenen 
Cyklen von n vorkommen, so mögen diese beiden Cyklen 

y = (1, 2, 3 . . . a\ y' = (1', 2', 3' . . . a') 

sein und r = (1, 1'). Es ist dann 

ryy' = (1, 2', 3' . . . «', 1', 2, 3 . . . a), 

d. h. die beiden Cyklen y, y' werden durch r zu einem einzigen 
Cyklus vereinigt, während wieder die übrigen Cyklen ungeändert 
bleiben. 

Wenn wir also eine Permutation % von m Ziffern, die aus 
V Cyklen besteht (wobei die eingliedrigen Cyklen mitgezählt 
werden), durch ft Transpositionen dargestellt haben, so kann 
sie durch Zusammensetzung mit diesen ft Transpositionen in 
umgekehrter Reihenfolge in die identische Permutation verwandelt 
werden, die aus m eingliedrigen Cyklen besteht. Es sind daher 
im Ganzen m — v Cyklen gewonnen, und da jeder Transposition 
ein gewonnener oder ein verlorener Cyklus entspricht, so muss 
ft ^ m — V (mod. 2) sein, d. h. fi ist eine gerade oder eine 
ungerade Zahl, je nachdem m — v gerade oder ungerade ist. 
Die letzte Zahl ist aber nur von der Permutation ir, nicht von 
der Art der Zerlegung in Transpositionen abhängig. Wir haben 
damit den Satz: 

5. Die Permutationen von m Ziffern zerfallen in 
zwei Arten, von denen die erste in eine gerade, 
die zweite in eine ungerade Anzahl von Trans- 
positionen zerlegbar ist. 

Jede dieser beiden Arten umfasst gleich viel Permutationen, 
nämlich |77(w^); denn durch Hinzufügung einer festen Transposi- 
tion geht jede Permutation der ersten Art in eine der zweiten 
Art über und umgekelirt. 

Die Zusammensetzung zweier Permutationen von gleicher 
Art giebt stets eine Permutation der ersten Art, während eine 
Permutation erster und zweiter Art, zusammengesetzt, eine Permu- 
tation zweiter Art ergeben, wie aus der Zerlegung in Transposi- 
tionen sofort zu ersehen ist. Daraus folgt: 

6. Die Permutationen der ersten Art bilden eine 
Grupp e. 

Nennen wir eine Function von m Veränderlichen Mj, u^-, . . .,u 
oder auch von m von einander verschiedenen Grössen «i, oc.,, ...,«; 



m 

mi 



538 Vierzehnter Abschnitt. §. 160. 

die ihr Zeichen ändert, wenn zwei der Variablen mit einander 
vertauscht werden, wie z. B. das Product aller Differenzen: 
(t(l — «2) (Ui — U-i) . . . (Ui — Um) 

(U2 W3) • • • (% ^m) 



eine alternirende Function, so wird durch die Permu- 
tationen der ersten Art eine solche Function nicht verändert, 
während sie durch eine Permutation der zweiten Art geändert, 
nämlich in den entgegengesetzten Werth verwandelt wird. Die 
alternirenden Functionen gehören also zu der Gruppe der 
Permutationen der ersten Art. 

Wie wir früher die Gruppe, zu der die symmetrischen Func- 
tionen gehören, symmetrische Gruppe genannt haben, so nennen 
wir die Gruppe der Permutationen der ersten Art, zu der die 
alternirenden Functionen gehören, alternirende Gruppe. 
Die Gruppe, die aus der einzigen identischen Permutation be- 
steht, nennen wir die identische Gruppe oder auch die 
Einheitsgruppe. 

Eine cyklische Permutation von n Gliedern lässt sich in 
n — 1 Transpositionen zerlegen, wie man aus der Zusammen- 
setzung 

(1, 2,3 . ..«) = (!, 2) (L 3)...(1, M) 

erkennt, und daraus folgt, dass eine cyklische Permutation zur 
ersten oder zur zweiten Art gehört, je nachdem die Anzahl der 
Ziffern eine ungerade oder eine gerade ist. 

Wie man jede Permutation aus Transpositionen zusammen- 
setzen kann, ebenso kann man jede Permutation der ersten Art 
aus dreigliedrigen Cyklen zusammensetzen. Es genügt, wenn 
dies für jedes Paar von Transpositionen bewiesen ist, da jede 
Permutation der ersten Art sich aus solchen Paaren componiren 
lässt. Es ist aber 

(1, 2) (1, 3) = (1, 2, 3) 
(1, 4) (2, 3) = (1. 2, 3) (1, 2, 4), 
woraus die Pdchtigkeit der Behauptung zu ersehen ist, da die 
beiden Transpositionen eines Paares entweder eine oder keine 
Ziffer gemein haben. Also: 

7. Alle Permutationen der ersten Art lassen sich 
(auf unendlich viele Weisen) in cyklische Per- 
mutationen von drei Elementen zerlegen. 



§. 160. Alternirende Gruppe. 539 

Aus 7. folgt weiter 

8. Eine Permutationsgruppe von m Ziffern, die 
alle dreigliedrigen cyklischen Permutationen 
mit zwei festen Ziffern enthält, muss die ganze 
alternirende Gruppe enthalten. 

Denn aus den Cyklen (1, 2, 3), (1, 2, 4), . . ., (1, 2, m) lassen 
sich alle dreigliedrigen Cyklen und also nach 7, alle Permu- 
tationen der ersten Art componiren, wie man aus den Zusammen- 
setzungen 

(2, 1, 3) = (1, 2, 3) (1, 2, 3), 

(1, 3, 4) = (1, 2, 3) (2, 1, 4) (2, 1, 3), 

(2, 4, 5) = (2, 1, 4) (1, 2, 5) (1, 2, 4) 

(3, 4, 5j = (2, 1, 3) (3, 4, 5) (1, 2, 3) 
ersieht. 

9. Ist m grösser als 4, so ist eine Permutations- 
gruppe von m Ziffern, die alle aus je zwei 
Transpositionen ohne gemeinsame Ziffer zu- 
sammengesetzten Permutationen (1,2) (3,4) ent- 
hält, durch die alternirende Gruppe theilbar. 

Denn es ist 

(1, 2, 3) = (1, 2) (4, 5) (4, 5j (1, 3) 

und man kann also, wenn ausser den vier Ziffern 1, 2, 3, 4 noch 
eine fünfte, 5, vorhanden ist, alle dreigliedrigen Cyklen aus Trans- 
positionspaaren von der Form (1, 2) (4, 5) zusammensetzen. 
Ist dagegen m = 4, so bilden die vier Permutationen 

1; (1, 2)(3, 4j; (1, 3j (2, 4); (1, 4) (2, 3) 

eine Gruppe, die kleiner ist als die alternirende Gruppe, in der 
ausserdem noch die acht dreigliedrigen Cyklen vorkommen. 

Hieran schliessen wir die Beweise von zwei weiteren wich- 
tigen Sätzen, die sich auf transitive Permutationsgruppen be- 
ziehen : 

10. Wenn eine transitive Permutationsgruppe von 
m Ziffern eine einzelne Transposition enthält, 
so ist sie entweder die symmetrische Gruppe 
oder sie ist imprimitiv. 

Die vorgelegte Gruppe sei P, die m Ziffern, die durch sie 
permutirt werden, 1, 2, . . ., »», und es komme darin die Trans- 
position (1, 2) vor. Sie möge überhaupt die Transpositionen 



540 Vierzehnter Abschnitt. §. 160. 

(1, 2), (1, 3), (1, 4), . . ., (1, ^), 
aber keine andere Transposition mit der Ziffer 1 enthalten. Ist 
nun ,u ^= w, so ist P nach 2. die symmetrische Gruppe. Ist 
aber jw < m, so enthält P nach demselben Satze alle Permu- 
tationen der Ziffern 

M— 1, 2, .". ., ft. 

Daraus folgt, dassP keine Transposition von einer der Ziffern 
1, 2, 3, . . ., ft mit einer anderen Ziffer, etwa mit fu-]-}- 1, enthalten 
kann. Denn wenn (2. ^i -\- 1) m P vorkommt, so kommt auch 
(l,|Lt-j-l) =r (1,2) (1, (tA-j-l) (l^S) darin vor, gegen die Voraus- 
setzung. 

Wenn nun P transitiv ist, so giebt es darin eine Permu- 
tation 71, durch die die Ziffer 1 in eine nicht in dem System M 
enthaltene Ziffer, etwa in ft-f-l, übergeht, und dann kann durch 
jr keine der Ziffern von M in eine Ziffer von M übergehen; denn 
wenn z. B. 2 in r übergeht, so ist 

:r-i(l, 2)7t = (fi + 1, r) 
und (fi-[-l, r) kann, w^enn r zu 31 gehört, wie wir gesehenjhaben, 
nicht in P vorkommen. Durch jede Permutation von P werden 
also die Ziffern des Systems 31 entweder nur unter sich ver- 
tauscht, oder sie werden in die Ziffern eines ganz davon ver- 
schiedenen Systems 31' übergeführt, und in P kommen auch alle 
Permutationen der Ziffern 31' vor. 

Wenn mit 31 und 31' noch nicht alle Ziffern erschöpft sind, 
so giebt es eine Permutation in P, durch die 31 in ein drittes 
System 31" übergeführt wird, was wieder mit 31 und mit M' 
keine Ziffer gemein haben kann. 

Denn sind «, ß zwei Elemente von 31 (die auch identisch 
sein könnten), die durch tc und n' in dasselbe sowohl in 31' als 
in 31" enthaltene Element y übergehen, so wird ß durch die 
Permutation Tt^ = ti'ti—''- in a übergehen. Folglich kann 7C() die 
Ziffern von 31 nur unter sich permutiren , und da tc' = tCqTI ist, 
so ist JP mit M" identisch. 

Es zerfällt also die Gesammtheit der Ziffern 1, 2, . . ., m in 
Systeme 31, 31', 31" . . . von je |U. Ziffern, die durch P impri- 
mitiv permutirt werden, d. h. die Gruppe P ist imprimitiv. 

Wenn m eine Primzahl ist, so giebt es keine imprimitiven 
Permutationsgruppen; also ist in diesem Falle eine transitive 
Gruppe, die eine Transposition enthält, nur die symmetrische 
Gruppe. 



§. 160. Permutationsgruppen. 541 

Ganz auf dieselbe Weise schliesseu wir aus dem Satze 8: 

11. Wenn eine transitive Permutationsgruppe von 
m Ziffern einen dreigliedrigen Cyklus enthält, 
so enthält sie die ganze alternirende Gruppe, 
oder sie ist im primitiv. 

Denn enthält die Gruppe P die dreigliedrigen Cyklen 
(1, 2, 3), (1, 2, 4), . . . (1, 2, ^), 
aber keinen anderen mit den Ziffern 1, 2, so enthält sie nach 8. 
die ganze alternirende Gruppe der Ziffern M =1, 2, 3, . . ., m. 
Ist nun ^ < w«, so kann in P kein dreigliedriger Cyklus vor- 
kommen, der eine oder zwei der Ziffern von M mit anderen Ziffern 
verbindet. Denn enthält P eine Permutation (1, r, s) von der 
Art, dass von den Ziffern r, s wenigstens eine nicht in M vor- 
kommt, so wähle man a, ß aus 31 so, dass keines von ihnen mit 
1, r, s übereinstimmt, und man findet dann aus der Zusammen- 
setzung (nach 4.) 

(1, ß, «) (1, r, .s) (1, «, ß) = («, r, s), 
dass alle («, r, s), und mithin nach 7. die ganze alternirende 
Gruppe der Ziffern 

1, 2, 3, . . ., /tt, r, s 

in P enthalten ist, was der Voraussetzung widerspricht. Es zer- 
fallen also die m Ziffern von P, wie vorhin, in mehrere Systeme 
M, M\ M" . . . der Imprimitivität. Wir können noch hinzufügen, 

12. dass, wenn der Fall der Imprimitivität ein- 
tritt, die GruppeP im Falle 10. die ganze sym- 
metrische Gruppe, im Falle 11. die ganze alter- 
nirende Gruppe für jedes einzelne System der 
Imprimitivität enthält. 

Die wiederholte Zusammensetzung einer und derselben Per- 
mutation mit sich selbst bezeichnet man wie Potenzen, Wenn 
also 3r irgend eine Permutation ist, so muss unter den auf ein- 
ander folgenden Potenzen 

^ö, 7t^, n^, 7t^. . . ., 
worin ^r" == 1 die identische Permutation bedeutet, nothwendig 
dieselbe Permutation wiederkehren. Aus tt" = 7r" + « folgt aber 
jc^ = 1. Ist e der kleinste positive Exponent, für den ^r^ = 1 
wird, so sind die Permutationen 
(4) 1, 71, n\ . . ., 7r«-i 



542 ' Vierzelmter Abschnitt. §. 161. 

alle von einander verschieden, während sie sich bei der Fort- 
setzung %% ;t« + i, ..., 7r2e-i^ ... in derselben Reihenfolge periodisch 
wiederholen. Die Reihe (4) heisst die Periode der Permu- 
tation TT, und e wird der Grad von % genannt. Die Periode 
von % bildet eine Gruppe , da durch Zusammensetzung zweier 
ihrer Elemente ein Element derselben Periode entsteht. 
Ist TT eine cyklische Permutation 

7t = (1, 2, 3, . . ., n), 
so ist bei geradem n 

3r2 = (1, 3, . . ., n - 1) (2, 4, . . ., n), 
und bei ungeradem n 

71^ = (1, 3, . . ., n, 2, 4, . . ., w - 1), 

und der Grad von tc ist in beiden Fällen gleich n. 

Ist 7t in mehrere Cyklen zerlegt, so ist der Grad von 7t 
gleich dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen der Glieder- 
zahl der einzelnen Cyklen, z. B. 

7t = (1, 2) (3, 4, .5), ;r2 = (1) (2) (3, 5, 4), 7t^- = (1, 2) (3) (4) (5), 

Tt^ = (1) (2) (3, 4, 5), 7t5 = (1, 2) (3, 5, 4), 7t^^ = 1. 

Wenn 7t in irgend einer Permutationsgruppe P vorkommt, 
so enthält 'P die ganze Periode von 7t. 



§• 161. 

Divisoren der Gruppen. Nebengruppen und 

conjugirte Gruppen. 

Wir haben im §. 159 gesehen, dass eine Function von m 
unabhängigen Veränderlichen immer eine Permutationsgruppe 
von m Ziffern bestimmt, dass aber dies nicht immer zutrifft, 
wenn an Stelle der unabhängigen Veränderlichen bestimmte 
Grössen gesetzt werden. Durch die Galois'sche Theorie wird 
aber dieser Unterschied ausgeglichen, oder wenigstens auf seinen 
Kern zurückgeführt. Es sei jetzt F(x) = irgend eine Glei- 
chung m^^^ Grades in einem gegebenen Körper £1 mit den von 
einander verschiedenen Wurzeln «i, «j, • . ., «„j. 

Den Normalkörper 

wollen wir mit N bezeichnen. 



§• 161- Nebengruppen. 5^3 

Unter der Galois' sehen Gruppe P des Körpers N oder der 
Gleichung F{x) = können wir (nach §. 156) entweder die 
Gruppe der Substitutionen des Körpers N oder auch die damit 
isomorphe Permutationsgruppe der Indices der a verstehen. 

Es sei p der Grad von P und wir wollen die Operationen 
von P (seien es nun Substitutionen von N oder Permutationen 
der «) mit 

(Ij P = 7t, TCi, TT^, . . ., 7tp_i 

bezeichnen. Wenn das System Q der in P enthaltenen Permutationen 

(2) X, Xi, x.,, . . ., X5_i 

für sich eine Gruppe ausmacht, wenn also je zwei der Elemente 
von Q, mit einander componirt, wieder ein Element aus Q er- 
geben, so heisst die Gruppe (^ ein Theiler oder Divisor von Pi). 

Wir leiten zunächst einen wichtigen allgemeinen Satz über 
die Theiler einer Gruppe her. 

Wenn der Grad q des Theilers kleiner ist als der Grad jj 
von P, so nehmen wir ein nicht in Q enthaltenes Element ti^ 
in P und bilden das System 

das wir als symbolisches Product Qn^ darstellen. Die Elemente 
von (3) sind sowohl unter einander als von den Elementen von 
Q verschieden, denn aus X; Jt^ = Xg tc^ würde Xj = Xa, und aus 
X = Xj JTi würde tTj = x-^ x folgen, was nicht möglich ist, wenn 
TTi nicht zu Q gehört. Die Elemente von Qtci bilden keine 
Gruppe, denn sonst müsste Xj tc^ Xg Tt-^^ =x., Tt^ oder tTj = x~^ X;, :t~^ 
sein, was wieder erfordern würde, dass Tt^ in Q enthalten ist. 

Wir nennen das System QtIi eine Nebengruppe zu Q 
(innerhalb P). Die Nebengruppe bleibt in ihrer Gesammtheit 
ungeändert, wenn Tt^ durcli irgend ein Element xn, von Qtt^ 
ersetzt wird, weil Qtc mit Q identisch ist. 

Nennen wir überhaupt jedes System Qn eine Nebengruppe, 
so dass Q selbst darunter mitgerechnet ist, so können wir zeigen, 
dass zwei Nebengruppen entweder ganz identisch sind, oder 
kein gemeinsames Element enthalter. Denn sind Qtt^, 
Q71.2 zwei Nebengruppen, und ist x^ ^r^ = Xg ^2? worin x^, x, zwei 
Elemente aus Q sind, so folgt, wenn x = Xg'^Xj gesetzt wird. 



1) Auch Untergruppe genannt. 



544 Vierzehnter Abschnitt. §. 161. 

:n:, = iCTCi. Da aber x zu ^ gehört, und folglich Qx = Q ist, 

so folgt: 

Q7t.2 = QxTti = QtTi. 

Ist durch (2) und (3) die Gruppe F noch nicht völlig er- 
schöpft, so können wir eine weitere Nebengruppe Q7T2 bilden 
und können in der Bildung der Nebengruppen so lange fort- 
fahren, bis P in lauter Nebengruppen zerlegt ist. Da jede dieser 
Nebengruppen q Elemente enthält, so folgt der wichtige Funda- 
mentalsatz von Cauchy: 

1. Der Grrad eines Theilers einer Gruppe P ist 
ein Theiler des Grades von P. 

Als specieller Fall ist darin enthalten, dass der Grad 
eines Elementes der Gruppe (§.160) immer ein Theiler 
des Grades der Gruppe ist. 

Die Zerlegung von P in seine Nebengruppen können wir 
(nach Galois) sehr bezeichnend durch die symbolische Gleichung 
ausdrücken: 

(4) P = Q-^ Q7i,-i- Qti,-] h Q^j-i. 

wenn 

(5) p=jq 

ist. Den Quotienten j nennen wir den Index des Theilers 
Q. Diese Zahl drückt keine Eigenthümlichkeit der Gruppe Q 
an sich aus, sondern nur eine Beziehung von Q, zu P. 

Da, wie wir oben schon gesehen haben, zwei Nebengruppen 
zu Q entweder ganz identisch sind, oder kein gemeinschaftliches 
Element enthalten, so können wir noch den Satz aussprechen: 

2. Ist 7t eine beliebige Permutation aus P, so ist 
das System der Nebengruppen 

Q7I, QtTiTI, Q7t2 7t, . . ., Q7lj_i7t 

von dem System 

nur durch die Anordnung unterschieden. 

Wir dehnen die Bezeichnung Nebengruppen auch auf Systeme 
von der Form 7t Q aus, und können P auch in solche Systeme 
zerlegen. Es folgt speciell aus der Zerlegung (4) die zweite 

P= Q + 7t-^Q + 7t-^Q-^ ;r-_i^ Q. 

Denn wenn jr^ nicht in Q vorkommt, so kommt auch 7t-^ nicht 
darin vor, und wir erhalten eine erste Nebengruppe 7t-''- Q. 



§. 161. Nebengruppen. 545 

Wenn dann tIo, nicht in Qn^ vorkommt, so kommt auch n—^ 
nicht in n—^Q vor; denn aus tc—'^ = jr— ^ % würde Tto, = z^^x^ 
folgen u. s. f. 

Wir geben hier der Zerlegung (4) den Vorzug wegen der 
Bedeutung, die sie, wie ynr sogleich sehen werden, für das 
algebraische Problem hat. 

Wir nennen eine Grösse t^ des Körpers N zu der Gruppe 
Q gehörig (wenn nöthig mit dem Zusatz „innerhalb P"), wenn 
-^J sich nicht ändert, falls eine der Operationen von Q darauf 
angewandt wird, dagegen sich ändert, wenn irgend eine andere 
Operation aus P angewandt wird. Wie man sieht, ist dieser 
Begriff der Zugehörigkeit gegen den im §. 159 festgesetzten etwas 
erweitert, insofern die Permutationen, die ausserhalb P liegen, 
hier gar nicht in Betracht kommen. Für den Fall, dass P die 
symmetrische Gruppe ist, fallen aber beide Begriffsbestimmungen 
zusammen. 

Bei dieser Definition der Zugehörigkeit gelten nun die fol- 
genden Sätze allgemein. 

3. Zu jedem Theiler Q von P gehören Grössen in 
JV, und jede Grösse in N gehört zu einem be- 
stimmten Theiler Q von P. 

Der erste Theil des Satzes ist bereits im §. 159, 5. bewiesen. 
Denn wenn eine Function der Grössen « innerhalb der symme- 
trischen Gruppe zu einer Gruppe Q gehört, so gehört sie auch 
innerhalb jeder anderen Gruppe P, von der Q ein Theiler ist, zu Q. 

Der zweite Theil aber folgt aus den Grundeigenschaften der 
Galois'schen Gruppe. 

Um dies einzusehen, wollen wir folgende Bezeichnung ein- 
führen. Wird auf eine Function xp des Körpers N irgend eine 
Permutation tc der Gruppe P ausgeübt, so möge ilf in t/; j Jt 
übergehen; wird auf t \ it eine Permutation n' ausgeübt, so ist 
der Erfolg derselbe, als ob auf ^ die zusammengesetzte Permu- 
tation %%' ausgeübt wäre, d. h. es ist 
(6) {xl, \ n) \ n' = jp \ n %' . 

Bleibt nun i/^ ungeändert durch die Permutation x, so ist 

und hierin kann nach §. 156, a) jede Permutation % aus der 
Gruppe P angewandt werden. Dadurch ergiebt sich 

^ j TT = ^ I XÄ. 
Weber, Algebra. I. 35 



546 Vierzehnter Abscbnitt. §. 161. 

Wenn daher i}) \ % auch gleich t^ ist, so ist auch i' \ xti ^ if, 
d. h. die Permutationen, die i' ungeändert lassen, bilden eine 
Gruppe, w. z. b. w. 

Ist f eine zur Gruppe Q gehörige Function in N, ist also 

(7j 1/; I X = t^' I Xj = • • • = ^ I Xg_l = w, 

und 71-^ irgend eine nicht zu Q gehörige Permutation von P, so 
können wir ti-^ auf die Gleichungen (7j anwenden und erhalten 

i< I X .Ti = i|' I Xj TTi = • • • = 1^ I Xg_i ;ri = 1/;,, 
und T^'i ist von j^ verschieden. Wenn umgekehrt für irgend ein 7t 
(8j ^'^ = 11; \ 7r^= ip \ otTti 

ist. so muss ;r unter der Reihe der Substitutionen 
(9j Qtc^ = xiTi, Xi^r,, . . ., X5_i7r| 

enthalten sein; denn durch Anwendung von %—'^ auf (8) folgt, 
dass x% -T— ^ in Q enthalten, etwa gleich x^ sein muss; daraus 
aber folgt 

7t = X— 1 'A7ty^ 

was in der That in (9) enthalten ist. 

Wir können demnach folgenden Satz aussprechen: 

4. Eine zu Q gehörige Function i> gelit durch 
alle Permutationen einer Nebengruppe Qti^ 
und durch keine andere Operation aus P in 
eine bestimmte von xp verschiedene Grösse ip^ 
über. 

Demnach entsprechen den j Nebengruppen ebenso viele 
Functionen tl\ nämlich 

(10) i\, i\, i'2, . . ., i'j-u 

und aus dem Theorem 2. ergiebt sich der Satz: 

5. Die Grössen (10) erleiden eine Permutation, 
wenn auf alle gleichzeitig eine und dieselbe 
Operation 7t aus P angewandt wird. 

Denn wir können die Grössen (10) so darstellen 

t I X, 1^ I XTTi, t I ii^2, ' ■ ; i' \ X^j-l, 

und wenn also 7t darauf angewandt wird, 

1p \ X7t, 1p \ 'A7t-y7t, 1p \ X7t27t, . . ., Ip \ X7tj^i7t, 

worin x und 7t beliebige Permutationen aus Q und P sind. In 
jeder der beiden Pieihen 



§. 161. Conjugirte Gruppen. 547 

kommt aber aus jeder der Nebengruppen (4) eine und nur eine 
Permutation vor. 

Die Functionen (10), die, wie wir gesehen haben, alle von 
einander verschieden sind, heissen conjugirte Functionen. 

Wir können nach dem Vorhergehenden leicht die Gruppen 
bilden, zu denen die einzelnen Functionen (10) gehören. Es ist 
z. B. t^'j = ^ I jTi , und wenn nun tc eine Permutation aus P ist, 
durch die t^j ungeändert bleibt, so muss 

sein. Auf diese Gleichung können wir aber die in P enthaltene 
Permutation tt—'^ anwenden, wodurch sich 

4' \ TT^Tl 7[—^ =- ll> 

ergiebt , d. h. es muss tt^ tc 7c~^ zu Q gehören. Setzen wir es 
gleich X, so folgt 

(11) 7t = JT—^X7ti. 

Wenn umgekehrt tt diese Form hat, so ist 

und il^i gestattet also diese Permutation. Demnach können wir 
die Gruppe, zu der i/^^ gehört, durch das Symbol 

darstellen, was in der That eine Gruppe ist, wie aus der Zu- 
sammensetzung 

(12) TTj^^ X^Tj :n[~l Kj^Tj =7l~^KXi7t-i 

zu ersehen ist. 

Die Gruppen, zu denen die conjugirten Functionen (10) 
gehören, nämlich 

(13) Q, 7i-^Q7iy, n-^Qr.^, . . ., 7ir}^ Q^j-i, 

nennen wir conjugirte Theiler von P oder kurz conjugirte 
Gruppen 1). 

Wenn die Elemente zweier Gruppen 

V ^^ ^1 '^H '^25 • • • 

V ^^^ ^ 5 '^ll ^^21 • • • 



1) Auch der Name „gleichberechtigte Untergruppe" ist dafür im 
Gebrauch. 

35* 



548 Yierzelinter Abschnitt. §. 162. 

in der Weise eindeutig auf einander bezogen werden können, 
dass, wenn x, vJ und Xj, v\ zwei Paare entsprechender Elemente 
sind, auch die Zusammensetzungen %y.^ und x'xi entsprechende 
Elemente sind, so heissen die beiden Gruppen isomorph. 

Die in (12) ausgedrückte Regel der Zusammensetzung in der 
Gruppe 3r~i Q'^\ zeigt also, dass alle conjugirten Gruppen mit 
einander isomorph sind. 

Wenn jt eine beliebige Permutation aus P, also von der 
Form %%r ist, so ist die Gruppe n—'^Qn immer unter den conju- 
girten Gruppen (13; enthalten, nämlich = jr^^ x"^ ^x;r,. = n—^Qiir. 

Die Ableitung von it—'^Q% aus Q heisst auch eine Trans- 
formation der Gruppe Q durch n und ti"'^ Qn eine aus 
^transformirte Gruppe. 

§. 162. 

Pteduction der Galois'schen Piesolvente durch Ad- 
junction. No r mal th eiler einer Gruppe. 

Wir haben nun die allmähliche Pteduction der Gruppe einer 
gegebenen Gleichung zu betrachten, die durch die Adjunction 
von gewissen algebraischen Grössen eintreten kann. 

Es sei, wie im vorigen Paragraphen, P die Galois'sche 
Gruppe vom Grade ^3, und Q einer ihrer Theiler vom Grade g 
und vom Index ^', ferner i^ eine zu Q gehörige Function der 
Wurzeln, und 

(1) 1^, t^i. t/;2, . . ., i^j-x 

seien die conjugirten Grössen. Wir stellen den folgenden Satz 
an die Spitze. 

1. Die conjugirten Grössen (1) sind die Wurzeln 
einer irreducibeln Gleichung vom Grade j" 
in iß. 
Denn bedeutet f eine Veränderliche, so bleibt 

(2) qp ii) = (t — i^) (t - ip,) . . . (t — t^,_i) 

(nach §. 161, 5.) ungeändert, wenn eine Permutation aus P ange- 
wandt wird; also sind die Coefticienten der Function q)(t), deren 
Wurzeln die Grössen (1) sind, in Sl enthalten [§. 156, b)]. 

Um die Irreducibilität von q) (t) nachzuweisen , nehmen wir 
an, es sei 0(t) irgend eine Function in ü, die für t = ifj ver- 
schwindet, also (i^'j = 0. Da auf diese Gleichung alle Permu- 



§. 162. Reduction der Galois'schen Gruppe. 549 

tationen von P angewandt werden dürfen , so folgt , dass auch 
^(■4^1), ^(^2)5 • • -i ^i^j-i) Niill sein müssen, dass also 0{t) 
durch q) (t) theilbar sein muss. Darin aber ist die Irreducibilität 
enthalten. 

Hieran schliesst sich der Satz von Lagrange^): 

2. Jede Grösse des Körpers JV, die die Permu- 
tationen der Gruppe Q gestattet, ist in dem 
Körper ü(i/;) enthalten, wenn t^ eine zu Q ge- 
hörige Function ist. 

Eine die Permutationen von Q gestattende Function a geht 
durch die Permutationen einer Nebengruppe Qn^ in ein und 
dieselbe Function über. Es entsprechen also den conjugirten 
Werthen 

(3) if, 1^1, i/;2, • • • i'j-i 
die Werthe 

(4) ö, »1, «2, . . ., coj-i, 

die jedoch nicht nothwendig alle von einander verschieden sind. 

Wendet man auf die Grössenreihen (3), (4) eine der Perrau- 
tationen von P an , so tritt eine gewisse Permutation ein , und 
zwar in beiden Reihen die gleiche, da, wenn z. B, t^^ in ^'3 über- 
geht, auch »1 in «2 übergehen muss (§. 161, 5.). 

Betrachten wir nun die Summe 

die eine ganze Function {j — 1)*®° Grades von t ist, so finden 
wir, dass sie durch alle Permutationen P ungeändert bleibt und 
folglich in £1 enthalten ist. Setzt man dann t ^= ip und be- 
achtet, dass qp {t) keine gleichen Wurzeln hat, so folgt 

(6) »=^- 

(p'{'4,) 

Es ist also a rational durch t^ ausgedrückt, und dies ist der 
Inhalt des Satzes 2. 

3. Wenn wir eine zu Q gehörige Function il) dem 
Körper Sl adjungiren, so reducirt sich die 
Gruppe des Körpers N auf Q. 



^) Lagrange, Reflexions sur la resolution algebrique des equations. 
Memoires de l'Academie de Berlin, annees 1770, 1771. Oeuvres de Lagrange. 
Tome IIL Der Satz ist von Lagrange allerdings nur in einer specielleren 
Fassung gegeben. Die allgemeine Formulirung rührt von Galois her. 



550 Vierzehnter Abschnitt. §. 162. 

Denn bezeichnen wir den Körper Si(^ilj) mit Sl\ so gestattet 
erstens jede Gleichung in Sl' zwischen den Wurzeln der Grund- 
gleichung K, «1, . . ., a,n—i die Permutationen von Q, Aveil Q in P 
enthalten ist, und weil ip durch ^.ungeändert bleibt; und zwei- 
tens ist jede Function, die durch Q ungeändert bleibt, nach 
dem Lagrange 'sehen Satze in Sl' enthalten. Dies sind aber 
[nach §. 156, a), b)] die charakteristischen Merkmale der 
Galois'schen Gruppe im Körper Sl'. Um also die Galois'sche 
Gruppe vom Grade p auf den Grad q zu reduciren, muss eine 
Wurzel einer Hülfsgieichung j*«'» Grades in Sl adjungirt w^erden. 

Den Satz 3. können wir auch so ausdrücken: 

Der Normalkörper i\r^ii(a, a^, ..., a„j_i) ist ein Körper 
p^^^ Grades über Sl und g*^° Grades über Sl' ^= Sl{-^). 

Der Erniedrigung der Gruppe durch Adjunction von ip ent- 
spricht, wie schon aus den allgemeinen Grundsätzen hervorgeht, 
eine Zerfällung der Galois'schen Resolvente. Nehmen wir an, 
es sei (wie im §. 152) g{t) = die Galois'sche Resolvente und 
Q eine ihrer Wurzeln, und durch die Permutationen von Q gehe 
Q über in 

(6) Q; ()i, p,, • . • Qq-1^ 

so dass, wenn y.h irgend eine Permutation aus Q ist, nach der 
im §. 161 gebrauchten Bezeichnung (>;, = 9 | %h ist. 

Wendet man auf diese Grössen eine Permutation der Gruppe 
Q an, so werden sie nur unter einander permutirt, und ihre sym- 
metrischen Functionen, und folglich auch die Function der Va- 
riablen t 

(1) g(t, ^)^(t— Q) {t—Q,)...{t- ()5_i) 

sind in Sl{il)) enthalten. Zugleich ist ^(^, 1/;) em Theiler von 
g{f). Wendet man auf q die Substitutionen der Nebengruppe 
TCi Q an, so geht q in 

(8) Po, 15 Q\,i-, • • -1 Qq—\,i 

über, worin 

Qh,i = Q 1 ^i^h 

und zwei der Reihen (8) sind entweder identisch, oder sie ent- 
halten kein gemeinschaftliches Element. Denn ist Qh^i = Qr,si so ist 
jTj oCh = Ttsy.r und Tis ist folglich in der Nebengruppe tTj Q enthalten. 
Aber auch die Grössen (8) vertauschen sich nur unter einander, 
w'enn man darauf eine Substitution von Q anwendet (weil, wenn 
oc eine Permutation in Q ist, iCi Qy. = Tti Q). Demnach ist auch 

(9) gi(t, 1/;) = (i — Qo,i) {t — pi,i) . . .(t — Qq-l,i) 



§. 162. Reduction der Galois'schen Resolvente. 551 

in ü (^) enthalten und es wird g (t) durch Adjunction von -ip in 
j Factoren zerlegt: 

(10) g (t) = go {t, t) 9, {U H>) . ■ . Uj-i (U xl^). 

Man kann die Zerlegung aber noch in einer anderen Weise 
ausführen, wobei man jedoch Factoren erhält, die nicht alle in i5i(T/>), 
sondern in den conjugirten Körpern iß(t/'), ü(i/^i), . . ., Si(ilfj_i) 
enthalten sind. Setzen wir nämlich 

Q'h,i = Qh I ^i, 
so gehen die Grössen (6) durch Anwendung der Permutation 
TCi in 

(11) Qo,h Ql,h ■ ' •■) Qq — l,i 

über, und die Gesammtheit dieser Grössen bleibt ungeändert 
durch die Permutationen der Gruppe 7t~^ Q'^i. Ist nun wie früher 

so geht -^ durch 7ii in t^j über, und aus (7) ergiebt sich 

(12) g{t, tlJi) = (t — Qo,i) (t — Qli) . . . (t — ^5_i,i). 

Dies ist gleichfalls ein Theiler von g{t), und weil zwei von 
den Grössen -Reihen (11) entweder identisch sind, oder kein 
gemeinschaftliches Element haben, so haben je zwei der Func- 
tionen g (^, i^j) keinen gemeinsamen Theiler. Daraus ergiebt sich 
die Zerlegung 

(13) g(t) = g{t, ^) g{U t^i) . • . y{U ^,-i), 

die im Allgemeinen von der Zerlegung (10) verschieden ist. 
Uebereinstimmung findet nur dann statt, wenn man zu jeder 
Permutation % aus P eine zugehörige n' so finden kann, dass 
n Q = Qn' ist. 

Sind Q und Q' zwei verschiedene Theiler der Gruppe P, so 
werden Q und Q' gewisse Permutationen gemein haben, unter 
denen sich immer die identische Permutation findet. Es ist 
möglich, dass dies die einzige gemeinsame Permutation von Q 
und Q' ist, und dann heissen diese beiden Gruppen theilerfremd. 
Es können aber noch mehr gemeinsame Elemente vorhanden 
sein. Den Inbegriff R aller gemeinsamen Permutationen von Q 
und Q' nennen wir den grössten gemeinschaftlichen 
Theiler, oder auch den Durchschnitt von Q und Q'^). 



') Der kürzere Ausdruck „Durchschnitt" statt „gemeinschaftlicher 
Theiler" ist von Study vorgeschlagen. 



552 Vierzehnter Abschnitt. §. 162. 

Dies it ist immer eine Gruppe , denn wenn Tt^ und 7C2 beide 
sowohl in Q als in Q' vorkommen, so muss auch jr^ :r2 in Q 
und in Q\ also auch in R vorkommen. Der Begriff ist sofort 
übertragbar auf mehrere Gruppen Q, Q\ Q" . . . 

Ist ip eine zu Q und ^' eine zu Q' gehörige Function, so 
können wir die rationalen Zahlen x, x' (nach §. 43, 1.) so be- 
stimmen, dass G) = xip -j- x'i)' eine zu JR, gehörige Function 
wird. Denn jedenfalls gestattet co die Permutationen von jR, da 
il) und 1/;' sie gestatten. Ist dann % eine nicht in li enthaltene 
Permutation aus P, so ist sicher nicht zugleich ii) =z ip \ n und 
xl)' =^ i^i \ 71^ also können wir rr, x' so bestimmen, dass auch nicht 
o = o I Ä wird. Wenn wdr also gleichzeitig ip und ^', und folg- 
lich a adjungiren, so reducirt sich die Gruppe des Körpers JV 
nach 3. auf R. Ebenso können wir bei mehr als zwei Gruppen 
Q schliessen, und erhalten den Satz: 

4. Sind g, Q\ Q" . . . Theiler von P, R ihr Durch- 
schnitt, ^ji/'^t^" ... Functionen, die zu Q, Q\ Q".., 
gehören, so reducirt sich die Gruppe des Kör- 
pers N durch gleichzeitige Adjunction von 
t^, t/;', 1/;" ... auf R. 

Wenn wir nicht bloss eine Wurzel ip der Hülfsgieichung 
^(^)=^0 adjungiren, sondern alle mit ip conjugirten Grössen 
^} ^11 ^2i • • ■•> i'j—u wenn wir also aus Sl den Körper 

ableiten, so ist nach diesem Satze der Erfolg der, dass die 
Gruppe von N in i2" der grösste gemeinschaftliche Theiler R 
aller mit Q conjugirten Gruppen wird, so dass (nach §. 161) 
R der grösste gemeinschaftliche Theiler aller Gruppen n—'^ Qtc 
ist, wenn 71 die Permutationen von P durchläuft. 

Von besonderem Interesse ist nun der Fall, dass 
alle conjugirten Gruppen 71— ^ Qtc mit einander identisch 
sind. In diesem Falle ist nach dem Theorem 2. jede der con- 
jugirten Grössen ip, t^^ , ^^i • - -i ^j — i ^^ ^0-') enthalten, die 
Körper ii(^), Si{i\), ..., Sl(i^j_i) und ß(t/', t^^, . . ., ipj^i) sind 
identisch, und Sl {ip) ist ein Normalkörper über Sl. In 
diesem Falle sind die Zerlegungen (10) und (13) mit einander 
identisch. 

Wir nennen daher einen Theiler Q der Gruppe P, der 



§. 163. Gruppe der Kesolventen. 553 

diese Eigenschaft hat, einen Normaltheiler (oder normalen 
Theiler) i). 

Ist aber Q ein Normaltheiler, so ist die Adjuuction einer 
einzigen Wurzel t^ der Hülfsgieichung gleichbedeutend mit der 
gleichzeitigen Adjunction aller dieser Wurzeln. 

5. Ist Q selbst nicht normal, so ist der gröss'te 
gemeinschaftliche Theiler li aller conjugirten 
Theiler tc — '^Qtc gewiss normal. 

Denn ist eine Permutation % in R. also in allen Gruppen 
n^'^Qn enthalten, so gilt das Gleiche auch von jedem jr-^x^r, 
d. h. n—'^ÜTi ist Theiler von i?, und folglich, da es von gleichem 
Grade ist, = B. 

Eine Gruppe, die ausser sich selbst und der identischen 
Gruppe keinen Normaltheiler hat, heisst eine einfache Gruppe. 
Der Durchschnitt aller mit einer einfachen Gruppe conjugirten 
Gruppen ist entweder die Gruppe selbst oder die identische 
Gruppe, je nachdem diese einfache Gruppe Normaltheiler von P 
ist oder nicht. 

Ist Q ein Normaltheiler von P. und R ein Normaltheiler 
von Q, so ist zwar R ein Theiler von P, aber keineswegs immer 
normal. Dagegen ist, wenn R ein Normaltheiler von P ist, 
R auch Normaltheiler von jedem Theiler Q von P, von dem R 
Theiler ist. 

§. 163. 
Die Gruppe der -Resolventen. 

Die Hülfsgieichung (p{t) = 0, von der die Bestimmung der 
Function i) abhängt, geht in die Galois'sche Resolvente über, 
wenn der Theiler Q^ zu dem xi) gehört, die identische Grujipe 
ist. Denn dann kann nach dem Satze von Lagrange (§. 1G2, 2.) 
jede Function des Körpers JV, also auch die Wurzeln « selbst 
rational durch -ip ausgedrückt werden, und N ist mit Sl {i)) identisch. 

Wir wollen diese Gleichungen (p{t) = Q daher in einem all- 
gemeineren Sinne Resolventen nennen. Es sind aber hier zwei 
Fälle zu unterscheiden. 



^) Galois spricht, von der eigentlichen Zerlegung (decomposition 
propre) einer Gruppe; daher der Ausdruck „eigentliche Theiler", der auch 
im Gebrauch ist; neuere Schriftsteller bezeichnen die Normaltheiler als 
„ausgezeichnete oder invariante Untergruppen". 



554 Vierzehnter Abschnitt. §. 163. 

1. Wenn die conjugirten Gruppen 7t~'^ Q ti th eiler fremd sind, 
so ist die gleichzeitige Adjunction sämmtlicher Wurzeln der 
Resolvente q)(t) =^ (nach Satz 4., §. 162) gleichbedeutend mit 
der Adjunction einer zur Einheitsgruppe gehörigen Function, 
und die Lösung der gegebenen Gleichung ist auf die vollständige 
Lösung der Resolvente zurückgeführt. Es ist 

und eine Galois"sche Resolvente der Gleichung q) (t) =0 ist 
zugleich eine Galois'sche Resolvente der ursprünglichen Gleichung. 
In diesem Falle nennen wir (p (t) = eine Totalresolvente 
der gegebenen Gleichung. 

2. Haben die conjugirten Gruppen 7r~^ Q n einen von der 
Einheitsgruppe verschiedenen Theiler R vom Grade r, der dann 
ein Normaltheiler von P ist, so ist die gleichzeitige Adjunction 
von sämmtlichen zu %> conjugirten Functionen gleichbedeutend 
mit der Adjunction einer zu R gehörigen Grösse. Die Galois'sche 
Resolvente der gegebenen Gleichung ist durch diese Adjunction 
noch nicht vollständig gelöst, sondern sie ist nur in Factoren 
vom Grade r zerlegt. In diesem Falle heisst go (f) =^ eine 
Partial resolvente. 

Ist P eine einfache Gruppe, so existiren nur Total- 
resolventen, während, wenn P Normaltheiler hat, zu jedem 
solchen Normaltheiler eine Partialresolvente gefunden werden 
kann. 

Derselbe Unterschied tritt auch hervor, wenn wir die 
Galois'sche Gruppe der Resolvente (p{i) untersuchen. Diese 
Gruppe besteht aus allen Vertauschungen, die in der Reihe der 
Grössen 

(1) ^, i^'i, ^'o, . . ., i^j-i 

durch Anwendung der sämmtlichen Operationen n von P hervor- 
gerufen werden; denn jede Gleichung in ß zwischen den Grössen (1) 
bleibt richtig, wenn eine dieser Permutationen vorgenommen wird, 
da man die Operationen tt auf jede Gleichung zwischen den «, 
also auch zwischen den i/^, anwenden kann; und wenn eine Func- 
tion in £1 der Grössen (1) alle diese Permutationen gestattet, so 
gestattet sie auch alle Permutationen n und ist also gleich einer 
Grösse in iß. 

Es ist nun der Grad dieser Gruppe zu bestimmen. Unter 
den Operationen von P werden die und nur die unter den 



§. 164. Adjunction beliebiger Irrationalitäten. 555 

Grössen (1) keine Veränderung hervorrufen, die gleichzeitig in 
den Gruppen tc—'^ Qn aller dieser Functionen, also auch in ihrem 
grössten gemeinsamen Theiler R vorkommen. Die Operationen 
von J2 mögen mit 6 bezeichnet sein. Sind dann ;r und 7t' zwei 
Operationen, die unter den Grössen (1) dieselbe Permutation 
hervorrufen, so wird n' n—'^ die ursprüngliche Anordnung der ii) 
wieder herstellen, also gleich einer der Grössen 6 sein, oder 

7t' = ÖTf. 

Wir haben daher das Ergebniss: 

Die Permutationen der Nebengruppe Bn und nur 
diese rufen unter den Grössen (1) eine und dieselbe 
P e r m u t a t i n hervor. 

Der Grad der Galois'schen Gruppe der Resolvente (p{t) = 
ist also gleich der Anzahl dieser Neben gruppen, d. h. gleich dem 
Quotienten p : r oder dem Index des Theilers B von P. 

Ist R die identische Gruppe, also r= 1, und folglich (p(t) = 
eine Totalresolvente, so ist der Grad ihrer Gruppe ebenso hoch, 
wie der Grad der Gruppe der ursprünglichen Gleichung, und beide 
Gruppen sind überdies isomorph. In Bezug auf die Gruppe ist 
also nichts gewonnen. Die gegebene Gleichung ist mit der Pte- 
solvente, so verschieden auch ihre Grade sein mögen, äquivalent. 

Ist auf der anderen Seite Q ein Normaltheiler, also R mit Q 
identisch, so ist (p(t) = eine Partialresolvente und der Grad 
ihrer Gruppe ist gleich dem Index j des Theilers Q von P. 
Nach der Adjunction einer Wurzel dieser Resolvente reducirt 
sich die Gruppe der ursprünglichen Gleichung auf Q. also auf 
den Grad q. Es ist also eine Spaltung der Gruppe erfolgt. 

Wenn man Resolventen bilden will von möglichst niedrigem 
Grade, so hat man Theiler der Gruppe P aufzusuchen von mög- 
lichst kleinem Index, also von möglichst hohem Grade. Will man 
aber eine Reduction der Gruppe herbeiführen, so hat man einen 
Normaltheiler von P aufzusuchen. 

§. 164. 

Reduction der Galois'schen Gruppe durch Adjunction 
beliebiger Irrationalitäten. 

Die Aufgabe der Lösung einer algebraischen Gleichung wird 
nach der Galois'schen Auffassung durch eine andere ersetzt, 



556 Vierzehnter Abschnitt. §, 164. 

nämlich durch Adjunction von algebraischen Grössen möglichst 
einfacher Natur eine Zerfällung der Galois' sehen ßesolvente, 
also eine Erniedrigung des Grades der Gruppe herbeizuführen. 
"Wir stellen jetzt die Frage so. In dem ursprünglichen 
Körper £1 ist die Galois'sche Resolvente g{t) irreducibel. Der 
Körper Sl soll zu einem anderen Körper Sl' so erweitert werden, 
dass g(t) reducibel wird. Si' soll dabei ein algebraischer Körper 
über Sl sein, und es muss also nach §. 150 eine algebraische 
Grösse s geben, so dass Sl' = Sl(6) wird. Die Grösse s wird 
Wurzel einer gewissen irreducibeln Gleichung in Si sein , die 
wir mit 

(1) X{s) = 
bezeichnen wollen. 

Nehmen wir an, in dem Körper £i(£) sondere sich von g(t) 
der irreducible Factor 

(2) g, (t) = 9, (t, e) 

ab, der die Wurzel t == q hat. Den Grad von g-^ (t, s) wollen wir 
mit q bezeichnen und die W^urzeln mit 

(3) (), Qii Q2, • . ., Qq— 11 

so dass 

(4) g\ (t, a) = (t — Q) (t — Qi) . . . {t — Qq-i). 

Zunächst ist nun nachzuweisen, dass die in der Gruppe P 
enthaltenen Substitutionen 

(q, Q), (P, Qi), (9, Q2) • ■ . (Q: Qq-l) 

eine Gruppe Q bilden. Um dies zu zeigen, setzen wir wie früher 

(§• 153) 

Qi=&i{Q), 

und bedenken, dass dann die Gleichung 

g,[0,(t),e] = O 

eine Wurzel, nämlich t = q, mit ^i(^), gemein hat, und mithin, 

da g^ (t) in £1 (e) irreducibel ist, durch g-^ (t) theilbar ist. Daraus 

folgt, dass, wenn q^ und ^2 ii'gend zwei der Wurzeln (3) sind, 

auch 01 {Q.2) = 93 unter diesen Wurzeln enthalten ist. Es ist aber 

die Substitution ((>, q^) aus (q, Qi) und (9, ^2) zusammengesetzt, 

und damit ist die Gruppeneigenschaft von Q nachgewiesen. Wir 

bezeichnen den Index von Q mit j und setzen 

(ö) P = j g. 



§. 164. Adjuaction beliebiger Irrationalitäten. 557 

DasProduct (4) gestattet mm die Substitutionen der Gruppe Q, 
und wenn also i/; wie oben eine zu dieser Gruppe gehörige Func- 
tion in N bedeutet, so lässt sich nach §, 162, 2. die Function 
gi (i, e) rational durch i^ ausdrücken, d. h. g^ (t, e) ist eine Function 
von t im Körper j^^^ Grades Sl(^)^ und soll demnach durch 
g(t, ^) bezeichnet werden. 

Die Grösse il^ ist eine der Wurzeln einer irreducibeln Glei- 
chung vom Grade j 

(6) (p (u) = 0, 

deren übrige Wurzeln ifj^, i^'g, ..., i'j_-^ sind, und nach §. 162, (13) 
ist g(t) in die Factoren zerlegbar 

(7) 9(t) = 9(t, tl^) g(t, t/^i) . . . g{t, ^y_i). 
Nun ist 

und aus (7) folgt, dass diese Gleichung nicht bestehen bleibt, 
wenn auf der linken Seite für i> eine der anderen Wurzeln von 
(6) gesetzt wird. Denn sonst müsste g{t^ tl;) mit einem der 
übrigen Factoren auf der rechten Seite von (7) identisch sein. 
Man kann also für t einen solchen rationalen Werth setzen, 
dass die Gleichung 

(8) g (f, u) - g, (t, 8) = 

nur die eine Wurzel u = ip mit der Gleichung (6) gemein hat. 
Der grösste gemeinschaftliche Theiler von (6) und (8) ist dann 
in Bezug auf ii linear, und wenn man darin u = ip setzt, so 
ergiebt sich, dass i/; rational durch f ausdrückbar ist. 
Der Körper Sl(ip) ist also sicher ein Theiler des Körpers Sl{8). 
Der Grad des Körpers iß(£), d. h. der Grad der Hülfsgieichung 
j(^{£) = 0, ist daher ein Vielfaches von j und niemals niedriger 
als j. Wenn der Grad der Hülfsgieichung gleich j ist, was z. B. 
dann immer eintritt, wenn der Grad von x eine Primzahl ist, 
so ist Sl{£) mit Si(ip) identisch, d. h. e ist auch rational durch 
i^ ausdrückbar. In diesem Falle sind die conjugirten Werthe 
£, £i, , . ., £j_i die sämmtlichen Wurzeln von ;^ = 0, und man 
erhält sie, wenn man in dem rationalen Ausdruck von e durch i) 
die Function xj; durch jede der conjugirten Functionen ip, ^i,. . ., ^y-i 
ersetzt. Es kann also s selbst für ip genommen werden, und 
man findet eine Zerlegung 

g{t) = g{t, £) git, £i) . . . g{t, Ej^,). 



558 Vierzehnter Abschnitt. §. 165. 

Die Grössen £, a^, £95 • • -i ^j—i gehören sämmtlich dem Körper 
SI{q) an. 

Diese Resultate sind von grosser Wichtigkeit und verdienen 
besonders hervorgehoben zu werden. 

Nach Kronecker heissen, wenn F(x) = die gegebene 
Gleichung ist, und N der zugehörige Galois'sche Körper, die 
Grössen von N die der Gleichung F(x) = natürlichen 
Irrati on alitäten. 

Wir haben dann den Satz : 

Jede mögliche Reduction der Galois'schen 
Gruppe wird herbeigeführt durch Adjunction 
einer natürlichen Irrationalität. Ist j der Index 
der reducirten Gruppe in Bezug auf die ur- 
sprüngliche, so kann die Reduction nicht ein- 
treten durch Adjunction eines Körpers von 
niedrigerem als dem j*®'^ Grade. Der Grad kann 
aber gleich^' sein, und dann ist die adjungirte 
Irrationalität eine natürliche. Ist der Grad 
des adjungirten Körpers grösser als j, so ist 
er ein Vielfaches vonj. 



§. 165. 
I ui p r i m i t i V e Gruppen. 

Wir machen von unseren allgemeinen Sätzen Anwendung 
auf Gruppen von besonderer Natur. Zunächst nehmen wir die 
imprimitiven Gruppen. Wir haben im §. 158 gesehen, elass, 
wenn f(x)=^0 eine irreducibele Gleichung w**^° Grades mit im- 
primitiver Gruppe ist, sich n so in zwei Factoren r, s zerlegen 
lässt, dass die Wurzeln in s Reilien von je r Gliedern zerfallen: 

A. = a, Ctj, . . ., CKr — ii 

S = 6. öl, . . ., ö^-i, 

und dass durch die Permutationen der Gruppe P die Grössen 
der einzelnen Reihen nicht von einander getrennt, sondern nur 
unter einander permutirt werden, während andererseits die Reihen 
wieder unter sich permutirt werden. 



§. 165. Imprimitive Gruppen. 559 



S 



Unter den Permutationen der Galois' sehen Gruppe P von 
f{x) wird es nun gewisse geben, deren Inbegriff wir mit Q 
bezeichnen, die die einzelnen Reihen J, i?, . . ., S an ihrer Stelle 
lassen, und nur die Indices in jeder Reihe permutiren. Diese 
Permutationen bilden für sich eine Gruppe, da durch die Zu- 
sammensetzung von zweien unter ihnen die Reihen Ä, JJ^ . . ., S 
nicht vertauscht werden können. Diese Gruppe Q ist ein Normal- 
theiler von P. Denn ist % eine Permutation von Q, und n eine 
aus P, so gehört die zusammengesetzte Permutation 7t~''-7i7c 
wieder zu Q, weil die Permutation unter den A, B, . . ., S, die 
durch JT"^ hervorgerufen ist, durch x nicht geändert und durch 
n: wieder rückgängig gemacht wird. Die Gruppe Q ist intransitiv, 
und durch Adjunction einer zu Q gehörigen Function i-' wird 
nicht nur die Galois' sehe Resolvente reducibel, sondern die 
Function f{x) selbst zerfällt in s Factoren vom r*®'' Grade, 

(2) fix) = /« (X, t^) /, (X, IP) ...fa {X, t). 

Die Wurzeln von /„ (x, t^) = sind die Grössen «, und die 
Galois' sehe Gruppe dieser Gleichung besteht aus allen Permu- 
tationen, die durch Q unter den a hervorgerufen werden. 

Denn das Product 

fu = {x — a) (x — Ui) . . . (x — «,._i) 

gestattet die Permutationen von Q. und kann daher rational 
durch t/> ausgedrückt werden. In jeder in Si(^) rationalen 
(jleichung zwischen den Grössen Ä können die a so permutirt 
werden, wie es die Gruppe Q verlangt, und wenn eine Function 
der « diese Permutationen gestattet, so ist sie in Sl(ii)) enthalten. 
Die Grösse t/; ist, wenn j der Index des Theilers Q von P 
ist, Wurzel einer Partialresolvente j/*^° Grades % (u) = 0, die eine 
Normalgleichung und also ihre eigene Galois'sche Resolvente 
ist (§, 162). Bezeichnen wir ihre Wurzeln mit 

(3) T^, ^1, 1/^2, . . ., 4'j-h 

so besteht die Galois'sche Gruppe dieser Resolvente aus den 
Substitutionen 

(4) (T^, t^), (t^, i\\ ii', t2) . • . (t^, tj-i), 
die durch die Permutationen der Nebengruppen 

(5) Q, QtIi, Qtt^, . . ., Q^j-i 

hervorgerufen werden. Jede dieser Nebengruppen bringt eine 
gewisse Permutation unter den Reihen Ä^ JB, . . .^ S hervor, und 



560 Vierzehnter Abschnitt. §. 165. 

zwar sind diese Permutationen alle von einander verschieden; 
denn wenn etwa durch tci und Xj dieselbe Permutation unter 
den Reihen hervorgerufen wird, so gehört tTj^tj"^ zu Q^ und Q^i, 
Q7T2 sind nicht verschiedene Nebengruppen. Die Permutations- 
gruppe der Partialresolvente y^(u) = ist also mit der Gruppe 
der Permutationen, die durch P unter den Reihen Ä. JB, . . ., S 
hervorgerufen werden, isomorph. 

Verstehen wir unter Qu den Inbegriff der Permutationen 
von P, durch die die Reihe Ä nicht verschoben wird, so ist Qa 
gewiss eine Gruppe. Ist 7t ^ eine Permutation, durch die die 
Reihe Ä in die Reihe B übergeht, die nach der Voraussetzung 
der Transitivität in P existiren muss, so ist Qa^ß eine Neben- 
gruppe zu Qa. durch die A in B übergeht, nj'^ Qa^.^ = Qß ist 
eine zu Qa conjugirte Gruppe, und zwar die, durch deren Permu- 
tation die Reihe £ nicht verschoben wird. Auf diese Weise 
erhalten wir die conjugirten Gruppen 

V«' ^,?) • • -1 ^"• 
deren grösster gemeinschaftlicher Theiler die vorhin betrachtete 
Gruppe Q vom Index j ist. 

Eine zu Qu gehörige Function ?/„ ist die Wurzel einer Glei- 
chung vom s**^"" Grade in ^, cp (y) = 0, und die übrigen W^urzeln 
y^, . . ., ya gehen aus ^„ hervor durch Anwendung der Permu- 
tationen der Nebengruppen Qa^^, ■ . ., Qa^a- Die vorhin gefun- 
dene Gleichung x{u) = vom Grade j ist die Galois'sche 
Resolvente der Gleichung (p (y) = 0. Wir haben oben bemerkt, 
dass die Gruppe der Gleichung x (w) = vom Grade j isomorph 
ist mit der Gruppe der Permutationen, die durch P unter den 
Systemen der Ä, B, ..., S hervorgerufen werden. Da aber wegen 
der Transitivität von P auch diese Systeme transitiv in einander 
übergehen, und da den Vertauschungen der A^ B, . . ., S die 
Vertauschnngen der t/«, ?/^, . . .. ya entsprechen, so ist q) [y) in Sl 
irreducibel. 

Die gleichzeitige Adjunction sämmtlicher Wurzeln von (p (y) 
hat denselben Erfolg wie die Adjunction der Function ip, näm- 
lich den, die Gruppe der Gleichung f{x) = von P auf Q zu 
reduciren. 

Durch Adjunction von y« sondert sich von f{x) ein rationaler 
Factor f(x, yu) ab, dessen Wurzeln die Grössen der Reihe A 
sind, und durch Adjunction der übrigen y erhält man die Zerlegung 
(6) f(x) = f{x, ya) f(x, y^) . . . f{x, y^), 



§, 165. Imprimitive Gruppen. 561 

und diese Functionen f{x, «/„), f{x, y,i), . . ., f(x, ya) stimmen 
überein mit den Factoren in (2), /« (x, ip), f^^ (x, xIj), . . ., /« (x, i)). 

Zu bemerken ist hierbei noch, dass f(x, ya) im Körper Sl {y^) 
irreducibel ist. Denn wegen der vorausgesetzten Irreducibilität 
von /(a;) giebt es in P Permutationen, durch die a in jedes «j 
übergeführt wird, und diese Permutationen gehören zu Qa. Wenn 
also eine rationale Function cp (x, ya) für x =: oc verschwindet, 
so muss jedes (p(ui,ya) gleich Null sein, d. h. (p{x,ya) muss 
durch /(rc, 2/a) theilbar sein. Es folgt aber hieraus nicht, dass 
f{x, ya) =r fa{x, ip) auch im Körper ü(t^) irreducibel ist. 

Dies sind dieselben Sätze, wie im §. 158. Es ist dort noch 
gezeigt, dass man für ya eine Function von a allein nehmen kann, 
worauf wir nicht nochmals eingehen wollen. 

Von Interesse ist es aber, den Zusammenhang der Galois'- 
schen Gruppen der einzelnen P'actoren f{x, ya), f{x, y^i\ • . ., f{x, ya) 
zu verfolgen. Wir haben schon oben gesehen, dass man die 
Gruppe des Factors /(a;, ya) im Körper Sl{ii^) erhält, wenn man 
alle Permutationen der a aufsucht, die durch Q hervorgerufen 
werden. Wir wollen diese Gruppe mit P„ bezeichnen, und ebenso 
für die anderen Factoren die Zeichen P^, . . . , P^ gebrauchen. 

Wir greifen aus P irgend s — 1 Permutationen :;r,^, . . ., tCo 
von der Art heraus, dass durch 7t -^ die Reihe Ä in B etc., durch 
TCa die Pteihe Ä in S übergeht, und wir wollen nun der Einfach- 
heit halber, was offenbar noch vollkommen freisteht, die Bezeich- 
nung der /3, . . ., ö so gewählt annehmen, dass 7t^, . . ., iia fol- 
gende Vertauschungen hervorrufen: 

%, «1, . . ., a,--l\ . . /^O) «1, . • •, «r 

,/3o, /3i, . . ., ßr~J' \öü, öl, . . ., Ö^_i, 

Es sei nun jc irgend ein Element von Q, das unter den « 
die Vertauschung 

(«) = r- "■• • • •• "•-' ) 

bewirkt, dann ist 

ebenfalls in Q enthalten, und es wird durch x^^ unter den ß die 
Vertauschung 

/^Oi ßi, ■ • ■■, ßr—l 



C 



also unter den Indices der ß genau dieselbe Permutation her- 
vorgerufen, wie durch x unter den Indices von «. Nehmen wir 

Weber, Algebra. I. 36 



562 Vierzehnter Abschnitt. §. 165. 

(ß) und ein zugehöriges x^ als gegeben an, so ergiebt jr^xj7r7^ 
wieder x, so dass also die durch Q hervorgerufenen Permu- 
tationen der ß genau übereinstimmen mit denen, die unter den 
a hervorgerufen werden; und dasselbe gilt für die übrigen Reihen. 
Damit ist aber der folgende Satz bewiesen: 

1. Bei einer irreducibeln imprimitiven Gleichung 
können in den einzelnen Reihen die Wurzeln 
so bezeichnet werden, dass die Theilgleichungen 
f(x, ija) = 0, f(x, y^) = 0, . . .fix, ya) = im Körper 
Sl(il.'') alle dieselbe Gruppe bekommen. 

Will man die Bezeichnung der Wurzeln nicht in der an- 
gegebenen Weise wählen, so werden die Gruppen wenigstens 
isomorph. 

Wir stellen noch die Frage, die gewissermaassen dnrch die 
Umkehrung dieses Satzes beantwortet wird: Wann hat eine 
transitive Gruppe einen intransitiven Normaltheiler? 

Ist P eine transitive Permutationsgruppe, und Q ein intran- 
sitiver Normaltheiler von P, so möge 

eines der Systeme sein, deren Elemente durch Q nur unter ein- 
ander vertauscht werden, so jedoch, dass die Elemente von A 
durch Q transitiv verbunden sind, d. h. dass durch Permutationen 
aus Q jedes « in jedes andere « übergehen kann. Wenn nun 
durch ein Element tt aus P die Grössen Ä in 

P = /3, /3„ . . ., ßr-, 

übergehen, so müssen diese Elemente entweder alle mit den a 
übereinstimmen, oder alle von den u verschieden sein; denn 
durch die Gruppe ;r— ^ Qn, die nach Voraussetzung mit Q iden- 
tisch ist, werden die ß nur unter einander vertauscht, und zwar 
ebenso wie die a, also transitiv. Wenn also in P nur ein Theil 
der « vorkäme, so würden gegen die Voraussetzung durch Q 
diese « mit anderen nicht in Ä vorkommenden Grössen ver- 
tauscht werden. 

Sind durch die Ä nicht alle Elemente erschöpft , auf die 
sich die Permutationen von P erstrecken, so giebt es, da P 
transitiv ist, eine Permutation :r, durch die A in ein ganz davon 
verschiedenes System P übergeführt wird. Ist x eine Permu- 
tation aus Q, so wird durch die gleichfalls zu Q gehörige Per- 
mutation 7t—''^iC7i dieselbe Vertauschung unter den Indices der ß 



§. 165. Imprimitive Gruppen. 563 

hervorgerufen, wie clurcli x unter den Indices der «. Daraus 
folgt , dass durch Q auch die ß nur unter einander permutirt 
werden. Wenn mit Ä und B die Elemente noch nicht erschöpft 
sind, so kann man in derselben Weise ein drittes System C 
bilden, das durch tc' aus Ä und durch n—'^n' aus B entsteht, 
und das weder mit A noch mit B ein Element gemein hat. So 
fährt man fort, bis alle Elemente erschöpft sind, und kommt zu 
folgendem Satze: 

2, Eine transitive Gruppe hat nur, wenn sie im- 
primitiv ist, einen von der identischen Gruppe 
verschiedenen intransitiven Normaltheiler. Die 
Systeme der Intransitivität des Normaltheilers 
sind Systeme der Imprimitivität der gegebenen 
Gruppe. 

In Bezug auf die Gleichungen können wir mit Rücksicht auf 
1. den Satz 2. auch so aussprechen: 

3, Eine irreducible Gleichung f(x) = zerfällt, 
wenn sie durch Adjunction aller Wurzeln einer 
Resolvente reducibelwird, in mehrere irredu- 
cible Factoren von gleichem Grade und von 
gleicher Gruppe. 

Wenn also eine irreducible primitive Gleichung durch Ad- 
junction der Wurzeln einer Resolvente reducirt wird, so zerfällt 
sie in lineare Factoren, d. h. sie ist vollständig gelöst. Dieser 
Fall tritt immer ein, wenn der Grad der Gleichung /{x) = 
eine Primzahl ist, weil eine solche Gleichung nicht imprimitiv 
sein kann. 



36* 



Fünfzehnter Abschnitt. 
Cyklische Gleicliungen. 



§. 166. 
Cubische Gleichungen. 

Wir wollen von dem jetzt gewonnenen Standpunkte aus zu- 
nächst die Auflösung der Gleichungen dritten und vierten Grades 
betrachten. 

Die Gruppe der Permutationen von drei Ziffern besteht aus 
sechs Elementen, nämlich aus der identischen Permutation 1, aus 
zwei dreigliedrigen Cyklen und drei Transpositionen: 

... 1 (0,1,2) (0,2,1) 

^ ^ (1, 2) (2, 0) (0, 1). 

Die drei ersten 

1, (0, 1, 2) (0, 2, 1) 
bilden die alternirende Gruppe, sie besteht aus den Potenzen der 
cyklischen Permutation jr = (0, 1, 2): 

(2) Jt" = 1, ;r, ;r2, 

und ist also eine cyklische Gruppe. 

Es seien nun « , «i , «g die drei Wurzeln der cubischen 
Gleichung : 

(3) f(x) =z x'i — ax"^ -{-hx — c ^= 0. 

Legen wir den Körper il zu Grunde, der aus allen rationalen 
Functionen der unabhängigen Veränderlichen a, ö, c besteht, so 
ist (1) die Gruppe dieser Gleichung; wenn wir aber 

(4) Vi> = {a — a^) (« — a^) («i — a^) 



§. 166. Cubische Gleichungen. 565 

adjungiren, worin 

(5) D = a^b^ -{- 18 alc ~ 4: a^c — Ab^ — 21 c^ 

die Discriminaute der Gleichung (3) ist, so reducirt sich die 
Gruppe auf (2). 

In dem Körper £l\ der durch diese Adjunction aus Sl ent- 
steht, kann jede Wurzel rational durch jede andere ausgedrückt 
werden, denn es ist 

üc, -|- «2 = « — « 

_ v^ 

also 

und hierin können die Vertauschungen tc, 7t^ ausgeführt werden. 
Die cubische Gleichung ist also nach Adjunction von VD ihre 
eigene Galois'sche Resolvente. 

Alles dies bleibt gültig, wenn der Rationalitätsbereich irgend 
ein specieller Körper Sl ist, in dem a^ b, c und VD enthalten 
sind, wenn nicht f(x) selbst in Sl reducibel ist, also eine ratio- 
nale Wurzel hat. Denn ausser sich selbst und der cyklischen 
Gruppe (2) hat die Gruppe (1) nur noch intransitive Theiler, 
nämlich die Einheitsgruppe und drei Gruppen vom Typus 1,(1,2). 

Wollen wir die cubische Gleichung nun auflösen, d. h. auf 
eine reine cubische Gleichung zurückführen, so müssen wir eine 
Function v der Wurzeln suchen, die zwar nicht selbst, deren 
Cubus aber die cyklische Permutation tc gestattet. Eine solche 
Function kann aber nur existiren, wenn die dritten Einheits- 
wurzeln, oder, was dasselbe ist, V — 3, dem Körper ß adjungirt 
wird; denn v muss durch Anwendung von 7t eine dritte Einheits- 
wurzel als Factor erhalten. 

Durch diese Adjunction kann eine Reduction der Gruppe 
nicht eintreten, weil die Gruppe (2) ausser der Einheitsgruppe 
keinen Theiler hat und die Reduction auf die Einheitsgruppe 
nicht durch eine quadratische, sondern nur durch eine cubische 
Gleichung geschehen kann (§. 164). Wir setzen also 

— 1 + V^ , _ — 1 — V^J_ 



5G6 Fünfzehnter Absclinitt. §. 167. 

luid 

^ ^ v' = c -Lf-«! -|- £«,; 

dann ist der Erfolg von ti der, dass v in c^t,^ t;' jn £t;' über- 
geht, während v^. v'-' und vv' ungeändert bleiben, also in dem 
Körper W enthalten sind. Es hat keine Schwierigkeit, diese 
Grössen zu berechnen. Setzen wir zur Abkürzung 

A = VßKi -\- «f «2 + «,-'«, 

Ä' = al a -\- K^' «1 -{- a- «o , 
so ist 

A-{- Ä' = ah — Sc 

A — Ä' = VB, 
und für v^ erhält man 

v-i = «3 -f- «f + a^ -f 6 « Ml «2 + 3 £ ^ 4- 3 £2 A\ 
also 

(8) ^3 = «3 _ iaj _|_ ^c -r I V=^ii>, 

und ebenso 

(9^ y'z = «:-. _ |.a& ^ ^c — -| V- 3i). 

Es ist aber auch 
(lOj vv' = uP- -{- v^l -\- u?- — ««1 — ««2 — ^-1 <^-2 = ö2 — 3 6, 
und aus (8j, (9), flO) erhält man in Uebereinstimmuug mit einer 
früheren Formel [§. 52, (8)] 

21D = 4:(a^ — 3 bp — (2 «^ — 9 ab -\- 21 c)^. 
Fügt man zu (7) noch die Gleichung 

a = CK -\- Kl -f- «2, 
so findet man in Uebereinstimmung mit der Gar danischen 

Formel: 

Sei = a -\- V -L v' 

P,a2= a -\- £V ^ 8^-v'. 



o 



§. 167. 
Permutationsgruppen von vier Elementen. 

Ein gutes Beispiel für die Galois'sche Theorie bieten die 
Gleichungen vierten Grades, wo die Verhältnisse so einfach 



§. 167. Permutationsgruppen von vier Elementen. 567 

liegen, dass sich Alles leicht übersehen lässt, und doch die Tvich- 
tigsten Erscheinungen der Gruppenbildung zu Tage treten. 

Aus vier Ziffern, 0, 1, 2, 3, lassen sich 24 Permutationen 
bilden, und so hoch ist also der Grad der Galois' sehen Gruppe 
der allgemeinen Gleichung vierten Grades im Körper der 
rationalen Functionen der Coefficienten (vgl. den Schluss von 
§. 156). Wir stellen diese Permutationen durch ihre Cyklen in 
folgender Weise dar, wobei 1 die identische Permutation bedeutet : 

(1) P = 1, (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3) 

(0,1) (2, 3), (0,2) (1,3), (0,3) (1,2) 
(0, 1, 2), (0, 1, 3), (0, 2, 3), (1, 2, 3) 
(0, 2, 1), (0, 3, 1), (0, 3, 2), (1, 3, 2) 
(0, 1, 2, 3), (0, 1, 3, 2), (0, 2, 3, 1) 
(0, 2, 1, 3), (0, 3, 1, 2), (0, 3, 2, 1). 

Wir haben also in P ausser der identischen Permutation 
sechs Transpositionen, acht dreigliedrige, sechs viergliedrige Cyklen 
und drei Permutationen von der Form (0, 1) (2, 3), die wir 
Transpositionspaare nennen wollen. 

In P ist die alternirende Gruppe vom Grade 12 als Normal- 
th eiler enthalten. Diese Gruppe kann keine einzelne Transposi- 
tion und keine viergliedrige cyklische Permutation enthalten, und 
es blei])en also folgende übrig: 

(2) (?=1, (0,1) (2, 3), (0,2) (1.3), (0,3) (1,2) 

(0, 1, 2), (0, 1, 3), (0, 2, 3), (1, 2, 3) 
(0, 2, 1), (0, 3, 1), (0, 3, 2), (1, 3, 2). 

Wir wollen nun alle vorhandenen Theiler der Gruppe P 
aufsuchen. Dabei lassen wir die intransitiven Gruppen beiseite, 
die alle entweder aus drei oder aus sechs Permutationen von 
nur drei Elementen, oder aus den Permutationen von zwei Paaren 
von zwei Elementen bestehen. Wir suchen also nur die transi- 
tiven Theiler von P auf. Ausserdem beschränken wir uns bei 
einem System conjugirter Theiler auf einen Repräsentanten, aus 
dem die anderen ja durch Zitfernvertauschung hergeleitet werden 
können (§. 160, 4.). 

Eine wesentliche Vereinfachung wird durch folgende beiden 
Sätze herbeigeführt: 

1. Wenn eine transitive Permutationsgruppe von 
vier Ziffern einen dreigliedrigen Cyklus enthält, 



568 Fünfzehnter Abschnitt. §. 176. 

SO ist sie die symmetrische oder die alternirende 
Gruppe, und 
2. wenn sie zwei Transpositionen mit einem gemein- 
samen Element enthält, so ist sie die symme- 
trische Gruppe. 
Wenn nämlich in einer Gruppe des Cyklus (0, 1, 2) vor- 
kommt, und die Gruppe ausserdem transitiv ist, so enthält sie 
eine Permutation jr, durch die in 3 übergeführt wird. In dem 
dreigliedrigen Cyklus 7c-'^{0, 1, 2)jr kommt also gewiss die Ziffer 3 
vor; er ist also etwa (0, 1, 3j, und demnach haben wir in der 

Gruppe 

(0, 1, 2), fO, 1, 2)2 = (0, 2, 1) 

(0. 1,3), fO, 1,3)2 = (0,3, 1) 
(0, 1, 2j(0, 3, 1) =(1,2,3) 
(1, 2, 3)2 = (1, 3, 2) 
(0. 3, 1)(0, 1, 2) = (0, 3, 2) 
(0, 3, 2)'^ = (0, 2, 3j, 
d. h. alle überhaupt vorhandenen dreigliedrigen Cyklen. Dem- 
nach kommen alle Permutationen der alternirenden Gruppe in 
der fraglichen Gruppe vor (§. 160), und sie ist also entweder 
damit erschöpft, oder sie enthält noch eine Permutation der 
zweiten Art und ist dann die symmetrische Gruppe. 

Enthält aber eine transitive Gruppe die beiden Transposi- 
tionen (0, 1), (0, 2j, so enthält sie auch 

(0, 1) (0, 2) = fO, 1, 2), 
und damit die ganze alternirende Gruppe, und da sie auch eine 
Transposition enthält, so ist es die symmetrische Gruppe. 

Wenn also nun eine von P und Q verschiedene Gruppe 
zunächst eine Transposition (0, Ij enthält, so muss sie, wenn sie 
transitiv ist, auch (2, 3j enthalten, und demnach die ganze in- 
transitive Gruppe vierten Grades: 
(3) 1, (0. 1), (2, 3), (0, 1) (2, 3). 

Soll also die Gruppe transitiv sein , so müssen noch weitere 
Permutationen dazu kommen. Diese können nach 1. und 2. nur 
unter den viergliedrigen Cyklen oder unter den Transpositionspaaren 
gesucht werden. Ein viergliedriger Cyklus aber, in dem und 1 
cyklisch an einander stossen, kann nicht vorkommen, weil er, mit 
(0, 1) combinirt, einen dreigliedrigen Cyklus geben würde, wie: 

(0, 1, 2, 3j(0, 1) = (1, 2, 3). 



§. 167. Permutationsgruppen von vier Elementen. 569 

Ebenso können nicht 2 und 3 cyklisch an einander stossen, 
und es bleiben also nur folgende übrig: 

(4) (0, 2, 1, 3), (0, 3, 1, 2), (0, 3) (1, 2), (0, 2) (1, 3). 
Wenn aber von diesen Permutationen eine zu (3) hinzu- 
tritt, so müssen auch alle anderen aufgenommen werden, denn 

es ist 

(0, 1) (0, 2, 1, 3) = (0, 3) (1, 2) 

(2, 3) (0, 2, 1, 3) = (0, 2) (1, 3) 
(0, 1) (2, 3) (0, 2, 1, 3) = (0, 3, 1, 2), 
und man kann also durch Vermittelung der Transpositionen (0, 1) 
und (2, 3) jede der Permutationen (4) aus jeder anderen her- 
leiten. Aus der Voraussetzung also, dass überhaupt in einem 
von P und Q verschiedenen transitiven Theiler von P eine Trans- 
position vorkommt, folgt, dass dies die Gruppe achten Grades 

(5) P, = 1, (0, 1), (2, 3), (0, 2)(1, 3j, (0, 1)(2, 3), (0, 3)(1, 2) 

(0, 2, 1, 3), (0, 3, 1, 2) 

oder wenigstens eine damit conjugirte sein muss. 

Dass Pi wirklich eine Gruppe ist, erkennt man leicht, wenn 
man je zwei seiner Permutationen zusammensetzt. 

Es giebt drei verschiedene mit P^ conjugirte Gruppen, die 
man erhält, wenn man statt von (0, 1), (2, 3) von den Trans- 
positionen (0, 2), (1, 3) oder (0, 3), (1, 2) ausgeht. Der Durch- 
schnitt dieser drei Gruppen ist ein Normaltheiler von P und 
zugleich von Q, nämlich 

(6) ^, = 1, (0, 2)(1, 3), (0, 1)(2, 3), (0, 3)(1, 2). 

Wenn eine transitive, von P und Q verschiedene Gruppe 
keine Transposition enthält, so enthält sie entweder keinen vier- 
gliedrigen Cyklus, und ist dann mit (6) identisch, oder sie ent- 
hält einen viergliedrigen Cyklus und enthält dann auch die 
ganze cykllsche Gruppe, wie 

(7) P, = 1, (0, 1, 2, 3), (0, 2) (1, 3), (0, 3, 2, 1). 

Enthält eine solche Gruppe noch einen zweiten viergliedrigen 

Cyklus, etwa (0, 1, 3, 2), so ist sie wegen (0, 1, 2, 3) (0, 1, 3, 2) 

= (0, 3, 1) die symmetrische Gruppe. Enthält sie aber ausser 

Pa noch eine der Permutationen von (6), etwa (0, 1) (2, 3), so 

ist wegen 

(0, 1, 2, 3) (0, 1) (2, 3) = (1, 3) 

Pj in ihr enthalten. 



570 Fünfzehnter Abschnitt. §. 168. 

x\us P2 gehen ebenfalls drei conjugirte Gruppen hervor, die 
aber ausser 1 keinen gemeinschaftlichen Theiler haben. 

Es giebt also ausser P, Q^ Pi, Q^^ P^ und den mit P^ 
und P2 conjugirten Theilern von P keine transitiven 
Permutationsgruppen von vier Elementen. 

Unter den intransitiven Gruppen verdient noch die Gruppe (3): 
P3 =3 1, (0, 1), (2, 3), (0, 1) (2, 3), 
hervorgehoben zu werden, die gleichfalls zu einem System von 
drei conjugirten Gruppen Anlass giebt. Ausserdem giebt es von 
intransitiven Gruppen nur noch die Permutationsgruppen von 
nur zwei oder drei Elementen. 



§. 168. 
Auflösung der biquadratischen Gleichungen. 

Die verschiedenen Methoden der Auflösung der biquadratischen 
Gleichungen unterscheiden sich von einander durch die Reihenfolge, 
in der die verschiedenen Divisoren der Gruppe P benutzt werden. 

Es seien a, a^, «2, «3 die Wurzeln der biquadratischen 
Gleichung 

(1) f{x) =: x^ — a^x^ -\- «2 ^^ — US X -\- tti = 0. 
Wir bezeichnen mit D die Discriminante und setzen 

(2) VD = (a — «i) (a — «2) (a — «3) («i — «2) («1 — «3) («2 — «s)- 
Ausserdem erinnern wir noch an die Ausdrücke für die In- 
varianten (§. 77j: 

(3) A = «I — 3aia3 -|- 12% 

(4) B = 27 «1^ «4 -\- 27 a| -\- 2 a| — 72 «2 «i — 9 «1^2 «31 
durch die man D in der Form ausdrückt: 

(5) 27D = 4^3_^2. 

Adjungirt man zunächst V-D, so reducirt sich die Gruppe der 
Gleichung auf Q, und wenn man weiter eine zu Qi gehörige 
Function sucht, so wird durch diese die Gruppe auf Q^ reducirt. 
Da Qi innerhalb Q den Index 3 hat, so wird eine solche Func- 
tion von einer cubischen Gleichung abhängen, und zwar, da ^1 
ein Normaltheiler von Q ist, von einer Normalgleichung. Nehmen 
wir z. B. 

(6) !/ = (« — «i) («2 — «3) 



§. 163. Biquadratische Gleichungen. 571 

als eine zu Q^ gehörige Function, so sind die beiden dazu con- 
jugirten Werthe 

.^N !/!=(« — «2) («^ — «1) 

^ ^ 2/2 = (« — «3) («1 — «2). 

Diese drei Grössen sind die Wurzeln einer cubischen Partial- 
resolvente, deren Coefficienten als Invarianten von / leicht zu 
bilden sind (vergl. §. 70, 71, wo die Grössen y, 1/1, i/2 mit U, F, W 
bezeichnet waren). Die Gleichung wird [§. 70, (7)] 

(8) y^ — Äy-^Vn = 0. 

Ihre Discriminante ist B'^, und für das Product der Wurzel- 
differenzen kann man das Vorzeichen leicht (durch Vergleichung 
der Glieder höchster Ordnung nach der Gauss' sehen Definition, 
§. 49, oder auch aus §. 70) bestimmen. So erhält man: 

(9) (2/ — 2/1) (y — 2/2) (^1 — y-2) = B. 

Die Gleichung (8) ist, wie schon bemerkt, eine Normal- 
gleichung, und es ist leicht, ?/i, 1/2 durch y wirklich darzustellen. 
Wenn man (9) mit (?/i — y.2) multiplicirt , so findet man durch 
Benutzung der Formeln 

{y — Vi) (y — 2/2) = 3 2/2 — Ä, (y, — y^y = y'^ — 4.yiij, = 4.A — Siß 

(2/1 - 2/2)^ = — 9 y^ 4- \'^Aiß — 4.A^- 

(10) = 6 J.^2 _j_ 9^ yX> — 4^2 

yi-{- y2 = — y. 

wodurch y^, y^ bestimmt sind. Adjungirt man also ferner- 
hin i/, so reducirt sich die Gruppe der l)iquadratischen Glei- 
chung auf 

Q, = 1, (0, 2) (1, 3), (0, 1) (2, 3), (0, 3j (1, 2). 

Diese Gruppe ist imprimitiv (und zwar nach drei Arten), und 
die Gleichung kann jetzt durch zwei Quadratwurzeln gelöst 
werden. Am besten gelangt mau dazu auf folgendem Wege. Die 
drei Grössen 

v^ = (« -\- «1 — «2 — «;,,)2 

(11) V2 = (« — «1 + «2 — «3)^ 

V3 = (« — «1 — «2 + «3)- 

gestatten alle die Permutationen der Gruppe Q^ und sind daher 
rational durch y darstellbar. Man erhält diese Darstellung 
folgendermaassen : Es ist 



572 Fünfzehnter Abschnitt. §. 168. 

^1 = al — 4: (a + «i) («2 + c^s) 
^1 — 2/2 = (« + «i) («2 + «s) — 2(ac«i -f «2 «3) 

«2 = (« + C«l) («2 + «3) + « «1 + «2 «3, 

also, wenn man 1^25 "^z ebenso bildet: 

3 Vi =r 3 «f — 8 «2 — 4 2/1 + 4 2/2 

(12) 3^2 = 3af - 8a2 - 4^/2 + 4^/ 
3^3 = 3 öf — 8 «2 — 4:2/ + 4 2/i. 

Es kommt aber noch eine Relation hinzu, die sich daraus 
ergiebt, dass das Produet 

(a -|- «1 — «2 — «3)(c« — «1 + «2 — «3) (a — «1 — «2 + "3) 
eine symmetrische Function der « ist, die man leicht gleich 

— af -1-4 0102 — 8 «3 

findet. Wir machen also die Vorzeichen der drei Wurzelgrössen 
durch die Relation 

(13) — Vv^VvzVv's = af — 4% «2 + Sag 
von einander abhängig und setzen: 

y Vj = a -|- «1 — «2 — «3 

Vv^ = « — «1 -f «2 — «3 

yt)3 = a — «1 — «2 -f~ «3 

a^ = a -j- «1 -}- «2 -j- «3. 
Daraus ergiebt sich dann: 

4 a = «1 4- VV + Vv2 + Vvs 

(15) 



4 «1 = «1 -|- Vv7 — Vt^2 — Vvg 



4 «2 = «1 — Vvi -)- yv2 — v^ 

4 «3 = «1 — V-Ui — 1/^2 + Vvj. 

Wenn man der VD in (8) das entgegengesetzte Zeichen 
giebt, und ?/ durch — y ersetzt, so muss man nach (10) 1/1, y^ 
mit — ^21 — Vi vertauschen. Es bleibt also v-^ ungeändert und 
^2 und V3 werden mit einander vertauscht. Nimmt man für y 
eine andere Wurzel der Gleichung (8), etwa ?/i, so muss wegen 
(9) ?/i, y.2 durch y.2, y ersetzt werden und die Grössen v^, v^-, v^ 
erleiden eine cyklische Permutation, wodurch auch die Grössen 
«1, «21 c% iii (15) cyklisch vertauscht werden. Wenn man endlich 
die Vorzeichen von Vvi, Vv2i Vv^ anders wählt, aber so, dass 



§. 168. Biquadratische Gleichungen. 573 

immer (13) erfüllt bleibt, so treten unter den Grössen (15) gleich- 
falls gewisse Permutationen ein. 

Welche Werthe man den mehrwerthigen algebrai- 
schen Grössen, die bei der Auflösung auftreten, auch 
beilegen mag, die Ausdrücke (15) stellen also immer die 
Wurzeln unserer biquadratischen Gleichung in irgend 
einer Reihenfolge dar. 

In Bezug auf die übrigen Wege zur Auflösung der biquadra- 
tischen Gleichung können wir uns kürzer fassen. 

Wenn wir zunächst nicht VZ) adjungiren, sondern eine zu 
der Gruppe Pj gehörige Function, so erhalten wir eine cubische 
Resolvente, die nicht Normalgleichung ist. Wir können für diese 
Function etwa y''- wählen, was der cubischen Gleichung 
(16) y'> — 2 Atj^ -f ^2^2 _ D = 

genügt. Besser noch nimmt man als Wurzeln der cubischen 
Resolvente 

(17) 2 = iji — 2/2, '^1 = y-i — y^ ^■2 = y — Vv 

Es gehört dann 2 zur Gruppe P^, wie schon aus der zweiten 
Gleichung (10) hervorgeht. Aus (8) und (9) erhält man für s die 
cubische Gleichung 

(18) z^ — SÄ2 -{- B = 0. 

Man erhält ferner, wenn man 

(19) u = ««1 -|- «2 «3 

setzt, 

^ = tta — 3 it, 

und daraus die Resolvente für u: 

(20) ii-' — a^u"^ -{- (a-^tti — 4tai)u -\- Aa^a^ — a^a^ — a.^ = 0. 

Wenn man aber von der Gleichung (18) oder (20) nicht 
eine, sondern alle Wurzeln adjungirt, so gelangt man wieder zu 
der Gruppe Q^. Die Grössen Vi, V2, v^ sind nach (12) unmittelbar 
durch ^, Zi, ^2 ausgedrückt, und man kann also die Formeln (15) 
zur Darstellung der a auch nach diesem Verfahren anwenden. 

Man kann ferner zur Lösung der biquadratischen Gleichung 
dadurch gelangen, dass man zuerst eine zu der cyklischen Gruppe 
P2 gehörige (eine cyklische) Function der Wurzeln adjungirt, 
wie z. B. 

(21) IV = WKj- -|- «1«! -|- «2^3' + «sO'-- 



574 Fünfzehnter Abschnitt. §. 168. 

Diese Function ist sechswerthig und ist also die Wurzel 
einer Gleichung sechsten Grades. Diese Gleichung sechsten 
Grades ist aber, wie man leicht sieht, imprimitiv, und kann auf 
eine Gleichung dritten Grades und auf zwei Quadratwurzeln 
zurückgeführt werden. Diese Gleichung sechsten Grades ist eine 
Totalresolvente , und zwei ihrer Wurzeln genügen zur rationalen 
Darstellung der Wurzeln a. Die Form dieser Piesolventen wird 
nicht einfach. 

]\Ian kann endlich noch darauf ausgehen, durch Adjunction 
einer zur Gruppe P. gehörigen Function | die Function f{x) 
direct reducibel zu machen und in zwei quadratische Factoren 
zu zerlegen . Eine solche Function 'S, ist gleichfalls die Wurzel 
einer Gleichung sechsten Grades, die sich aber auch durch Im- 
primitivität auf den dritten und zweiten Grad reducirt. Nimmt 
man z. B. 

(22) I = « -f «1 - \a^ = i W7, 

so sind von den sechs Wurzeln je zwei entgegengesetzt gleich, 
so dass eine cubische Gleichung für |2 resultirt. Durch eine 
dieser Grössen | lassen sich dann die quadratischen Factoren 
von f{x) rational darstellen. 

Nehmen wir zur Vereinfachung der Formeln aj = an und 



(23) 


f{x) x^ -}- axß -{- hx -j- 


so wird 
also 


{au^ — «2 «3)1 — ^ 

««1 -j- «2% t^ -\~ <^i 

7 


(24) 2««! = 


= . -{- t' + a, 2 «1 «3 = 



- 1 + r^ + a, 

so dass die beiden quadratischen Factoren \onf(x) folgende werden 
(•2b) ^ 

^^ + l^ + i(-j+^^ + «) = o, 

und für |2 ergiebt sich aus (24) durch Multiplication die cubische 
Gleichung 

46-=:(|2 4-a)2_|, 

oder 

(26) |6 -|- 2 a|4 -f (a2 — 4 cj |2 _ ^2 = 0. 



§. 169. Abel'sche Gleichungen, 575 

Nimmt man für | irgend eine Wurzel dieser Gleichung 
sechsten Grades, so giebt jede der Gleichungen (25) ein Paar 
Wurzeln von / (x) = 0. 

§. 169. 
Abel'sche Gleichungen. 

Der Grad einer transitiven Permutationsgruppe von m Ziffern 
ist immer durch m theilbar und also niemals kleiner als m. 
Denn ist P eine solche Gruppe, und ^0 der Inbegriff der Per- 
mutationen von P, die die Ziffer ungeändert lassen, so ist auch 
^0 eine Gruppe und also ein Theiler von P. Nun kann man 
wegen der vorausgesetzten Transitivität in P ein System von 
Permutationen jTj, Tt.^, . . ., jr„i_i finden, die in 1, in 2, . . . 
in m — 1 überführen, und dann ist ^0 7t ^ das System aller der 
Permutationen von P, die in 1 verwandeln. Danach ist 

(1) P = Qi, -\- Qo^l + Qo^2 -] • + ^0 ^m-l, 

also der Grad von P gleich dem Producte aus m und dem Grade 
von ^0. 

Die Galois'sche Gruppe einer irreducibeln Gleichung 
ist also niemals von niedrigerem Grade, als die Gleichung 
selbst. 

Eine Normalgleichung haben wir früher durch die Be- 
stimmung erklärt, dass sie irreducibel sei, und dass jede ihrer 
Wurzeln rational durch jede andere ausdrückbar sein sollte 
(§. 152). Daraus ergiebt sich, dass die Gruppe einer Normal- 
gleichung sich auf die identische Gruppe reduciren muss, wenn 
man eine Wurzel adjungirt; und umgekehrt ist eine Gleichung, 
deren Gruppe so beschaffen ist, wenn sie zugleich irreducibel 
ist, immer eine Normalgleichung. 

Nun reducirt sich P durch Adjunction der Wurzel «o auf 
^0, durch «1 auf n-'^ QqTCi etc. und wenn also P die Gruppe 
einer Normalgleichung sein soll, so ist nothwendig und hin- 
reichend, dass ^0 die Einheitsgruppe ist, dass also durch 
TT, Äi, ^Tg, . . ., 3r,„_i die Gruppe erschöpft sei. Wir haben also: 

Damit eine irreducible Gleichung eine Normal- 
gleichung sei, ist nothwendig und hinreichend, dass 
der Grad der Gruppe mit dem Grade der Gleichung 
übereinstimme. 



576 Fünfzehnter Abschnitt. §. 169. 

Wir betrachten hier zunächst die specielle Art von Gleichun- 
gen, zu denen die von Gauss zuerst aufgelösten Kreistheilungs- 
gleichungen gehören, die Abel allgemein auflösen gelehrt hat, 
und die wir also nach ihm AbeTsche Gleichungen nennen 
wollen 1). 

Eine Gleichung w*^^ Grades F(x) = mit den 
Wurzeln a. a^, «2, . . ., ccm—i heisst eine Abel'sche 
Gleichung, wenn jede Wurzel rational durch 
eine von ihnen, «, ausdrückbar ist, und wenn, 
falls 

(2) «1 = 01 (a), «2 = 02(«) • • . «m-l = 6>,n-l(«) 

diese rationalen Ausdrücke sind, die Bedingung 
(3) @^@j,{a) = 0fe%(a) 

für je zwei dieser Functionen besteht. 
Es bedeutet hierin das Zeichen &h 0^ («) , dass die Function 
@h(^) für das Argument x = &k{oO gebildet werden soll. Selbst- 
verständlich bezieht sich diese ganze Definition auf einen be- 
stimmten als rational angenommenen Körper iß. Zu diesen 
Gleichungen gehören gewiss, wenn Sl der Körper der rationalen 
Zahlen ist, die Gleichungen, durch die die Einheitswurzeln be- 
stimmt sind. Denn jede wi*^ Einheitswurzel ist, wenn r eine 
primitive unter ihnen ist, in der Form 0h{r) = r'' enthalten, und 
es ist 

Ebenso gehört, wenn der Körper Si die m^^^ Einheitswurzeln 
r enthält, die reine Gleichung 

x"^ — a = 0, 
in der a dem Körper Sl angehört, zu den Abel' sehen Gleichungen. 
Denn ist u eine ihrer Wurzeln, ^so sind alle Wurzeln' in der Form 

enthalten; es ist also &h{x) = r^'x und daher 
©;, 0fc {x) = 0k 0h (x) = r'' + '^ X. 
Wenn die Function F(x) nicht irreducibel ist, so hat sie 
einen bestimmten irreducibeln Factor g) (x) , der die Wurzel a 
hat, und unter den Wurzeln von q)(x) ^= bestehen gleichfalls 



1) Abel, Memoire sur une classe d'equations resolubles algebriquement. 
Crelle's Journal f. Mathematik, Bd. 4, 1829. Oeuvres completes , nouvelle 
edition, 1881, Bd. 1, S. 418. 



§. 169. Abel'sche Gleichungen. 577 

die durch (2j und (3) ausgesprochenen Relationen. Es ist 
daher cp(x) ^= nach §. 152 eine Galois'sche Resolvente von 
F(x) = 0, und wenn (p(x) = gelöst ist, so sind damit alle 
Wurzeln von F{x) bekannt. Es genügt also, wenn wir uns auf 
die Betrachtung irreducibler Abel'scher Gleichungen 
beschränken. 

Die Galois'sche Gruppe einer Abel'schen Gleichung, sei 
sie irreducibel oder nicht (wenn nur ihre Wurzeln von einander 
verschieden sind), hat die Eigenschaft, dass bei der Zusammen- 
setzung ihrer Permutationen das commutative Gesetz gilt; sie 
ist also eine commutative Gruppe. 

Es seien nämlich 

(4) M, «1 = 01 (a), «2 = 02 («), . . ., K,„_i = 0„,_i(«) 

die Wurzeln von F{x) und 

(6) M, a' = 0'(«), «" = 0" (a), . . . 

die darunter enthaltenen Wurzeln des irredücibeln Factors (p(x) 
von F(x). 

Da, wie schon bemerkt, (p(x) = eine Galois'sche Resol- 
vente ist, so besteht die Gruppe der Gleichung aus den Substitu- 
tionen des Körpers ß(a), also aus den Substitutionen 

(6) ö = («, «), ö' = («, a'j, ö" = (a, a") . . . 

Diese Gruppe befolgt aber das commutative Gesetz; denn es sei 
6' = («, «' ) = [«, 0' («)] 
ö"= («,«") = [a,0"(a)]; 
dann ist nach §. 154 

ö' ö" = [«, 0' (a)] [0' f«), 0' 0"(«)] = [«, 0' 0"(«)] 
ö" ö' = [«, 0"('a)] [0"(«), 0" &' («)] = [«, <9" & («)]. 

Wegen (3) ist daher ö'ö" = ö"ö', worin ö', ö" zwei beliebige der 
Substitutionen 6 sein können. Folglich ist die Gruppe der 
Substitutionen des Körpers Sl(a) und damit auch die isomorphe 
Permutationsgruppe der Gleichung F(x) = commutativ. 

Es gilt nun auch das Umgekehrte, wobei aber die Irre- 
ducibilität vorausgesetzt sein muss. 

Eine irreducible Gleichung (p (x) = mit commu- 
tativer Gruppe ist eine Abel'sche Gleichung. 

Es seien «, Wj, k^, ..., «,n_i die Wurzeln von cp (x) = 0, und 
P die Gruppe dieser Gleichung, die wegen der Irreducilnlität von 

Weber, Algebra. I. 37 



578 Fünfzehnter Abschnitt. §. 169. 

(p(x) transitiv ist, und die wir jetzt ausserdem als commutativ 
annehmen. Es sei Q der Theiler von P, der das Element in 
Ruhe lässt. Ist dann Ttj eine Permutation, die die Ziffer in i 
überführt, so ist jrri^:nr. die Gruppe der Permutation in P, 
die die Ziffer i nicht ändern. Da nun aber in jeder Zusammen- 
setzung von Permutationen aus P die Componenten vertauscht 
werden können, so ist 

d. h. die Gruppe Q lässt auch die Ziffer i ungeändert. Wegen 
der Transitivität von P kann aber i jede der Ziffern 1, 2, ..., m — 1 
bedeuten, folglich besteht Q aus der einzigen identischen Permu- 
tation, und es giebt in P ausser der identischen keine Permu- 
tation, die eine Ziffer ungeändert lässt. Adjungirt man aber 
eine Wurzel «, so reducirt sich die Gruppe P auf eine Gruppe, 
die a ungeändert lässt, also auf die Einheitsgruppe, und die 
Gleichung ist gelöst, d. h. jede Wurzel von (p{x) kann durch 
eine beliebige unter ihnen, a, rational ausgedrückt werden. 
Demnach ist (p{x) = eine Normalgleichung und somit ihre 
eigene Galois'sche Resolvente. Ist «t = 0k(y-)i so besteht die 
Galois'sche Gruppe dieser Gleichung aus den Substitutionen 

öj, = [«, 0t(«)], 
und es ist 

(3h<^k = [«, &h&k(cc)], G^öu = [«, e)fc0/.(«)]. 

Da die Gruppe commutativ sein soll, so muss 

sein, d. h. (p {x) = ist eine Abel'sche Gleichung. Dies ist 
der Grund, weshalb die commutativen Gruppen auch Abel'sche 
Gruppen genannt werden (§. 155). Es folgt also noch aus dem 
oben gegebenen Satze über die Gruppe von Normalgleichungen, 
dass bei einer transitiven Abel" sehen Permutationsgruppe die 
Zahl der Permutationen mit der Zahl der vertauschten Ziffern 
übereinstimmt. 

Hier haben wir die Irreducil)ilität der gegebenen Gleichung 
vorausgesetzt. Wollen wir auch reducible Gleichungen F(x) = 
mit commutativer Gruppe P berücksichtigen, so betrachten wir 
einen irreduciblen Theiler (p (x) von F{x). Die Gruppe P' der 
Gleichung <jp (:r) = erhält man, wenn man die Permutationen 
von P auf die Wurzeln von cp{x) anwendet, und wenn daher P 
commutativ ist, so ist es auch P'. Daraus ergiebt sich: 



§. 170. Cyklische Gleichungen. 579 

Hat eine reducible Gleichung F(x) = eine com- 

mutative Gruppe, so giebt jeder irreducible Thei- 

1er q) von F eine Abersclie Gleichung q) = 0. 

Es ist aber nicht nothwendig, dass die Wurzeln des einen 

Theilers q) rational durch die eines anderen ausdrückbar sind, 

und daher können wir, im Hinblick auf unsere Definition, die 

Gleichung JP(a;) = nicht immer als eine Abel'sche bezeichnen. 

Es ist endlich noch zu bemerken, dass bei einer commuta- 

tiven Gruppe jeder Theiler normal ist, da ja immer 7[-^x7t = x ist, 

wenn Jt und z beliebige Elemente einer commutativen Gruppe sind. 

§. 170. 
Reduction der AbeTschen Gleichungen auf cyklische. 

Wir haben schon vorhin gesehen, dass in einer transitiven 
Abel' sehen Gruppe ausser der identischen keine Permutation vor- 
kommt, die eine Ziffer ungeändert lässt. Daraus aber folgt noch 
ein anderer Satz. Nehmen wir an, eine Permutation ti einer solchen 
Gruppe sei in ihre Cyklen zerlegt, und der Cyklus, der die wenig- 
sten Glieder enthält, sei ein y-gliedriger. Dann wird tC die 
Glieder dieses Cyklus ungeändert lassen und muss also die iden- 
tische Permutation sein. Daraus folgt aber, dass auch alle 
übrigen Cyklen von n, wenn noch andere vorhanden sind, aus 
r Gliedern bestehen müssen, also: 

1. Eine Permutation einer transitiven Al)el'schen 
Gruppe enthält nur Cyklen von gleicher Glied er zahl. 

Die Anzahl r der Glieder eines Cyklus muss ein Theiler von 
m sein, wenn m der Grad der Gruppe ist, und wenn ni ^= r s ist, 
so ist s die Anzahl der r-gliedrigen Cyklen, aus denen 7t besteht. 

Ist nun P die Gruppe einer Abel'schen Gleichung F{x) = 0, 
so nehmen wir irgend eine nicht identische Permutation 7t aus 
P heraus und zerlegen sie in ihre Cykeln 

(1) ^ = 77172 • ■ ' 7s-ii 

worin jeder der Cyklen y sich auf r Wurzeln der Gleichung 
F(x) = bezieht. Wir wollen diese Wurzeln so anordnen, dass 

y = («, «1, «2, . . ., «,— i) 

(2) 7i = (ß^ ßi^ ß2, • • •' ß>-i) 

7s-l= (ö, öl, Ö2, . . ., Ö,_l) 

wird. 

37* 



580 Fünfzehnter Abschnitt. §. 170. 

Ist 71 1 irgend eine Permutation von P, so ist wegen der 
Vertauschbarkeit 

(3) 7T-^7T7Ti = 7t. 

Nach dem Satze über die Bildung der Permutationen ^r-^irrTTi 
(§. 160, 4.) darf also tc nicht geändert werden, wenn die Permu- 
tationen TTj^ in den Cyklen von 7t ausgeführt werden. Da aber 
die Cvklen vollständig bestimmt sind, abgesehen von ihrer An- 
ordnung und von ihrem Anfangselement, so ergiebt sich, dass 
durch Anwendung irgend einer Permutation Zi aus P die Ele- 
mente der einzelnen Cjklen y nicht von einander getrennt, 
sondern nur unter einander (cyklisch) vertauscht und ausserdem 
die Cyklen mit einander vertauscht werden können. Die Gruppe 
ist also, wenn s > 1 ist, im primitiv. 

Eine rationale Function der Argumente «, a^, . . ., a,._i, die 
ihren Werth nicht ändert, wenn die « der cyklischen Permu- 
tation y und ihren Wiederholungen unterworfen werden, heisst 
eine cy kusche Function der «. Bezeichnet man mit 

(4) 03 = i'(ci, «1, . . ., «,._i) 

eine solche cyklische Function und mit 

(5) oj. ojp 0x21 . . ., ojg-i 

die conjugirten Werthe von oj, setzt also z. B. 

(6) Wl = t{ß, ßl, . . ., ßr-l), 

so sind diese Grössen nach §. 165 die Wurzeln einer irreducibeln 
Gleichung s*^" Grades: 

^ (0 = 0, 
deren Gruppe man erhält, wenn man die durch P hervorgerufenen 
Permutatiouen der Grössen (b) aufsucht. 

Man erhält aber die durch ^r^ tTo unter den Grössen (.5) 
bewirkte Permutation, wenn man die beiden durch tt^ und 7T2 
einzeln hervorgerufenen Permutationen zusammensetzt, und die 
Gruppe der Permutationen von (5j ist daher auch commutativ. 
Daher ist ^(t) = eine AbeTsche Gleichung s*"' Grades. 

Adjungirt man to, so zerfällt F(x) in s Factoren r^^'^ Grades: 
F(oc) = F(x,o})F(x,cJi) . . . F(x,as-i)-, 
von denen der erste, F(x^co), die Wurzeln a, a^, . . ., «,.-1 h^t, 
und die Gruppe der Gleichung Fix.a) = besteht allein aus 
der Periode der cyklischen Permutation y. 

Wir wollen eine Gleichung, deren Gruppe aus einem einzigen 
Cyklus und seinen Wiederholungen besteht, eine cyklische 



§. 170. Cyklische Gleichungen. 581 

Gleichung nennen, so dass die cyklisclien Gleicliungeu der 
einfachste Specialfall der Abel' sehen Gleichungen sind. Wir 
haben dann also bewiesen, dass die Lösung jeder Abel' sehen 
Gleichung zurückgeführt wird auf die Lösung einer Abel'schen 
Gleichung niedrigeren Grades und auf die Lösung einer Reihe 
cyklischer Gleichungen. Diesen Satz kann man wieder auf die 
Hülfsgieichung s*'''' Grades anwenden, und damit so lange fort- 
fahren, bis diese Hülfsgieichung sich auf den ersten Grad redu- 
cirt. Damit erhält man also das Resultat: 

Die Lösung einer Abel'schen Gleichung lässt sich 
immer auf die li ö s u n g einer Reihe von c y k 1 i s c h e n 
Gleichungen zurückführen, deren Grade Theiler des 
Grades der gegebenen Gleichung sind. 

Es ist nicht nothwendig, in die Definition der cyklischen 
Gleichungen die Irreducibilität mit aafzunehmen. Wir können 
daher allgemein die Definition so fassen: 

Eine Gleichung )h<«° Grades F(x) = mit m 
verschiedenen Wurzeln heisst eine cyklische 
Gleichung im Körper ß, wenn ihre Wurzeln «, «j, 
«2, • • ., «m— 1 nicht rational sind, aber sich so 
anordnen lassen, dass die cyklischen Functionen 
der Wurzeln in Sl rational sind. 

Wenn also 

(7) 71 = («, «1, «2, . . ., a,„_i) 

ist, so muss jede Function in Sl enthalten sein, die die Permu- 
tationen der cyklischen Gruppe 

(8) (7 = 1, :r, 7C^, 7C\ . . ., :i"'-'^ 

gestattet. Die Galois"sche Gruppe einer cyklischen Gleichung 
ist entweder die Periode C selbst und dann ist die Gleichung 
irreducibel, oder sie ist ein Theiler von C; sie besteht dann, 
wenn e und / zwei ganzzahlige Factoren von m sind und 

m = ef 
ist, aus den Permutationen 

(9) Ce = 1, 71% 7t^% . . ., ^^^-'K 

und die cyklische Gleichung zerfällt in e Factoren /*"* Grades. 
Denn nehmen wir eine zu der Gruppe C gehörige Function 
i^(a, «1, . . ., a,„_i), so ist diese nach Voraussetzung gleich einer 
Grösse in Sl, die wir mit a bezeichnen. Auf die rationale 
Gleichung ^ = a ist dann keine nicht in C enthaltene Permu- 



582 Fünfzehnter Abschnitt. §. 170. 

tation anwendbar, und folglich kann die Gruppe der Gleichung 
keine anderen Substitutionen enthalten als solche, die in C vor- 
kommen. Wenn nun tt in der Grupi)e der Gleichung vorkommt, 
so ist sie mit C identisch, und da C transitiv ist, ist die 
Gleichung irreducihel. Ist aber n*" die niedrigste Potenz von tt^ 
die in der Gruppe der Gleichung vorkommt, so ist C^ diese 
Gruppe. Ce ist aber, wenn e > 1 ist, intransitiv, und die 
Gleichung ist reducibel. 

Die cyklischen Gleichungen haben, wie alle Abel'schen 
Gleichungen, die Eigenschaft, dass jede Wurzel rational durch 
jede andere ausdrückbar ist. Hier lassen sich diese Ausdrücke 
folgendermaassen cyklisch anordnen. Sind «, «i, «g? • • •■, «m— i die 
Wurzeln der cyklischen Gleichung F(x) = 0, so ist die ganze 
Function (in — 1)*^" Grades von x 

F(x) f-^^ -f -^^ J \ ''- ) = W(x) 

ungeändert durch die Permutation ti und also in Sl enthalten. 
Wenn wir darin x = a. a^. . . ., u,n—i setzen und das Zeichen 

— ^ = (X) 

F (x) ^ ^ 

einführen, so folgt 

(10) «1 = 0(«), «2 = ©(«i), . . .. «„,_i = 0(a,„_2), « = 0(«„,_i), 

und dies gilt, mag F(x) reducibel oder irreducihel sein, wenn 

nur F{x) und F'(x) keinen gemeinsamen Theiler haben. 

W^enn der Grad der cyklischen Gleichung keine Primzahl 
ist, so lässt sie sich durch das oben auf Abel' sehe Gleichungen 
im Allgemeinen angewandte Verfahren noch weiter reduciren. 

Wenn nämlich rn = ef irgend eine Zerlegung von m in 
zwei Factoren ist, so zerfällt die Permutation n" in e Cyklen y 
von je / Gliedern : 

y = (") ^ei «2e- • • ••; «(/-l)Oi 

Qj\ Tl = (^'1^ «e + 1, «2<-l-l) • • -5 C'-C/ — 1) t+l), 

Nun bestimmen wir eine zu dem ersten dieser Cyklen ge- 
hörige Function t/; und setzen 

i] = li;(a, «e, «2^, . . ., «(/_i)e), 



§. 170. Cyklische Gleichungen. 583 

Diese Grössen sind alle von einander verschieden, aber bei 
einer cyklischen Permutation ihrer Argumente bleiben sie un- 
geändert. Durch Anwendung der Permutation % gehen die Grössen 

cyklisch in einander über, und nach der Voraussetzung sind also 
ihre cyklischen Functionen, und folglich auch ihre symmetrischen 
Functionen rational. Sie sind also die Wurzeln einer cyklischen 
Gleichung e*«° Grades, während F{x) in e Factoren /'^° Grades 

F{x) = F(x, rj)F{x, rji) • - • F{x, )je-i) 
zerfällt, deren jeder eine cyklische Gleichung f^'^^ Grades für die 
Wurzeln eines der Cyklen y ergiebt. 

Denn setzen wir etwa 

Fl = (x — a) (x — «,,) . . . (x — «(/•__ De), 
so gestattet diese Function die Permutationen der Periode von y. 
Also gestattet sie auch die Permutationen der Gruppe, die nach 
Adjunction von rj zur Galois' sehen Gruppe unserer Gleichung 
wird, die ja nur aus Potenzen von 7, y^, . . ., y<.-i bestehen kann. 
Es ist daher nach dem Satze von Lagrange (§, 162, 2.) Fi 
rational durch r} darstellbar, also Fi = F{x, rj). Die Gleichung 
F{x, Tj) ■= ist aber wieder cyklisch in ^(r])^ da die cyklischen 
Functionen ihrer Wurzeln diesem Körper angehören. 

Die Auflösung der cyklischen Gleichungen »»*^° Grades ist 
hierdurch abhängig gemacht von der Lösung cyklischer Glei- 
chungen, deren Grade die Primfactoren von in sind. Ist also z. B. 
m eine Potenz von 2, so wird die Lösung durch eine Reihe von 
Quadratwurzeln bewerkstelligt. Auf diesem Wege hat Gauss 
zuerst die Kreistheilungsgleichungen l)ehandelt i). 

Wir knüpfen endlich noch die für die Folge wichtige Be- 
merkung hier an, dass für einen Primzahlgrad die Begriffe der 
Normalgleichung und der cyklischen Gleichung zu- 
sammenfallen. Denn jedenfalls ist eine cyklische Gleichung vom 
Primzahlgrad, da sie irreducibel ist, eine Normalgleichung. Und 
wenn umgekehrt der Grad n einer Normalgleichung, der zu- 
gleich der Grad der Gruppe dieser Gleichung ist, eine Primzahl 
ist, und :t eine nicht identische Permutation dieser Gruppe, so 
ist der Grad von .-, der ja ein Theiler von n sein muss, gleich w, 
und die Gruppe der Gleichung ist 1, ;r, ^r^, . . ., jr"^^, also 
cvklisch. 



^) Gauss, Disquisitiones arithmeticae, Sectio VII. 



584 Fünfzehnter Abschnitt. §. 171. 

§. 171. 
Ptesolventen von Lagrange. 

Die Methode der Autlösang cyklischer Gleichungen, die wir 
jetzt kennen lernen wollen, ist gleichmässig auf Primzahlgrade 
und zusammengesetzte Grade anwendbar. Man bedient sich dazu 
gewisser Ausdrücke, die unter dem Namen der Ptesolventen 
von Lagrange bekannt sindi), die bei allen Untersuchungen 
über die algebraische Auflösung von Gleichungen von grossem 
Nutzen sind. 

Es sei F{x) = eine Gleichung mit den Wurzeln «, a^, 
a.^, . . .. «,„—!. Wir bezeichnen mit £ irgend eine m^^ Einheits- 
wurzel und führen die Bezeichnung ein 

(1) (f, «j = « 4- £ «i -f £2«^ _|_ . . . _j_ £»»-1 «„,_!. 

Die so definirten Summen sind es, die man die Lagrange'- 
schen Resolventen nennt. Wenn diese Functionen für alle 
m^^^ Einheitswurzeln s bekannt sind, so ist auch die Gleichung 
selbst gelöst, denn es ist nach §. 141 (6) 

(2) E 8^ = m oder = 0, 

je nachdem 7j durch m theilbar ist oder nicht, und daraus folgt 

.(3) i>ia = 2;(£, CK), 

worin sich die Summen über alle w*^"^ Einheitswurzeln a er- 
strecken. Man kann auch die anderen Wurzeln in gleicher Weise 
ausdrücken : 

i 

(4) mu,, = 2: £-'••(£, a), 

so dass in der That Alles auf die Kenntniss von £ und der 

Functionen (£, u) zurückgeführt ist. 

Die Summen (2) und (3) lassen sich noch in etwas anderer 
Weise darstellen, da die sämmtlichen w^^'^Einheits würz ein Potenzen 
einer primitiven unter ihnen sind. Versteht man also unter £ 
eine festgehaltene primitive jn^e Einheitswurzel und unter A einen 
Index, der ein volles Picstsystem nach dem Modul ju, etwa die 



1) Lagrange, Eeüexions etc., s. S. 508. Früher haben wir unter 
Kesolventen auflösende Gleichungen verstanden, hier sind es auflösende 
Functionen. 



§. 171. Resolventen von Lagrange. 585 

Zahlenreihe 0, 1, . . ., ni — 1 durchläuft, so können wir für die 
Gleichungen (2), (3) setzen 

/. /. 

ma = Z (e'; «), mc/.k = Z:a^'-^{8\ «). 

Wir untersuchen diese Resolventen (f, a) zunächst als 
Functionen der ni unabhängigen Veränderlichen a, und 
wollen wegen der einfacheren Darstellungsweise der Formeln 
übereinkommen, dass «,„ = «(, = « und überhaupt «;, = «^ sein 
soll, wenn h ^ /.; (mod m) ist. Wir erhalten dann das ganze 
System der Variablen a, wenn wir in u^ den Index ein volles 
Restsystem nach dem Modul »i durchlaufen lassen. 

Für diese Resolventen gelten nun die folgenden Sätze. 

1. Wenn man auf die Indices der « die cyklische 
Permutation jt = (0, 1, . . ., ;h — 1) anwendet, so 
geht (f , «) in «-^(f, aj über, und durch die Permu- 
tation TT* geht (e, u) in e~^(s, «) über. 

Dies zeigt die Definition (l) der Resolventen unmittelbar. 

Wir verstehen ferner unter v einen beliebigen positiven 
Exponenten und bilden nach dem polynomischen Lehrsatze (£,«)*. 
In der entwickelten Potenz setzen wir £'" = 1 und ordnen dann 
nach Potenzen von f. Es ergiebt sich dann ein Ausdruck von 
der Form 

(5) (£, ay = Ä\:^ + £ .4^;) + £2.4^) H h «"-' 4?-i 

0, m — 1 

worin die A\p., A^*\ . . ., ^|,f_i Formen v*«'^ Grades mit ganz- 
zahligen Coefficienten und den Variablen a sind, aber von £ un- 
abhängig. Auch hier möge Ah = Äk sein, so oft h^Jc (mod ni). 
Danach beweisen wir den Satz: 

2, W^enn man auf die Indices der a die cyklische 
Permutation jt anwendet, so erleiden die Indices 
der Coefficienten von (£,«)" die cyklische Permu- 
tation 7t\ d. h. A\p geht in A\l\^ über. 

Um dies nachzuweisen, bemerken wir, dass die Formel (5) 
für jede beliebige m^'' Einheitswurzel £, einschliesslich 1, richtig 
bleibt, und hiernach folgt aus (2) 

(6) m A\;^ = i t-^ (£, «)". 



586 Fünfzehnter Abschnitt. §. 171. 

Macht man auf der rechten Seite dieser Formel in den 
Indices der u die Permutation jr, so ergiebt sich nach 1. 

i; £-'-—'■(£, «/)'■. 

d. h. ^[') geht in J^l'l ülier, wie im Satz 2. behauptet ist. 

Der Satz 2. ist ein specieller Fall eines allgemeinen Theo- 
rems. Entwickeln wir ein Product von beliebig vielen Factoren 

(£, «j' {t'-\ a)'i {b\ «)'2 . . ., 
worin v , Vi . Vg ... positive , l^ , U . . . beliebige ganze Zahlen 
sind, und ordnen es. wie vorher (e. «)', nach Potenzen von £, so 
mag sich ergeben 

(7) (f, «)'■ (£^S «)'i (S'^-. «)'•. . . . = i £"J5/„ 

0, J(i — 1 

worin die Bh von £ unabhängige Formen von der Variablen u 
sind. Da auch diese Entwickelung für alle ij^*"^ Einheitswurzeln s 
gilt, so kann man die Formel (2) anwenden und erhält 

mB^; = Z:a-^(e, «)' (t'i. «)'i (s'k a,y^ . . .. 
woraus man nach 1. schliessen kann, dass Bj; durch die Sub- 
stitution 71 in 

Übergeht. Wir haben also: 

3. Die Permutation tt . auf die Indices der « an- 
gewandt, ruft unter den Indices der Coeffi- 
cienten des nach e geordneten Productes 

(8) (f. «)' (£'•", aj'i (£^2, «)'2 . . . 

die Permutation 71' +^i'i + ^-2''^- ■ ■ hervor. 
In diesen Theoremen kann die Permutation tt wiederholt 
werden ; sie bleiben richtig , wenn n durch irgend eine Potenz 
von 71 ersetzt wird und sie gelten, was auch £ für eine jh*^ Ein- 
heitswurzel sein mag. Ist aber £ eine imprimitive Einheitswurzel, 
so treten gewisse Vereinfachungen ein, die wir noch kennen 
lernen müssen. Ist e ein Theiler von 1». 

m = ef. 
und £ irgend eine e*^ Einheitswurzel, so wird der Ausdruck (1) 

(£,«) = « -h ^"1 "h ■ • • H" £^~^«e-l 

-f- «e + £«e+i + . • . -f- £''-l«oe_i 



+ «e(/-l)+ £«e(/-l) + l + • • • 4~ ^'' ^«m-l- 



§. 171. Resolventen von Lagrange. 587 

Wir führen mm die Bezeichnung ein: 

n = « + «e + «2e + • • • + «(/^l)e 

/Q> Vi = «1 -{' CCe^i -\- U2eJrl -\~ • ■ • -{- «(/_i)e+i 

Ve — 1 = C*e — 1 -p «2e — 1 -f~ <^3c — 1 "1 ' ' ' "T '^m — lt 

und nennen diese Grössen, wie es Gauss in dem si^eciellen Falle 
der Kreistheilung gethan hat, die /-gliedrigen Perioden der 
Grössen a. Es wird dann 

(10) (s^a) = rj-}-et],-^t'-rj2^ [- a'^'^rje-u 

wofür wir auch ff, tj) schreiben können. 

Die Anwendung der Permutation tt auf die Indices von a 
bringt unter den nach dem Modul e zu nehmenden Indices der 
Grössen rj die cyklische Permutation 

(11) 7 = (0, 1, 2, . . ., e — 1) 
hervor. 

Entsprechend der Formel (10) können wir die Formeln (5) 
und (7) nun auch so schreiben: 

(£, ^i/ = E^p + ^ ^^i"^ + ^' E'2' H — b^'-' m, 

(£, 7j)'' (f'i, rjyi (£'2, rjy^ . . . = 
Avorin dann 

fc k ' e + k ' I (/ — e)e + k 

Gk = Bk -\- Bc + k -\- • • ■ -{- B^f-l)e + k 

ist, und E^') und Gk ganze homogene Functionen der « sind, die 
sich auch als Functionen der 7] darstellen lassen. 

Die Grössen »j^, E'j^\ Gk bleiben ungeändert, wenn die Permu- 
tation 71'' auf ihre Indices angewandt wird, d. h. wenn der Index 
um ein Vielfaches von e verändert wird, und wir können also 
jetzt die Sätze 2. und 3. so vervollständigen: 

4. Ist f eine beliebige e*'' Einheitswurzel, und e ein 
Theiler von w, so erleiden, wenn auf die Indices 
von a die Permutation Jt ausgeübt wird, die 
Indices k der Coefficienten E"^'^ von (f, t;)' die 
Permutation y'\ und die Indices der Coeffi- 
cienten G des Productes (5, r])'' {e\ »?)'' (eS ^)''^ • • • 
die Permutation j^' +^i'i + ^2''2-- 



588 Fünfzehnter Abschnitt. §. 172. 

§• 172. 
Auflösung der cyklischen Gleichungen. 

Die Lagrange"schen Resolventen führen durch Anwendung 
der jetzt bewiesenen Sätze zu der Auflösung der cyklischen 
Gleichungen, genauer gesagt, zur Reduction auf reine Glei- 
chungen, 

Wir verstehen jetzt unter den a nicht mehr Ijeliehige 
Variable, sondern die Wurzeln einer cyklischen Gleichung, so 
dass die cyklischen Functionen der a als bekannte Grössen zu 
betrachten sind. 

Nach dem Theorem §. 171, 2. sind die Coefficienten von (f,«)'" 
cykliscbe Functionen der «. 

Verstehen wir unter ao, «i, . . ., «m— i Grössen in ii und 
setzen 

(IJ ^, = ao -f Ch £'• + «2 1-'- H h «m-i «^""-'^S 

so folgt aus diesem Theorem 



'O^ 



(2) (£^ «j = V^;.. 

Bezeichnet darin £ eine primitive m'^^ Einheitswurzel, so sind 
in der Form {i'-. a) alle Piesolventen enthalten. 

Bemerken wir noch, dass (1, a) = a als die Summe der 
Wurzeln zu den bekannten Grössen gehört , so haben wir nach 



und damit also « durch Radicale m^^^ Grades ausgedrückt, die 
unter den Wurzelzeichen ausser den Grössen, die von Hause aus 
in iß vorkommen, noch m^^ Einheitswurzeln enthalten. 

Jedes dieser Radicale hat, für sich betrachtet, m verschie- 
dene Werthe, die sich um »»*« Einheitswurzeln als Factoren von 
einander unterscheiden. Geben wir jeder m^^^ Wurzel alle ihre 
Werthe, so erhalten wir aus (3) viele verschiedene Werthe von «, 
unter denen nach §. 171, (4j die sämmtlichen Wurzeln a, «i, 
«2, . . •, «m— 1 vorkommen. Aber die Zahl der so aus (3) abgelei- 
teten Ausdrücke ist viel grösser, und es handelt sich noch darum, 
die beizubehaltenden von den abzusondernden zu unterscheiden. 
Am einfachsten führt dazu folgender Weg. 



§. 172. Auflösung cyklischer Gleichungen. 589 

Wenden wir das Theorem §. 171, 3. auf nur zwei Factoren 
an, so ergiebt sich, dass 

eine Function in Sl (f) ist, wenn v -}- A ^ ^ (mod m). Setzen 
wir also ji = 1, v = »i — A, so folgt, wenn 

X, = l'^ 4- 6? £ H h ^m-l ^"'-' 

eine Grösse in ü (a) bedeutet, 

(£, ay—''- (£^ a) = X,, 
also nach (2): 

Xi (V^) X). 



(4) Vt/^;. 



{vrr *' 



und dadurch sind, wenn £ eine festgehaltene primitive »t*^ Ein- 
heitswurzel bedeutet, die sämmtlichen in (3) vorkommenden Radi- 

m 

cale rational durch eines von ihnen, V^, ausgedrückt. 

Giebt man diesem einen seine m verschiedenen Werthe, so 
erhält man aus (3) gerade die m verschiedenen Werthe a. 

Es ist nur ein Ausnahmefall, in dem dieses Verfahren nicht 
anwendbar ist, das ist der, wenn tl-\ = ist. Wir können aber 
durch eine kleine Modification des Verfahrens uns von einem 
solchen Ausnahmefall frei machen. Dem schicken wir Folgendes 
voraus. 

Es sei p eine in m aufgehende Primzahl und m = ijn; 
wie oben sei s irgend eine festgehaltene primitive wi*® Einheits- 
wurzel. Dann giebt es immer ein durch ^j nicht theilbares A, so 
dass (£^ a) von Null verschieden ist. Denn bilden wir nach der 
Formel §. 171, (4) die Differenz a„ — «,„ so erhalten wir 

/. 
m(a„ — «„) = :i (£-"'•— 1) (a\ a). 

0, m— 1 

Nun ist al)er £-"^- — 1 immer = 0, so oft A durch p theilbar 
ist, und wenn (£\ a) in allen anderen Fällen, wo also A nicht 
durch p> theilbar ist , verschwindet , so ist a« = «d i gegen die 
Voraussetzung, dass die a alle verschieden sein sollen. Es giebt 
also wenigstens ein durch p nicht theilbares A, so dass (£'•, «) 
von Null verschieden ist. 

Nun zerlegen wir m in seine Primfactoren und setzen 

m = P1P2 . . •, 



590 Fünfzehnter Abschnitt. §. 172. 

worin pn P2 . • • Potenzen von verschiedenen Primzahlen sind. 
Wir setzen noch 

m = pi nii = P2 m.2 . . ., 

und wählen, was nach dem soeben Bewiesenen stets möglich ist, 
X^ relativ prim zu p^^ X^ relativ prim zu p^ etc., so dass 

(f'i, «), (£'-2, aj . . . 
von Null verschieden sind. Dann ist nach dem Theorem §.171, 3.: 

(5) {b\ a) {a\ aj"*!" {a\ (x)"*'" ••• = %/. 
eine in Sl{s) enthaltene Grösse, wenn 

(6) X ^ — v(Xi »Hj -\- X2 m^ -f- • • •) (mod m). 

Es ist aber (£'1, a)*"! eine Wurzel p^^^^^- Grades einer Func- 
tion g)i in ü(£), und wir setzen also 

Vi Vi in 

(7) U'\ «)'»i = y^i, (fS a)'"2 = V9J2 . . ., {b\ «) = Vi/^a- 
Dann wird nach (5) 

m y 

(8) Vr. 



/ pi pi Y 

VVqpi V(p2 • • ./ 



Nun ist Ai m^ -\- X^ m^ -(-••• relativ prim zu «t, da m^ . . . 
durch p^ theilbar, X^m^ zu p^ relativ prim ist, und also erhält 
man aus (6) für jedes X eine nach dem Modul m völlig bestimmte 
Zahl V. 

Wenn wir also die Ausdrücke (8) in (3) einsetzen und den 

P\ P-2 

Ptadicalen Vg^i, V9>2 • • • ^l^e i^n'e Werthe beilegen, so erhalten 
wir für « genau m verschiedene Werthe und nicht mehr. 

Die letzten Resultate können wir benutzen, um eine Form 
der Darstellung der Wurzeln « in etwas verallgemeinerter Gestalt 
abzuleiten, die Abel an der angeführten Stelle mittheilt, und die 
sich auf den Fall bezieht, wo der Körper Sl reell ist, d. h. aus 
lauter reellen Zahlen besteht. Die Functionen 9p, 1^', x^ wie wir 
sie oben benutzt haben, sind dann zusammengesetzt aus reellen 
Zahlen und aus der Einheitswurzel f , die man durch die Theilung 
der Kreisperipherie in m gleiche Theile findet; man kann etwa 

£ =r e '» = cos h * sin — 

m ' ni 

setzen. 

Die Function g)^ geht, wenn b in f^ verwandelt wird, in 
den conjugirt imaginären Werth über, den wir mit cp'i bezeichnen. 



§. 172. Auflösung cyklischer Gleichungen. 591 

Wir wollen eine positive Grösse q^ und einen Winkel &i so 
annehmen, dass 
(9) g?j = Pie'^i, <jp; = 9, e-'-«i, 

oder 
^ cpi = pi (cos 01 -f i sin ©J 

g)i = 9i (cos ©1 — isin0i), 

woraus noch folgt: 

(11) Q{ = (jPi (p[. 

Nun ist , 

(12) (£^>, a) (b-\ oc) = ±a, 

eine Grösse des Körpers Sl(£) (nach §. 171, 3.), und zwar ist es, 
da sie sich beim Uebergang zum conjugirt imaginären Werth, 
d. h. bei der Vertauschung von s mit «-^ nicht ändert, eine 
reelle Grösse. Das Vorzeichen wollen wir so bestimmen, dass a^ 
positiv ist. Es ist also nach (11), da q^ positiv ist, 

Pr = (±«i)'"=-«iN 
und es ergiebt sich daraus, dass bei ungeradem m jedenfalls das 
obere Zeichen gilt; bei geradem m kann auch das untere ein- 
treten. Es ist also 

(13) Q, = V^S 

wo die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist. 
Ferner sind 

,14) S^ = 0,, 2^ = 0. 

reelle Grössen in >ß(£), und es ergiebt sich aus (10) 

b c 

(15) cos ©1 = -^, sin ©1 --= -^ , 

\/a'j" Va'{' 

woraus noch die Relation folgt: 

a'n = jji ^ d. 

Demnach ergiebt sich 

iH _ i2i 

V(pi = Va/"' ei>^ ; 

und nun verfahrt man mit den Functionen gjj u. s. f. ebenso. 
Man bestimmt also ©2 • • • ^^^s einem System von Gleichungen 
wie (15j und erhält, wenn man noch 

(16) mi©iH-m2©, H = 

setzt, nach (8) 



gl öl __ _± — ■ - e'-2 



592 Fünfzehnter Abschnitt. §. 172. 

(17) V^ = [Va'l'^ap . . .) e "' ' 5^;.. 
Nach (15) können wir setzen 

und wenn wir also durch Zerlegung in den reellen und imagi- 
nären Bestandtheil 

(18) (6i 4- ?Ci)-i {h, -f ic,)'"^ . . . = B + iC 
erhalten und 

(19) a'^^ap . ' ■ := Ä 
setzen, so folgt nach (16) 



e«^ = 



B-^iC 



also 

(20) VI'" cos = B, VI'" sin = (7, 
und 

(21) V^ = V^ (cos — - t sm — j Z, . 

Der Winkel ist durch (20) nur his auf ein Vielfaches von 

2 7t bestimmt, und wenn man also -j- 2h7C für setzt und h 

von bis m — 1 gehen lässt, so erhält man aus (21) die m ver- 

0v 
schiedenen Werthe der "Wurzelgrösse. Die Functionen cos — 

0V . 0.0 

und sin — können noch rational durch cos — , sin — aus- 
ni tn tu 

gedrückt werden. Die Auflösung der cyklischen Gleichungen in 
dem reellen Körper Sl ist also auf Folgendes zurückgeführt. 

Man adjungirt zunächst dem Körper ii die m*® Ein- 
heitswurzel c (Theilung der Kreisperipherie in vi gleiche 
Theile). Hierauf sind Ä. B, C bekannt. Man adjungirt 
ferner die positive Quadratwurzel \ A. dann sind cos 
und sin© durch (20) bekannt. Endlich adjungirt man 



cos — , sin — (Theilung des Winkels in vi Theile). 
m m 

Dann ist die cyklische Gleichung durch (21) gelöst. 

Diese Betrachtungen führen noch zu einem interessanten 

Resultat über die Realitätsverhältnisse der Wurzeln cyklischer 

Gleichungen. 



§. 173. Theilun^ des Winkels. 593 

Stellen wir, wie in §. 170, (lOj, in der Reihe der Wurzeln 
«, «1, . . ., «w — 1 jede rational durch die vorangehende dar: 
«1 = &(a), «2 = 0(«i). • • M «m-i = («„,_,), a = 0(«,„_i), 
worin, da hier Sl reell vorausgesetzt ist, &(x) eine reelle ratio- 
nale Function von x bedeutet, so folgt zunächst, dass, wenn 
eine der Wurzeln reell ist, auch alle übrigen reell sein müssen. 
Dies findet immer bei ungeradem 7n statt, da eine reelle Glei- 
chung ungeraden Grades immer wenigstens eine reelle Wurzel 
haben muss. 

Bei geradem m können auch imaginäre Wurzeln vorhanden 
sein, und wenn eine Wurzel imag